第四章 平行四边形（单元自测培优卷）-浙教版八年级数学下册（解析版）

第四章平行四边形•培优卷

【新教材浙教版】

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（25-26九年级上•安徽合肥・期末）遵守交通，人人有责，下列四个图形是生活中常见的交通标志，其中

是中心对称图形的是（）

A.禁止驶入B.机动车行驶

C.A反向弯路D.干路先行

【答案】A

【分析】本题考查了中心对称图形的概念；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.根

据中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意;

B、不是中心对称图形,不符合题意;

C、不是中心对称图形,不符合题意;

D、不是中心对称图形,不符合题意.

故选:A.

2.（25-26八年级上•山东济宁•期末）如图，在瓦4BCD中，CE于■点E,若乙4二126。，则41为（）

A.36°B.46°C.38°D.64°

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解

题的关键.根据平行四边形的性质得到4。IIBC,进而求H"B=54。，再由垂直的定义得到乙CE8=90。，

则/BCE=90°一乙B=36°.

【详解】解：团四边形4BCD是平行四边形，

胤4DIIBC,

必+/B=180°,

必=126°,

团2B=54°,

团CE1AB,

回乙CEB=90°,

团乙BCE=Z1=90°-乙B=36°,

故选：A.

3.（25-26八年级上•河南周口・期末）用反证法证明"三角形中至少有一个内角不小于60。〃时，应先假设（）

A.三角形中至多有一个内角不小于60。

B.三角形中三个内角都小于60。

C.三角形中至少有一个内角小于60。

D.三角形中三个内角都大于60°

【答案】B

【分析】本题考查反证法，掌握相关知识是解决问题的关键.反证法需假设原命题的结论不成立，据此解

答即可.

【详解】解：因原命题为“三角形中至少有一个内角不小于60。"，

回应假设为“三角形中三个内角都小于60。”.

故选：B.

4.（25-26七年级上•陕西西安・期末）一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用〃边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式5-3）,代入

71=7计算即可得出结果.

【详解】解：团对于〃边形5>3）,从一个顶点出发可引出的对角线条数为几-3,

又叵该多边形为七边形，即九二7,

团代入得7-3=4.

故选：C.

5.（25-26九年级上•河南周口•期末）如图所示，0E是△48C的中位线，BC=6,则0E的长为（）

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的中位线的性质.根据三角形的中位线定理，可得。即可求解.

【详解】解：团DE是△ABC的中位线，BC=6,

初£=诃=3

故选：D.

6.（25-26九年级上•浙江金华•期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原

位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B,点C,点。都是这应点，贝的度数是（）

囹1图2

A.67.5°B.82.5°C.97.5°D.112.5°

【答案】D

【分析】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性

质并正确作出辅助线是解题的关键，连接力8、AC.AD,由于佟1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位,

所以点5,点C,点。都是以4为中心的正八边形的顶点，再根据218=/。=/0,Z.BAC=X360°=45°,

8

乙CAD=2x-x360°=90。，可得乙1C8=乙ABC=67.5。，4何。=Z.ADC=45°,即可得到乙BCD=LACB+

8

/-ACD=112.5°.

【详解】解：连接48、AC.AD,如下图所示:

向图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B,点C,点。都是对应点，

⑦点B,点C,点。都是以A为中心的正八边形的顶点，

作该正八边形的外接圆OA，则点3,点C,点。都在。A上，

团力B=AC=AD,Z.BAC=-x360°=45°,Z.CAD=2x-x360°=90°,

88

^Z.ACB=乙ABC=1x(180°-45°)=67.5°,/.ACD=/.ADC=45°,

国iBCD=LACB+Z.ACD=67.5°+45°=112.5°,

故答案为：112.5°.

7.(24-25八年级下•云南红河•期末)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中不能判定四边

A.OA=OC,OB=ODB.ADIIBC,AD=BC

C.LABC=Z.ADC,Z-BAD=LBCDD.ADIIBC,AB=CD

【答案】D

【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题

可根据平行四边形的判定定理进行求解即可.

【详解】解：A、当。4=OC,。8=。。时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形/18CD

是平行四边形，故不符合题意；

B、当ADII8C,4。=5c时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形力BCD是平

行四边形，故不符合题意；

C、当匕48c^BAD=^LABC+^ADC+Z-BAD+LBCD=360°,所以2ABC+

Z.R4D=180°,所以4DII8C,同理可得力8||OC,所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判

定四边形88co是平行四边形，故不符合题意：

D、当ADII8C,=C。时，无法判定四边形48CD是平行四边形，故符合题意；

故选D.

8.（2023•吉林•一模）如图，在团48CD中，AB=10,AD=7,乙4BC的平分线BE交CD边于点E,则DE的

长是（）

A.5B.7C.3.5D.3

【答案】D

【分析】根据角平分线及平行线的性质可得"EB="BE,继而可得CB=CE,根据ED=CD-CE=AB-

CB=10-7=3即可.

【详解】解:团四边形A8CD是平行四边形，

BCD||AB,AD=BC=7,AB=DC=10,

0Z/WF=乙CEB,

又叵乙48c的平分线BE交CO边于点E,

^Z-ABE=乙CBE,

国匕CEB=乙CBE,

团C8=CE,

^ED=CD-CE=AB-CB=10-7=3,

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出=判断三角形CBE中，CB=

CE,难度一般.

9.（25-26八年级上•广西贺州•期中）如图，在平面直角坐标系中，点48、。、0的坐标分别为4（。,0）,8（3,0）,

C（4,2）,D（l,2）,顺次连接小B、C、。四点形成封闭图形，该图形的面积为（）

【答案】C

【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定.根据题意，得出四边形力8co是平行四边形，

再结合平行四边形的面积公式进行计算即可.

【详解】解：由题知，因为4(0,0),8(3,0),C(4,2),D(l,2),

所以ABIICDSLAB=CD,

所以四边形4BCD是平行四边形，

所以该图形的面积为：3x2=6.

故选：C.

10.(2025•安徽•模拟预测)如图，等边三角形力BC中，BC=6,D、七是边上的两点，BD=CE=1,P

是线段OE上一动点，过点尸分别作4c.的平行线交4c于点M,M连接MN,AP,交于点G,则

点P由点。移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为()

A.—B.—C.V3D.2V3

22

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理.过

点A作力H18C,垂足为“，先证明四边形PM4N是平行四边形，在点尸由点。移动到点E的过程中，点

G始终是AP的中点，且到边BC的距离始终等于3人"=苧，点G的运动轨迹是的中位线，据此求解

即可.

【详解】解：过点A作力H1BC,垂足为从

的7=3,DE=6-1—1=4,

团4'=V62-32=3V3,

0PWIMC,PNWAD,

团四边形PM力N是平行四边形，

团4G=PG,

团在点P由点。移动到点E的过程中，点G始终是4P的中点，且到边BC的距离始终等于"，二手，

回点G的运动轨迹是△40E的中位线，

0点G的运动距离=：0E=2,

团线段8G扫过的区域是底为2,高为苧的一个三角形，

团线段BG扫过的区域面积=：x2x苧=苧.

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.如图，在中，Z-B=90°,AB=4,将Rt△4BC沿BC向右平移得到△0E凡若四边形力CFO的面

积等于8,则平移的距离等于.

【答案】2

【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形力”。为平行四边形,

利用平行四边形的面积公式进行求解即可.

【详解】解：团平移，

团4c=DF,ACIIDF,

团四边形力C/D为平行四边形，

BAD||CF,

团NB=90。5=4,

团481BF,

回四边形4CFD的面枳=CFAB=4CF=8,

0CF=2,即平移距离为2：

故答案为：2

12.(25-26八年级上•山东烟台・期末)如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形4BCD的边长为5,48边在y

轴上，8(0,-2).若将正方形48CD绕点。逆时针旋转90。得到正方形则点》的坐标为.

D?--------------。

AD

A'()B'

BC

【答案】(-3,5)

【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得4B=BC=CD=/W=5,根据

点B(0,-2)得。力=3由旋转的性质得04'=。力=3,且点小在x轴的负半轴上,正方形A夕C'D'的边长为

5,由此即可得出点。的坐标.

【详解】解：团四边形力BCO是正方形，且边长为5,

^AB=BC=CD=AD=5,

13点8(0,-2),

团0B=2,

回。从=AB-0B=3,

由旋转的性质得：。4=。4=3,且点4在x轴的负半轴上，正方形A夕UO的边长为5,

团点。'的坐标为(-3,5).

故答案为:(—3,5).

13.如图，在等边△ABC中，BC=8cm,射线力G〃BC,点E从点A出发沿射线4G以lcm/s的速度运动；点产

从点8出发沿射线BC以3cm/s的速度运动.设运动时间为£(s),当t为s时，以A,C,E,尸为顶点的

四边形是平行四边形.

【分析】分别从当点尸在C的左侧时与当点尸在。的右侧时去分析，由当AE=C/时，以A、C、E、尸为顶

点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案.

【详解】解：当点尸在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm,BF=3tcm,

则CF=BC-BF=(8-3f)cm,

(3AGSIBC,

回当人后CT时，四边形AEC尸是平行四边形，

即；=8-3/,

解得：1=2：

当点尸在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm,BF=3tcm,

则CF=BF-BC=(37-8)cm,

MG3BC,

回当AE=CF时，四边形AEFC是五行四边形，

即；=3/-8,

解得：1=4；

综上可得：当/=2或4s时，以A、C、E、”为顶点四边形是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题.

14.(25-26七年级上•江苏南京•期末)完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的四五边形.如

图，五边形A8CQE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中匕1+/2=160。，则上C+匕。+

【答案】3407340J8

【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解/ABC+4=360。一"1+42）=200。，再结合五

边形的内角和定理可得答案.

【详解】解：由条件可知418。+乙84£=360。一（41+42）=200。，

•••（5-2）x180°=540°,

“C+/O+4E=540°-200°=340°；

故答案为:340°.

15.（24-25八年级下•安徽黄山•期中）如图，在中，^ACB=90°,”,N分别足AO,AC的中点，延

长BC至点。，^CD=^BD,连接DM,DN,MN,若AC=8cm,BC=6cm,则DN=.

J

【答案】5cm

【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形

的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=

\CB,MN||BC,证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=［力氏

等量代换即可.

【详解】解：连接CM,如图，

.'.AB=>jAC2+BC2=10cn\.

•••M、N分别是AB、AC的中点，

:.MN=^CB,MN||BC,

又CD=*,

回CD=；8C,

2

:.MN=CD,

又MN||BC,

四边形DCMN是平行四边形，

:.DN=CM,

vZ.ACB=90°,M是AB的中点,

•••CM=-AB=5cm,

2

DN=5cm.

故答案为：5cm.

16.如图所示，平行四边形人BCD的面积为lOcn?,它的两条对角线交于点01,以八8、4名为邻边作平行

四边形力BQO1，平行四边形/BQ。1的对角线交于点。2,同样以相、AO2为邻边作平行四边形/BQ%……，

依次类推，则平行四边形48Gl0”的面枳为.

【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分可知。/是AC与08的中点，根据等底同高得到=

衿A8CD，而知48c必=2S6AB0lf得到SgiA8G。1=同理易知S回48。2。2="|348的。1=JX；X

S.ABCD=*SMABCD，以此类推，可以得到结果•

【详解】解；回四边形ABCD为平行四边形，对角线AC,BD交于点O,

团S/ABOi=^^QABCDf

乂田Sj348cl。1=2SAABOr,

回SmBCiOi=~[^ABCDf

同理可得

Sf3ABe2。2=2^ABCIOI=2X2X^^ABCD=^ABCDf

1111

Si3ABe3O3=2^aABC202=5X袤XSUABCD=^3^tBABCD»

以此类推有：SgjABCnOn=条5@486,

而S(34BCD=10

团S^BCnOn=6s@入BCD二诵X10=

故答案为：

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的

结论.考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级下•陕西汉中•期末）如图,即4BCD中,17,CF分另U是445c和2的平分线,BE,CF

相交于点0.

⑴求证：BE1CF；

（2）若十8C=8,求闭A8C0的周长.

【答案】（1）见解析

(2)16

【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是

解题的关键.

（1）先结合平行四边形的性质，得4BIICD,故/ABC+/BCD=180。，又因为BE,C尸分别是乙4BC和tBCD

的平分线，得乙OBC+乙OCB=-(/.ABC+乙BCD)=90°,即可作答.

2

(2)先结合平行四边形的性质，得CD=AB,AD=BC,则团ABC。的周长=2(AB+BC),把AB+BC=8代

入计算，即可作答.

【详解】(1)证明：•••四边形4BCD是平行四边形，

:.ABWCD,

•••Z.ABC+Z-BCD=18U",

又；BE,C/分别是44BC和48co的平分线，

Z.0BC+Z-OCB=^AABC+^BCD=+zFCD)=90。,

:.乙BOC=180°-(乙OBC+乙OCB)=90°,

:.BE1.CF.

(2)解：♦.•四边形ABC。是平行四边形.

CD=AB,AD=BC,

•••团4BCD的周长=AB+BC+CD+AD=2(4B+BC).

vAB+BC=8,

团4BC1。的周长为16.

18.(6分)(25-26八年级上•江苏常州•期中)如图，在△A8C中，已知力B=71C=4,40平分乙B4C,E

为的中点.

⑴求OE的长；

(2)求证：DEWAB.

【答案】(1)DE=2

⑵证明见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键.

(1)根据等腰三角形的判定和性质可得，点。是BC的中点，再根据点E为AC的中点可得，DE是△/WC的

中位线，进而即可求解；

（2）根据中位线的性质即可证明.

【详解】（1）解：^AB=AC,

ABC是等腰三角形，

团分ZB4C,

西D是BC边上的中线，

团点。是8C的中点，

又叵点E为力。的中点，

团0E是△48。的中位线，

^DE\\AB,DE=^AB=2：

（2）证明：由（1）可得，DE是A4BC的中位线，

WEWAB.

19.（8分）（25-26八年级上•河北廊坊・期中）已知n边形（n>3且n为整数）的内角和公式为（n-2）x180°,

（1）•个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180。，求这个多边形的边数：

（2）如图，G8,GC分别平分乙DCB,乙力=匕。=120。，求x的值.

【答案】（1）5

（2）120度

【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握n边形的内角和公式以及n边形的外角和为360。,

是解题的关键：

（1）根据题意，列出方程进行求解即可；

（2）根据四边形的内角和为360度，求出418C+乙8C0的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角

和定理，进行求解即可.

【详解】（1）解：设这个多边形的边数为九，依题意，（九一2）x180。=360。x2-180。，

解得n=5,

・•・这个多边形的边数为5.

(2)解：四边形A8CD的内角和为(4-2)x180。=360。,

,:乙A=々D=120°,

/.Z.ABC+乙DCB=360°-Z.A-Z.D=120°,

又GB,GC分别平分448C,Z-DCB,

回=-^ABC^GCB=4乙BCD,

22t

Z.GBC+Z-GCB=T(4ABC+乙DCB)=60°,

:.x=180°-60°=120°.

20.(8分)(25-26九年级上•安徽芜湖・期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为

(1)画出△4RC关于原点对称的44匕6：

(2)画出△绕原点顺时针旋转90。后得到的4A2B2C2.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点

的坐标特征和绕原点顺时针旋转90。的点的坐标变换规律.

(1)先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A,B,C三点关于原点的对称点%,名,Ci的坐标，再顺次

连接各点；

(2)先根据绕原点顺时针旋转90。的坐标变换规律，求出A,B,C三点旋转后的对应点色，外,。?的坐标，

再顺次连接各点.

【详解】(1)解：二•点(第y)关于原点对称的点的坐标为(-%-y),

••・4(-2,-2)关于原点对称的点4(2,2),

3（-4,—1）关于原点对称的点8式4，1）,

。（-4,-4）关于原点对称的点弓（4,4）.

顺次连接4,81,G，得到即为所求（见下图）.

（2）解：•・•点（%,y）绕原点顺时车•旋转90。后的对应点坐标为

••・4（-2,-2）旋转后的对应点42（-2,2）,

。（-4,-1）旋转后的对应点。2（-1，幻，

。（-4,-4）旋转后的对应点。2（-4,4）.

顺次连接力2,82，。2，得到△力2%。2，即为所求（见上图）.

21.（10分）如图，团的对角线力C、8Q相交于点O,E、尸是AC上的两点.

⑴添加一个条件,使四边形8FDE是平行四边形；

⑵在（1）添加的条件下，写出证明过程.

【答案】（1）。?=。£（答案不唯一）

（2）见详解

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键.

（1）添加一个条件使四边形8尸OE是平行四边形即可.

（2）由平行四边形的性质得。8=。。，再由OF=OE,即可得出结论.

【详解】（1）解：添加条件：OF=OE.使四边形BFDE是平行四边形，

故答案为：OF=OE（答案不唯一）

（2）证明•••四边形力BCD是平行四边形，

•••OB=OD，

又・.0F=OE,

•••四边形8FDE是平行四边形.

22.（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段A8的端点A,B都

在正方形网格的格点上.

：E：：

"A\\\\B\

⑴请在网格中画出题48CD,使AO=g（点C,。都在正方形网格的格点上）；

⑵在（1）中所画出的回48CD内部取一点O,连接OE,使得直线OE平分团A8CC的面积（保留必要作图痕迹）.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.

（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可；

（2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可.

【详解】（1）解：如图，平行四边形力BCD即为所求.

（2）连接AC,8。交于点。，作直线E。，直线EO即为所求.

23.（12分）（25-26八年级上•口东泰安・期末）如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AB,AC上的中线,

BD与CE相交于点0,点M,N分别是。氏OC的中点.

A

(1)求证：四边形DEMN是平行四边形；

(2)求证：OB=20D；

⑶试猜想S四边形DEMN与S-BC的数量关系并给予证明・

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析；

⑶S四边形DEMN=证明见解析•

【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题.

(1)利用三角形中位线定理，分别证明DE和MN都平行且等于BC的一半，从而得到QE与MN平行且相等，

根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；

(2)利用平行四边形对角线互相平分的性质得到00=0M,结合M是。8中点的条件，即可推导出。8二

20D；

(3)将四边形OEMN的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等

于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出

另•部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面枳之利△A8C的面积，把两部分面积合并得证.

【详解】(1)解：田BD,CE分别是边回,AC上的中线,

回。是力C的中点，E是力B的中点，

皿)E是△ABC的中位线，

团DEIIBC,且。E=并。；

又叵点M,N分别是08,。。的中点，

团时可是408C的中位线，

0M/V||BC,且MN=-BC；

2

回0E||MN,且DE=MN,

团四边形。EMN是平行四边形；

(2)解；0四边形DEMN是平行四边形,

团OD=OM：

又EM是OB的中点，

团OB=2OM,

(3OB=2OD；

(3)解:猜想S四边形DEMN=5SAABC，证明如下：

由(1)BM=MU=OD,EU=UN=NC,

团SA8EM=S&MEO=S&EOD，臆二丞

回S&EMD=S&EBO♦

(21ABE。与△8EC同高，

团S&EMD=S^EBO—3s△BEC，

同理口J得：SREDN—；SAAEC•

又S四边形OEMN=S^EMD+S^EDN，S^BEC+S&AEC=S&ABC，

团S四边形DEMN=』S&BEC+5s△HEC=3(^AfiEC+^AAEc)=5s4人