正弦定理-2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026湘教版高中数学必修第二册

1.6.2正弦定理

基础过关练

题组一已知两角及任一边解三角形

1.（2025重庆凤鸣山中学月考）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

人=45。。=60*=6,贝1」a=（）

A.lB.V2C.V3D.2

2.4AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=1,cosB岑,a=10,贝ijb=（）

AUB"C-D-

3.设4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=V3,sin13。2邑则b=.

题组一已知两边及其中一边的对角解三角形

4.（多选题）（2025甘肃陇南礼县白河中学月考）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

下列判断错误的是（）

A.B=60°,c=4,b=5,AABC有两解

B.B=60°,c=4,b=3.9,AABC有一解

C.B=60°,c=4,b=3,AABC有一解

D.B-60°,c-4,b-2,AABC无解

5.（2025甘肃武威六中阶段测试）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,a=2,B=j,b=2V3,5!iJC=（）

A]B,；c]或？D.戏

o26232

6.4AABC中，若NB=30o,AB=26,AC=2,则AB边上的高是.

题组三利用正弦定理判断三角形的形状

7.（2025上海宝山华曜高级中学月考•）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

A+B=2C,且sin2C=sinAsinB,则aABC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

8.在4ABC中,sinA=^产g贝|JZ\ABC的形状为______.

cosfi+cosC

题组四三角形的面积公式及其应用

9.4AABC中，已知&=2尸=3,2©=120。贝」S^ABC=()

A.yB.苧C.V3D.3

10.(2025甘肃平凉期中)在AABC中,BC=2S&ABC=弓割及，则4ABC外接圆的半径

为.

11.若锐角^ABC的面积为10V3,flAB=5,AC=8,则BC=.

12.在4ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(a-V3b)sinA+bsinB=csinC.

⑴求角C;

(2)若sinAsinB-"：c=2,求AABC的面积.

能力提升练

题组一利用正弦定理解三角形

1.某次考试后，甲同学只记得:在4ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=2,其他条件忘

了，最后解得b=2>/5.乙同学给出以下4个条件:①A=m，B=?;②c=l,cosC二;③c=3,cos

o33

B4；④C端A3.有可能是题目中的己知条件的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

2.（多选题）（2023河北唐山二中期末）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（a+b）-（sin

A-sinB）=（c-b）sinC,若b+c=4,贝I]a的取值可以是（）

A.lB.2C.3D.4

3.（2024江苏镇江中学学情检测）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

bsinxZBAC=V3acosB,若M是BC边的中点，且AM=AC,贝UsinNBAC=.

题组二三角形的面积公式及其应用

4.在△ABC中，已知b2・bc・2cM）,且a=述,cosA=^则4ABC的面积等于（）

O

C.2D.3

5.已知z^ABC的内知A,B,C的对边分别为a,b,cAABC的面积为内，旦2bcosA=2c-a,a+c=4,

则4ABC的周长为（）

A.4+V3B.6

C.4+2V3D.8

6.（2025甘肃定西临洗文峰中学月考）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且分别以

a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为Si,S2,S%已知Si+S3s邛ac.

⑴求角B;

（2）已知a=4,当比取得最小值时，求aABC内切圆的半径.

C

题组三正弦定理的综合应用

7.（2025甘肃定西月考）己知4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ZBAC为钝角，且

yc-asinC=0,若NBAC的平分线交BC于点D,且AD=1,则b+c的最小值为（）

A.2B.2V3C.4D.3V2

8.（多选题）（2025甘肃金昌永昌第一高级中学月考）在AABC中，内角A,B,C的对逅分别为

a,b,c.已知（a+b）（sinA+sinB）=csinC+asinB,c=6,则下列结论正确的是（）

A.C=j

B.AABC外接圆的半径为275

C.AABC的面积的最大值为36

D.若CD为4ABC的中线，则CD>V3

答案与分层梯度式解析

1.6.2正弦定理

基础过关练

l.B2.C4.ABC5.B7.C9.B

LB由正弦定理得就或焉解得aS

2.CVcosB4且BE(0㈤,B4,sinB=i,

又sinA—,a=10,「・由正弦定理得邛*，解得b^.

•一一J

42

3.答案1

解析因为sinB=,且Be(0,兀)，所以B、或B=^,又Cj所以B=^,所以A=TI-B-C=^,Xa=V3,

2666n3

所以由正弦定理得%解得b=l.

S畤S呜

4.ABC对于A,因为B为锐角且c=4〈5=b，所以AABC有唯一解，故A中判断错误；

对于B,因为B为锐角且csinB=4xf=2V5v3.9=b<c,所以4ABC有两解，故B中判断错误；

对于C,因为B为锐角且csinB=4x?=2V5>3=b，所以AABC无解，故C中判断错误；

对于D,因为B为锐角且csinB=4x乎2VI>2=b，所以4ABC无解，故D中判断正确.

解题模板

在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a,b和A,以点C为圆心声为半径画

弧，此弧与除去顶点A的射线的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数总结如卜表：

A为钝A为直A为锐

条件

角角角

a>b一解一解一解

a=b无解无解一解

a>bsinA两解

a<ba=bsinA无解无解一解

a<bsinA无解

5.B由正弦定理得今邛，所以sinA=1,

sinJ2

2

又b>a,所以A不是钝角，所以

所以C=TC-A-B=^.

6.答案1或2

解析由正弦定理，得sinC上等3等4，

AC12

・・・/©=60。或/©=120。.

当NC=60。时,NA=90o,AB边上的高为2;

当NC=120。时,NA=3()o,AB边上的高为2sin30°=1.

综上,AB边上的高为1或2.

7.C由题意可知A+B+C=3C=18O。,则C=60°,

因为sin2C=sinAsinB,

所以由正弦定理得c2=ab,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,lj!iJa2+b2・ab=ab,则(a-b)2=0,所以a=b,所以a=b=c,

故4ABC为等边三角形.

方法总结

利用正、余弦定理判断三角形的形状一般有两种方法:一是角化边，利用正、余弦定理

把条件转化为边的关系，再结合因式分解、配方等方法得到边的相应关系，从而判断三角形

的形状;二是边化角，利用正、余弦定理把条件转化为角的关系，从而判断三角形的形状.

8.答案直角三角形

解析由题意得ai272」，,

2ac2ab

即(b+c)a2=b*+c3+bc(b+c),

所以a2=b2-bc+c2+bc,J9f以a2=b2+c2,

所以4ABC是直角三角形.

9.BS"Bc《absinC《x2x3x^=^.

10.答案3

解析因为S△ABC当刀•元

所以加81MqsinA昔M8|MC|cosA,

所以tanA=V5,所以A为锐角,sinA=y.

设4ABC外接圆的半径为R,则2R=^=6,所以R=3.故4ABC外接圆的半径为3.

T

11.答案7

解析由已知得4ABC的面积为^AB・ACsinA=20sinA=10©所以sinA=y,

因为A・(Og),所以A=.

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2・2AB・ACcosA=52+82-2x5x8x1=49,所以BC=7.

12.解析⑴由已知及正弦定理，得(a-6b)a+b2=c2,即a2+b2・c2=/ab,

I.I,I厂。2+乂/V3

则COSC-谒-2,

因为0<C<7i,所以c=y.

(2)设4ABC外接圆的半径为R,

£

则2R=--^r=4,

sintsin6-

所以a=2RsinA=4sinA,b=2RsinB=4sinB,

所以ab=16sinAsinB=4(l+V3),

所以S△ABC^absinC=1x4x(]+V3)x1=1+V3.

能力提升练

l.C2.BC4.A5.B7.C8.BCD

l.C若选条件①:因为a=2,A=;,B=^,

o3

所以由正弦定理，得义W,解得b=2g,故①符合；

sin^smj

若选条件②:因为a=2,c=l,cosC=1,

所以由余弦定理，得cosC岑V察总整理得3b2・4b+9=0,此时关于b的一元二次方程

2ab4D3

无实数解,故②不符合；

若选条件③:因为a=2,c=3,cosB=yj,

所以由余弦定理，得cos,可得b?=12,所以b=2V5,故③符合；

2ac.I2一1：2

若选条件④:因为C=^,Aq所以B=7C-A-C=7r-(m+B)q,

又因为a=2,

所以由正弦定理,得马士，解得b=V5，故④不符合.

sin^sin-

2.BC由三角形三边关系相a<b+c=4.

因为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,

所以(a+b)(a・b尸(c・b)c,整理得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理，得

cosA一标2bc广V2

因为A0(0,兀),所以A=j.

因为bc《争:当且仅当b=c=2时，等号成立，

所以a2=b2+c2-2bccosA=b2-»-c2-bc=(b+c)2-3bc>^(b+c)2=4,

所以a22,当且仅当b=c=2时，等号成立，故2<a<4.

3.答案?

解析因为bsinNBAC=V5acosB,

所以由正弦定埋得sinBsinZBAC=V3sinZBACcosB,

又Ov/BACv纵所以sinZBAC>0,

则sinB=V3cosB,即tanB=V3,

又0<B<兀，所以B4.

在AABC中,由余弦定理得AC2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

在△ABM也由余弦定理得AM2=f^+c2-2-^ccosB=^+c2-^ac,

因为AM=AC,所以a2+cZac苧c2_$c,化简并整理，得c有

代入AC2=a?+c2-ac,得AC\2+仔)・a,子圣，贝！|AC=ya.

在4ABC中，由正弦定理得:

s\nBsinZBAC

所以sinNBAC『=9T.

4.A因为b2-bc-2c2=0,

所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c.

由余弦定理及已知，得6=4c?+c24c2g2,

所以c=2,所以b=2c=4,

因为cosAe(0,兀)，所以sinA=^-,

oo

所以SABC=|bcsinA=1x4x2xv'5-V'5.

AZZoZ

5.B因为2bcosA=2c-a,

b^+c^-a2

所以2b=2c-a,

2bc

整理，得a^c^^-b^ac,

所以cosB-u'b

又B£（0,兀），所以B=

乂因为Sw\Bc《acsinB=0,所以ac=4,

联立｛黑二，解得'=。=2,

故4ABC为等边三角形，

所以4ABC的周长为6.

6.解析(1)由题意得SlWa±sin60。4a\

S2=1b2sin60°=yb2,S3=^c2sin60°=yC2,

则Si+S3-S2=ya2+yC2-Yb2=yac,

即a^c-^-b^ac.

由余弦定理得cosB-"~；T,：一；,

lac2

又因为B£(0m),所以B三

(2)因为a=4,B专

所以b2=a2+c2-2accosB=16-c2-4c,

所以/：9」6:4+1―生2J7^4=6,当且仅当cT，即c=5时等号成立，

此时b2=21,所以b=0T,

则SA?xBC=7acsinB=^x4x5x^=5V3.

设4ABC内切圆的半径为r,

则SAABC=1(a4-b+c)r,

所以］=2SL・3收近

a+b+c2'

所以A