相似三角形中（双）A字型的三种模型（培优专项训练）-北师大版九年级《数学》上册

专题01相似三角形中（双）4字型的三种模型

题型归纳

目录

题型一：“A”字模型..............................................................................1

题型二：反“A”字模型...........................................................................8

题型三：同向双“A”字模型.....................................................................15

:题型专练

题型一：“A”字模型

“力”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等

或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.

字模型条件：如图，DE〃BC,、结论：寿=77=后.

ADACoC

1.（24-25九年级上•河南开封•期天）如图，点。在VA3c的边上，。£〃3c交4C于点£若

AD=2.5,AE—2,EC=4,则BD=（）

【答案】C

【分析】根据。月〃得黑An二笠AF代入解答即可.

DBEC

本胭考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】解：七〃4c

.ADAE

"~DB~~EC'

•・•AO=2.5,A£=2,EC=4,

.2.52

••，

DB4

解得：DB=5,

故选：C.

2.（25-26九年级上•北京•课后作业）如图有一块四边形草地八BCD,AD//BC,其中A3=4,BC=5,由

于连续降雨使A。与4c之间积满污水，现在班、CQ的延长线的交点尸处测得小=3,则AD的长度为（）

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

【详解】解：・・•四边形A3CD中，AD//BC,

・•・.PAD^PBC,

.PAAD

••一，

PBBC

VM=3,AB=4,BC=5,

.3AD

••一=---，

75

解得：AD=y,

故选：C.

AF）ACI

4.（24-25九年级上•四川巴中♦期口）如图，VA3C中，点。、£分别在A3、4c上，且黑=笠二；，下

DBEC2

列结论正确的是（）

A.DE:BC=\:2

B.V4O石与VA8C的面积比为1:9

C.VAOE与V4BC的周长比为1:2

D.连接CO,则VADE与.DEC的面积比为1:3

【答案】B

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到-^=芸=；,证明△ADES^ABC,

ABAC3

通过相似三角形的性质判定A、B、C,再利用硬=：,即可判足。.

EC2

AnADAE1

【详解】解：,

DDEC2

.ADAE1

••南一就一3'

又；NA=NA,

:.XADEsAABC,

.ADAEDE1

••--=----...=—,

ABACBC3

故选项A错误；

.•.VADE与VABC的面积比为1:9：周长比为1:3,

故选项8正确，选项C错误；

连接CO,

・・AE1

.—=—，

EC2

:.YADE与.DEC的面积比为1:2,

故选:B,

DF

4.（2025•浙江杭州•二模）如图，在VABC,点D,E分别在AB,BC边上，DE//AC,且CE=3BE,则会

AC

的值为

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.根据

DE//AC,得到△8DES2X84C,即可求解.

【详解】解：0CE=3BE,

BE1

0----=—,

BC4

(SQE〃AC,

(SABDE^^BAC,

DEBEI

0----=-----=-，

ACBC4

故答案为：；.

4

5.(24-25八年级下嘿龙江大庆・期末)如图，点。、E分别在VABC的边A4、4C上，且DE//BC.

⑴求证：AADEsAABC；

⑵已知，AD:BD=2:3,AE=3,求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)T

【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键.

(1)根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明△ADESAABC；

(2)根据相似三角形的性质，求解即可.

【详解】(1)证明：屯DE〃BC,

0ZC=Z4ED,

0Z4=ZA,

HAAPEcoAABC；

(2)解：自AO:8O=2:3,

AD2

0——=-,

AB5

⑦AADEsAABC,

ADAE

L?i-----=------,

ABAC

23

0—=——，

5AC

AC=^

2

6.(24-25八年级下•山东淄博•期末)如图，在VA8C中，4=90。，正方形OEFG的四个顶点都在V48C的

边上.

BDEC

⑴求证：△BDGs△九EC；

⑵若正方形。EFG的边长是6cm,CE=3cm,求BC的长.

【答案】(1)见解析；

(2)21cm.

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，

正方形的性质是解题的关键.

(1)先由正方鹿得到N8Z)G=NCM=9()。，再由互余关系证明N8=NC正，即可证明相似；

(2)由△8DGs△在比*求出8。，再由线段和差计算即可.

【详解】(1)解：)四边形OEFG是正方形，

:.DE=EF=DG,/GDE=/DEF=9()。,

:.NBDG=NCEF=9()。,

^ZC+ZCFE=9(.y

0ZA=9O°

.-.ZB+ZC=90°,

NB=NCFE,

;.；BDGsFEC

(2)解：•.ABDGsAFEC,

BDIX}

~EF=~CEr

EF=DG=6,CE=3,

BD6

/.——=-,

63

解得80=12,

，BC=BD+DE+EC=12+6+3=21(cm).

7.(24-25九年级上•广西梧州•期末)如图，在VAAC中，A8=&AC=6,BC=9,如果动点。以每秒2

个单位长度的速度，从点8出发沿边班向点A运动，此时直线。石〃BC•，交AC于点E,记x秒时。上的

长度为），.

（1）求出），关于X的函数解析式，并求出X的取值范围；

⑵若（1）的图像与X轴交于点M,与），轴交于点N,求.MN。的面积.

【答案】⑴y=-%+9,（0<x<4）

⑵18

【分析】本题主要考查了一次函数和三角形的综合，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，一次函数

的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质.

（1）根据题意求出x的取值范围，再利用平行线的性质求出相等的角，证明△ADEsZXABC,利用相似三

角形的性质得出对应边成比例，列出解析式即可；

（2）根据一次函数的图象和性质，分别求出交点坐标，然后求三角形的面积即可.

【详解】⑴解：•・,8+2=4,

/.0<x<4,

A£）=8-2x,

•/DE//BC,

:.ZADE=NB,ZAED=ZC,

A/MDEcoAABC,

.DEAD

••疏一瓦’

整理得y=-%+9,(0<x<4)；

(2)解：当x=0时，y=9,

・・・N(0,9)：

9

当y=0时，0=--x+9,

4

解得x=4,

・・・M(4,0)；

MNO的面积为:OM・ON=^x4x9=18.

8.（24-25八年级下•山东青岛•期末）在VA8C中，ZC=90°,AC=4,BC=2,依次作正方形CC/Q,

正方形GG^N，正方形GGdA，…，正方形CTC纥2.顶点C1,3,C3,G在AC边上，顶点用，

8”打，…，纥在A8边上.

⑴求G々的长及笠的值;

（2）直接写出C”的长及器的值;

⑶猜想的侑，并直接写出C,a的长（用含〃的代数式表示）.

5.1纥.1

【答案】⑴G4=g萼牌

DCoJ

…8CM2

⑵c/2=§，市=3

⑶C,£,="^

Vn-l0/r-l°

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.

⑴先证明.BACS,BBQ,设正方形CG8Q边长为M求出x=j即可求出q4=：警=：；

（2）同（1）方法证明即可；

（3）找出规律作答即可.

【详解】⑴解：13正方形CC百％,

团eq〃4已，

呢RACsRRJ1,

BD.4C4c

国----=----=—=2,

BD、BC2

设正方形CC/Q边长为X,则叫=27

即六=2

2-x

4

解得:x=-,

4

团G用，

4

团ce=3=2；

~CB~2~3

4」

（2）解：同（1）可知翳=熬=飞1=2,

4生4cl_

3

4

设正方形和。声?^边长为V,则y,

即

8

解-

-,,

9

8

团=-

9

8

-2

9

0----

43

-

3

4空2

z3J\解

k•=了=-

X•3-3

8G区

--

9-GB

c82

A-?-"=-

纥3

e:

题型二：反“A”字模型

“月”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等

或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.

AHApr）p

反"4"字模型条件：如图2,NAE>D=NB；结论：△廿万=彳^=不小

Vzi/JZJC

AQ

L（2。25・贵州遵义二模）如图，已知△ABCS^A的且=2.若SH，则S极值为（）

HC

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】本题考查了相似二角形的性质，掌握相似二角形面积比等于相似比的平方是解题的关键.

AB

根据AABCs/^AED得到S八8「|,即可求解.

~AE

SADE

【详解】解：,:△ABCSAAED，

JA8CAB

~AE

SADE

.54

••SABC=4,

故选:D.

2.（2025•云南玉溪•二模）如图，在RtZXABC中,ZC=90°,E是AB上一点，DEJ.AB交AC于点、D,若

IAE+DE+AD

AC=4,AE=2,人AC+BC+AB)

C.

2DT

【答案】B

ADDFAF1

【分析】本题主要考查J'相似三角形的性质与判定，证明△AOES/XABC得到黑=株=笠=：,即

ABBCAC2

BC=2DE,AB=2AD,据此代入求解即可.

【详解】解：

•••ZAED=90°=ZC,

又：ZA=ZA,

•••zMDEs△他。，

.ADDE_AE_2

*AB-BC-AC-4-2

ABC=2DE,AB=2AD,

.AE+DE+A。2+DE+AD_1

••AC+BC+AB~4+2DE+2AD~2'

故选：B.

3.（24-25九年级上•湖南•期末）如图，在钝角三角形A8C中，AA=6cm,AC=12cm,动点。从A点出发

到B点止，动点石从。点出发到A点止.点/）运动的速度为1cm/秒，点七运动的速度为2cm/秒.如果两

点同时运动，那么当以点从、。、E为顶点的三角形与VABC相似时，运动的时间是（）

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程

思想解题.

根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADESZU8C和ADEs.ACB,可求运动的时间

是3秒或4.8秒.

【详解】解：根据题意得：设当以点4、。、石为顶点的三角形与V4BC相似时，运动的时间是x秒，

AnAJ7

①若AAOEs/XABC,则一=—,

ABAC

.x\2-2x

..—=------,

612

解得：x=3；

AnAp

②*ADEsaACB,则——=—,

ACAB

.x\2-2x

•■—=------,

126

解得：x=4.8.

・•・当以点A、。、E为顶点的三角形与VA8C相似时，运动的时间是3秒或4.8秒.

故选：A

4.（24-25八年级下•山东济南•期末）如图，在VABC中，点。、E分别在AB、AC上，ZADE=/C,如果

AE=2,VAOE的面积为9,四边形BDEC的面积为16,则48的值为.

A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角

相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方.由/4OE=NC,ZmE=ZC4B,根据

相似三角形的判定得到△DAESACAA,根据相似的性质得S：SCH=（空T，然后把三角形面积代入

计算即可.

【详解】解：・.・NA£）E=NC,

而04E=NC46,

/.^DAE，

•・•VAOE的面积为9,四边形8DEC的面积为16,

:.VA8C的面积=9+16=25,

故答案为号.

5.（2025・辽宁抚顺•三模）如图，D,E分别是VA3c的边A3,AC上的点，且NA£D=N5.如果人8=6,

4E=3,EC=I,那么人力的长等于.

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算.先证明二.4）ES,、AC8,

然后利用相似比计算A。的长.

【详解】解：ZAED=ZB.ZEAD=ZBAC,

:.ADEsjCB,

.ADAEAD3

..——=——,即---=-

ACAB3+16

.\AD=2.

故答案为2.

6.（2025•江西•模拟预测）如图，在V/WC中，A3=6,AC=8,BC=12,。是4c边上一点，CO=4,

过点。的直线/将V4BC分成两部分，使所分成的三角形与VA6C相似.若直线/与V4BC另一边的交点为

点P,则。P的长为.

【答案】2或号或3

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.分三种情况讨

论，即VCOPsVCBA,△BDQLBCA,CDP^CAB.由相以三角形的性质分别求解.

【详解】解：如图1，若DP〃AB,则VCDPsVCRA.

:.DP=2.

如图2,"DP"AC、则△8£)PsZ\8C4.

:.PD=—

3

如图3,若NCPD=/B,且NC=NC,

A

P

B4---------LC

图3

则COPsCAB.

CDPD

4PD

—----.

86

:.PD=3.

故答案为：2或或3

7.124-25九年级上•全国•随堂练习）如图，点O,E分别为48,AC边上两点，且4）=4,80=2,AE=2,

C£=10.求证：DEAC=ADBC.

ApAn

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,根据已知可得出而=就'然后证明△ADEs-CB,最

后根据相似三角形的性质即可得证.

【详解】证明：VAD=4,BD=2,AE=2,CE=IO,

AAB=6,AC=\2,

・些」ADJ

,~AB~3'AC"3

.AEAD

;ZA=ZA.

，AADESAACB,

DEAD

BCAC

:.DEAC=ADBC.

8.（25-26九年级上•宁夏银川•期中）如图,在4ABe中，AB=Scmf8C=16a〃，点P从点A出发沿4B边

向点8以2c〃〃s的速度移动，点。从点8出发沿8C边向点。以4c〃?/s的速度移动，如果P、Q同时出发,

经过几秒后-P伙2和A8C相似？

B

Q

AC

【答案】0.8秒和2秒

【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判

定定理是解决本题的关键.

先由点尸与点。的运动速度，表示出AP与8Q,再根据边成比洌分情况讨论.P8Q和二A3C相似，列式求

解即可.

【详解】解：设经过，秒钟"BQ与相似.

己知点P从点A开始沿边A8向点B以2cmk的速度移动，

点。从点A开始沿边4c向点C以4cm/s的速度移动.

可得AP=Item,BQ=41cm.

因为AB=8c/n,所以PB=（8_Z）cm.

分两种情况讨论：

情况一：当胃=瞿时，PBQS-ABC，

ADDC

将尸4=8—2/,AZ?=8,3Q=4f,Z?C=16A~~—~~,

ABBC

可得：学=移，可得2（8-2f）=4r.

o16

解得，=2；

情况二：当黑=鳖时，aPBQsKBA-

BCAB

将P3=8-2/,A3=8,KQ=4f,〃。=]6代入翌=黑，

BCAB

可得：N=皆，可得8-2/=&,

loO

解得f=0.8.

Q

因为点。从点A移动到点B所需时间为Q=4s,

点。从点B移动到点C所需时间为号=4s,

4

而1=2和f=0.8都在0<zv4这个范围内，所以这两个值都符合题意.

综上所述：0.8秒和2秒后APB。和AC6A相似.

9.（24-25九年级上•贵州六盘水•期木）如图，点。，E分别是V/WC的边AC,A6上的点，+ZCDE=180".

A

2

（2）若BC=6,AD=-ABf求OE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）4

【分析】（I）由补角性质可得乙/应=/8,进而即可求证；

（2）由AQ=|A4得*=进而根据相似三角形的性质解答即可求解；

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：VZADE+ZCDE=180°,ZB+ZCDE=180°,

，ZADE=^B,

又「NA4E=N84C,

•••△AOEs/XABC；

2

（2）解：VAD=-AB,

.AD2

••---=-9

AB3

△ADEs4ABC,

.DEAD2

"«C"AB'3'

22

・•・DE=-BC=-x6=4.

33

题型三：同向双“A”字模型

“”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等

或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.

同向双字模型

条件：如图，EF//BC,结论：△AEFsaABGAAEGS^ABD,△AG/s=空=丝

BDCDAD

I.（2025・浙江•模拟预测）如图，在VA8C中，点。，E,产分别在边AB,AC,上，连接OE,EF,

已知四边形瓦）£尸是平行四边形，—DF=^I.若VAO石的面积为3,则平行四边形8DE尸的面积为（）

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键.利用平行四边形的性质先

说明△AOES/V18C、.CE尸sC48,再利用相似三角形的性质求出VAOE、VABC、△（?"'的面积，最

后利用面积的和差关系得结论.

【详解】解：:四边形8DE厂是平行四边形，

:.DE//BC,EF//AB，

/2ADE=NB,Z4=ZA

.△ADEsAABC,

同理可得△CEF—4CAB,

DEI

=—，

BC3

•AE-1

AC~3

.EC2

$ADE=3，

•c-97q

…nABC_5'.cur

SADE+S,CEF+SBDEF=S，

:.5MiFF=27-3-12=12.

故选：B.

2.（25-26九年级上•全国•课后作业）如图，在VA3C中，点。在A8上，点£尸在8c上，DE//AC,

DF〃AE器=±.若4〃=9cm,则EC的长为（）

AD2

/;

A.6cmB.9cmC.IOcmD.15cm

【答案】C

DrRDa

【分析】利用。尸—求出所=6a〃，BE=BF+EF=\5cm,根据。EAC得到

FEAD2

BEBD3,―.c

二=二7；=：;,由此求出EC=10cw.

CEAD2

本题考查了平行线分线段成比例，掌握其性质是解题的关键.

【详解】解：・・・£>F|AE,

.BFBD3

••--=---=一,

FEAD2

•・•BF=9cm,

:.FE=6cm,BE=BF+EF=\5cm,

•：DEAC

.BEBD3

••无一前一2'

CE=\0cm.

故选：C.

3.（2025♦四川眉山•一模）如图，在VA4C中，作。七〃4。分别交A3、AC于点D、E,作。尸〃AC交4c

于点尸，AD:DB=2:5,BF=10,则边OE的长为.

【分析】本题考查相似三角形的性质，平行线段成比例，平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明出

四边形。反力为平行四边形，得出再利用相似及条件建立等式黑4D=岩DF=彳7，通过等量代换进行

ABBC7

求解即可.

【详解】解：在VA8C中，DE〃BC,DF//AC,

，四边形OEC7；为平行四边形，

:.DE=FC,

DE//BC,AD:DB=2:5,

ADDE2

—==一，

ABBC7

DE__2

EF+DE-〒

BF=10,

DE2

10+DE-7'

解得：DE=4,

故答案为：4.

4.（24-25九年级上•四川资阳・期中）如图，在V/WC中，G是V"C的重心，。£过点G且D石〃BC,BC=20,

则GE=.

【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了相似

AGAG2

三角形的判定与性质.利用三角形的重心性质得到AG=2G”，BH=HC,得出普=蜡%=9,再

AHAG+GH3

ripAG2GF2

证明△人5C,aAGE^^AHC,得出初一工一不，再求;口二—彳，即可得出答案.

HCAH3103

【详解】解：:G是VA3C的重心，

/.AG=2GH,BH=HC,

.4GAG2

''^H~AG+GH~3,

IBC=2O,

BH=HC=-BC=\0,

2

*/DE//BC,

A^ADE^ABC,：,AGES：,AHC,

.GEAG2

，'71C~~AH~3,

.GE2

..—=—,

103

・E20

故答案为：—.

5.（2025•江苏淮安•模拟预测）如图，已知VABC,AB=AC=7,8c=4,点。在BC上，且8。=1,E、

FF

“分别是A8,AC上的点，EH交AD于点F,ZAFE=NB,M—=_____.

FH

37

【答案】说

【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握笔腰三角形的判定和性质，正确地添加辅助

线构造相似三角形是解决问题的关键.

1237

在C4上取一点K,使OK=QC,进接OK,则。K=DC=3,证明，ABC和-OKC相似得CK==，则AK=\,

77

设人/=。，证明一AFE和」即相似得£尸=5，再证明NAFH=NAKE＞得一A切和一AKD相似，利用相似

三角形的性质得五月=警，由此却可得出名的值.

37FH

【详解】解：在C4上取一点K,使。K=QC,连接。K,如图所示：

在‘ABC,AB=AC=1,BC=4,

:"B=NC,

.•.NB=NC=4

BD=1,

:.DK=DC=BC-BD=3,

在，OCK和.AC8中，

NB=N1,NC=NC,

ABCs(DKC,

.AB=BC

~DK~~CK'

“BCDKBCDC4x312

ABAB77

1237

:.AK=AC-CK=l--=—,

77

设AF=a,

在4A庄和,A3£）中，

ZAFE=/B,NEAF=NDAB,

:...AFE^4ABD，

AFEF

AFBDaxla

/.EF=----------=------=—,

AB77

.ZAFH+ZAFE=\SO,ZAFE=ZB,Zfi=ZC=ZL

ZAF/7+Zl=180,

Z4KQ+N1=18O,

:.ZAFH=ZAKD.

X-.ZFAH=ZKAD,

—AFHs,.AKD,

4户FH

~AK~~DK'

:.AKFH=AFDK,

—xFH=ax3,

7

:.FH=—

37

a

•EF二137

…丽一我一说•

~yi

37

故答案为：——•

147

6.（24-25九年级上•上海杨浦•阶段练习）如图，已知VA4c中，D、上分别在边AC上，Z4DE=ZC,

AN平分NBAC,交DETM,若S四边形8cm=4S。％,则AM:AN=.

A

【答案】正

5

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

由ZADE=NC结合ABAC=ZE4D可证明Z\ADEs4kCB得到N4E7）=NB,空=",由于AN平分

AB5

N8AC可得NBW=NCW证得，AEMs-ABN,再根据相似三角形的性质列比例式即可解答.

【详解】解：VZBAC=ZE4P,ZADE=NC,

/.△ADES^ACB,

・•・ZAED=NB,

,**S西边形BCED=4s△〃%.，

,SADE_2.

.AE_45

AB5

•••AN平分284C,

/./BAN=/CAN,

JAEMsABN,

.AM_AEy/5

,,俞一俞一"T，

故答案为：好.

5

7.（24-25九年级上•广东梅州•期末）如图，在VA3C中，点。出G分别在边ABAC,BCEXAED=ZB,

线段AG,相交于点F,且八D:AC=。/:CG,求证：AG平分/B/AC.

BGC

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识.先利用两角分别对应相等

即可证明△AEZaAABC,得出ZAOE=NC,再根据两边对应成比例及夹角相等证明△AOFS/CG,再

由其性质和角平分线的定义得AG平分

【详解】证明：VZAED=ZB,NZME=NC48,

ZADE=NC,

,/AD:AC=DF:CG

ADF^>fACG,

:.ZDAF=ZCAG,

」.4G平分N8AC.

8.124-25九年级下•贵州贵阳•阶段练习)在RtZXABC中，248=9()。，点M为"的中点，点尸是线段C例

上一动点，过点尸作OEJ_CW分别交边CAC8于点RE.

(1)如图，求证.CDES/^CM；

(2)如图，若DE=CM,求证：BC=2DC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质，解题的关

键是掌握相似三角形的判定和性质.

(1)根据题意可得N8尸+ND6=90。，由直角三角形斜边中线的性质得出CM=8M=；48,则

NB=NBCM,推出NCD尸=N8CM=N3,即可求证.CDEsC84；

(2)由(1)可知，CM=；AB,CDEsCBA,根据。£=。“，得出。£=348,结合相似三角形的性

质，即可求证4C=2ZX?.

【详解】(1)证明：•；DE上CM,

・•・ZCDF+ZDCF=90°,

•・・NAC4=90。，点M为A8的中点，

：,CM=BM=-AB,NBCM+ZDCF=9(r,

；・^B=/BCM,

/CDF=NB,

又•••ZDCE=N8C4,

：・,CDEsCI3A：

(2)证明：由(1)可知，.CDEscCBA,

'：DE=CM,

・•・DE=-AB,

2

,DCDE\

••-------——,

BCAB2

即BC=2OC.

9.(24-25九年级,匕河北唐山•阶段练习)如图，点。是V48c边BC上一点，连接4。，过人。上点E作

AF4

EF//BD,交AB于点F,交AC于点儿过点尸作厂GAC交于点G,已知==彳，%=6.

ED3

(2)求CG的长；

(3)若。)=3,在上述条件和结论下，求E尸的长.

【答案】⑴+4

(2)CG=8：

(3)即叶44.

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质.

…4户AE4

(1)由EF〃BD,推出彳w=百二g；

orED3

(2)由代;/伏c,推出空=空=：,可得结论；

CGAr4

EFAF

(3)由E尸〃BD,得到△A/^S/XAB。，推出、=,可得结论.

BDAB

【详解】(1)解：:EF〃BD，

,AFAE4

••---=---=一;

BFED3

4

故答案为：

.BGBF3

**CG-7F-4,

•/BG=6,

44

・•・CG=-BG=-x6=8；

33

(3)解:VCD=3,CG=8,

，DG=CG-CD=5,

*/BG=6,

工BD=BG+DG=ll,

..AF_4

•BF-3'

.AF4

..=—,

AB7

■:EF〃BD,

二丛AFEs^ABD，

.EFAF

••=9

BDAB

.EF4

..—=—,

117

10.（24-25九年级上•全国・期末）如图，在锐角VA3C中，D,E两点分别在边A氏AC上，4M_L8C于点

ANIDE于点、N,ABAM=^EAN.

（2）若。E=4,8C=6,求N鉴F的值.

BM

【答案】（1）见解析

【分析】本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键.

（1）根据相似三角形的判定定理即可求解；

DF2

（2）由△AfDsAABC得丁===；,进而证明，4VEs.AM8,即可求解.

ABBC3

【详解】（1）证明：・・・AM_LBC,ANJ_OE,

；・？AMB?ANE90?.

•・•ZBAM=ZE47V.

：-ZAEN=ZABM.

ADAE=ZBAC,

・•・^AE»^ABC.

（2）,:-AED^.ABC,DE=4、BC=6,

.AEDE2

•■一——.

ABBC3

•；RANE?AMB90靶BAM二？EAN,

ANEs,AMB.

.NE_AE_2

11.（24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习）问题提出：

如图I,在等边VA8C中，点。，E,尸分别为三边上的动点，连接A。，EF交干息P,ZAPE=60°.记

=阳，=〃，探究〃?，〃之间的等量关系.

CD〃上

问题探究:

（1）先