小升初数学（七年级）专项提升：有理数的除法（原卷版）

专题12有理数的除法

1.会把有理数的除法运算改为乘法运算;

2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则;

3.能利用有理数的除法解决实际问题。

【思考1］江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值是多少？

10

8江苏南京2023年春节一周的最低气温

6

4

7

0

-2

-4

-6

-8

【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2023年春节一

周的最低气温的平均值吗？

臬___

1知识帮你梳理

L有理数的除法

I）有理数除法法则：除以一个不等于（）的数，等于乘这个数的倒数.二，（〃/0）

h

法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

注意：乘除混合运算要“从左到右''运算.分数可以理解为分子除以分母.

［高频考点

考点1、有理数的除法运算

【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

例I.（2023秋・山东临沂・七年级统考期末）下列计算正确的是（）

B.=lx(-8)=-8

C.（-3）-F（-3）=-3X3=-9D.（-32）4-（-8）=-324-8=-4

例2.（2022•海南海口•七年级校考期中）{-弓卜

变式1.（2023•浙江台州•统考一模）计算（T）+2的结果是（）

A.-2B.2C.-6D.-8

变式2.（2022秋・湖北武汉•七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（）

A.8-(-2)=4B.(-4)+(—2)=2C.0+1=1D.24-1=1

2

考点2、有理数除法法则的辨析与符号

【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负,

并把绝对值相除如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除

混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右.

例I.（2022•浙江宁波•七年级期末）下列说法正确的是（）

A.非零两数的和一定大于任何一个加数B.非零两数的差一定小于被减数

C.大于1的两数之积一定大于任何一个因数D.小于1的两数之商一定小于被除数

例2.（2023•山西吕梁•模拟预测）若也＜0,且“，〃异号，则c的符号为（）

c

A.大于0B.小于0C.大于等于0D.小于等于0

变式1.（2022秋•江苏徐州•七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（）

A.都是正数B.都是负数C.同号D.至少有一个为正数

变式2.（2023秋・广东广州•七年级统考期末）如果。<0</九则？的值与0的大小关系是（）

b

A.y>0B.f<0C.y=0D.不能确定

bbb

变式3.（2022・广西・桂林市七年级阶段练习）已知小〃为有理数，则下列说法正确的个数为（）

①若。+〃>0,y->0,则a>0,。>0.②若a+Z?>0,则a>0,。且|。|>|力|.

bb

③若〃+〃〈（）,二>0,则a<0,£><（）.④若〃+〃<（）,7"<0,则〃>0,〃<0且

bb

A.1B.2C.3D.4

考点3、有理数除法的运算步骤问题

【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

例I.（2022秋・吉林松原•七年级统考期中）阅读下面解题过程并解答问题:

计、一算:（/一心5）+（于17251尢1

25

解：原式=（一15）+（——）x6（第一步）

=（-15）+（—25）（第二步）

3

=--（第三步）

（1）上面解题过程有两处错误：

第一处是第一步，错误原因是__________:

第二处是第一步，错误原因是___________;

（2）请写出正确的结果______.

（C%（T5）«W）

例2.（2022•吉林•七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算一

解：原式=~+（-15）xf--^l①

=-|+1②

=-|③

（1）从第______（填序号）步开始出现错误；

（2）请写出正确的解答过程.

变式I.(2023秋•河北廊坊•七年级统考期末)老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面-

个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题.过程如下，自己负责的那一步

错误的是()

甲乙丙T

(⑹)吟得"16)=(-81)M-(-16)=(-81)x1x(--l)=8|x-^_81

~16

、-------、----------------------

A.甲B.乙C.丙D.T

变式2.(2022秋・广西南宁,七年级统考阶段练习)阅读下列解题过程：计算-5+R-；］X6

解：原式=-5+卜：卜6第①步

=-5-(-1)第②步

=5第③步

(1)上面的解题过程在第步出现错误；错误原因是

(2)请写出正确的解题过程.

考点4、有理数乘除法的混合运算

【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

注意：乘除混合运算要“从左到右”运算.分数可以理解为分子除以分母.

1(1A

例I.(2022秋・辽宁沈阳•七年级统考期中)计算-x(-3)^--x3的结果是.

例2.(2023秋・吉林延边•七年级统考期末)计算：

例3.(2022秋•全国•七年级专题练习)计算：

331

(1)-3^(--)-r(一一):(2)(-12)4-(-4):(-1-)；

445

(3)(--)x+().25；(4)(-2-)^(-5)x(-3-).

3823

变式1.(2022秋・云南楚雄•七年级校考阶段练习)计算：(-48)+7x,=.

变式2.(2023秋•贵州铜仁•七年级期末)计算(-6)+(-；)x2的结果是.

变式3.(2022秋•浙江•七年级专题练习)计算：

⑴13)子「弓卜0.75+「讣(一6)；(2)^-1x(-0.1)-J-^x(-10)；(3)(-72)x^-|^lx^-|

考点5、有理数的除法简算

【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。

例I.(2022.成都市七年级课时练习)计算:

431339

(1)-12-^4；(2)(-72-)^9；⑶㈠萨•）；

(*+(管”令(W22抖-8)；⑹拈彳("5)x(吗.

例2.(2022•辽宁大连•七年级校考阶段练习)阅读下列材料：计算：2+

解：原式的倒数为

111、I

(----+—)+—

341212

=(---+—)x12

3412

=1x12-1x12+—X12

3412

=2

故原式=g

I139?

请仿照上述方法计算：（-五）+-7rf）

变式I.（2022秋•江苏南通•七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：

⑴6+1乐2—（.1.5）；Q）卜扑（-3（区〉（-2》（3）（-2」）卡卜丹

1(1322、1

(4)(-375)X(-8)+(-375)X(-9)+375X(-7);;(6)-417，6.

变式2.(2022秋•江苏无锡•七年级校联考阶段练习)计算

(1)—20—(—18)+(—14)+13；(2)L75x0.6+(—二x(—8)；(3)[T).75]++3—1—(—0.125)+——1—|—0.125|；

\5J4/8;

(4)-2.7X56+7.9X(-56)+6X5.6；(5)99^X(-9)；(用简便方法计算)(6)[一工

1o\2)0)1414Jo

考点6、有理数除法的应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例I.（2023•江苏南京・统考二模）小明、小红在微信里互相给对方发红包.小明先给小红发1元，小红给

小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，

直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了.若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则

最终小红的收支情况是（）

A.赚了99元B.赚了100元C.亏了99元D.亏了100元

例2.（2022秋•广东广州•七年级统考期末）为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的

小型、微型汽车的进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下：

计费时段8:00-20:00,停车3（）分钟内不收费，停车超过30分钟后，不足30分钟按3（）分钟

方案

收费，收费时段外停车免费

阶栉梯次第一阶梯第二阶梯第三阶梯

单次最高限价

停车时长1小时内1—3小时3小时以上

计费标准1（元/30分钟）3（元/30分钟）5（元/30分钟）44元

（1求汽车在停车泊位的进场时间是11:07分，离场时间是11:29分，请问A汽车是否需要交费？若要收费，

应交停车费多少元？（2）8汽车进入停车泊位时间是晚上2I:（X）时，离场时间是第二天早上10:48时，请求出

8汽车应交停车费多少元？（3）C汽车早上6:00时进入停车泊位，离开时收费24元，请求出C汽车离开泊位

的时间范围？

变式1.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定

律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长3cm,而且这3cm还是深埋于土下.到了第五年，竹子终

于能破土而出，会以每天30cm的速度疯狂生长.此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人!这

段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（）

A.5B.7C.8D.9

变式2.（2023春•山西大同•九年级校考阶段练习）春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民

超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于5%的情况下可以销售.小区大妈要

买标价为60元/壶的油，大妈要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是20%,则该壶油的售价至少是

（）

A.51元B.52.5元C.55元D.59元

变式3.（2023秋・山西•七年级校联考期末）2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场

成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，"神十四’'纪念品也受到了人们的喜爱，某店以150元的

相同价格售出两件不同的纪念品，其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则该商店售出这两件纪念品总的

盈亏情况为（）

A.亏损20元B.盈利20元C.亏损18元D.不盈不亏

考点7、有理数除法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一歧概念、新运算、新符号，要求

学生读懂题意并结合已有知识进行理解.，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的•种题型.它•般分为三

种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新

定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义'’的知识与己学知识联系起来，利用

己有的知识经验来解决问题.

例I.（2022秋•四川遂宁•七年级校考期中）若“!”是一种数学运算符号,并且：1!=1,21=2x1=2,

2CP2!

3!=3x2xl=6,4!=4x3x2xl=24,...»则一~二_________

2021!

例2.（2022秋・北京朝阳•七年级校考阶段练习）对于任意的非零有理数a,b,定义：a*b=3,解决以

下问题：⑴计算（-3）*4；⑵计算（-6）*2*（-3）；⑶请你举例验证一下交换律即在这一运算中是

否成立.（举一个例子即可）.

2

变式1.（2022秋・湖南岳阳•七年级统考期末）〃是不为2的有理数，我们把;;一称为。的“哈利数”.如：

2-a

791

3的“哈利数''是—=-2,-2的“哈利数”是「二八=彳，已知敏=3,。2是3的“哈利数”，是如的“哈

2—32-（-Z）Z

利数”，勿是④的“哈利数”....依此类推,则。2。/9=（）

I4

A.3B.-2C.yD.-

3

变式2.（2022・河南・鹤壁七年级期中）己知〃是有理数，同表示不超过。的最大整数，如[3.2]=3,卜1.5]=-2,

[0.8]=0,[2]=2等，那么[3.14卜[3卜一5g=（）

A.-6B.-5C.——D.—

65

［分层练一练

A级(基础过关)

1.(2023•浙江杭州•统考二模)计算下列各式，值最大的是()

A.1-(-2)B.1+(-2)C.1x(-2)D.1-(-2)

2.(2023秋叫川南充•七年级统考期末)若使(-0.5)O(-3)的计算结果为正数，则“◊”代表的运算不可以

是()

4.(2023秋・河北石家庄•七年级统考期末)在算式(-2)口(-3)的“□”中填上运算符号“一”或“+，，，要

使运算的结果最小，则添加的运算符号是()

A.+B.—C.xD.-?

5.(2023・河北保定•统考一模)下列与T-g相乘等于I的是()

A.-I--B.--1C.1--D.-I+-

2233

6.(2023.陕西西安・统考一模)要使代数式“3(-1)”的运算结果最大，则““中应填入的运算符

号是"+、一、X、守中选择一个运算符号填如).

7.(2023秋・浙江金华•七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习)某种药品的说明书上贴有如图的标签，

则一次服用这种药品的剂量范围是—mg到—mg.

用法用量：口服每大60〜120加g,分37次服用

8.(2022秋・浙江温州•七年级校考阶段练习)若规定〃③人二一""""),则［(-3)领-2)］齿(-7)=.

2b,(avb)

9.(2022秋•海南省直辖县级单位七年级校考期中)计算：(-1)+1+0+8-(-5*(-2)=

10.(2022秋.安徽亳州.七年级校考阶段练习)计算：32+(-4)x［的结果是____________

4

II.（2022秋•河北邯郸•七年级统考期中）商店运进•种商品共400件，并确定了售价.如果按照售价的九

折销售，全部卖出后，能得到6000元的利润.如果按照售价的八五折销售，全部卖出后，能得到2400元

的利润.求这件商品的售价是多少元？

12.（2022秋・吉林长春•七年级校考阶段练习）计算.

(D-5-

13.（2022秋・贵州铜仁•七年级校考阶段练习）乘除计算:

14,

⑵1.25+(-0.5)+(-2/)x1

，小3r3、

⑶!-2巴1力x4；

14.（2022秋•全国•七年级专题练习）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方

米及以内的为第•级基数，按•级用气价格收取：超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量

基数，按一级用气价格的L5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍

（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加,

比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？

B级（能力提升）

1.（2022秋・山东•七年级校考阶段练习）与2・3+4运算结果相同的是（）

A.4+2+3B.2+（3x4）C.2+（4+3）D.3+2+4

2.（2022秋•贵州遵义七年级校考阶段练习）如果两个数的和是正数，商是负数，那么这两个数的积是（）

A.正数B.负数C.零D.以上三种结论都有可能

3.（2022秋,浙江温州•七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是［）

A.这两数的和为正数B.这两数的差为正数

C.这两数的积为正数D.这两数的和、差、积的正负都不能确定

4.（2022秋,北京东城•七年级东直门中学校考期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别

是I,2,3,4,5,6,8,9,10,12,并且每条“直线”上的四个数字之和都相等.则图中。、5、c、d对应

5.（2023秋•山东滨州•七年级统考期末）某超市在元旦期间推出如下优惠方案：

（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元打九折；

（3）一次性购物超过300元一律打八五折.元旦这天，小明和妈妈在该超市购物后分别自行付款70元和

243元.如果小明和妈妈合作一次性付款，则应付款元.

14

6.（2022•成都市七年级校联考诛时练习）计算：（-81）+2/八+_______=-15.

49

7.（2023春•重庆沙坪坝•九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗.这

40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类10人，每类学生的劳动效率为甲

类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗1（）棵，丙类学生可以挖树

坑0.8个或者运树苗7棵.如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树

苗运得最多为棵.

8.（2022秋•浙江温州•七年级校考阶段练习）有一个水库某天8:0（）的水位为-0.1米（以警戒线为基准，记

高干警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5,

-0.8,0,-0.2,-0.3,0.4.

（1）经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？

（2）现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），

现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间.

9.（2022•北京海淀区•七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，

小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1,则这

个正整数属于4类，例如1,4,7等；如果一个正整数被3除余数为2,则这个正整数属于H类，例如2,

5,8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3,6,9等.

（1）2020属于类（填A,B或C）；

（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A,8或C）；

②从A类数中任意取出15个数，从3类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加

起来，则最后的结果属于类（填4,4或C）；

（3）从A类数中任意取出，〃个数，从8类数中任意取出〃个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C

类，则下列关于〃?，〃的叙述中正确的是（填序号）.

①加+2〃属于。类；②|〃?-〃|属于B类；③加属于A类,〃属于C类；④m,〃属于同一类.

10.(2022秋・浙江嘉兴•七年级校联考期中)下面是亮亮同学计算一道题的过程:

32

15+5x(-3)-6x(—+—)

23

32

=15^(-l5)-6x-+6x-……①

23

=-1-9+4……②

=F...③

⑴亮亮计算过程从第一步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程.

11.（2021•浙江台州市•中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250亳升，输液器包装袋上标有“15滴/亳升”.输

液开始时，药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时,

瓶中的药液余晟为160亳升.

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间.

12.（2023春・上海•七年级专题练习）24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克

牌（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以

加括号），使得运算结果为24或-24.

例如：抽到的数字为“4,4,10,10”，则可列式并计算为：（10x10-4）^4=24.

如果，♦表示正，全、爱表示负（如“+5”为“+5”，“全4”为“T”）,请对下面两组扑克牌按要求进行记数,

并按“24点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为24或-24.

①

依次记为：__________________

列式计算：___________________

②

依次记为：__________________

列式计算：.

。级（培优拓展）

1.（2023・四川资阳・统考二模）天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历,

有十天干与十二地支，如表：

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

天干

4567890123

子丑寅卯辰己午未申酉戌亥

地支

456789101112123

算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支.如2014年，尾数4为甲，2014

除以12余数为10,10为午，那么2014年就是甲午年.则2023年是（）

A.甲卯年B.甲寅年C.癸卯年D.癸寅年

2.（2022•江苏宿迁•七年级期末）有两个正数。和力，满足规定把大于等于。且小于等于。的所有

数记作⑶现例如大于等于0且小于等于5的所有数记作［0,5J.如果机在［5,15］中，〃在［20,30］中,则竺

n

的一切值所在的范围是（）

'131「11］八「4J「13一

A.—B.―C.二,6D.

l_64J142j|_3J|_24J

3（2022•江苏•七年级）己知“!”是一种数学运算符号，并且1!=1,2!=2x1=2,3!=3x2x1=6,4!=4x3x2x1=24，…，

若公式若"=”.，（〃>〃】）.则。/=（）

A.60B.792C.812D.5040

4.（2022秋・浙江温州•七年级校考阶段练习）若计算式子（2W7）V（-9的结果为最大，则应分别在口，△中

填入下列选项中的（）

A.+,-B.x,-C.+,-D.-，+

5.（2022・湖北武汉•七年级期中）卜列说法：

①若m。互为相反数，则£=・1：②如果|。+臼=同+|4则，佗0；

b

③若x表示一个有理数，则卜+2|+卜+5|+卜-2|的最小值为7；

④若"cVO,a+Hc>0,则@+㈣+幽+四的值为-2.其中一定正确的结论是—（只填序号）.

abeab