指数与指数函数-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题2.12指数与指数函数.重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2021秋•酒泉期末）已知机＞0,则［形］源夜!化为（）

5

Bm2CD

【解题思路】把根式化成分数指数哥，然后进行分数指数制的运算即可.

51111311

【解答过程】解：原式=［（m2-m2）2•tn2］2=（m2•m2）2=TH.

故选：c.

2.（5分）（2021秋•惠阳区校级月考）（11）°-（1-0.5-2）（等）2的值为（）

【解题思路】根据指数寤的运算性质即可求出.

47

【解答过程】解：原式=1-（1-4）+（|）2=I+3X---

93

故选：

3.（5分）（2022春•铜鼓县校级期末）函数），="7+1,（。＞0且aWl）的图像必经过一个定点，则这

个定点的坐标是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【解题思路】当x=l时，）=，〃1=2,从而函数尸过定点（1,2）.

【解答过程】解：函数），=/）+1,（。＞0且。W1）的图像必经过一个定点，

当x=l时，1+1=〃°+1=2,

，函数y=a［〔+1过定点（1,2）.

故选:B.

4.（5分）（2021秋•镇江期中）已知〃是大于1的实数，满足方程M+屐2=7,贝|J%—QT=（）

777「

A.IB.-+—C.3V7+3D.4

22

【解题思路】利用有理数指数基的运算性质，结合完全平方公式求解.

【解答过程】解：•・•（。+，|）2=/+〃-2+2=9,.・・什/1=3,

11一

・，.（成—a-2）2=a+a-2=1,

111

1_1

.,.«2—a-2=1,

故选：A.

5.（5分）（2021秋•界首市校级期末）已知指数函数/（x）=（2『-5a+3）/在（0,+~）上单调递增,

则实数〃的值为（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【解题思路】根据指数函数的定义和性质，列方程求出。的值，再判断增减性即可.

【解答过程】解：根据指数函数的定义，令2/-5a+3=l,

解得。=2或。=热

又4=2时/（x）=2,在R上是单调增函数，

。=2时/（2=”在R上是单调减函数，

所以”的值为2.

故选：D.

311

/-•-

=I-3D-3，（）则b,的大小关系为（）

6.（5分）（2021秋•重庆期末）已知aV5c=13,a,c

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解.

1

【解答过程】解：・・3=无3在R上单调递增，

32

又3>9

・•・（豺渴）3,EPa>c,

•・•），=（|尸在R上单调递减，

371

^-

-3

5^

综上所述，b>a>c.

故选：C.

7.（5分）（2021秋•长宁区校级期末）在同一坐标系中，函数），=ar+l与）=心」（〃>0巨"W1）的图

象可能是（)

【解题思路】当〃>1时，直线产以+1的斜率大于1,函数尸心」（心0且〃K1）在（1,4-00）上是

增函数：当时，直饯y=at+l的斜率大于0且小于1,函数y=I（々>0且1）在

（1,+8）上是减函数，结合图象得出结论.

【解答过程】解：当。>1时，直线产水+1的斜率大于1,函数尸心」（心0且。W1）在（1,+8）

上是增函数，选项C满足条件.

当1>。>0时，直线y=or+l的斜率大于0且小于1,函数（〃>0且aWl）在（1,+8）上是

减函数，没有选项满足条件.

故选：C.

8.（5分）（2021秋•如东县期末）已知指数函数/（x）=ax1〃>0,且〃片1）,且/（-2）>/（-3）,

则。的取值范围（）

A.（0,1）B.（1,+8）C.（0,+8）D.（…，0）

【解题思路】根据指数函数图象性质可解决此题.

【解答过程】解：由指数函数f（x）=/*（。>0,且,且/（-2）>/（-3）得/

根据指数函数单调性可知，/（0,I）.

故选：A.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2021秋•滕州市期末）下列根式与分数指数暴的互化正确的是（）

3

X一4X

A.=y3(y<0)B.>0

,._____31

C.X-3=—\[x(xH0)D.W(-%)2]4=x2(x>0)

【解题思路】根据指数第的运算性质即可求出.

【解答过程】解：对于A：泞=（-），）£故A错误;

对于B：故B正确;

对于C：x-3=xHO,故C错误;

323

441

对于。：［正不］31=x2,x>0,故。正确.

故选：BD.

10.（5分）（2021秋•重庆期末）已知函数），=",（a,b>0且aHl,/#1）的图像如图所示，则

下列结论正确的是（）

A.a>b>\B.0VaV〃VlC.2a<2hD.b>a>\

【解题思路】结合指数函数的底数对图像的影响可检验各选项即可判断.

【解答过程】解：由图像可知方

所以2〃>2。，

故选：CD.

10

11.（5分）（2021秋•响水县校级期中）若指数函数），=/在区间［-1,1］上的最大值和最小值的和为刀,

则。的值可能是（)

11

A.-B.-C.3D.2

23

【解题思路】对。进行讨论，结合指数函数单调性，即可求解最值，从而求解•。的值

【解答过程】解：①当时，函数y=〃在区间［-1,I］上为增函数，

1

当X=1时，ymax=a,当X=~1时，yinin=

即3cr-l()a+3=0,

Va>L・・・〃=3.

②当OVoVl时，函数)，=/在区间［-1,1］上为减函数，

；•当x=-1时，ymax=当K=1时，y〃ii“=a,

=冬即3a2-104+3=0,

综上：。的值可能为〃=3或

故选：BC.

12.(5分)(2021秋•枣庄期中)已知函数/(x)=|3'・"，aVbVc,且/(a)>/(c)>/(〃)，则()

A.a<0,c<0B.a<Q,c>0C.b>0D.3"+3，V2

【解题思路】根据题意画出函数/(x)的图像，根据图像可知要使得aV〃Vc,且/(a)>/(c)>f(h),

则有acVO,〃的符号不确定，所以0V/(c)</(d)VI,从而得到答案.

【解答过程】解：函数/G)=|3'-1|的图像，如图所示，

,:a<b<c,且/(a)>f(c)>fCb),

对于选项A：a,。，c不可能都小于0,因为都为负数时，函数单调递减，当〃VA<c时，得不到/(。)

>/(c)>/(/?),

故选项4错误，

对于选项8：由图像可知。<0，有可能大于0也有可能小于0,c>0,

故选项5正确，

对于选项C因为》有可能大于0也有可能小于0,所以人的符号不确定，故选项。错误，

对于选项Q：根据图像可知a,C异号，且ov/(c)</(«)<1,

・・・3"+3y2,故选项。正确，

故选；BD.

,r

y

5_

91_

81_

71_

6_

3_

_

4T1_

2LI_

-3-2-1O123x

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（202（）秋•东城区期末）已知函数/（工）是指数函数，若谓=4,则八-2）Vf（-3）.（用

“v”“=”填空）

【解题思路】利用待定系数法求出函数/（X）的解析式，再利用函数/（X）的单调性即可比较大小.

【解答过程】解:设/(X)=av(a>0,且a#l),

嗤H

1

:焉=4,解得:

・•・/（x）=&尸，在R上单调递减,

V-2>-3,

・•・/(-2)</(-3),

故答案为：V.

14.（5分）（2021秋•河池月考）已知函数/（x）=av+b（«>0,«^1）,若/（x）在区间［-I,0］上的

值域也是［7,0］,则叶）=.

【解题思路】对。进行分类讨论，根据题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案.

【解答过程】解：当。>1时，函数/（X）=/+/，在定义域上是增函数，

所以1，

解得b=-1,-=（）不符合题意舍去；

a

当OVoVl时，函数/（x）=P+力在定义域上是减函数，

所以巴

（Q1+/?=0

:解得〃=-2,a=i,

乙

综上a+b=-2,

3

-

故答案为:2

15.（5分）（2021秋•泾阳县期中）已知mbER,且2。=3",给出如下关系：

①心b>0；②q〈人V0；③[=/?=（）；④}<〃<（）.

其中所有可能成立的序号是①②③.

【解题思路】在同一坐标系内画出y=2L的图象，设"=33=鼠讨论&=1、k>l和0V2V1时,

。与〃的可能取值即可.

【解答过程】解：在同一坐标系内画出），=不，），=3、'的图象，如图所示：

设2。=3°=4，当左=1时,a=b=O,③正确;

当荽>1时，4b>3①正确；

当0VAV1时，a<b<0,②正确；

综上，所有可能成立的序号是①②③.

故答案为：①②③.

16.（5分）（2022春•乐清市校级期中）函数（a>0,的图象恒过定点A,若点4在直线

113

inx+ny-1=0（/??n>0）上，则---+一的最小值为一+.

2mn-2

【解题思路】令17=0可求出点A（1,1）,代入直线方程可得/什〃=1,再利用基本不等式进行求解.

【解答过程】解：函数>=/工（〃>0,启1）,

令1-x=0得，x=1,

；・A（1,I）,

又，,,点、A在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，m+n-1=0,即m+n=1,

.*.///>0,//>0,

•+-=（-—+-）（〃?+〃）=，+会+/芸°,=、+a,当且仅当J-="，即〃?=

2mn2mn22mn2y]zmn22mn

四一I,〃=2-&时，等号成立，

---+一的最小值为一+，2,

2mn2

故答案为：|+V2.

乙

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2021秋•诸暨市校级期中）求下列各式的值：

（1）解方程4V-2A।-8=0

（2）月+1|+（0.25）；+（诉）。-21

【解题思路】（1）令/=2\>0,则原方程可化为尸-力-8=0,解二次方程可求/,进而可求工；

（2）直接由有理指数幕的运算性质求解即可.

【解答过程】解：（1）4工・2口・8=0,令f=2v,>0,

则原方程可化为P・2L8=0,

.*./=4,即x=2；

（2）后+田|+（0.25m+（诉）。-

=^+^+^+1-^==5.

18.（12分）（2021秋•阳春市校级月考）已知函数/（X）=〃“（元20）的图象经过点（4,3，其中

0,且。W1.

（1）求a的值；

（2）求函数y=/（x）（x23）的值域.

【解题思路】（1）代入点列方程即可求解；

（2）根据指数函数的单调性即可求值域.

【解答过程】解：⑴由广】=1得。=1

O乙

(2)由(1)知，fa)=(}xT，Vx>3,Ax-1>2.\0<(i)x-1<(1)2,即值域为(0,右.

19.（12分）（2022春•山西期末）已知函数/（X）=（川・2羽・2）・W是指数函数.

（1）求实数〃?的值：

mm

（2）解不等式（2+%）2V（l-x）2.

m2—2m—2=1,

m>0,从而可求出实数机的值.

（771工1,

333p+%>0

（2）由（1）可得（2+x）2V（l-%）2,再由辕函数y=麓的单调性可得｛1—XN0,解不等式组可得

（24-x<1—%

答案.

【解答过程】解：（1）由题意函数/（x）=（病-2m-2）・M是指数函数，

m2-2m-2=1

m>0，求得机=3.

（m工1

33

（2）由（1）得，不等式即（2+x）2<（l-x）2,

3

•・3="2在［0,+8）上单调递增，

p+x>0

.•Jl-x>0,解得一2WxV-4,

（2+x<l-x

故原不等式的解集为［-2,-；）.

20.（12分）（2022春•增城区期末）已知函数/Ci）=ax+b（a>0,。工1）.

（1）若/（x）图象过点（0,2）,求〃的值；

（2）若函数/（X）在区间［2,3］上的最大值比最小值大求〃的值.

【解题思路】（1）将点的坐标代入求出。的值；

（2）分0<〃<1与〃>1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求〃的值.

【解答过程】解：（1）函数/（x）="+b（«>0,,f（x）图象过点（0,2）,

-V（0）=a（）+b=\+b=2,

解得6=1；

（2）当OVaVl时，f（x）在区间［2,3］上单调递减，

此时f（X）max=f（2）=J+1,f（X）min=f（3）=/+|,

.*.a2+l-(a3+1)=y»解得q=*或〃=0(舍)，

当时，/(x)在区间［2,3］上单调递增，

此时f(X)«»//»(2)=t/~+1>f(.V)ntax—f(3)~Cl^+1»

次3

3+12+一

(a22-

综上，。的值为：;或;

22

21.（12分）（2021秋•潍坊期中）已知四个函数/（x）=21gG）=（工）X,力（.=3、〃（外=（工"，若）,

23

=/（x）,y=g（x）的图象如国所示.

（1）请在如图坐标系中画出），=/?（x）,y=p（x）的图象，并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具

有哪些性质？

（2）举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由.

【解题思路】（1）根据指数函数的图象性质，得出结论.

（2）举细胞分裂的例子，抽象出指数函数的一个实例.

【解答过程】解：（1）画出），=/?（x）,y=p（x）的图象如图所示:

4个函数都是＞，=〃（〃＞0,。点1）的形式，它们的性质有：

①定义域为R;②值域为（0,+8）；

③都过定点（0,I）；

④当时，函数在定义域底单调递增，0＜。＜1时，

函数在定义域内单调递减；

⑤时，若xVO,则OVyVl,若Q0,则）＞1.

OVaVl时，若x＞0,则0＜），Vl,若xVO,贝

⑥对于函数y=/（a＞0,a#l）,y=bx（/?＞0,匕#1）,

当a>b>l时，

若xVO,则OV/V〃<1；若％=0,则/=〃=1；若4>0,则/>">1.

当时，若xVO,则若x=O,则〃=〃=1；若.i>0,则OV"V"<1.

(2)举例：原来有一个细胞，细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，则经过x次分裂，细胞个数)，,

则)，=2"，是一个指数函数.

22.(12分)(2021秋•东湖区校级期中)已知指数函数/(