河北省唐山市某中学2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试卷（含解析）

河北唐山市第十一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.复数z=(l+i)(-l+2i)的虚部为()

A.-3B.-1C.1D.3

2.已知四边形/18CQ中，AB=DC，并且|荔卜|而|,则四边形力3。。是()

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形

3.一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是()

A.三棱锥B.四棱柱C.三棱台D.五棱锥

4.在dMAC中，角力，B,C所对应的边分别为a,b,c,若。=9,b=6,4=60。，则sin4=()

1-1GD拒

A.一B，3c

333

5.已知z=4+3i,则|z|=()

A.5B.-5C.5D.-V7

6.在骨6C中，若配=3百口，则而二()

A.沙+；3—1—

ACB.—AB-\—ACC.-AB+-ACD.-JB+-AC

334444

7.在&中，三个内角4,B,C所对的边分别为。，〃，c,已知c=l,/+〃=R,+i,则sinC=()

A1D.正

B-TcT

•32

8.如图，在正三棱锥4-8C。中，/员4。=30。，侧棱长为4,过点C的平面与侧棱4。分别交于国，

A，则aCqA的周长的最小值为()

C.4>/2D.2百

二、多选题

9.设z为复数3为虚数单位)，下列命题正确的有()

A.若zwR,则z=zB.若—eR，则zeR

C.若z2+l=0,则z=±iD.若(l+i)z=l—i,ffl|z|=l

10.在96c中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知。=3,b=4,ZC=60°,则下列结论正确的是

()

A.c=V13B.a18C的面积为3石

C.sin5=—D.a2+b2=c2-ab

2

11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2H相等，下列结论正确的是()

A.圆柱的侧面积为4冗解

B.圆锥的侧面积为石7T*

C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和

D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

三、填空题

12.而+而—而的化简结果为.

13.已知复数z满足：z(l+i)=6i5,则复数z=.

14.如图，是水平放置的a6c的直观图，B'C=AC=1,HS'///轴，HC'〃y'轴，则36。

的周长为.

四、解答题

15.(1)设。+3i=("i)i,其中。，b为实数,求。，人的值;

(2)设复数2=力+。-2+(/-7。+61，其中awR.z所对应的点在复平面的第四象限内，求。的取值范

围.

16.(1)已知平面向量£,B的夹角为?，且同=1,可=2,求£石的值；

(2)平面内给定两个向量】=(3,4),^=(-1,2).

①求Z，B夹角的余弦值；

②求忸-闸.

17.在任48c中，力4=3追，AC=50BC=1也.

(1)求力的大小；

(2)求出/14C外接圆的半径与内切圆的半径.

18.如图，三棱柱力8。-44G内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是16兀，底面直径与母线

长相等.

A

(1)求圆柱的底面半径；

(2)求三棱柱力8C-4瓦G的体积.

19.电4次？的内角4的对边分别为。也。.已知(疝)一4cosc=ccosX

(1)求角。的大小：

(2)若〃=及，c(acosB-bcosA)=b2,判断三角形形状.

参考答案

1.C

解：z=(l+i)(-l+2i)=-l+2i-i4-2i2=-3+i,

故复数z的虚部为1.

2.A

【详解】由题意，四边形48CQ中，

因为方=反，可得画=|因且"〃C。，所以四边形/灰刀为平行四边形，

又因为|而|=|而可得=

所以四边形48CO为菱形.

故诜：A.

3.C

【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成.

故选：C.

4.C

【详解】由正弦定理可得，_=_2_n_2—=»_=sin.

sinAsinBsin60°sinB3

故选：C

5.A

【详解】121=74177=5.

故选：A

6.A

【详解】由比-3筋.得而=；庶=；(就-而).

而=而+而=刀+:(衣—画、筋+:就.

7.D

【详解】ta2+b2=ab+\>得/+62-1=,力，BPa2+b2-c2=ab.

由余弦定理得c°sC=*^=篝

2

cfez/BC中，Ce(O,n),所以CnC=Jl-cos?C=Jl-g)=*.

8.C

【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿4c展开,

所以△C8Q的周长为C2=CD,+04+>CC',

在正三棱锥彳-8。中，/8/。=30。，侧棱长为4,

所以ZCAC=ACAD+/DAB+ZBAC=3x30°=90°,

CCr=VAC2+AC'2=4A/2»C&cg24应,

故选:c.

9.ACD

【详解】对于A选项，若zeR,则z=&故A对；

对于B选项，不妨取z=i，则z2=i2=_lwR,但z不是实数，故B错;

对于C选项，若z'luO，则/=-1，可得z=i或z=-i,故C对；

对于D选项，若2=二==Wi则同=1，故D对.

1+1(/I,°+i：)?(l-i.)、2

10.AB

【详解】对于A,根据余弦定理/=/+方2_2"3。,

^c2=9+16-24cos60°=13,因比c=VI5,故A正确:

对于B,根据三角形面积公式S=g"sinC,

可得S」X3X4X1=3G，故B正确；

22

b

对于C,根据正弦定理,

sinBsinC

4x巫p~

可得c；nR_"sinC_qx2_2V39,故C不正确;

SinL5———-

C71313

222

对干D,因为c?=a+[y-2abcos60°=a+b-ab

所以/+力2=02+而，故D不正确.

故选：AB.

11.ABC

【详解】对于A：圆柱的侧面枳为2兀於2/?=4痴2,所以A选项正确.

对于B：圆锥的侧面积为,用+(2&>-#成：所以B选项正确.

12

对于C：圆锥的体积为7兀*・2R=球3,圆柱的体积为兀&・2R=2近，

33

4

球的体积为:兀川,所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确.

对于D：球的表面积为4兀心，圆柱的表面积为2兀火・2R+2兀相=6兀相，

圆锥的表面积为冗・R・J*+(2/?/+冗改=(6+1)］火,所以圆锥的表面积最小，故D错误.

故选：ABC.

12.0

【详解】荔+茄-茄=而-而=6.

13.3+3i

【详解】由z(I+i)=6i，,得2=鲁=2=湍告=等=等=3+互

14.2+V2+V6

【详解】由题意"C=WC=1,所以NCW8'=NC54=45°，可得为直角三角形,

所以/*=血,

根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，

可得a48c为直角三角形，其中A8=&,/1C=2HC'=2,

由勾股定理得BC=LB、AC?=瓜，

所以面8c的周长为2+五+&.

故答案为：2+6+屈.

15.(1)£/=-1,6=3(2)1<a<6

【详解】(1)由。+3i=(/)+i)i,得a+3i=bi+i2=-l+bi,

所以。=一1,6=3.

(2)复数z=/+。-2+(。2-7。+6)在复平面内对应的点的坐标为(。2+。一2,42—7。+6).

由寇意知：+67-2>0a(-2或a)1

解得所以1<a<6,

一7。+6V01<67<6

故。的取值范围为：l<a<6.

16.(1)-1

(2)①岁②而

【详解】(1)«^=H-|^|-cosy=lx2x^-lj=-l.

_rab3x(-l)+4x25石

⑵①8小=丽=际心炉+2I。

②2”E=2(3,4)-(-1,2)=(7,6),

则忸叫=々+62=底.

17.⑴/卷

(2)1

【详解】(1)由余弦定理得cos4=叔+解-8c2_

2ABAC2

因为OV/VTT,所以力=,.

BC_76

(2)设包出C外接圆的半径与内切圆的半径分别为R,小由正弦定理得,八一薪工一正一收，则火=7.

T

面8。的面积S=，月84。$出4=竺@,

24

I293

由一，♦(/<8+/C+8C)=S,得尸=------------=-.

2AB+AC+BC2

18.(1)2：

⑵126

【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为2/,则该圆柱的高为2/,其体积P=兀/二.2厂=16兀，解得i=2,

所以圆柱的底面半径为2.

（2）由（1）知，正恒48C外接圆半径为2,则边长/4=2x2xcos3（）o=2百，

所以三棱柱力8C—44G的体枳P=立x（2百yx4=12/5.

4

19.⑴

（2）&/出C是等腰直角三角形

【详解】（1）已知（J^-4）cosC=ccos/,由正弦定理将边化为角可得

（VIx2/?sinZ?-2/?sinJ）cosC=2/?sinCeos/I,

即41sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA,

可得sin力cosC+cosJsin