2026年高考数学一轮复习讲义函数与方程（知识点+试题+7大考点）

第08讲函数与方程

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：函数零点所在区间的判断........................................................2

高频考点二：函数零点个数的判断.............................................................3

高频考点三；根据零点个数求函数解析式中的参数..............................................3

高频考点四：比较零点大小关系...............................................................4

高频考点五：求零点和........................................................................5

高频考点六：根据零点所在区间求参数........................................................6

高频考点七：二分法求零点...................................................................6

第一部分：基础知识

1、函数的零点

对于一般函数>=我们把使/")=0成立的实数工叫做函数)=的零点,注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=fM的零点就是方程fM=0的实数根，也就是函数y=/(X)的图象与A-轴的交点的横坐标

即方程/W=0有实数根。函数)，=/(x)的图象与大轴有交点。函数y=/(x)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间团,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数

>=/3)在区间(。/)内有零点，即存在C£(。,份，使得/(c)=。，这个C也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4、二分法

对于在区间上连续不断且/3)•/(h)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区

间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/。)=。

的近似解就是求函数fW零点的近似值.

5、高频考点技巧

①若连续不断的函数fW是定义域上的单调函数，则fM至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数尸(X)=fM-g(x)有零点O方程/。)=。有实数根=函数y=/(X)与%=g(x)的图象有交

点；

④函数F(X)=/(幻有零点=方程F(x)=0有实数根。函数升=f(x)与%=〃的图象有交点<=>

ae{y\y=f(x)}t其中。为常数.

第二部分：高考真题回顾

1.(2024・新课标I卷高考真题)当N[0,2m时，曲线产sinx与y=2sin3x-J的交点个数为()

I6)

A.3B,4C.6D.8

2.(2024•全国甲卷•高考真题)曲线y=与)，=-(x-l)，a在(0,+“)上有两个不同的交点，贝心的

取值范围为.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数零点所在区间的判断

典型例题

例题1.(2025・湖北十堰•模拟预测)函数/Q)=x+lnx-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

例题2.(2026高三•全国•专题练习)函数/。)=1。8/+工-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3,4)

精练高频考点

1.(2025•河北沧州•二模)函数/(x)=2i+lnx-l的零点所在的区间为()

2.(2025高三•全国•专题练习)已知/")=ei-hir-ar有且仅有1个零点/，若则%的取值范围

为()

A.（0.1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

高频考点二：函数零点个数的判断

典型例题

例题1.（2025・浙江•二模）定义在（0,+"）上的函数“X）满足/&）=-/（"，/（：）=-/（2”，当

时，/（.r）=（.r-l）（x-2）,则函数y=/（x）+；在区间［1,100］内的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

例题2.（2025高三•全国•专题练习）函数八幻=三-工+1的零点个数为（）

3

A.1B.2C.3D.4

例题3.（2025•福建南平•三模）设［可表示不超过实数x的最大整数，如［2］=2,［2.3］=2,［-2.3］=-3,则方

程.rfog6H=［可解的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

精练高频考点

1.（2025•河北保定•一模）已知f（x）是定义在R上的函数，且有/（x+l）=/（x）+l,当0</1时，

/（x）=3x+l,则方程〃力=4的根的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2V-2,0<X<1

2.（24-25高一上•福建龙岩•期末）若函数,.则函数8。）=工2/（的_］的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.无数个

8"+1xv0

|",若关于x的方程l/（x）］2-3/（x）+2=0的解的个数

{log>0

是_________

高频考点三；根据零点个数求函数解析式中的参数

典型例题

例题1.（2025•浙江绍兴•模拟预测）已知函数/（耳=9+4乂+/一4有唯一零点，贝匹=（）

A.0B.-2C.2D.±2

2

例题2.（24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）已知函数/"）=若函数

|lgx|,x>0

以外=/。）-。有三个不同的零点，则实数的取值范围为（）

A.（0,1]B.[0,1]C.（0,+co）D.（1,+co）

例题3.（2024高三•全国•专题练习）设函数/（x）=V+2x+a,若函数），=/（/（»）有且只有2个不同的

零点，则实数。的取值范围为.

精练高频考点

1.（2026高三•全国•专题练习）己知函数/（幻=/+云+。的两个零点为2,3.若函数,式幻=/。）+〃次的

两个零点分别在区间（L2）,（2,4）内，则实数m的取值范围为.

2X

2.（23・24高三上•四川遂宁•期末）已知函数2”之兄若恰有2个零点，则实数〃的取

x2-3x+2,x<a.

值范围是.

2

3.（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知函数5（x）=/（x）-/f（x）（reR）,若关于x的方程

履月=3-/有二个不同实数根.则实数f的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（x/3,2）C.D.（2,-H^O）

高频考点四：比较零点大小关系

典型例题

出=噫&+1),

例题1.（24-25高三上•全国•课后作业）设>1，与，工均为实数，且=10g3X2,

rr

=logX,则()

,23

A.<.v3<x2B.x3<<%

C.x,<x2<x3D.Xy<<X,

例题2.（多选）（25-26高三上•全国•课后作业）已知实数"是函数/（%）=图-隧2（1）|的两个零

点，则下列结论正确的是（）

A.（x,-l）（x2-l）e^0,^B.

C.（5一1）（七一1）£（1，2）D.（5一2）伍—2）«+0）

精练高频考点

1.（多选）（2025•四川达州•模拟预测）若实数logz&log/都是一次函数〃刈=以-1的零点，则下列不等

关系中可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

2.(多选)(2024•河北•模拟预测)已知函数/(x)=e'+2x-2、g(x)=2hu+x-2的零点分别为今七，则

()

XA,

A.2X]+2=2B.x,x2=e+liu2

C.x}+x2>^D.2%%<Ve

高频考点五：求零点和

典型例题

例题1.（2024•贵州六盘水•模拟预测）己知函数/（外=2,+x,g（x）=log2X+KMX）=丁+x的零点分别为“，

b,c,贝!1。+力+。=（）

A.0B.2C.4D.6

例题2.（多选）（24・25高一上•山东济宁•阶段练习）已知函数/⑴即党+：：'"2；若方程尸/⑴-"？

x~-8x+13,x>2,

有4个不同的零点*],x2,X3,X4,且王<々<当<七，则（）

A.0<77/<1B.XrV2=1

C.5+凡=4D.的取值范围为（4+6,6）

0：8“-,'

例题3.（24-25高三上•湖北•期中）设函数/（幻=[二一2："<；关于*的方程八幻二。有三个不等实根为,和七,

一2x+6,x>2

且为<天〈刍，贝1」2%+2占+3刍的取值范围是.

精练高频考点

1.（多选）（23-24高一上广东江门•阶段练习〉己知函数/（工）=।个*，若方程.v=/（x）-〃？

X-8x+l6,x>3

有4个不同的零点/，勺，七，%,且王〈占<七〈七，贝U（）

A.0</w<2B.x}+x2=x]x2

C.x3+x4=6D.I—I+x4）=8

IX1X2J

2.(2026高三•全国•专题练习)已知函数/*)满足/(t)+/(x+2)=。，若函数y=/(x)——；有6个零点，

x-1

则6个零点的和为.

3.(24-25高三上•北京平谷•期中)设函数小)=[£一："+2产°,/⑴的单调递减区间是；若

互不相等的实数4，S，/满足/(再)=/(%)=/(&)，则』+占+m的取值范围是.

高频考点六：根据零点所在区间求参数

典型例题

例题1.(23・24高三上•广东深圳•期末)已知函数“r)=^+4x+a在内有零点，贝心的取值范围是

()

A.(-5,5)B.(-00,-5)55,+°°)C.[-5,5]D.,一5卜[5,+8)

例题2.(2023•宁夏银川•三模)函数/("=1叫工+/+，〃在区间(2,4)上存在零点，则实数〃:的取值范围

是()

A.(^o,-18)B.(5,+8)

C.(5,18)D.(-18,-5)

精练高频考点

1.(2025•陕西西安•模拟预测)若函数〃x)=lgx+f在(1.10)卜有零点,贝卜的取值范围为()

(।>

A.(—10,0)B.--,0C.(0,1)D.(—1,0)

IIU/

2.(2025・辽宁抚顺•模拟预测)函数/")=履-4+X1O&X在区间[1,4)内有零点，则实数攵的取值范围为()

A.[-4,1)B.(-4,1]C.[—1,4)D.(-1,4]

高频考点七：二分法求零点

典型例题

例题1.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标

的是()

例题2.（25-26高三上•全国•课后作业）设/?3=2'+地《+1）-2,某同学用二分法求方程/心）=0的近

似解（精确度为0.5）,列出了对应值表如下：

X-0.50.1250.43750.752

力（工）-2.29-0.74-0.120.493.58

依据此表格中的数据，得到的方程近似解朝可能是（）

A.A0=-0.125B.x0=0.375

C.x0=0.525D.x0=1.5

例题3.（25・26高三上,全国•课后作业）用二分法求函数/（x）的一个正实数零点时，经计算，

/（0.64）<0,/（0.72）>0,/（0.68）<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可取（）

A.0.65B.0.74C.0.7D.0.6

精练高频考点

1.（2025•广东汕头•模拟预测）用二分法求函数〃x）=hir+2x-6在（2,3）内的零点近似值，若精确度要求

为0.1,则需重复相同步骤的次数至少为（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2025高三下•全国•专题练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是

3.（2。234•广东梅州•二模）用二分法求方程近似解时'所取的第一个区间可以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

第08讲函数与方程

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：函数零点所在区间的判断........................................................2

高频考点二；函数零点个数的判断.............................................................3

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数..............................................3

高频考点四：比较零点大小关系...............................................................4

高频考点五：求零点和........................................................................5

高频考点六：根据零点所在区间求参数........................................................6

高频考点七：二分法求零点...................................................................6

第一部分：基础知识

1、函数的零点

对于一般函数)=我们把使/。)=0成立的实数x叫做函数y=的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数)=/(x)的零点就是方程/(x)=0的实数根，也就是函数)，=/(x)的图象与A-轴的交点的横坐标

即方程/(x)=0有实数根o函数)，=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=fW有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间［4切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/S)・/S)<0,那么，函数

>=/*)在区间5泊)内有零点，即存在。£(氏〃)，使得F(c)=o,这个。也就是方程/5)=。的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4、二分法

对于在区间上连续不断且/(〃)♦f(h)<0的函数y=j\x),通过不断地把函数/(X)的零点所在的区

间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/。)=。

的近似解就是求函数fW零点的近似值.

5、高频考点技巧

①若连续不断的函数fM是定义域上的单调函数，则fM至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数尸（X）=f（x）-g（x）有零点O方程/。）=。有实数根=函数y=/（X）与%=g（x）的图象有交

点；

④函数F（X）=/（幻有零点=方程F（x）=0有实数根。函数升=f（x）与%=〃的图象有交点＜=＞

ae{y\y=f（x）}t其中。为常数.

第二部分：高考真题回顾

1.（2024・新课标I卷高考真题）当N[0,2m时，曲线产sinx与y=2sin3x-J的交点个数为（）

I6）

A.3B,4C.6D.8

【答案】C

【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数

【分析】画出两函数在[0,2句上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数y=sinx的最小正周期为7=2几，

函数＞'=2sin（3x-£|的最小正周期为T=y,

所以在140,2可上函数），=2sin（3xq）有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

2.（2024•全国甲卷•高考真题）曲线y=V-3.i与），=-在（0,+的上有两个不同的交点，贝心的

取值范围为.

【答案】（一2,1）

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质

【分析】将函数转化为方程，令/-3/=-（工-1）2+。，分离参数a,构造新函数g（x）=V—5x+l,结合

导数求得g（x）单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【详解】令/-3x=-(x-l『+a,即4=父+/一5x+l,令g(x)=V+f-5x+l(x>0),

贝IIg'(x)=3x2+2.r-5=(3x+5)(x-l),令g[x)=0(x>0)得x=1,

当工e(0,l)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当时，£(x)>0,g(x)单调递增，g⑼=Lg(l)=-2,

因为曲线y=F-3x与y=-(x-1丫+a在(0,-HX>)上有两个不同的交点，

所以等价于y与g(x)有两个交点，所以2,1).

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数零点所在区间的判断

典型例题

例题1.(2025・湖北十堰,模拟预测)函数/Q)=x+lnx-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据零点存在性定理即可求解.

【详解】函数/。)=X+加，-4的定义域为(0,+8),因为f")在(0,y)上连续且为增函数.

K/(2)=-2+ln2<0,/(3)=-l+ln3>0,则/⑵•/⑶<().

由零点存在定理可知，函数/*)=工+皿工-4的零点所在的区间是(2,3).

故选：C.

例题2.(2026高三•全国•专题练习)函数/。)=1。9/+%-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【知识点】由对数(型)的单调性求参数、判断零点所在的区间

【分析】根据题意，得到/(%)在(0,y)在(。,+⑹上是增函数，结合/⑴•/(2)vO,利用零点的存在性定理,

即可求解.

【详解】由函数/*)=log3x+x-2的定义域为(0,+◎,

因为.y=log)和>=x-2在(0,+oc)都是增函数，可得/")在(0,a)上是增函数，

又因为/(1)=-1<0,/(2)=log32>0,可得/⑴•八2)<0,

根据函数零点存在定理，可得函数/3=log/+x-2有唯一零点，且零点在区间(L2)内.

故选：B.

精练高频考点

1.(2025•河北沧州•二模)函数"x)=2'+lnx-l的零点所在的区间为()

【答案】B

【知识点】判断零点所在的区间、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.

【详解】因为y=2'与y=lnx-1均在定义域上单调递增，

所以/(x)=2'+lnx-l在(0,y)上单调递增，

f^=V2+ln^-l=V2-l-ln2,

1.,-1<—,In2>In>/e=—,

22

=x/2-l-ln2<0,

又,"⑴=2+lnl-l=l>0,

••函数的零点所在区间是(；，1).

故选：B.

2.(2025高三•全国•专题练习)已知/("=。1-加-方有且仅有1个零点若">0,则％的取值范围

为()

A.(0.1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间、函数与方程的综合应用、利用导数研

究函数的零点

【分析】求导，分析出函数的单调性，然后得出零点的大概位置，构造函数，求出函数值域即可得出答案;

或者参变分离，转换成函数图像交点问题.

【详解】解法一：由题可得，/(x)=ex-'-lai-av,定义域为(0,+动，:")=上」一4.

.1

设式”=--口，则/")=尸+/_>。，所以g(x)在((),+功上单调递增，

即f'(x)在(0,+8)上单调递增.

设力(x)=e=x-l,则=

当工>0时，”(力>0,所以力(力单调递增；

当工<0时，”(“<0,所以网力单调递减，

所以〃(力之〃(0)=0,所以e—x-lNO,即e-x+1,当且仅当x=0时取等号.

所以r(l+a)=e"―J--a>a+\--^--.=1->(),又/(1)=Y<0,

所以存在唯一的%«1,1+〃)，使得r&)=0,即eM-：-。=().

•o

所以当X«O/。)时，r(x)<0,/(X)单调递减；

当了《布+8)时,r(x)>o,/(X)单调递增.

因为函数/(X)有唯一的零点所以/&)=0,所以％=3即e"T=；+a,

所以/(七)='+。-1叫)一"二°.

玉)

设9(X)=_+4_lrLT-O¥(X>0),则e'(x)=-----«<0,

XXX

所以夕(x)在(1,+8)上单调递减，又因为必1)=l>0,*(2)=g-ln2-"0,所以lv/<2.

故选：B.

解法二：由题可得，/(x)=e'-'-lar-av,定义域为(0,y).

因为/(x)有且仅有1个零点%,所以e-'-lav-av=0有且只有一个根,

即a=对二也只有1个根,即直线)，=。与函数g(x)=£2二1竺图象只有一个交点.

XX

设g(x)=£i^a>o),则—>一产+叱(厂1)*+1".

Xg\X)一；一;

x2x2

令力(力=(工―1)。1+lar-l(x>0),所以〃(4=胧*“+：(x>0),

显然〃(力>0恒成立，所以/?(“在(0,+8)上单调递增，

又可1)=一1<。，/z(2)=e+ln2-l>0,所以存在为«1,2),使得〃&)=0,

当工«0,幻时，/2(A)<0,此时g'(x)<0,则g(x)单调递减；

当%«和+8)时,h(x)>Of此时g'(x)>0,则g(x)单调递增，

则g(x)2月(幻，当X-0时，g(X)T+8,当Xf+oo时，g(£|f+8.

作出直线y=a与函数g(r)的大致图象如图所示，

显然当“取到极小值g(fo)时，直线y=a与函数g(x)的图象只有1个交点，此时与=，。，所以不£(1,2).

故选：B.

高频考点二：函数零点个数的判断

典型例题

例题1.(2025・浙江•二模)定义在(0,+功上的函数“X)满足当X4l,2］

时，/(x)=(x-l)(.r-2),则函数y=/(x)+：在区间［1,100］内的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知识点】求抽象函数的解析式、求函数零点或方程根的个数

【分析】由题设条件可得/(月=/(公)，从而可先分析v=/(x)+；在［L4］上的零点个数为1,再结合前者

可得［1,100］内的零点个数.

【详解】因为/(：)=-〃2力，故C)=_"4x),故―/(》)=_/(©),

即f(x)=f(4x),

而当xe［l,2］时，/(x)=(x-l)(x-2),

Af4\44

故当xe[2.4]时,-e[l,2],故=-=-(—D(—2),

X\-X*/xX

(X-I)(X-2),XG[1,2]

故小卜-匕雇-2)”(何

、XX

/\2厂

当.re[l,2]时,/(x)=(x-l)(x-2)=|x-1一;e-;,0

而f(x)在11，T上为减函数,在P为增函数,

I'

故f(x)=在［1,2］有有且只有一个实数解为x=p

/、44,421

当4«2,4]时,/(x)=-(--D(--2)=----+-9

xx1.I24

而故/(力£()1,此时/")=-(在(2,4］上无解;

故当忖下,4八］(3)时，汛"力,则/(%)=/图,

结合［1,4］上/(力的性质可得〃x)=-：在［4匕2.41］上有且只有一个实数解,

且该实数解为x=彳二=|x,在(2•4皿,4口无实数解，

而43<100<4,且IO。〉］-

故f(x)=V在0,100］上的实数解为x=9，x==x4=6,X=^x42=24,

422/

3

X=^X4=96,共4个实数解，

故f(”+《共有4个不同的零点•

故选：B.

例题2.(2025高三•全国•专题练习)函数，(x)=』-x+l的零点个数为()

3

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】求函数零点或方程根的个数

【分析】将/(幻=怖7+1=。变形为工-l+'=0(xw0),从而转化为研究g(x)=《-1+’=0(工工。)的性

33x3x

质判断零点个数.

YI

【详解】易知。不是函数的零点，故/(xX菽r+luO-1+—=0(工工0),

33x

令g(x)=2■-1+,=0"工。)，则以幻在(一°0,0)，(。,内)上单调递减，

3x

又g(—1)>0,5(1)>0,g(2)v0,

故g(x)在卜(1,2)上各有一个零点，即零点个数为2,

故选：B.

例题3.(2025•福建南平•三模)设但表示不超过实数.1的最大整数，如[2]=2,[2.3]=2,[-2.3]=-3,则方

程x-|iog6M=3解的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【知识点】求函数零点或方程根的个数

【分析】作出函数)=1-[可和广|陛61|的图象，数形结合即可得解.

【详解】方程x-|陛6耳=国解的个数等价于函数y=x-[x]和)=|咋"的图象交点个数，

作函数尸工一团和尸|1叫'的图象如图所示：

摩

由图可知函数y=x-[x]和y=|io&H的图象的交点个数为5.

方程x-|log6M=可解的个数为5.

故选：B

精练高频考点

1.(2025•河北保定•一模)已知是定义在R上的函数，且有/(x+l)=/(”+l,当0<x<l时，

/(x)=3.r+l,则方程/(力=4的根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数

【分析】由已知，讨论工的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可.

【详解】“X)是定义在R上的函数，且有〃x+l)=/(x)+l,

当Ovx<l时，/(x)=3x+l,

贝!1-lvxKO时，0<x+l<1,贝！jf(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1VX<2时，0<XTW1J(X)=/(A1)+1=3X-1,

2vxK3时，0<x-2<l,/(x)=/(x-2)+2=3x-3,

3<xW4时，0<x-3<I,/(x)=/(x-3)+3=3x-5,

由图象可知方程f(x)=4的根的个数为3.

故选：C.

v2

2-,O<x<l

2.(24-25高一上•福建龙岩•期末)若函数/(幻=1,，则函数以幻=//3)-1的零点个数为()

A.2B.3C.4D.无数个

【答案】B

【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数

【分析】根据函数表达式确定函数/3)在(〃eN*)上是增函数且八〃)=/，零点个数转化为函

数f(x)与〃(刈=与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论.

x~

2X-2,O<X<1

【详解】由/(#=1,得，

/(■r)在区间5,〃+1］上的函数值都是区间(〃-1,网上相应函数值的一半，〃eN*,

又OvxVl时，=是增函数，即/(幻工/⑴=g,

记f(〃)=/，因此%£(〃一1，川时，/(x)W/'(〃)=5，

函数g(x)=x"(x)-l的零点个数，即=1的正解的个数，即/(1)=］的正解的个数,

即函数)，=/(©与函数》==的交点个数，

厂

令力")=2,它在(0,+◎上是减函数，/?伽)=与，//(2)=1=/(2),/:(3)=1</(3)=^/(1)=1,

xn~4948

力(4)=3=/(4),当〃25时，

作出y=/(x)和/?(x)='T在(0，+»)上图象，如图，由图可知：

厂

在工>4时，/(.r)的图象与力(幻的图象没有交点，所以在(0,+8)上，它们只有三个交点，

所以以外的零点个数为3.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数g(x)的零点转化为函数y=/(幻,/?(耳=2的图象交点，

并作出图象是求解的关键.

8"+[v<()

{Rog]；>0,若关于人的方程1/(刈2-3/(幻+2=0的解的个数

是_________

【答案】5

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用

【分析】求出或2,分别求出〃x)=l和/("=2时的解，得到答案.

[详解][/(X)]2-3/(幻+2=0=/(x)=l或2,

当“”=1时，若xKO,则8、+1=1,无解，

若r>f),|log<,x|=l,故log6^=1或1。§6/=-1，解得x=6或!，

当f(x)=2时，若xWO,则8'+1=2,解得x=0,

若工>0,|log6x|=2,故1。&%=2或log6%=-2,解得x=36或获，

所以方程[/(x)]2-3/(x)+2=0的解的个数有5个.

故答案为：5

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数

典型例题

例题1.(2025•浙江绍兴•模拟预测)已知函数/("=9+。凶+/-4有唯一零点，贝心=()

A.0B.-2C.2D.±2

【答案】C

【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由奇偶性求参数

【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.

【详解】定义域为R，

2222

f(-x)=(-x)+a\-j(\+a-4=x+a\x\+a-4=f(.x)f所以函数/'(x)为偶函数，

又因为函数/(力二/+小|+/-4有唯一零点，根据零点关于)，轴对称，得出〃0)=/一4=0,所以〃=±2,

当〃=2时，函数/(.r)=f+2N=0有唯一零点，符合题意；

当〃二一2时，函数=f-2k|=0有零点0,2,不符合题意舍；

故选：C.

2

例题2.(24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知函数〃x)=[一)若函数

|lgx|,x>0

R(%)=/(X)-方有三个不同的零点，则实数力的取值范围为()

A.(0,1]B.[0J]C.(0,+a))D.(l,+oo)

【答案】D

【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数图象的应用、根据对数型函数图象判断参数的范围

【分析】转化问题为函数丁=/(力与了=〃有3个交点，进而结合图象求解即可.

【详解】由题意，函数g(x)=/a)-力有三个不同的零点，

即方程/(x)=b有3个解，

即函数丫=/(1)与)=人有3个交点，

画出函数/(X)的大致图象；

由图可知，要使函数y=/(x)与)=匕有3个交点,

则

所以实数。的取值范围为（I，+8）.

故选：D.

例题3.（2024高三•全国•专题练习）设函数〃x）=x2+2x+a,若函数），=/（/（x））有且只有2个不同的

零点，则实数。的取值范围为.

-1-亚7+5

【答案】

F--2-

【知识点】根据零点求函数解析式中的参数

【分析】令，=/（可，将问题转化为方程组•力怒的解中的・r值来进行求解，结合y=/（x）与）=/的

图象列不等式来求得。的取值范围.

【详解】令1=/（x），则所求函数的零点即为方程组；的解中的X值.

根据题意，由方程②解出，（不妨设为乙、%，，代入到方程①，则方程①只有2解.

分别作出方程①两边函数），=/（工）与），=/（其中，=乙或，2）的图象（如图），

由题意，两图象只有2个交点.

/（。=/+2，+4=«+1）2+4_］的值域为［a-L+oo）,

故方程②的两个解：、力必须满足：

(i)或(ii)\=t2>a-\.

对于情形⑴，只要/(a—l)=(G—l