河北保定市定州市某中学2025-2026学年高二年级下册3月阶段检测数学试题（解析版）

高二数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若/"-1+2入/则/(%)在工=。处的瞬时变化率为()

A.IB.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

2

［详解】fXx)=-1(1+2x)2-2=-――,

(l+2x)-

2

将工=0代入导函数得:(。)=一律丽■=一2,

因此/(x)在工=0处的瞬时变化率为-2.

2.某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类

有3门互不相同的课程，自然科学类有2门互不相同的课程，艺术体育类有4门互不相同的课程.若要求每

位学生选择2门课程，且2门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为()

A.9B.24C.26D.36

【答案】C

【解析】

【详解】若选择的2门课程为人文社科、自然科学，则有3x2=6种选法，

若选择的2门课程为人文社科、艺术体育，则有3x4=12种选法，

若选择的2门课程为自然科学、艺术体育，则有2x4=8种选法，

由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为6+12+8=26.

3.某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、

成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人.其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案

种数为()

A.120B.180C.240D.320

【答案】C

【解析】

【详解】因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出I人负责模型训练，共有C；=4种情况,

然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有A；=60种情况，

再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为4x60=240种.

4.设点尸为函数/(x)=2e'—/'(O)x图象上的任意一点，点尸处的切线的倾斜角为。，则隹。的取值范

围是()

「TTY.（3KA3兀

ABc.D.兀

。噌-LT

【答案】B

【解析】

【详解】・・・/(x)=2e'-r(O)x,

・・.r（x）=2eT（0）,

r（o）=2-r（o）,即r（o）=i,

・・.r(x)=2e'-l>-l.

又点p为函数/(力图象上的任意一点，点尸处的切线的倾斜角为。,

tancif>-1»

■:aG[0,K),

f9(x\

5.若/(x)是定义在区间(一3,2)上的函数，其图象如图所示，设/(力的导函数为/'(X),则^>0

的解集为()

A.(-2,-l)u(l,2)B.(-1,0)51,2)

C.(-2,-1)kJ(0,1)D.(—3,—2)kJ(0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象，直接写出/(五)单调区间，进而得出了'(外在区间(一3,2)上的符号，即可求解.

【详解】由图知函数的减区间为(—3,7),(1,2),增区间为(-1,1),

x=-1和x=1分别是/(x)的极小值点和极大值点,

所以当3,T)D(L2)时，r(x)<0,当时，r(x)>0,

当工=-1和x=l时，/'(x)=0.

又由图知戈E(-2,0)时，/(x)<0,xe(—3,-2)u(O,2)时，/(x)>0,

ff()ff(\

又发x《>0等价于r(x)〃x)>0,所以苗x^〉。的解集为(―2,-1)5。/).

6.已知函数/(x)=asin3x+/?(e,-e7)+l,(a€R,/?eR),f\x)为f(x)的导函数，则

/(2026)+/(-2026)+/'(2026)-2026)=()

A.0B.2C.-2D.2026

【答案】B

【解析】

【分析】求导，然后分别化简〃X)+/(—X)，r(x)—/'(T)，即可求解.

【详解】由于/(x)+f(~x)=^sin3x+Z?(ev-e-')+1+^sin(-3x)+b(e-v-e')+1

=公in3x+/?(er-e」')+1-〃sin3x+b(e-r-ex)+l=2,所以/(2026)+/(-2026)=2,

又f'(x)=3acos3x+b(ex+ex),

故./(x)-/z(-x)=3tzcos3x++©-')-13acos(-3x)+Z?(e-l+e')]

=3acos3x+。(e'+e-')-3acos3x-/?(e-v+e')=0,

贝ur(2026)—r(-2026)=0,

所以/(2026)+/(-2026)+/(2026)-/(-2026)=2.

7.若函数/(X)=gx+COM在工£[0,a]上存在唯一的极大值点，则实数a的取值范围为()

7113乃7t134、13乃17乃13乃17冗、

A.B.C.D.

~6y~6，-^；

【】A

【解析】

【洋解】已知函数f(%)=1x+cosx,求导得/'(%)=>-sinx,

22

令f'(x)=0,即$inY=L解得丫=工+2々乃或丫=—^+2丘.7),

266

I7

易知X=J是函数“X)的第一个极大值点，1=/+2"=丁/T是第二个极大值点,

666

12

(石,千，故A正确.

8.若/(力是定义在R上的函数，且满足27(力+/(力=疣7,/(0)=0,则下列说法正确的是()

提示；若函数/(x),g(x)满足/(*)=g'(x),则f(*)=g(x)+c,其中。为常数

A./(X)在R上既有极大值又有极小值

B./(X)在R上有极大值没有极小值

C./(X)在R上有极小值没有极大值

D./(X)在R上没有极值

【答案】A

【解析】

【分析】构造g(x)=e2"(x),求导可得g1)=ie',进而可得g(x)=(x-l)e'+l,进而得

/⑴=(:产+],即可利用导数求解单调性得解.

【详解】根据题意，2/(力+根㈤=疣・。故2/(0)+/(0)=0,

又“0)=0,故/(0)=0,

令g(x)=e2"(x)，则g0)=2e2'/(x)+e2'(x)=e2x[2/(x)+f(x)]=e2v-xe-A=xev,

即g'(x)=xe",故g(x)=(x-l)e'+c,

由干g(0)=e°/(0)=0,故c=l,则g(x)=(x-l)e'+1,

从而e2"(x)=(x—l)e'+l,故〃力二仁芈±1,

e

则r(x)—公)=(2r产-2,

e

i己力(x)=(2—x)er-2,贝ij/(x)=-e"+(2—x)er=e'(1-A),

当xvl时，/Z(x)>0,//(x)在(—8,1)上单调递增：

当上>1时，〃(“<0,力(力在(1,+8)上单调递减，

X/?(l)=e-2>0,/?(0)=0,/i(2)=-2<0,

因此存在毛£(1,2),使得“(跖)=0,且当x>x()和x<0时，力")<0,当

故工>/和冗<0时，/'(X)<。，当0<M/，/'(x))0，

所以/(x)在x=0和x=x0处分别取到极小值和极大值，因此/(x)既有极大值又有极小值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导运算正确的是()

1

A.(lirr+e)=—+e'B.(ln2+logx)=

2x\n2

C.(x%')=2xe'D.(3'cosx)=3v(ln3-cos^-siav)

【答案】BD

【解析】

【详解】对于A,(lnx+e-xy=(lnx/+(e-x)Z=--e"x,故A错误；

X

，，，1

对于B,(In2+log,x)=(in2)+(log.x)=——»故B正魂；

xln2

对于c,（x2eA）=（x2）er+^2（ev）=（2x+x2）er»故C错误：

对于D,（3vcosx）=（3V）cos^+3v（cosJ：）*=3VIn3cos^-3V-sinx=3v（ln3-cosx-sinx）»故D正

确.

10.已知（2%一『°=4+〃/+&/+...+即/0,则下列结论正确的是（）

A.4=1

B.展开式中含丫项的系数为-10

310+1

C.4+。＞+&+•••+4o=———

D.a。+24++•••+114。=10

【答案】AC

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数.

【详解】己知（21—1尸=%+4%+。2+'+…+4o产,令x=0,

,o2,0

RiJ（2xO-l）=6fo+6tIxO+fl2xO+...4-aIoxO,即/=（一1）|°=1,选项A正确;

⑵一1四展开式通项公式为加=加0（2%）3（-1）「，（其中r=0,12…,10）,

要求x的系数，令10—〃=1,解得厂=9,

当r=9时，I。=C：。（2x），（-l）'=10x2xx（-l）=-20x,

所以展开式中含X项的系数为-20,选项B错误；

令人=1,可得（2x1-1）"）=%+4xl+〃2X『+…+。［0乂严，

即〃o+4+%+•••+4。=1①，

令M=,可得［2x（-1）—了°=%+qX（-1）+%X（—1）2+…+4。X（―I）10,

即a。一6+七一%+•,•+4（）=3，°②.

①+②得：2（4+生+。4+,,•+〃i0）=1+3地，

1310

则〃o+〃2+q+,・,+4o=上+，一，选项C正确：

1010

对（2,x—I）=。（）+«x+ci2x~+•••+t/|Ox两边求导,

2

可得10X2X(2X-1)9=a1+2a2x+3a^x+•••+1Oa^,

9

令x=l,则10x2x(2xl-1)')=ai+2%xl+3%xV+---+10al()xl,

即q+2%+3〃3+…+l()4o=20,又因为4=1,所以

%+244+3劣+•••+114。=(4+q+,•♦+4o)+(q+2劣+…+1。4。)=1+20=21,选项D错误.

3

11.已知函数/(x)=lux-ax,直线/:y=-1x+ln2,则下列说法正确的是()

A.若/(/)的极大值点为1,则。=1

B.若/(k)=-2在定义域上有唯一解，则把0

C.当〃=2时，曲线,y=/(x)恒在直线/的下方

D.若点P是曲线.//(x)上任意一点，点Q是直线/上任意一点.设点P,Q间的距离为d,则当。=2

时，d的最小值为名叵

13

【答案】ACD

【解析】

【详解】••,/(x)=lnx-「./CE)的定义域为(0,+司

，/、1\-ax

\x)=一a=-----

XX

对于A,•・・/(工)的极大值点为1,.,./'(1)=0,即1—4=0,解得4=1

当〃=1时，/'(X)=-——

・•・当0cx<1时，r(x)>o,/(力单调递增；当x>1时，r(x)<o,/(X)单调递减

.•/=1是/(力的极大值点，故A选项正确.

对于B,由/(x)=-2可得lnx-ov=-2,可求得〃=孙巴一

设g⑺二则詈，则,(加七"土上学心=-j

xX

令g'(x)=。，则一lnx-l=O,解得x=-

e

当时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当时，g'(力<0，g("单调递减

1/]A

.•.8(司在工二一处取得极大值，也是最大值，g-\=e

当x->(y时，g(x)r-8：当XT+8时，g(x)->0

.•.当/(x)=-2在定义域上有唯一解时，〃=e或。40,故选项B错误.

对干C,当〃=2时，/(x)=lnx-2x

设方(x)=.f(x)--^x+ln2^=lnx-2x-^--1x+ln2=InIn2

则/2z(x)=---=-——

x22x

令V(x)=0,解得x=2

.•・当0</<2时，"(x)>0,〃(x)单调递增；当x>2时，/?'(x)<0,〃(x)单调递减

.•.当/?(同在x=2处取得极大值，也是最大值，/2(2)=ln2-l-ln2=-l<0

/./?(x)<A(2)<0,即/(耳-(-京+回〈0

3

<-耳x+In2

「•由线y=/(x)恒在直线/的下方，故选项c正确.

对于D,当〃=2时，/(x)=lnx-2x,则r(x)=，—2

X

33

直线/：),二一2%+卜2的斜率为一2

22

3IQ

令/(力=一］，即；-2=-/，解得戈=2

当上=2时，/(2)=ln2-4,则曲线y=〃x)在点(2』n2—4)处的切线与直线/平行

3

•・•直线/:y=-/x+ln2,.•.直线Z:3x+2y-21n2=0,

|3x2+21n2-8-21n2|_2_2>/13

则点(2,ln2-4)到直线I的距离d=

V13-13

二.d的最小值为名叵，故选项D正确.

13

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算C；+《二

rJ210

【解析】

9x8x79x8x7x6

【详解】c；+c；=c：+c；==210.

3x2x14x3x2x1

13.已知曲线〃x）=lnx+l在x=l处切线/也是曲线g（犬）=；V+Q的切线，则实数。=

22

【答案】一一或一

33

【解析】

【分析】求曲线/（X）在x=l处的切线方程，设出g（x）的切点联立方程组可解得〃.

【详解】对曲线/（x）=lnx+l,Hd/（1）=1,故切点为（1,1）,

又f'（x）=L所以切线/的斜率⑴=1，故切线/的方程为）-1即〉=了；

X

（1\

由切线/也是曲线g（x）的切线，设切点为%,£京+〃，又

I5/

/T卜o=T

解得d2或〈2

a——a-.....

33

22

所以实数。的值为一一或一.

33

14.若存在实数使得对于近€（0,/川,（a—lnx）（x—3+2-）W0,则〃?的最大值为______

In2

【答案】4

【解析】

【分析】利用特殊值思路当，二等时，x=2为/*）,g（x）的公共零点，再利用导数确定理调性并分析

/。皿。）的符号求得/”的范围.

【详解】当戈=2时，（21-ln2）（W—l）=（W—l）21n220,当且仅当，=怨时取等号，

In2In22

设函数/"）=a—lnx,g*）=x_3+W，取，=空，则工=2为/*）送（幻的公共零点，

In22

函数/&）=;-xTnx,求导得广（犬）=21--7由/'（幻＜。，得0＜1＜京；

9??

由r（x）＞。，得二丁，函数/“）在（0,「二）上单调递减，在（丁丁,田）上单调递增，

In2In2In2

X/(2)=/(4)=0,函数g(x)=x-2在(0,+8)上单调递增，/(2)g(2)=/(4)g(4)=0,

当Xe(0,2)时，/(x)>0,g(x)<0,则/(x)g(x)〈0；

当xw(2,4)时,/(x)<0,g(x)>0,M/(x)g(x)<0,

因此Dxw(0,4],f(x)g(x)<Ot当x>4时，/(%)>0,ga)>0,则/(%)g(u)>0,

而Vxw(0,m],(tx-\nx)(x-3+—)<0恒成立，则(0,m]c(0,4],即0<mW4,

In2

所以〃?的最大值为4.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为，高为x.

(1)试将，•表示成关于x的函数4X)；

(2)求圆锥体积的最小值.

【答案】(1)r(x)=^(x>2)

''x-2

9兀

(2)—

2

【解析】

【分析】(1)通过圆锥与内接圆柱的轴截面，利用相似三角形对应边成比例得到，・关于x的函数.

(2)先求圆锥体积公式，再对其求导，根据导数判断单调性进而求出最小值.

【小问1详解】

因为圆锥的内接圆柱的轴截面为边长2的正方形，则圆柱底面半径为1,高为2,

由题意作图如下，根据图形可知：圆锥的轴截面为等腰三角形△A8C,其内接圆柱的轴截面为边长为2的

正方形，

1x—2x

易得Rt~4O尸sRt“v/c,则一=：——(x>2),整理得：r=——(x>2),

rxx—2

x

即「⑺=----(x>2).

''x-2

【小问2详解】

X

由(1)可知，r=----,

x-2

则丫(%)=’万r2%='不.\-X=-7(x>2),

33\X—2J3(X—2)~

对v(x)求导可得：-((二巴3.(X_2)2_2f(X_2)=/(Y,*>2)，

V73(x-2)43(A-2)3

令H(x)=0,可得克=6,

当2cx<6时，V"(x)<0,则V(x)在(2,6)上单调递减,

当上〉6时，V'(x)>0,V(x)在(6,+oo)上单调递增，

因此V（x）在x=6处取极小值，也就是最小值,

Ml/_716。_9万

故总一y斤一万

16.某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对CR〃GP7；S”〃、GP7：4这3种人工智能模型展开学

习调研，要求：每种模型至少有I人负责，每人必须旦只能选择一种模型.请解答下列问题：

（1）共有多少种不同的安排方案？

（2）若甲、乙不能调研同一种模型，且C7H〃GP7模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案？

【答案】（1）150（2）100

【解析】

【小问1详解】

将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种：

方案1（3,1,1型），共有C；・A；=10x6=60种安排方案；

方案2（2,2,1型），共有Vr-A；=15x6=90种安排方案.

故共有安排方案60+90=150种.

【小问2详解】

依题意，可从对立事件的方法数考虑.

由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种.

①若甲、乙调研同一模型，有两种情况：

甲、乙与另外一人调研同一种模型，有=3x6=18种安排方案；

只有甲、乙两人调研同一种模型，有C1A；=3x6=18种安排方案；

所以甲、乙调研同一模型，共有18+18=36种安排方案.

②若模型由3人负责，有C；,A；=1（）x2=20种安排方案.

③若甲、乙调研同一种模型，且。?〃心尸丁模型由3人负责，有C；・A；=3x2=6种安排方案.

综上，共有150-36-20+6=100种安排方案.

17.已知2工+十）的展开式中，所有二项式系数的和为256.

（1）求〃的值，并求展开式中第5项的二项式系数；

（2）求展开式中所有的有理项；

（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.

【答案】（1）〃=8,展开式中第5项的二项式系数为70；

（2）256f，1792V，1120/，U2k，x"4：（3）1792.

【解析】

【分析】（1）先列方程，求解〃，再代入展开项第5项的攵值，求二项式系数;

（2）先确定有理项中攵的范围，再求解有理项；

（3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可.

【小问1详解】

二项式系数和为2"=256,所以〃=8

gx7x6x5

展开式中第5项的二项式系数为C；==70

4x3x2x1

【小问2详解】

2T=卜+-

3

当S-匚kwZ,时，展开项为有理项

2

因为OWAW8且ZwN,所以展开项为有理项时左£{0,2,4,68}

/1\0

1=0*”=256-

4=C；（2"『5=1792/

7；=Cg（2x）4”=1120x2

/।\6

7；一C；（2x『『3-112A--1

\/

/।、8

4=C：（2x）°”=x-4

【小问3详解】

设第Z+l项的系数为/（k）,则/1（Z）=C12i

所以/（次+1）=康•2M*+,）=Cg+1-2”&

8!

〃2+1）二C”""二年+1）!（7乂）!=2!（8-%）!二8T

/⑹=C>2"=8!工2=2x（4+l）!（7-〃）!=2k+2

小（8/!

%+1）

当2=2时,f（k+l）=f（k）,即〃3）=〃2）；

小+1）

当攵＜1时,>1,/伏+1）＞〃2）,B|J/（2）＞/（l|＞/（0）；

〃火）

当上时,2M〃无+1）＜〃/）,即〃3）＞/（4）＞…＞〃8）；

N3小）<1’

综上，当上（女）取最大值时,攵=2或2=3

/（2）=C^X26=mX26=1792

所以展开式中各项系数的最大值为1792.

18.已知函数“X）=@-x+21nx,aeR.

X

（1）若函数/（X）在定义域上单调，求/（。）的最大值:

（2）若函数/（x）存在两个极值点X］，W（M＜&）♦

（i）求。的取值范围；

⑴证明）（占）一/（X）＜_2+、R

x2-x}Vci

【答案】（1）21n2-l

（2）（i）0＜6/＜l；（ii）证明见解析.

【解析】

【分析】(I)求出函数/(X)的导数f'(x)，利用给定单调确定恒成立的不等式求出。的范围，再利用导数求

出函数的最大值.

(2)(i)由./(幻=0有两个不等的正根列式求出。的范围；

(ii)化简不等式的左边，利用分析法、换元并构造函数，利用导数证明不等式.

【小问1详解】

函数/(x)=g-x+21nx的定义域为(0,+8),求导得尸==—2j+a,

由函数/(X)在(0,+8)上单调，得Vi€(0,*o),八幻20=/一21+。40恒成立，

或江£(0,+<O),/'(X)<0O工2_2工+420恒成立，而当X->+8时，工2一2丫+。.笆，

22

因此/'(X)NO对xe(0,+oo)不可能恒成立，则Vxw(O,+»),x-2x+a>0«>tz>-x+2A，

而一9+21二一。-1)2+1(1,当且仅当工=1时取等号，则

2

令h(a)=f^a)=\-a-\-2\na,a>1,求导得/(〃)=一1+—,

当l《a<2时，当。>2时，”(a)<0,

函数力(。)在U,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，〃(〃)恤=/(2)=21n2—l,

所以八。)的最大值为21n2—1.

【小问2详解】

△=4-4。>0

(i)由(1)知，f_2x+a=0有两个不等的正根，则|%+々=2>0,解得

xyx2=a>0

所以a的取值范围是0<aV1.

a…,a…、

---x,+2In-(---X.+2Inx.)

(ii)由(i)得/(七)-/区)_&~-十^—InZ'

x2-X[x2-X]x2-再xi

要证/(%)-/(%)

即证21n/v/—L令函数gQ)=f-l-21n//>l,

令

tt

I21

，2

求导得tg(/)=l+———=(1—)>0,函数g(z)在(1,+8)上单调递增,

因此g«)>g(l)=。，即2hw<，—！成立,

所以/(七)一/区)<_2+4

a

f1、

19.已知函数〃x)=2yjx--『-a\nx,其中。为正实数.

<V>

(1)当々=1时，求曲线)，=/(工)在点(1,/。))处的切线方程;

(2)若xNl时，f(x)>0.

(i)求。的取值范围;

(ii)当。取最大值时，若以〃为正实数，且加+〃=2〃?〃，证明：/(m)+/(〃)之0.

【答案】(1)y=x-\

(2)(i