2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷（基础篇）解析版

高二数学下学期期中模拟卷•基础篇(人教A版)

全解全析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)己知广。)是函数/■(%)的导函数，旦/■(%)=2r(i)in%+g则r(i)=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解题思路】求导函数，令％=1即可求解.

【解答过程】由fa)=2r(l)lnx+3可得/'(x)=2-⑴一―士

故广(1)=2r(1)-1,解得r(i)=i.

故选：A.

2.(5分)已知随机变量X〜NR,4),且P(XW4)=0.64,则P(0WXW2)=()

A.0.14B.0.22C.0.28D.0.36

【答案】A

【解题思路】利用正态密度曲线的对称性可求得P(0<X<2)的值.

【解答过程】利用正态密度曲线的对称性可求得尸(0</<2)的值

因为随机变量X〜N(2,M),且尸(X<4)=0.64,

则P(X<0)=P(X>4)=1-P(X<4)=1-0.64=0.36,

所以P(0<X<2)=P(X<2)-P(X<0)=0.5-0.36=0.14.

故选：A.

3.(5分)卜一春)”(ziWN")的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为()

A.8B.12C.15D.-20

【答案】C

【解题思路】依据题干得到n,然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可.

【解答过程】由题可知：2n=64=>n=6,通项公式为77+1=d(—-==(-1)()$-乳

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令6-1r=0=r=4,所以常数项为（-11第二15.

故选：C.

4.（5分）已知函数/（%）=合，则曲线y=f（x）在点（2/（2））处的切线方程为（）

A.x—y—4=0B.x—y+4=0

C.x+y+4=0D.%+y—4=0

【答案】D

【解题思路】先对函数求导，再利用导数的几何意义求切线方程

【解答过程】因为/（%）=・，工。1，所以/‘（不）=苏=一消声

所以尸（2）=一花为=-1.又/'（2）=2,

所以曲线y=/（%）在点（2/（2））处的切线方程为y—2二一（工一2）,即x+y-4=0,

故选：D.

5.（5分）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲

类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（）

A.480种B.444种C.408种D.360种

【答案】C

【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语

言类节目在第一个出场对应的方法数即可.

【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法：

即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法，

减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第

一个节目前的空留下的4个空中插空，

有照♦Ag种方法，故不同的出场方式共有A，A&-AtA%=480-72=408ft.

故选：C.

6.（5分）志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单

车的概率分别为:，p1且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为今"I-若某一

天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（）

.173_93_80_1

A•而B-mc-mD.5

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【答案】C

【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式直接求解.

【解答过程】设事件4表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车”，事件C表示“甲骑共享单车”，事件。表示“甲

按时到达文博会”，

则P(A)=；，P(B)=pP(C)=”(。⑶=IP(D|B)=*P(D|C)=

则P(。)=P(A)P(D\A)+P⑻P(DB)+P(C)•P(D\C)

14,13,12173

=TX5+ZxZ+ixi=^

P(CD)=P(C)P(D|C)=g,

所以若某一天甲按时到达文博会，

则他骑共享单车的概率为P(C|D)=箭=瞿.

故选：C.

7.(5分)若随机变量X的分布列为

X123

P0.20.5q

则下列结论不正确的是()

A.E(X)=2.1B.D(X)=0.49

C.E(3X+1)=7.3D.D(3X+1)=5.41

【答案】D

【解题思路】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可;

【解答过程】因为随机变量X的分布列可得0.2+0.5+q=1,所以q=0.3,

所以E(X)=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,所以E(3X+1)=3x2.1+1=7.3,A选项正确：C选项正

确；

D(X)=(1-2.1)2x0.24-(2-2.1)2X0.54-(3-2.1)2X0.3=0.49,

所以。(3X+1)=320(X)=9x049=4.41,B选项正确，D选项错误.

故选：D.

8.(5分)已知函数/(x)=Qlnx,不等式f(ax)We，在％e(0,+8)上恒成立，则实数a的取值范围是

)

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A.(0,1]B.(-oo,l]C.(0,e]D.(-oo,e]

【答案】C

【解题思路】利用函数同构得到e】nsinax<构造函数g(x)=xe\xG(0,+8),利用导数分析单调性得

到InaxW无，Bpina<%—Inx,

令4(%)=x-lnx,x£(o,+8),利用导数分析单调性求得力(%)min=h(1)=1，由Ina工h(x)min，求得实数Q

的取值范围是(o,e],进而做出选择判断.

【解答过程】易知f(x)=aln%的定义域为(0,+8),

由/'(ax)<e"可得alnax<ex；

因为％e(0,+oo),所以axlnax<xex,即”叼nax<xex,

构造函数g(x)=xex,xe(0,+oo),则0(%)=(%+l)ex>0,

可知函数g(x)在(0,+8)上单调递增，因此Inax<x,

即Ina+Inx<x,所以Ina<x—Inx,

令M%)=x-lnx,xe(0,+oo),贝！〃(%)=1—：=

当(0,1)时,h\x)<0,此时h(x)在(0,1)上单调递减，

当x€(l,+8)时，h\x)>0,此时九(乃在(1,+8)上单调递增，

因此九(%)在X=1处取得极小值，也是最小值，/lQ)min=九(1)=1；

即可得Ina</i(x)min,解得ae(o,e].

所以实数Q的取值范围是(0,e].

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)已知函数/(x)=sin2z,则()

A.f'(x)=cos2x

B.飕)=-2

C./'(%)在(0,?上的平均变化率为2

D./'(%)在x=0处的瞬时变化率为1

【答案】BC

【解题思路】利用复合函数的导数、导数值的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可.

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【解答过程】对于A,利用复合函数的求导法则，由尸(无)=(sin2x)f=cos2x-(2x)f=2cos2x,所以A错

误；

对于B,因为/'(X)=2cos2%,当x=]时，=2cos(2x^)=2cosn=—2,所以B正确：

由/(%)在(0,：)上的平均变化率为鹭普=如(2膏no=士=*所以c正确；

44

因为/'(%)=2cos2%,当%=0时,/'(O)=2cos(2x0)=2cos0=2,所以D错误.

故选：BC.

234s67

10.(6分)已知(1+2x)7=劭+aAx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x4-a7x,则()

A.做=84

B.a。=1

C.-Q]+—+-+-a：——1

D.—Qi+2a2—3a3+4a4-5a5+6。6—7a7=-14

【答案】ABD

【解题思路】对于A利用二项式定理的通项公式即可求解，对于B令％=0即可求解，对于C令％二—1即

23456

可判断，对于D将(1+2x)7=劭++a2x+a3x+a4x+a5z+a6x+电/同时求导，令％=—1即

可判断.

【解答过程】对于A：由7\+1=《(2x)k=《x2k#,所以Q2=©x22=84,故A正确；

对干R：令x=0,得a。=1,故R正确：

对于C:令X=-1•右[1+2x(—l)]7=tZo—Qi+。2—。3+。4一的+。6—。7=-1>

所以一Qi+。2—Q3+。4—。5+。6—=—1—=—1—1=-2,故C错误；

23456

对于D：对(1+2x)7=a0+ajx+a2x+a3x+a4x+asx+a6x+劭式同时求导得

234566

由4-2a2x+3a3x+4a4x4-SasX+6a6x+7a7x=14(1+2x),

令戈——1得a1-2a2+3。3—4a4+5曲-6a6+7。7=14,

同时乘一I得一由十2a2—3。3+4a4—5ag+6a6-7a7=-14,故D正确.

故选：ABD.

11.(6分)一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件

4“这3个球都是红球”，事件8“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列

判断正确的是()

A.事件A发生的概率为2B.事件4+B发生的概率为

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C.事件8c发生的概率为叫D.P⑷8）==

【答案】BD

【解题思路】根据题意，结合古典撷型的概率计算公式，组合数的计算公式，以及条件概率的计算公式,

逐项分析求解，即可得到答案.

【解答过程】由题意，7个球中任取3个球的基本事件总数为0=35

这3个球都是幻.球的基本%件数为©=1,

所以事件4发生的概率为PG4）=叁,所以A错误；

这3个球中至少有1个红球的基本事件数为玛•第+C卜以+6=18+12+1=31,

事件4+8=8发生的概率为。（8）二M所以B正确；

•3O

事件BC即为一个红球两个白球，基本事件数为CK：=18

事件也发生的概率为P（8C）=蔡，所以C错误，

JO

1

一l

因为PQ4B）=PG4）=总由条件概率公式得P（川8）羿=-

_3r

35

故选：BD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2+为6展开式中的第五项的系数为.

【答案】60

【解题思路】根据二项展开式的道项公式求解即可.

【解答过程】（2+乃6的展开式的通项公式为77+1=126-41

令r=4可得%=C^26-4x4=15x22x4=60x4,

即展开式中笫五项的系数为60,

故答案为：60.

13.（5分）若直线y=%+b与曲线y=ex+a（a,b€R）相切，则a—b=.

【答案】-1

【解题思路】对、=眇+。进行求导得y=a+。，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即

可求出答案.

【解答过程】由丫=^+。得歹=e”+a,

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设直线y=x+b与曲线y=e，+a相切于点(%o，yo),

则解得％o=—a=l—力，所以Q—b=-1.

故答案为：一1.

14.(5分)盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在

此过程中，取到黄球的个数为X,则。(X)=.

【答案】*

【解题思路】先写出随机变量X的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解.

【解答过程】随机变量X的所有可能取值为()，1,2,3,

则P(X=O)=jP(X=l)=|x1=i

P(X=2)=^3Xj2X-1=-1,P3(X2=31)=-X1-x-x1=-,

所以E(X)=0x^+1+2+3x^=|,

2

D(/)=02x^+l2xi+22x>+32x^-(1)=).

、)4444\2/4

故答案为：*

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)在(2五一?”二项展开式中，所有项的二项式系数之和为32.

(1)求展开式中》的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】⑴-240

(2)720x4,-1080%-2

【解题思路】(1)由二项式系数和为2n可求得九的值，然后写出二项展开式通项，令"勺指数为1,求出参

数的值，代入通项后即可得解；

(2)易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大

的项.

【解答过程】(1)由题意可得，二项式系数为2〃=32解得"=5,所以该二项式为

则通项公式为①+1=C专(2伪5叫一习=(-3)^125-^—(0<k<5,kEN),

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令等=1，解得k=l,所以该二项式的展开式中的工的系数为［一3)禺24=—240.

(2)因为n=5,易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，

即72+1=(-3)2C|23X4=720x4,73+1=(一3下髭22%-2=-1080%-2,

所以展开式中二项式系数最大的项是720%心，-1080%-2.

16.(15分)已知函数f(x)=Inx+mN一3%,函数/1(%)在x=1处的切线方程为y=-2.

(1)求血的值；

(2)求函数/'(%)的极值.

【答案】(l)m=1

(2)极大值为一E2—也极小值为一2

【解题思路】(1)先求导，由已知根据尸(1)=0即可求解；

(2)利用导数判断函数的单调性即可求解极值.

【解答过程】(1)函数/'(%)的定义域为(0,+8),f(x)=；+2mx-3,

y=/(x)在％=1处的切线方程为y=-2、

•••//(1)=1+2m—3=0,解得m=1.

(2)由(1)知m=1,

•••/(%)=\nx+x2-3x,r(%)=；+2x-3=?弋"十〔=

令，(%)>o,得ovxv2或3>i；令r(x)V0,得^VxVl,

所以/(%)在(0*)和(1,+8)上单调递增，在&」)上单调递减，

因此/(乃在%=泌取得极大值，月/出=ln1+^-|=-ln2-1,

在%=1处取得极小值，且/'(1)=-2,

故/(%)的极大值为一ln2—%极小值为-2.

17.(15分)现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球，一个黄球和一个绿球；黄

色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机

抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.

(1)求第二次抽到红球的概率；

(2)若第二次抽到红球，求它来自黄色盒子的概率.

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【答案】(1)4

【解题思路】(1)分别记事件第i次先从红色盒子内取出红球为41，取出黄球为42,取出绿球为力3,第二

次抽到红球为&则8=(4/)U(A2B)U(力38).然后求出各个事件的概率以及条件概率，利用全概率公式计

算即可得出答案；

(2)利用条件概率公式以及贝叶斯公式求解即可得出答案.

【解答过程】(1)分别记事件第一次先从红色盒子内取出红球为41，取出黄球为82,取出绿球为小，第二

次挣到红球为8,则8=(&8)U(A2B)U(&8).

由已知可得，P(%)="(<2)=>(备)=}«引4)=疑(引力2)=%1旬=4，

所以，P⑻=PGM)+P(A2B)+P(i435)

=P(4DxP(8|4)十P(X2)xP(Z?|712)+尸(甸xP(B|d)

11.12.129

=2X2+4X5+4X5=^'

(2)由已知可得，第一次取到黄球，

所以第二次抽到红球，求它来自黄色盒子的概率为“々IB)=黯=片外=y=£

18.(17分)为庆祝校庆，5名同学(3男2女)相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连

在一起.(列出算式并计算结果)

(1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？

(2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？

(3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？

【答案】(1)24种

(2)12种

(3)24种

【解题思路】(1)利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将推绑后的男生、

女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果.

(2)利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后

利用分步乘法计数原理求得答案.

(3)先将甲乙丙以外的其余2人排好，然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案.

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【解答过程】(I)先将3名男生排在一起，有A§=6种排法，

再将2名女生排在一起，有A孑=2种排法，

将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有A名=2种排法，

由分步乘法计数原理可知，共有“xA|xAi=6x2x2=24种排法.

(2)先将3名男生排好,共有的=6种排法，

再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有A；=2种排法，

再由分步乘法计数原理，共有鹏xA1=6x2=12种排法.

(3)先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有A名=2种排法，

由于甲乙相邻，则有A名=2种排法，

最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有A,=6种排法,

由分步计数原理，共有A9xA|xAi=2x2x6=24种排法.

19.(17分)已知函数/(%)=］一5Z—QX(aeR).

(1)若不等式/(x)>1在％€［0,+8)上恒成立，求实数Q的取值范围：

(2)若x>0,求证：(e“一紧2+i)］n(x+1)>2x.

【答案】(1)(一8,1］

(2)证明见解析

【解题思路】(1)通过求导判断［(工)在［0,+口)上单调递增，根据参数。分类讨论函数f(%)在［0,+8)上的

单调性，分析其极值，即可确定参数a