人教版九年级数学上册：实际问题与二次函数（基础达标）

26.4实际问题与二次函数

A基础达标题」

知识点一图形问题

1.(2026•浙江杭州•一模)如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园人AC。，花园两边由总长为18m的篱

笆围成，墙长。E=8m,QF=12m,则花园最大面积为()

C.81m2D.96m2

【答案】B

【分析】设AO工mi,则。。=(18-x)m,求得x的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答.

【详解】解：设=则OC=(18-x)m,

,墙长OE=8m,DF=12m,

/.0<x<8,0<18-x<12,

解得6VxM8.

花园的面积=x（18-工）=一/+18工=一（工一9）~+81,

.••当戈=8时，花园面积最大，最大面积为80m，

2.(24-25九年级上•广东广州•月考)如图,要使用长为27米的篱笆,一面利用墙,围成中间隔有一道篱

笆的长方形花圃.

⑴如果要围成面积为54平方米的花圃，那么4。的长为多少米？

(2)若墙的最大可用长度为15米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？

【答案】(1)3米或6米

(2)13.5米，4.5米

【分析】（1）根据面枳列方程进行解答即可；

（2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可.

【详解】（1）解：设A。=x米，贝iJA8=（27-3x）米，

依题意得汹27-3”=54,

解得3=3,再=6,

答：如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AO的长为3米或6米；

（2）解:设AO=〃米，则A4=（27-3a）米，花圃的面积为S平方米，

9?243

S=6;(27-36/)=-3a-+

2;

•••墙的最大可用长度为15米,

/.27-3«<15,

解得a"，

当4=4.5时，S取得最大值，此时S=一二，27-3«=13.5,

4

答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是13.5米，4.5米.

3.（25-26八年级下•福建福州•期口）如图，矩形A8CQ,点E在边上，设△仍C的底边8c长为工,

8c边上的高为》，它的面积为S,且、+y=7,S是关于x的函数，则S的最大值为.

【答案】v

O

【分析】由x+y=7,得至U），=7-x,利用三角形的面积公式即可得到S与.1的函数关系式，根据一次困数

的性质即可求解最大值.

【详解】解：,.r+y=7,

•••△E8C的底边BC长为工，BC边.上的高为它的面积为S,

（）49

,s=li77=3+L+一，

22'7228

749

・•・当x=:时，S有最大值，为?.

4.（25-26九年级下•福建龙岩•阶段检测）某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱

笆围成矩形菜地A4c。，如图所示，墙最大可利用长度为21米，菜地中间用篱笆隔开，在4c边上设计了

两个宽度为1米的小门，方便同学们出入，AO边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的筒笆.

⑴若设菜地的宽相为1米，则米（用含工的代数式表示）；且x的取值范围是__________；

（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽A4.

（3）求这块菜地的最大面积？

【答案】⑴（48-3力，9G<当

（2）10米

（3）189平方米

【分析】（1）AB=EF=CD=x,可得8c=46-31+2=（48-3工）米，结合2<BCW21,可求得x的取值范

围；

（2）根据题意可得方程工（48-3»=180,解方程即可求得答案；

（3）设菜地的面积为〉平方米，可得y=x（48-3x）,根据二次函数的图象和性质，即可求得答案；

【详解】（1）解：根据题意可知A3=Q=C£>=x.

根据题意可知AC=46-3x+2=（48-3x）米.

根据题意可知2VBeW2I,即

2<48-3x<2l

46

解得9。<£.

（2）解：根据题意,得x（48-3x）=180.

解方程，得玉=10,再=6（舍去）.

所以A3=10米.

（3）解：设菜地的面积为丁平方米.

根据题意，得y=A（48-3x）=Tv2+48x=-3（x-8）~+192.

因为y是X的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为x=8,当XN8时，随X的增大而减小，且

9*竺，

3

所以当x=9时，丁可以取得最大值，最大值为9x（48-27）=189平方米.

知识点二拱桥问题

1.（25-26八年级下•黑龙江绥化・月考）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为），=-；/,当水

面离桥顶的高度为胃米时，水面的宽度为（）

A.8米B.9米C.10米D.11米

【答案】C

【分析】令y=-个，解方程即可求出水面的宽度.

【详解】解：根据题意，令丁=-弓，得：

解得：为=5,x2=-5,

所以水面宽为：％-七=5-（-5）=10米.

2.（25-26九年级上•河南新乡•期天）如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为10m,拱高为5m的单行抛物

线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式），=-</+5,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有

0.8m的距离，则货车的限高应是m.

【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键.根据题意，先将X=1代入，求

得¥=4.8,然后结合车顶离隧道的顶部至少要有。.Xm的距离，即可求得答案.

【详解】解：由题意可知，当x=1时，y=-lxl+5=4.8,

•••为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，

货车的限高应是4.8-0.8=4(m),

故答案为：4.

3.(25-26九年级上•江苏泰州•月考)有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距5m时，祈孔内水面

宽为8m.

(1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式；

(2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4m,高为L5m.要使该船顺利通过桥孔,水面与拱

顶至少相距多少？

【答案】⑴产

1O

⑵2.75米

【分析】本题主要考查了二次函数的应用.

(1)设抛物线解析式为)，="、代入(4,-5),待定系数法求解析式即可求解；

(2)将尤=2代入y=得出),=_?,进而加上船的高度，即可求解.

164

【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=办。依题意，点(4,-5)在抛物线上

••・-5=16。，

解得：〃二-之，

16

5,

,j'F；

（2）解：当x=2时，y=--X22=--

164

•••水面与拱顶的高度为3+L5=2.75米.

4

4.（2026•山西阳泉•二模）综合与实践

问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程.如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形状可视

为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型门，其截面图

如图②所示.

数据收集：改造后组合型门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6

米.

数学建模：如图②，以AC所在直线为x轴，线段的中垂线为丁轴（抛物线的对称轴），建立平面直角

坐标系.

图①图②

问题解决：

（1）求改造后抛物线部分的函数表达式；

（2）为保障通行安全，需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求两个摄像

头之间的水平距离；

（3）已知门正中间设有隔离带（关于尸轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆

能正常通行，若消防车的宽为2.6米，高为3.75米，要保证消防车均可从大门两通道处通过，请直接写出

隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）.

【答案】（l）y=-32+6（-4GW4）

(3)0.8米

【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=⑪2+6,将点。（4,2）代入所设解析式求出〃的值即可得

出函数解析式：

（2）将y=3.6代入解析式求出X的值，将所求X的值，再相减可得答案;

（3）求出），=3.75时，求出x的值，再减去2.6,进而可得答案.

【详解】（1）解：连接4。，

由题意可知，四边形A8CO是矩形，

；门宽〃C为8米，矩形部分的高A8为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米,

.•.0C=4,CD=AB=2,E（0,6）,

由题意，设抛物线所对应的函数表达式为y=公2+6（。/0）,

将点力（4,2）代入，得16。+6=2,解得〃=:,

4

该抛物线所对应的函数表达式为y=一丁+6；

（2）解：•••需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，

二将），=3.6代入抛物线，得3.6=」F+6,

4

解得：司=［厉/2=-3屏，

，两个摄像头之间的水平距离为：百-（-1而）=［厉（米）;

（3）解：•.•消防车的宽为2.6米，高为3.75米，

.•.将），=3.75代入抛物线，得3.75=—［/+6,

解得：X,=3,X2=-3,

•••消防车的宽为2.6米，

.-.3-2.6=0.4（米），

•••隔离带的宽的最大值为04x2=0.8（米）.

知识点三投球问题

1.（25-26九年级上•山东烟台・期天）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度.V（米）与水平距离x

（米）之间的关系式为则此次实心球训练的成绩为（）

A.9米B.8米C.7米D.6米

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义.此次实心球训练的成绩就是

抛物线y=与x轴交点的横坐标，即当，=o时，求x的值即可.

【详解】解：当实心球落地时，）=0,

gp--x2+-x+-=0,

323

解得％=-；，占=8，

因为水平距离x不能为负数，

所以舍去玉=-g,

则此次实心球训练的成绩为8米，

故选：B.

2.（25-26九年级上•广西梧州•期天）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起

投篮，球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离•为2.5m时达到最大高度3.5m,然后准确落入篮

圈.已知篮圈中心到地面的距离是3.05m,则此时抛物线的函数关系式是（）

A.y=-2x2+4B.y=-0.2/+3.5

C.y=-0.2x2+3.05D.y=-0.2x2+2.5

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次函数的应用.设抛物线的表达式为），=。/+3.5,根据题意得，抛物线过点

（1.5,3.05）,由此可得。的值，即可求解.

【详解】解：・.・当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，

・•・抛物线的顶点坐标为（0,3.5）,

二设抛物线的表达式为y=a?+3.5.

根据题意得，抛物线过点（153.05）.

•••2.25。+3.5=3.05,

解得:a=-0.2,

•••抛物线的表达式为），=-0.2/+3.5.

故选：B.

3.（2026•山东临沂・一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度V（单位：m）与水平距离x（单位：

I0S

m）之间的关系式为：y=++有下列结论：

①该男生推铅球出手时，铅球的高度为L6m；

②给球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m：

③猎球落地时的水平距离为10m.

其中，正确结论的序号是.

杖/m，一…、

✓/、。、、

✓Z、、

✓✓、

f\

'o--------------------F

【答案】②③/③②

【分析】对于①，计算x=o时，y的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判

断：对于③，计算丁=。时，*的值即可判断.

1o55

【详解】解：对于①：将x=o代入丁=一5产得y=I

•••出手高度为:m,故①错误；

对于②：y=-x2+-x+-=-（x-4）2+3,

123312、7

••・顶点坐标为（4,3）,故②正确；

17S

对于③：将代入y=—不得

JLJJJ

I25八

---x'2+—x+-=0,

1233

整理，得/_81_20=0,

解得五=10或x=-2（负值，舍去），

铅球落地时的水平距离为10m,故③正确.

4.（2026・广东珠海•一■模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目.小强为了解自己实心球的训练情况，

他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在•次投掷中，实心球

从P轴上的点A（0,2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点小的坐标为（4,3.6）,落在

x轴上的点。处.

（1）求抛物线的解析式；

（2）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是

否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由.

【答案】（l）y=-0.1（x—4）2+3.6

（2）该小朋友有危险，理由见解析

【分析】（1）根据抛物线的顶点为8（4,3.6）可以设解析式为），="（64）2+3.6（〃工0）,再将点A（0,2）代入

求解即可;

（2）根据题意将x=9代入解析式求解即可判断.

【详解】（1）解：:抛物线的顶点为3（4,3.6）,

•••设抛物线的顶点式为：y=”X—4）2+3.6（。*0）,

将出手点A（0,2）代入解析式：2=“0-4『+3.6

2=18+3.6

18二一1.6

解得a=-0.1,

二抛物线的解析式为），=-0.1（X-4）2+3.6；

（2）解：该小朋友有危险，理由如下：

由题意得，将x=9代入抛物线解圻式，

2

^y=-0.1x（9-4）+3.6

=-0.1x25+3.6

=1.1（米），

•••小朋友身高为1.2米，

.•.1.1v1.2,

该小朋友有危险.

知识点四喷水问题

1.（25-26九年级上•湖北襄阳•期天）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛

物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离无（单位：m）之间满足函数

关系式,=-2/+421,则喷出水珠的最大高度是（：）

【分析】本题考查了二次函数的应用.把二次函数化为顶点式，进而即可求解.

【详解】解：vy=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3,

二当x=1时，）'幽大值=3,

即喷山水珠的最大高度是3m.

故选：B.

2.（25-26九年级上•江苏南通・期天）某广场有•喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水

点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线），=-丁+4］的一部分，则水喷出的最远水

平距离是（）

A.5米B.4米C.3米D.2米

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的应用.水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝

对值，据此解答即可.

【详解】解：令y=-V+4x=0,

解得x=0或x=4,

••.抛物线与x轴交于点（0,0）和（4,0）,

•••水喷出的最远水平距离是|4-0|=4（米）.

故选:B.

3.（2026・陕西咸阳••模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益

的重要途径.某农田引进了•台移动喷灌机，如图，灌溉机喷田的两条水流具有相同的抛物线形状，而且

左、右两条抛物线关于），轴对称.按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用），=-f—6x+l表

示.

⑴求水流的最高点到地面的距离：

⑵求左、右两条水流最高点之间的距离.

【答案】（1）水流的最高点到地面的距离为10米

(2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米

【分析】(1)将二次函数转化为顶点式进行求解即可：

(2)根据点关于y轴对称的性质进行求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，y=-x2-6x+l=-(x+3)2+10,

二抛物线的顶点坐标为(-3,10),

.•.水流最高点到地面的距离为10米；

(2)解：•.•左、右两条抛物线关于)，轴对称，

・•・左边抛物线的顶点为(-3,10),其关于丁轴的对称点即为右边抛物线的顶点(3,10),

・•・左、右两条水流最高点之间的距离为：13-(-3)1=6米.

4.(2026•山西晋城•一模)如图(1)市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇

水.喷水口，离地高度。〃为1.6米.如图(2),可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系

中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形OEFG,其水平宽度DE=4米，竖直高度

所=0.9米，上边缘抛物线y的最高点人离喷水口〃的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿

化带底部边线的距离OO为d米.

图1图2

(I)求上边缘喷出水的最大射程OC；

⑵灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方.当d=3米时，请通过计算说明上

边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇港.如不能，喷水车应该怎样操作力能恰好

使整个绿化带都被浇灌.

【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程OC为8米

(2)当d=3米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动(5-3人)米或使

4=(3忘-2)米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌

【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为（2,1.8）,