《实数》全章专项复习【5大考点13种题型】（人教版）原卷版

专题8.6实数全章专项复习【5大考点13种题型]

【人教版2024]

＞题型梳理

【考点1认识无理数】...........................................................................1

【题型1无理数近似值的确定】...................................................................1

【题型2方格中的无理数】.......................................................................2

【考点2平方根】...............................................................................3

【题型3算术平方根的实际应用】................................................................4

【题型4利用平方根的定义解方程】..............................................................5

【题型5利用算术平方根的非负性求未知数的值】..................................................5

【考点3立方根】...............................................................................6

【题型6开立方运算】...........................................................................6

【题型7平方根和立方根的综合应用】............................................................6

【题型8立方根在实际生活中的应用】............................................................7

【考点4估算】.................................................................................8

【题型9估算无理数的大小】.....................................................................8

【题型10估算的实际应用】.......................................................................9

【考点5实数】.................................................................................10

【题型11实数的运算】..........................................................................11

【题型12利用数轴化简】........................................................................12

【题型13实数与数轴的关系】....................................................................12

院举一反三

【考点1认识无理数】

1.定义：无限不循环小数叫做无理数.

2.无理数分成三类：①开方开不尽的数，如石，正等；

②有特殊意义的数，如兀；

③有特定结构的数，如0.1010010001...

注意：凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

【题型1无理数近似值的确定】

【例1】（23-24七年级•吉林长春•开学考试）设。=，而。在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A.2和3B.3和4C.4和5D.5和6

【变式1-1]（23-24七年级♦陕西咸阳•阶段练习）已知遍在两个连续整数之间，则这两个连续整数的乘积

为.

【变式1-2]（23-24七年级.广西南宁・期末）正方形的面积是13,估计它的边长大小在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

【变式1-3]（23-24七年级•安徽•期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为

25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长.

（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示

的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗?若不是整数，那么请你估计这个边长的

值在哪两个整数之间.

【题型2方格中的无理数】

【例2】（23-24七年级.山东滨州.期中）如图，在甲、乙两个4x4的方格图中，每个小正方形的边长都为1.

b.一JVas.VBJIB*

图甲图乙

（1）求图甲中阴影正方形的面积=;边长=（答案直接写在横线上即可）；

（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及

边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）.

【变式2-1]（23-24七年级.广东佛山・期末）由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示.通过剪贴，

可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形.

(1)拼成的大正方形的边长为;

(2)洛剪贴示意图画在网格图中.

【变式2-2](23-24七年级.黑龙江齐齐哈尔•期中)如图，在数轴上方有4个方格(每一方格的边长为1个

单位)，连接力氏BC,CD,。。得到一个正方形，点4落在数羯上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点£

使4£=力氏若点4与原点重合，则点£表示的数是.

EA

【变式2-3](23-24七年级•吉林・期中)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长都

为I,每个小正方形的顶点称为格点，点力在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，

所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.

图①图②图③

(1)在图①中找一格点8,连接力8,使线段=

(2)在图②中画出一个△4CD,点C、。在格点上，且三边长均是有理数;

(3)在图③中画出一个正方形4MEF,点M、E、尸在格点上，且边长是无理数.

被开方数

符号表示±y[a

一个正数有两个平方根，且互为相反数；

零的平方根为零；

负数没有平方根；

(y[aY=a(a>0)

重要结论V7=H=I"("-0)

11l-〃(”())

【题型3算术平方根的实际应用】

【方法总结】利用算术平方根解决实际问题时.要注意根据实际意义进行取舍。

【例3】（23-24七年级•陕西渭南•期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日.哥哥小宇和弟弟小圮准备自制节

日礼物送给母亲.小旭自制了一张面积为100cm2的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为200cm2的长方形信

封，其长宽之比为5:4.小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断.

【变式3-1］（23-24七年级•陕西安康•期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，

他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为2.25平方米，其中他用的一块

木板的边长为0.9米，求另一块木板的边长是多少米？

【变式3-2］（23-24七年级•辽宁大连•期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的

提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高

空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度h（单位：米）近似满足公式九=：9严，其中g为重力加速度，g七10

米/平方秒.物体落地时产生的动能=物体质量x重力加速度x高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1

千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1x10x30=300焦耳.

（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？

⑵一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精

确到0.1秒，1.41）

【变式3-3］（23-24七年级•湖北武汉.阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5:3.

------------空地-------

花坛1花坛2

⑴求这块长方形空地的周长；

⑵如图，在空地内修建打字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花

坛2为长方形，其长宽之比为2:1）,花坛的息面积为1176平方米，宽度为Z.5米的农药喷洒车能不能在走

道上正常通行？

【题型4利用平方根的定义解方程】

【例4】（23-24七年级.四川成都.期末）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次

数是2的方程，叫做一元二次方程.如/=9,（%-2）2=4,3/+2%-1=0...都是一元二次方程.根据

平方根的特征，可以将形如/=a（a20）的一元二次方程转化为一元一次方程求解.如：解方程/=9的

思路是：由％=±V9,可得%=3,x2=-3.

解决问题：

（1）解方程（工一2y=4.

解：％-2=±V4,

x—2=2♦或％—2=.

xL=4,xz=.

（2）解方程：（3x-I）2-25=0的根为.

【变式4-1]（23-24七年级.湖南邵阳.期末）解方程3x2+27=0,得该方程的根是（）

A.x=±3B.x=3C.x=-3D.无实数根

【变式4-2]（23-24七年级•吉林・期末）解方程：3（%-1）2-12=0

【变式4-3]（23-24七年级•陕西汉中•期末）解方程：（3x+2）2=16.

【题型5利用算术平方根的非负性求未知数的值】

【例5】（23-24七年级•云南大理.期末）若（%—2）2+万在+忆+1|=0，则盯z的值是（）

A.10B.-10C.3D.-3

【变式5-1】（23-24七年级•广东肇庆•期末）如果和万源互为相反数，那么后的平方根是.

【变式5-2】（23-24七年级.陕西西安.阶段练习）若，y都是实数，且y=VT=I+L7+4,则孙的值

是（）

A.0B.4C.2D.不能确定

【变式5-3]（23-24七年级♦湖南彬州•期末）当时，沆有最小值.

【考点3立方根】

立方根

项目

被升方数任意实数

符号表示加

一个正数有一个正的立方根；

性质一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

(V«)3=a

重要结论=a

\l-a=-\[a

【题型6开立方运算】

【方法总结】开立方运算是立方根的概念和性质的应用，是历年中考出现次数较多的知识点.

【例6】（23-24七年级.广西崇左.期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入尤的值是-64时,

输出），的值是（）

/输入x取立方根I是无『数＞/输出y/

是有理数

A.-4B.-V4C.-2D.-V2

【变式6-1]（23-24七年级.河南信阳・期末）M=1,则〃的值一定是（）

A.1B.-1C.1或-1D.1

【变式6-2]（23-24七年级•内蒙古呼伦贝尔・期末）己知7+1=-63,求工的值.

【变式6-3]（23-24七年级•甘肃定西•期中）已知怖m=4.098,派丽=1.902,则怖的=.

【题型7平方根和立方根的综合应用】

【方法总结】综合应用平方根和立方根.主要是应用平方根和立方根的定义和性质.

【例7】（23-24七年级•河北廊坊•期中）已知47n+7的立方根是3,2m+2n+2的算术平方根是4,则一〃=

（）

A.25B.23C.21D.19

【变式7-1］（23-24七年级•广西百色・期末）已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a-7,匕-1的立方

根是一3.

⑴求a,8的值：

⑵求6a-2b的算术平方根和立方根.

【变式7-2】（23-24七年级•河南许昌・期末）已知A=不用是血+8的立方根，B=2巾"-诉』是九一1

的算术平方根，求的值.

【变式7-3］（23-24七年级.辽宁大连•期末）已知a的平方是4,b的算术平方根是4,c的立方根是8

⑴求a,b,c的值：

（2）求区+a的值

72b

【题型8立方根在实际生活中的应用】

【例8】（23-24七年级•河北石家庄•期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题.

|现有一个大正方体木块，体积是1000cm;

|从这个大正方体木块的8个角上分别截去8个大

小相同的小正方体木块，使截去后余下的体积

|是488cm-o

⑴求大正方体木块的棱长

（2）求截得的每个小正方体木块的棱长.

【变式8-1］（23-24七年级•黑龙江绥化•期末）运动会期间，体育场前方飘着大氢气球，其中一个氢气球的

体积U=288000/rcm3,求这个氢气球的半径.（提示：V,=-nr3）

娜{43

【变式8-2］（23-24七年级.山西晋中.期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公

式，"=喘，，来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径.

⑴如果雷雨区域直径为4km,那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到O.lh）

⑵如果一场雷雨持续了lh,那么这场雷雨区域的直径是否超过10km?

【变式8-3］（23-24七年级•新疆巴音郭楞・期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为56cm2,高

为32cm的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体

的棱长.

【考点4估算】

比较两个无理数大小的方法：

估算法估算出所给无理数的近似值，再比较大小

作差法若石＞0,则而＞/b；若石-4＜0,则而＜Jb

把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后的

乘方法

数的大小，同时考虑符号确定大小

运用逆向思维把根号外的正因式移到根号内比较大

移动因式法

小（第7节会讲到）

将其中一个数（或两个数）放大或缩小,再比较，如扩

放缩法

大10倍等

将两数作商，作商后的结果与1（或-1）比较，同时考

作商法

虑符号确定大小

将两数分别取倒数，通过比较倒数大小确定原数大小

倒数法

关系

【题型9估算无理数的大小】

【例9】（23-24七年级.广西玉林•期中）观察表格中的数据:

X1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917

X2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

由表格中的数据可知内5在哪两个数之间（）

A.在16.2和16.3之间B.在16.3和16.4之间

C.在16.5和16.6之间D.在16.6和16.7之间

【变式9-11（23-24七年级•浙江杭州•期中）若2+位的整数部分为明小数部分为匕,则Q=,a-h=.

【变式9-2］（23-24七年级.黑龙江佳木斯.期末）若4+危的小数部分是小7-后的小数部分是从贝lj

的值是—.

【变式9-3］（23-24七年级.河北保定•期中）大家知道四是无理数，而无理数是无限不循环小教，因此或的

小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用四-1表示或的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道

理的，因为企的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.已知：2+V5=x+y,其中

x是整数，且0Vy＜1,x=,y=.

【题型10估算的实际应用】

【例10】（23-24七年级•陕西汉中•期中）对于实数a,我们规定，用符号［VH］表示不大于G的最大整数，称

［孤］为a的根整数，例如：［西］=3,［4可=3.我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整

数：［遍］=2T［0］=1.若对x在续求两次根整数后的结果为1,则满足条件的整数工的最大值为（）

A.5B.10C.15D.16

【变式10-11（23-24七年级.安徽安庆・期末）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，

被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）后来人们在研究它的过程中，发现了许多

意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的

数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第〃个数可以

用力［（¥）"-表示•在上述式子中，苧最接近的整数为.

【变式10-2］（23-24七年级•河南南阳・期中）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求分数来

表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为"心a,b,c,d

acac

为正整数），则蜉是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道V5=2.236067…，令三〈遍〈告

则第一次用“调日法”后得到得是通的更为精确的过剩近似值，即装＜%＜系若每次都取最简分数，则从?＜

开始，用“调口法''得到花的近似分数与实际值误差小于0.01的次数最少为（）

O

A.五B.四C.三D.二

【变式10-3］（23-24七年级•广西南宁•期中）阅读材料，完成下列任务：

因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如I：71、&等，而常用的

“…”或者公”的表示方法都不够百分百准确.

材料一：＜迎〈眄，即2＜夕＜3,•••1＜夕-1V2.

••.近一1的整数部分为1,小数部分为b-2.

材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.

我们知道面积是2的正方形的边长是企，易知企＞1,因此可设或=1+X可画出如图示意图.

1x

X

1

解：由图中面积计算，S正方形="+2xlr+1,

,:§正方形=2'

2

AX+2X1-x4-1=2.

•••%是鱼的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略

得方程2%+1=2,解得％=0.5,即夜=1.5.

解决问题：

(1)利用材料一中的方法，求、质的小数部分；

(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究日的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解

过程)

【考点5实数】

1.实数的分类

有理数：有限小数或无限循环小数

按定义分：实数1

无理数：无限不循环小数

按与0的大小关系分：

正有理数

正数

正无理数

实数＜0

负数［负有理数

1负无理数

【易错点剖析】

(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.

(2)2.实数与数轴上的点——本应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

2.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数〃的绝对值是非负数，即1〃以)；

(2)任何一个实数〃的平方是非负数，即/加；

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即右2()(6/>0).

非负数具有以下性质：

(।)非负数有最小值零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

3.实数的运算：

数。的相反数是-4；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值

是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算111页序:先乘方、开方、再乘除,

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

4.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.熨数和数轴上的点——对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3,两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

【题型11实数的运算】

【例11](24-25七年级•黑龙江哈尔滨•开学考试)计算：

(I)(-1)2021-|-7|+V9XV16；

(2)V27+/16x够子(一可.

【变式11-1](23-24七年级.云南红河•阶段练习)(1)计算：(-2)2-⑺+俄+(-1产17.

(2)V3+V(-5)2-V64-|V3-5|

【变式11-2](23-24七年级.山东塘州•期中)计算

2

(1)(-V3)-V16-|1-V2|;

(2),位于+x(-2)2-AT64.

【变式11-3](23-24七年级•广西南宁・期末)在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数20)

的运算程序如图所示，若输出的)，值为近时，则输入的实数x可取的负整数值是.

/输入口/_[计算|L21Mj算数平方根卜/输出y/

否

【题型12利用数轴化简】

【例12】（2024七年级•浙江・专题练习）如图，a,b,c是数轴上三个点A、B、。所对应的实数.试化简：

V?+|Q+匕|+丁（Q+匕尸-\b-c\.

II1I>

BAOC

【变式12-1】（2019・重庆•一模）实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示那么+

化简的结果（）

--------1------1-----------1------>

b0a

A.2a+bB.bC.2a-bD.3b

【变式12-2］（23-24七年级.辽宁鞍山•阶段练习）实数小。表示的点在数轴上的位置如图，则将J（Q+2尸+

d（b-2尸+J（a—b）2化简的结果是.

II3aI11.bII»

-3-2-10123

【变式12-3］（23-24七年级•福建莆田•期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数。、氏c•的位置如图所示：

化简：

+Vb^+|b