广东深圳市坪山区2025-2026学年高一第一学期期末质量监测数学试题（解析版）

广东深圳市坪山区2025-2026学年高一第一学期

期末质量监测数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则电()

A.{2,3}B.11,4,5}C.{4,5}D.{1,5}

【答案】B

【解析】•・・A={1,2,3},8={2,3,4}:.Af)B={2,3}

又・.・U={1,2,3,4,5}•••布伊:8)={1,4,5卜故选巴

2.己知命题P：“玉〉0，X2+2X-2>0,\则P的否定为()

A.3x>0,X2+2X-2<0B.Vx<0,X2+2X-2<0

C.Hr<(),X2+2X-2<0D.VX>0,X2+2X-2<0

【答案】D

【解析】命题P：“*>0,X2+2X-2>05\则〃的否定为VX>0,X2+2X-2<0.

故选：D.

【解析】当。>0时，由对勾函数的性质可知函数y=在(0,G)上单调递减,

在(G,+8)上单调递增，在(一6,0)上单调递减，在卜8,一6)上单调递增，

故当。=1时，选项A符合；

当〃<0时.，），=£在（0,+力）上单调递增，

又y=x在定义域上单调递增，

所以），二工+9在（e,o）,（O,+e）上单调递增，故当。=一1时，选项B符合；

当a=0时，y=x+—=x,定义域为{R|X/O},诜项C符合：

JC

综上可得无论。为何值，D选项均不符合题意.

故选：D.

m

4.“寻函数/（同=冗3为单调递增函数”的一个充分不必要条件为（）

A.m=2«+1,nGZB.m=2/2+1,neN^

C.m=2〃，/zGZD.m=2〃，/?GN*

【答案】B

【解析】因幕函数=为单调递增函数，故与■>（）,即〃>0,

m

则/（力=工5的定义域为氏，

对于A：若取〃二-1,则帆=-1,函数）（力=，在［0,+。。）上单调递减，

m

故=2〃+1,〃wZ”小是“希函数f（x）=x3为单调递增函数”的充分条件，

故A错误；

对于B：由m=2〃+1,可得〃Z>0,

m

则幕函数=在R上单调递增，充分性成立；

若取利=1,函数/（力=j在R上单调递增，由1=2〃+1=>〃=0,

m

这与“wN，矛盾，即必要性不成立，故”鼎函数/（力=工3为单调递增函数”的一个充分不

必要条件为“团=2〃+1,〃£1<''，即B正确；

对于C：若取〃=1,则丁=2,函数/（》）=/定义域为R,

222

“X）=/在（。，+8）上递增，又由/（f）=（—）5=）=/（X），

知/（力=）为偶函数，故/（灯=：在（­,（）］上递减,

m

故”小=2〃，不是爆函数/（x）=/为单调递增函数”的充分条件，故C错误；

对于D：取〃=1,则6=2,由选项C知""2=2〃，"wN'"不是哪函数/（x）二/为

单调递增函数”的充分条件，故D错误.

故诜：B.

5.已知函数/（X）为奇函数，且当XNO时，/（X）=COSy+67,则。=（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】因为函数/（力为奇函数.且当XNO时，/（x）=cos与+Q,

，ITX0、

所以/（。）=。，BP/（O）=cos------+。=cosO+a=l+a=0,解得。二一1.

12,

故选：C.

6.已知--,0,若cos0=3,则sin（0-：）=（）

L2J5

7x/2RV2C.正D.迪

10101010

【答案】A

兀

【解析】因为--,0,所以sinOcO,又sin?0-cos?0=1，

代入cos。=3,可得sin?8=L,故sine=-*,

5255

乐山・G哈・c兀q.兀4夜3夜7夜

所以sin0——=sin夕8s——cos6^sin—=——x---------x——=---------,

I4J44525210

故选：A.

7.已知x>0,y>0,若x+2y=l,则,+工的最小值为（）

A.4+0B.4+2/

C.3+V2D.3+272

【答案】D

【解析】由题意得：

1111xlli(.2,)=3

+=+=++>3+2生2=3+2拉,

xy5y)y)X)'

空」r

当〈Xy,即1=0-1,），二1一包时，等号成立,

x+2y=\2

故选：D.

一1-2A1十2,■¥W(),/\

8.已知函数/（x）=«h1八且关于X的方程/(x)-[=0有4个实数解X，

|log2x|,x>0,

x.x^

马，当，匕，若王<毛<工3<%，则一的取值范围为（）

【答案】A

【解析】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出/（五）的图象如下,

由图象可知玉<七工0〈毛<5，易知］Og2&<l°g2Z，且|1。82七|=|1。82刈，

/.log2x3<0<log2x4,Elog2x3+log2x4=0,即1082(用工4)=0,「.工3%=1,

由二次函数的对称性可知X[+/=-2，且WG(-I,o],

.2^1=(-2-X,)X,=-2x,,

由题意，显然有2工〃<3,易知041-2<1.

a3

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.在平面直角坐标系中，已知角a的终边经过点P（-3a,4a）（〃w0）,则（）

44

A.sin<7=—B.tan（7t+«）=—

5V73

24（ityI

C.sin2a=----D.tana+—=—

25I4）7

【答案】BC

【解析】・・•角a的终边经过点?（一3。,4a）（，10）,

故根据三角国数的定义可知x=-3f/,y=4<7,r=+（4〃）?=5|^|，

4。4-3a34a4

当a>0时，sina=——,cosa=————,tana=---=——

5a55a5-3a3

I,八」.4。4-3a34a4

当avO时，sina=---=——,cosa=----=-,tana=----=——

-5a5-5a5-3a3

4。4

对于A,当avO时，sincr=---=—,故A错误,

—5。5

4

对于B,tan（7i+a）=tana=--,故B正确,

4（3324

对于C,当。>0时、sin2a=2sinacosa=2x—x—-

5L525

4

当a<0时，sin2a=2sinacosa=2x,故C正确.

5J525

兀

tana+tan+,

对于D,tan!«+^1=41

4一二一〒故D错误.

[兀

1-tanatan-xl/

4

故选：BC.

71

10.多项选择题：为了得到函数/（x）=sin2x+g的图象,只需将函数g（x）=sinx

\3）3

的图象（）

0jr

A.先向左平移T个单位长度,再将横坐标缩短到原来的一（纵坐标不变）

32

先向右平移4个单位长度,再将横坐标缩短到原来的?

B.（纵坐标不变）

32

C.先将横坐标缩短到原来的一（纵坐标不变），再向左平移四个单位长度

23

先将横坐标缩短到原来的工

D.（纵坐标不变），再向右平移T个单位长度

2

【答案】ACD

【解析】选项A,先向左平移整个单位长度，），=sin（x+与）一方=sin^+y

再将横坐标缩短到原来的;，y=sinf2^+^|=/（x）,故A正确；

r\f1*7T

选项B,先向右平移—个单位长度，y—sinx-----=sin（x—7i）,

3Lk3J3j

再将横坐标缩短到原来的;，y=sin（2A-7i）^/（A）.故B错误；

选项C,先将横坐标缩短到原来的;，y=sin（2x-g）,再向左平移g个单位长度,

=/(x),故C正确;

选项D,先将横坐标缩短到原来的,，y=sin（2x-再向右平移至个单位长度，

2I3J3

2兀兀=sin2^--=sin（2x+*=/（x）,故D正确.

y=sin2x

T3

故选：ACD.

II.已知实数4,z使得2"3=3、+2=5+，则x,）,,z的大小关系可以为（）

A.x<yvzB.y<x<z

C.z<y<xD.zvxvy

【答案】ABC

【解析】记2-=3"2=52+1=7，则\>o,

所以X=log22一3,y=log3左一2,z=\og5k-1,

对于A：当&=1,得x=-3,丁=-2,2=-l，则有x<)，<z,即选项A正确;

对于B：令攵=8,得X=log28-3=0,y=log38-2=log38-log39<0,

z=log58-i>log55-l=0,则有y<x<z,即选项B正确;

对于C：令1=23乂32><5,得x=k>g245,y=log340,z=log572,

...工=Iog245>log345>log?40=y>log327=3=log5125>log572=z,

则有zvy<x,即选项c正确；

(1IA

对于D：若zcxvy,则x—z'logM_logs4—2二—lnZ:-2>0,

<ln2In5)

21n2ln5口.,.1.f1

——ln^-1<0,

In3j

In3-ln2In5-ln2In3-ln2

整理得（21n5-ln3）ln2>ln51n3,Bpn3ln5,

ln3而

25

**In—in口ln5In4

汪意到3ln9,,且一>——=2,

-r^-<7T=2访2In2

ln3ln3

.25

In—

.皿3二In5不可能成立,，选项D错误，

,ln3ln2

综上所述，x,y,Z的大小关系可以为X<><z或)，<x<z或z<y<x.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算：fA-Y-21g>/5-lg2=--------.

12〉

【答案】二

2

故答案为：—.

2

13.已知某扇形的周长为8,且面积为4,则其半径为

【答案】2

2r+/=8(1)

【解析】设扇形的半径为乙弧长为/,由题意得：］1,

”=4(2)

由⑴式得：/=8-2r，代入⑵式得：|r(8-2r)=4,

化简得：r-4r+4=(r-2)2=0,解得：r=2.

故答案为：2.

14.已知0<x<g,且5皿工・已'访2*=—,则sinx+cosx=_____

26cosx

【答案】毡

3

3/111

【解析】由sinx•/◎=*_,得sin2x・e'M2、=Le3,

6cosx3

令函数/(x)=xe'，xe(O,+<x>),

任取则％-尤2<0，且上<1,「.=±e"”<],

“2/(占)”2

・•・/。)</(W),即/")在(0,内)单调递增.

由sin2x-e"‘⑵=!/,可知/(sin2x)=//.sin2x=-,

313J3

Q0<x<^.,.sinx+cosx>0*

sinx+cosx=^(sinx+cosx)2=+sin2x=

故答案为：空

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知全集。=1<,集合A='x七|<()

8={巾-2vxv2a+l}.

x+3

(1)若a=3,求/AC(Q出卜

(2)当时，求实数。的取值范围.

解：(不等式三

1)<0等价于(工一2)(工+3)<0,解得一3cx<2,

x+3

所以A={x卜3<x<2},

若a=3,3={x[l<x<7},=或xN7},

所以An(43)={H—3<x«l}.

(2)由BqA,则有当8=0时，则。一2N2a+l,解得a4-3；

。一2<2。+1,

当时，则|a-2>-3,解得一IWQW，,

2

2a+”2,

综上所述，实数。的取值范围为(-8,-3]U，l,1.

16.已知函数/(xhsinoxcoss-Gsin?s(0>O)的最小正周期为兀.

(1)求①的值及曲线y=/(x)的对称中心；

(2)求/(力在区间[0,向上的单调递增区间.

解:(1)由题可知，/(R)=皿丝一—(1-。。0网=_；_0门2但@cos2s一2

'/22222

.(0工叫百

=sin2&x+-----，

I3J2

'/T--=it,69=1,/./(x)=sin2x+—1--»

2(o八，I3J2

令2x十一二E,可得x=------(keZ),

326'，

bjTJT

•••曲线y=/(x)的对称Q心为—--Y(ZwZ)：

\/

(2)f(x)=sin2x+—>1—xG[0,JI],2x+—e—,

<3J2

令乌《21+色(色或包《2工十四工办，解得0«工《乌或FgxV兀，

3322331212

\/(x)在[0,兀]上的单调噌区间为0,^和y^,7t.

17.已知函数的定义域为(O,y).

(1)请用单调性定义证明：/(工)为单调递减函数；

(2)当x>0时，不等式/不+1]一大</(小)一根+1恒成立，求实数机的取值范围.

IX)x

解：(1)任取N，W£(0,+8)，规定％<占，则/(F)一/(当)=一J--F-T

.T]I1-XfyI1

=(E+1)-(H+l)=考-M=("%)(7+再)

(一+1)(4+1)(片+1)(¥+1)(一+1)(丁+1)'

因为0<X]</，所以工2-X>0，且工2+尤1>°，工：+I>°，¥+1>0，

所以监米:不双即〃xjTU)>。，

即/（%）>/（毛），所以函数/（X）为（0,+8）上的单调递减函数.

（2）当1>0时，+-xv/（加）一机+：恒成立，

即/（x+一（x+v/（'"）一恒成立，

令函数g（x）=/（x）-x,xe（0,+a））,

因为函数“X）为（0,王力）上的单调递减函数,

且y=T也为（o,+⑹上的单调递减函数,

所以g（x）为（。，+8）上的单调递减函数.

由/'卜+—）-卜+：卜/（〃?）_〃?恒成立，等价于不等式g^+Jcg（加）恒成立,

因为g（x）为（0,+力）上的单调递减函数，

所以对任意X>0,X+—>/n恒成立，且m>0,

X

令〃（X）=X+L所以问题转化为〃（力丽>〃7>0，

由〃3=/「2口=,当且仅当戈=1时等号成立,

所以0<〃[<2,即实数用的取值范围为（0,2）.

18.深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率

上升'’和"冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如卜：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为

r=0（单位：分钟）.当0W/W60时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次

/分钟开始，按振幅为空次/分钟的正弦函数规律逐渐上升，当1=60时达到最高心率

150次/分钟;当60O490时,为“冲刺跑心率波动”阶段,心率波动的最小正周期为10

分钟，最高心率为180次/分钟，当/=70时，心率为150次/分钟且呈上升趋势.设该

选手的心率（单位：次/分钟）关于时间，（单位：分钟）的函数为

Asin（卯+（/?））+105,0<r<60,

其中4，42>0,4,利>°，“网<71.

&sin（己，+内）+160,60</«90,

（1）求”（，）的解析式；

（2）已知sinO.35k二，兀之3,且“高效燃脂区间”为120-170次/分钟，求该选手在“高效

3

燃脂区间”内的运动时长:

（3）已知运动监测中常将相邻固定时间间隔的心率差值定义为“心率变化幅度”，用以评估

体能状态，求“心率变化幅度"△"（/）=附。+2.5）-/«60,87.5］的函数解圻

式，并求达到“心率变化幅度''最大值的次数.

解：（1）“匀速跑心率上升”阶段,f=0时为最低心率60次/分钟,

t=60时为最高心率150次/分钟，且振幅为45次/分钟，

2兀,_z.7T

二.周期为120,且A=45,.•.?；=—=120,解得&二一,

A60

〃（0）=45sin%+105=60,.".sin^=-1,

又•.•场卜兀，...例=—g,...”（f）=45sin（合f—]|+105,0<r<60.

“冲刺跑心率波动”阶段，.・3=0=10,显然4=180—160=20,

o）2~5

"（70）=20sin（14兀十0）十160=150,「.sin6=一~-,

又・・・帆|〈兀，且当，=70时，心率呈上升趋势，

.•.H（/）=20sin3-=+160,60<r<90,

156

（7T兀、

45sin-t--+105,0<r<60,

16（）2）

综上所述“（£）=，

（TT兀、

20sinIl+160,60<r<90.

（2）“匀速跑心率上升”阶段,

•・•"”）的最大值为150,且“高效燃脂区间”为120-170次/分钟,

/\/\<

只需45sin—+105>120,即sin—>-,

1.602）（602）3

/sin0.35«-,|>sin0.35,0.35,由兀之3解得也37,

31602；602

「匀速跑心率上升''阶段的"高效燃脂区间”内的运动时长约为60-37=23分钟，

“冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140,

只需20sin—t----|+160<170,即sin（—t—,

\56/V56J2

571兀

•••不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为n=

271-3

(20

，一个周期内的“高效燃脂区间''内的运动时长为1-鼻xl0=—,

・••共有3个周期，则有2(1分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长，

综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟.

(3)由题意可知，当，《60,87.5]时,

7TIT

AH(/)=2()sin-。+2.5)——-20sin—/

5V)6(5

=20cos[|r-jpin(|z-<20^sin(|z-§

AH(r)=2072/€(60,87.5],

・•・当，一^|=E+](AwZ)时，△”⑺取得最大值,

兀兀/C5兀._7T,717Tcrl57r._7C

1171H—<—x60-----<127rH—，且16兀H—v—x87.5------<17K4—,

2512225122

.4=12,13,14,15,16,

达到“心率变化幅度”最大值的次数为5.

19.已知函数/(x)和G(x)的定义域分别为口和2,若恰有〃个不同的实数

司,和…，怎w£>2，使得GQ)=F(y)(其中i=l,2，…〃J@LneN*)»则称G(x)为

户(%)的“〃重复射函数

(1)试判断函数鼠式)=N是否为/(x)=FX£[0,收)的“2重复射函数”？请说明理

由；

ri2*—l.xWa

(2)已知函数〃(X)=log2(%+1)，xe[。,引，且心)=心3―/若依)是

〃(x)的“2重复射函数”，求实数〃的取值范围；

⑶记[可为不超过x的最大整数，如[1.2]=1,[-1.2]=-2,=设函数

/(x)=2026x-[2026x],XG[0,Z?),且5(力=*一!，XG[0,+OO),若存在

江(1,2),使得r(x)为s(x)的“2026重复射函数”，求实数6的取值范围.

解：(1)取%=0,则"0)=0,方程凶=0仅有唯一解x=o,

不满足恰好存在2个不同的实数解，

...g(x)不是/(X)的“2重复射函数”.

⑵〃(x)=log2(x+l)在区间[0,3]上单调递增,其值域为[0,2],

对任意tG[0,2],方程v(%)=t需恰好有两个不同的实数解，

①当avO时，在区间(一8间上的值域为

由于2"-1<0，故方程v(x)=f在区间(—]上无实数解；

・.•方程尢2一3元+2=r的两个解为尤=3土