广东省2026年中考数学诊断试卷（解析版）

广东省中山一中教育集团2026年中考数学诊断试卷

1.下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

至0B（g）C.舟

【答案】B

【解析】【解答】解：A：图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；

B：图案是轴对称图形，有是中心对称图形，所以B符合题意；

C：图案既不是轴对称，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D：图案不是轴对称，是中心对称图形，所以D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。

2.一人不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个

球，是红球的概率是（）

A-IB-IC.gD.|

【答案】A

【解析】【解答】解：:袋中共有1个黄球，2个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同

・•・从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为二生石=:=1，

故答案为：A..

【分析】根据概率公式计算即可.

3.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90%所得图形一定能与原图形重合的是（）

A.平行四边形B.长方形C.正六边形D.正方形

【答案】D

【解析】【解答】解：A：平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转180。，所得图形与才能与原图形重合,

所以A不符合题意：

B：长方形绕其对角线的交点逆时针旋转180。，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；

C：正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转180。，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；

D：正方形绕其对角线的交点逆时针旋转90°,所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。

故答案为：D.

【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。

4.如图，已知AABC与ADEF,下列条件一定能推得它们相似的是（）

第1页

,ABBCABAC

AA.乙A=4,瓦=而Bn."=2尸n,诙=而

C.ZA=ZD,ZB=ZED.ZA=ZB,ZD=ZE

【答案】C

【解析】【解答】解：A：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定AABC与4DEF相

似，所以A不正确；

B：己知两边对应成比例，旦其中一边的对角对应相等，不能判定aABC与^DEF相似，所以B不正确；

C：已知两角对应相等，可得出△ABC与△DEF相似，所以C正确；

D：由条件不能得出两个三角形之间的边角之间的关系，无法判定△ABC与aDEF相似，所以D不正确；

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。

5.下列现象中，不属于中心投影的是（）

A.路灯下人的影子B.电影院银幕上的影子

C.阳光下窗框的影子D.探照灯下物体的影子

【答案】C

【解析】【解答】解：A：路灯下人的影子是中心投影，所以A不符合题意；

B：电影院银幕上的影子是中心投影，所以B不符合题意；

C：阳光下窗框的影子是平行投影，不是中心投影，所以C符合题意；

D：探照灯下物体的影子是中心投影，所以D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据中心投影和平行投影的定义逐项进行判断，即可得出答案。

6.如图，AABD内接于OO,连接OA,OB,若NAOB=70。，则ND度数是（）

【答案】D

【解析】【解答】解：=1x70°=35%

第2页

故答案为：D.

【分析】根据圆周角定理及可得出答案。

7.若方程%2+%一2=0的两根分别为XI,X2,贝I」+%2+小工2=（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得出：

.*.%!4-x2+%i%2=-1-2=-3

故答案为：C.

【分析】首先根据根与系数的关系可得出二进而整体代入即可得出答案。

IX1X2——乙

8.反比例函数y=X（k手0）图象如图所示，下列说法正确的是（）

X

A.k>0

B.y随x的增大而减小

C.若矩形OABC面积为2,则k=-2

D.若图象上点B的坐标是（-2,1）,则当x<-2时，y的取值范围是y<l

【答案】C

【解析】【解答】解：A：根据图象的一个分支在第二象限，可得出k<0,所以A不正确：

B：由图象从左到右呈上升趋势，可知y随x的增大而增大，所以B不正确；

C：根据矩形OABC面积为2,可得出网=2,再根据图象的位置，即可得出k=-2,所以C正确；

D：若图象上点B的坐标是（-2,I）,则当x<-2时，y的取值范围是OVy<l,所以D不正确。

故答案为：C.

【分析】根据反比例函数的图象及其性质，逐项进行判断，及可得出答案。

9.2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业

与乐器产业的协同发展注入新活力.如图，乐器上的一根弦AB长为80cm,两个端点A,B固定在乐器的

板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即第=与1）,则支点C到端点B的距离为（）

A.(120-40V5)cmB.(80-40V5)cmC.40VsemD.8075cm

第3页

【答案】A

【解析】【解答】解：*?AB=80cm,煞=①二，

AB2

・•・AC=X^1x80=40（V5-1）»

ACB=AB-AC=80-40（后1）=（120-40回（cm）。

故答案为：A.

【分析】首先根据黄金分割的定义可得出AC的长，进而根据CB=AB-AC即可得出答案。

10.图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题.二次函数与其图象，由图象可以看出

函数的开口方向、对称轴以及y随x的变化规律，也可以看出x取某个值时，y的取值情况.已知二次函数

y=ax24-bx+1的图象如图所示，有以下结论：①ab>0；②a-b>0；③a+b+l<0；@9a-3b+l>0.其

中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②③D.②③④

【答案】C

【解析】【解答】解：根据抛物线的开口向下，可得山aVO,

根据对称轴x=-1,可得出一名=一1,即b=2a,即a,b同号,所以ab>0,即①正确；

根据当x=-l时，图象有最高点，得出当x=-l时，y的值>1,可得出a-b+l>l,所以a-b>0.即②正确;

由图象可知当x=l时，y<0,所以a+b+lVO,即③正确；

由图象可知当x=3时，y<0,可得出9a-3b+l<0,所以④不正确，

所以所有正确结论的序号是①②③。

故答案为：C.

【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴及图像上的点的特征，逐项进行推理，即可得出答案。

11.若关于x的方程%2一%+。=0有一根是x=3,则另一个根是.

【答案】-2

【解析】【解答】解：设方程的另一根为m,根据根与系数的关系可得出：m+3=l

m=-2.

故答案为：-2.

第4页

【分析】设方程的另一根为m,利用根与系数的关系可得出m+3=l,解方程即可得出m的值。

12.将抛物线y=M+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式

为.

【答案】尸(X-2)2+4

【解析】【解答】解：将抛物线y=/+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达

式为：

y=(x-2)2+1+3即：y=(x-2)2+4

故答案为：y=(x-2)2+4.

【分析】根据二次函数的平移规律，即可得出抛物线的表达式为y=(x-2)2+4.

13.如图，在△ABC中，NBAC=6()。，将△ABC绕着点A顺时针旋转4()。后得到△ADE,则NBAE

【解析】【解答】解：:△ABC绕着点A顺时针旋转40。后得到AADE,

・•・ZCAE=40°,

ZBAC=60°,

・•・ZBAE=ZBAC+ZCAE=60°+40°=100°.

故答案是：100°.

【分析】根据旋转角可得NCAE=40。，然后根据NBAE=NBAC+NCAE,代入数据进行计算即可得解.

14.如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°,弧长为6加的扇形，则圆锥的高h为.

【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为：R，

根据弧长计算公式，即可得出：4鬻=6TT

loU

，R=9.

第5页

设圆锥的店面半径为r,可得出如r=611

.*.r=3

根据勾股定理可得出：h=JR2一届=792-32=6V2

故答案为：6立.

【分析】根据弧长计算公式可得出圆锥的母线长，再根据圆周长计算公式可得出圆锥底面的半径，进而根据

勾股定理即可得出圆锥的高h的长度。

15.如图，矩形ABCD的边AB=4,AD=3,M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足

ZAPD=90°,N为边CD上的一个动点，连接PN,MN,则PN+MN的最小值为.

【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O,则以O为圆心，累D为半径作圆，点P就在这个圆上，作

点M关于直线DC的对称点M：连接0M，交圆0于点P"交CD于N，，连接OP,M'N,如图：

.\MN=M'N,OP=OP'=r,OA=OD=1AD,CM=CM'.

APN+MN=PN+M'N,

•••P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短,

.'.(PN+MN)min=PN+M'N'=PM'=OM'-OP,

•・•四边形ABCD为矩形，AD=3,AB=4,

・・・AD;BC=3,AB=CD=4,ZBCD=90°,AD//BC,

AOD//MC,

VAD=3,

・,・.圆0的半径r二(2=少2二会3=1.5,

第6页

/.0P=0P'=r=1.5,

•・・M为BC的中点，AD=DC,

:.CM=CM'=1BC=1AD=OD=1.5

・•・MM'=CM+CM'=1.54-1.5=3,

VZBCD=90°,CM=OD,OD//MC,

・•・四边形OMCD为矩形，

・•・NOMM'=90。，OM=CD=4,

在RtAOMM，中，

.*.OM'=VOM2+MM2=V42+32=5

Z.(PN+MN)min=OM'-OP'=5-1.5=3.5,

故答案为：3.5.

【分析】作点M关于直线DC的对称点M，，连接OM，交圆O于点P，，交CD于N\连接OP,MN,如

图：根据对称的性质，可得出PN+MN=PN+MN.进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN+MN)min二

PN'MN=PM』OM-OP,进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM，和OP的长度，进一步即可得出答

案。

16.计算：何+|1-遮|-2tan60°.

【答案】解：解：V27+I1-V3I-2tan600.

=3V3-V3-1-2>/3

=2N/3-1.

【解析】【分析】首先根据平方根的性质，绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值进行化简，进而再进行二次

根式的加减即可。

17.如图，直线y=x+5与反比例函数y=[(外0)的图象交于点A(a,6).

(1)求a的值和反比例函数的表达式.

(2)直线y=x+5向下平移后与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点B(b,2),求直线y=x+5向下平

X

移的距离.

【答案】(1)解：•・•点A在直线产x+5上，

第7页

/.6=a+5,

a=1；

•・•点A在反比例函数y=5(幻0)的图象上，

k=1>：6=6,

・•・反比例函数的表达式为：y=^(x>0)：

X

(2)解：•・•点B(b,2)在反比例函数y[(x>0)的图象上，

/.2b=6,

Ab=3,

设直线y=x+5向下平移后的解析式为y=x+m,

•.,点B在直线y=x+m上，

2=3+m,解得：ni=-1,

・•・直线y=x+5向下平移后的解析式为y=x-l,

V5-(-1)=6,

・・・直线y=x+5向下平移的距离为6.

【解析】【分析】(1)根据点A在在直线y=x+5上，即可得出a的值，进而利用待定系数法即可得出反比

例函数的表达式为：(x>0)；

(2)由(1)知反比例函数的表达式为：y=9(x>0),进而根据点B在反比例函数(x>0)的图象

上，即可得出b的值，进而利用待定系数法可得由直线y=x+5平移后的解析式，进一步即可得出直线

y=x+5向下平移的距离.

18.亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销件量是5万件，10月

份的销售量是7.2万件.

(I)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？

【答案】(1)解：设月平均增长率是x,

根据题意,得：5(l+x)2=7.2

解方程。得：xi=0.2=20%；X2=-2.2(舍去)

答：月平均增长率为20%o

(2)解:7.2x(1+20%)=8.64(万件)

答：11月份的销售量是8.64万件

【解析】【分析】(1)设月平均增长率是x,根据题意即可得出5(l+x)2=7.2,解方程并取符合题意的值即

可；

第8页

（2）根据（1）的增长率，即可得H11月份的销售量为7.2X（1+20%）,进一步计算即可得出答案。

19.2022年11月21日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号足“此刻即所有（NowisAll）”.某校

为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查学生只能选择其中一

种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图：

（1）此次调查抽取的学生人数为人;

（2）补全条形统计图；

（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或

列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.

【答案】（1）100

（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）

补全条形统计图如下:

球球

（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D,

画树状图为：

开始

BCDACDABDABC

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率

，/.2_1

内：12=6°

【解析】【解答］解：（I）此次调查抽取的学生人数为：20-20%=100（人）

第9页

故答案为：100;

【分析】(1)根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；

(2)从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；

(3)设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D,然后化树状图进行分析，得出共有12种

等可能结果，其中抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出

答案。

20.如图，AB为。O的直径，弦CD与AB交于点E,过点C的直线MN/7AB,ZC=75°,ZD=45°.

(1)求证：MN是。O的切线；.

(2)若AC=12,求CD的长.

【答案】(1)证明：AB为。O的直径，弦CD与AB交于点E,过点C的直线MN〃AB,连接OC,

VZBDC=45°,

.\ZBAC=ZBDC=45°,

.\ZBOC=2ZBAC=90°,

〈MN经过点C,且MN〃AB,

・•・ZOCM=ZBOC=90",

••・MN是。O的切线

(2)解：如图，过点。作OFJ_CD于点F,

VZA=ZBDC=45°,OA=OC

・•・ZAOC=90°,

VAC=12

/.2OA2=122

AOA=OC=6V2,

第10页

ZACD=75°,

AZOCF=30°,

.*.OF=1(?C=3V2，

：.CF=y/oC2-OF2=J(6或》一(3@2=3n

CD=2CF=2X376=6V6»

【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理可得出NB002NBD090。，进而根据平行线的性质可得出

ZOCM=ZBOC=90°,进而根据切线的判定即可得出MN是。O的切线；

（2）过点0作OFJ_CD于点F,根据圆周角定理可得出/A二/BDC=45。，进而得出NAOC=90。，根据等腰

三角形的性质及勾股定理可得出0A=0C=6夜，进而再根据含30。锐角的直角三角形的性质，可得出

OF=1OC=3&,进而根据勾股定理得出CF70c2-0产=J（6&）2一（3企）2=3屉，再根据垂径定理。即

可得出CD的长。

21.【问题情境】

在我们的生活中，处处都蕴含着数学.小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究.他们发

现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）.

图①图③

【问题提出】

数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.

图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由瓯比和矩形ABCD组成，且同=反，圆心

第11页

是倒锁按钮点F,若丽的弓形高EG=2cm,CD=8cm,此时可求出图③中圆心F到AB的距离.

图④足图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直句下，底端到达

K处，把手绕锁芯。旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时NNOS=20。.将ON绕点O

顺时针旋转90。得到OQ,过点Q作QM_LPR于点M.若（QN所在圆的半径ON=10cm,此时可求出MN

的长度.（参考数据：sin20°x0.342,cos20°x0.940,tan20°«0.364）

【问题解决】

（1）请求出图③中圆心F到AB的距离；

（2）请求出图④中MN的长度（结果保留小数点后一位）.

【答案】（1）解：连接AF,延长FH交圆弧AB于点T,

「AB二DC,弓形高EG=2cm,

弓形高TH=2cm0

•・•矩形ABCD,CD=8cm,

AB=8cm,AH=-AB=4cm。

设AF=xcm,则FH=(x-2)cm。

在AAFH中，由勾股定理:

x2-4x+4+16=x2

-4x=-20

x=5

FH=5-2=3cmo

答：圆心F到AB的距离为3cm.

（2）解：延长QM与KO交于点W。

第12页

R

W

,/ZWMN=ZMNS=ZNSO=90°,

/.ZW=90°o

VON绕点O顺时针旋转90。得OQ.

AOQ=ON=10cm,ZQON=90°。

AZQOW+ZNOS=90%

ZNSO=90°,

.,.ZNOS+ZONS=90°o

，ZONS=ZQOW.

在AQWO和^OSN中：

ZW=ZOSN=90°

ZQOW=ZONS

OQ=ON

.*.△QWO^AOSN(AAS)

AWO=NS.

易证四边形MNSW是矩形，

AMN=WS=OW+OSo

在RtAONS中:

NS=ON.sinZNOS=10.sin20°R0x0.342=3.42

OS=ONcosZNOS=10.cos20°~10x0.940-9.40

AMN=3.42+9.40=12.82=12.8cm。

答：MN的长度约为12.8cm。

【解析】【分析】(1)连接AF,延长FH交圆弧AB于点T,根据矩形的性质可得出AB=8cm,AH=-AB=

4cm,设AF=rcm,则FH=(x-2)cm。进而在△AFH中，由勾股定理可得出(x-2++4?=x2,解方程即可得出

AF的长度，进而即可得出圆心F到AB的距离FH的长度；

(2)延长QM与KO交于点W,根据旋转的性质可得出OQ=ON=10cm,ZQON=90°,进而得出NONS

=NQOW.然后根据AAS可证得△QWO^AOSN,得出WO=NS.再根据四边形MNSW是矩形，可得出

第13页

MN=WS=OW+OS,进而在在Rt^ONS中：解直角三角形即可得出NS=ON.sin/NOS=10.sin

20。旬0x0.342M.42,OS=ON-cosZNOS-l0,cos20°^l0x0.940^9.40,进而得出答案。

22.如图，直线丫=一聂+。与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B.抛物线y=-4x2+bx+c经

过点A,B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m,0)为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,

点M在线段OA上运动，若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.

【答案】(1)解：•••直线y=—(x+c与x轴交于点A(3,0),

2

••()=-5x3+c

解得：c=2,

・•・直线的解析式为：y=-1x+2

令x=0,则y=2,

・••点B的坐标为(0,2)

4

-X

•・・抛物线y=3+bx+c经过点A,B.

..Jo=_gx32+3b+c

2=c

(.10

解得：h=T

c=2

J.抛物线的解析式为：y=—3%2+学工+2

(2)解：(2)由⑴可知直线解析式为广一聂+2：

0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,

**•P(m1—^771+2),N(m»—^zn24-+2)>

。KJ

.*.PM=-|TH4-2,AM=3-m,PN=-^m24-^-m+2-(-|m4-2)=-Jm24-4m

；・△BPN和△APM相似，且NBPN=NAPM

AZBNP=NAMP=90。或NNBP=ZAMP=90°,

第14页

当NBNP=90。时，则有BN_LMN,

AN点的纵坐标为2,

・•・一为2+与租+2=2,解得m=0(舍去)或m=5

0)

当NNBP=90。时，过点N作NC_Ly轴于点C,

则NNBC+NBNC=90。，NC=m,BC=-im2+1+2.2=_2+m,

NNBP=90。，

AZNBC+ZABO=90°,

.\ZABO=ZBNC,

，RSNC8-RM8OABOA,

.NC_CB

，9OB~OA

-刎2+%!

・・.m

23

解得m=0（舍去）或m二号

・・.M(呈，0),

综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(1,0),(导，0)

【解析】【分析】(1)首先根据直线与x轴的交点可得出c=2,即可得出直线解析式，进而可得出直线与y轴

的交点B的坐标，然后根据点A,B的坐标，利用待定系数法，即可得出抛物线的解析式；

(2)由(1)可知直线解析式为y=-^t+2,根据M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直

线AB及抛物线分别交于点P,N,可得出P(m,+N(m,-im2+4-2),进一步可得出

2424

210

--血+3--

3333m2+4m,然后根据^BPN和^APM相

似，且NBPN二/APM,可分两种情况进行讨论：当NBNP=90。时，M(1,0)；当/NBP=90。时，根据相似

三角形的性质，可得出％=胃!它受，解方程，可得出m的值，进而即可得出M(导，0),综上即可得出

23

第15页

当以B,P,N为顶点的三角形与aAPM相似时，点M的坐标为(1,0),(瞿，0)。

23.我们约定：如图1,y1=a】/+bix+Q与x轴相交于A(xA,yA)、B(xB,yB)两点，(芍1V

xB),顶点为M,而抛物线丫2=+力2工+。2的顶点恰好为％=。1/+仇》+。1上的点B,且经过为=

+b]¥+C]的顶点M,那么我们将抛物线为=。2炉+b2%+C2称为抛物线为=臼d+&%+j的“兄

(1)填空：抛物线y=-2/+2的“兄弟函数”为；

(2)若抛物线y=-/+2x+c存在“兄弟函数”，求c的取值范围；

<3)已知点P是正比例函数Gi：y=x(»0)上一点，抛物线y=—/%2从点o出发，在射线op上移

动，运动t秒后，移动距离为鱼£,得到抛物线G2,抛物线G2的“兄弟函数”为G3.

①当1=3时，抛物线G2的解析式为▲；

②当t=4时，求抛物线G3的解析式；

③设抛物线G3与Gi的另一交点为D,当O