2026年高考数学第一轮复习练：向量法求空间角（二）附答案

§7.8向量法求空间角（二）

（分值：60分）

阈知识过关

1.（13分）（2024・茂名模拟）如图，几何体是圆柱的一半，四边形ABCO是圆柱的轴截面，O为CO的中点，E

为半圆弧CD上异于C,。的一点.

（1）证明：AE_LCE；（4分）

⑵若A8=2AZ）=4,Z£DC=p求平面E03与平面。08夹角的余弦值.（9分）

2.（15分）（2025•常州模拟）如图1所示,△A5C为等腰直角三角形,AB=AC=2,E,2分别为AC,8C的中点,

将△CE/7沿直线E尸翻折，使得NAEC=］，如图2所示.

（1）求证：平面AEC_L平面A3FE；（5分）

（2）求平面与平面CEF夹角的余弦值.（10分）

3.（15分）（2024•漳州模拟）如图，在直三棱柱48C-A/Q中，AB=BC=2,ABVBC.CG=28,

布二2两（04<1）.

（1）当时，求证：CEJ_平面A8G；（7分）

（2）设二面角B-AE-C的大小为0,求cos0的取值范围.（8分）

10能力拓展

4.（17分）（2024.泰安模拟）如图I,在直角梯形ABCO中，AD//BC,ZBAD=^AB=BC=^AD,E是AO的中

点，。是AC与BE的交点.将沿BE折起到△?1山E的位置，如图2.

图1图2

（1）证明：平面3CQ£L平面4OC；（7分）

（2）若平面平面BCDE,求平面48C与平面AC。夹角的余弦值.（10分）

答案精析

1.(1)证明・・・6是圆的直径，

：.CELDE,

又..F。，平面CDE,CEu平面CDE,：,CELAD,

又•.♦OEnAO=O,DE,AQu平面ADE,，CE_L平面ADE,

又A£u平面AOE,・・・AE_LC£

⑵解记点E为点E在底面上的投影，以E为坐标原点，E^A,&B,BE所在直线分别为x,)，二轴，建

立如图所示的空间直角坐标系.

:48=4,ZEDC=-,

«5

：.DE=2,EC=2V3,

故E(0,0,2),。(1,V5,2),

8(0,2V3,0),D(2,0,2),

：.E0=(\,V3,0),丽=(0,2百，-2),

08=(—1,V3,—2),

0D=(\,-V3,0),

记平面EOB,平面008的法向量分别为〃=3,y,zi),

m=(X2,yi,Z2),

—x2+V5y2-2Z2=o,

x2-V3y2=0,

故可取yi=)，2=l,则汨=一百，

Z|=V3,X2=V3,z2=0,

即/:=(-V3,1,V3),m=(V3,1,0),

Acos〈〃,m>=3£=票=一号，，平面EOB与平面DOB夹角的余弦值为

|n||m|x/7x277

2.(1)证明由题可知AB1AE，因为E,尸分别为AC,8c的中点，所以EF//AB,所以EFLEC,EFLAE,

又因为ECCAE=E,EC,

AEu平面AEC,

所以E凡L平面AEC,

因为E/u平面A8FE,

所以平面AEC_L平面ABFE.

⑵解由(1)可知EFJ_EC,

EF±AE,因为NA£C=],

所以AE_LEC,所以AE,叫"EC两两垂直，以E4所在直线为x轴，石厂所在直线为)•轴，EC所在直线为

z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Eryz,

则£(0,0,0),

8(1,2,0),

C(0,0,1),

F(0,1,0),CB=(\,2,-1),W=(l,1,0),

易得平面CE/的一个法向量为

/«=(],0,0),

设平面8c/的法向量为〃=(x,y,z),

所以佟“%户2y-=o,

FB-11=0,(x+y=0,

取〃=(1,—I,—1),

所以|cos(tn,n)1=瞥?

1_V3

lxV33,

所以平面8CF与平面CE尸夹角的余弦值为g.

3.(1)证明以B为坐标原点,BC,BA,B&所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，

8(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),Ci(2,0,26)，E(0,0,2何)，

当人三时，《0,0,苧)，

所以同=(0,-2,0),跖=(2,0,2V3),CE=(-2,0,苧),

可得而•赤=(),西•雅=0,

所以CE±AB,CE1BC),

又因为ABC8G=B,AB,

8Gu平面A8G,

所以CE_L平面A8G.

(2)解由(1)可得而=(2,-2,0),

荏=[0,-2,2点)，

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

nAC=2x-2y=0,

则

以•荏=-2y+2V3Az=0,

令z=1,可得x=V3A,y=何，

所以“=(V3a，后，I),

因为BC_L平面A8E,所以平面的一个法向量为m=(2,0,0),

所以|cos4=产券=

2后_®入_V3

2

2XV6A24-1V6A+1C-T，

心+乃

又因为0<2<1,可得6+白>7,

所以|cos。|<建=,

V77

因为二面角8-4E-C为锐二面角，所以0<cos6<亨，

所以cos〃的取值范围为

(。，?)•

4.(1)证明在图1中连接CE,因为AD//BC,AB=BC=^AD,

BC

图I

E是A。的中点，N8AQ=1,

所以四边形A8CE为正方形，

四边形8CQE为平行四边形，

所以BE1AC.

即在图2中，BE工OAi,BELOC,OAiCyOC=O,OA,OCu平面A}OC,

所以BEJ_平面4OC

因为BEu平面BCDE,所以平面8COEJ_平面AQC.

(2)解由已知，平面4BE_L平面BCDE,

又由(1)知，BE^OAy,BEYOC.

所以/4OC为二面角4一8七一。的平面角，所以

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

图2

设4B=1,所以4山=A1=5C=EO=1,

因为BC//ED,

所以B（当，0,0）,E（-日,0,0）,4|（0,0,孝）,C（0,¥，。）.

得力=（一去日，0），

砧=（0,号,-y）,CD=BE

=（-V2,0,0）.

设平面的法向量为

〃产（工1,Z1）,平面AC。的法向量为“2=（X2,竺，Z2）,平面A|BC与平面4CO的夹角为0,

则『「土。得尸】+%="

•不=0,