浙教版七年级《数学》下册月考数学试卷（5月份）拔尖卷（考查范围：第1~4章）

2024・2025学年七年级（下）月考数学试卷（拔尖卷）（5月份）

【浙教版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25七年级•贵州六盘水•期中）已知a=255,b=344,c=533,d=622,那么a,b,c,d大小顺序为（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.a<d<b<c

【答案】D

【详解】【分析】根据Cm）n=am）将各个式子化为指数相同，再比较底数的大小，指数大的，哥也就大.

【详解】明=255=⑵）11,

b=344=（34）n,

c=533=（53）n,

22211

d=6=（6）/

53>34>62>25,

团（53）n>（34）11>（62）n>（25）11,

即a<d<b<c,

故正确选项为：D.

【点睛】此题考核知识点:哥的乘方（am）n=amn.解题的关键：对有理数的乘方的正确理解.，化为底数相同的

形式，再比较底数的大小.

2.（3分）（24-25七年级•安徽合肥・专题练习）已知正数”，〃满足。3/,+附3-2012匕+2岫2=7耐-8,

则—b2=（）

A.1B.3C.5D.不能确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式

分解成为解题的关键.

先将03}+。63-2小匕+2。62=7。6-8,通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为加（。-8-

1）2+2（Qb-2）2=0.再根据4、人均为正数以及非负数的性质，得到Q—力=1,Qb=2,进而解出4、h

的值，代入M一炉求得结果.

【详解】解：a3bq-ab3-2a2b+2ab2=7ab-8,

ab(a2+b2)-2ab(a—Z?)=7ab-8,

ab(a2—2ab+b2>)—2ab(a—b)+2a2b2—7ab+8=0,

ab(a-b)2—2ab(a—b)+2a2b2—7ab+8=0»

ab[(a-b)2—2(a—b)+1]+2(a2b2—4ab4-4)=0

ab(a-b—1)2+2(ab-2)2=0,

团a、〃均为正数，

>0,

0a-d—1=0,ab—2=0,即a—6=1,ab=2,解得Q=2、b=1或a=—1、b=-2(不合题意，舍

去)，

0a2—/J2=4—1=3.

故选：B.

3.（3分）（24-25匕年级•江苏西通•阶段练习）若实数尤，y,m满足x十y+771=6,2x—y+m=3则代

数式-2xy+l的值可以是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解得％,y的值后代入-2xy+l中整理出一©根一^^+?是解题

的关键，掌握解二元一次方程组的解法是解答本题的关键.

结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入-2xy+1中确定其取值即可.

【详解】解：由题意可得二北,

（x=

解得：9."

（y=—

则一2孙+1,

9-2m9-m

=-2xX+1,

3

一4/2o+6m-17,

(29\2,13,13

•••3若,

二选项D符合题意,

故选：D.

4.(3分)(24-25七年级•安徽安庆•期中)已知02(匕+c)=82(。+c)=2022,且aH匕，则-abc的值为

()

A.2022B.-2022C.4044D.-4044

【答案】A

【分析】先将式子整理变形得(a-+ac+be)=0,进而得出ab+ac+be=0,即ab+be=—ac,

再将F(a+c)=2022展开，最后整理代入即可得出答案.

【详解】因为MQ+c)=Z?2(Q+。=2022,

所以a2b+Q2c_人2a_b2c=0,

整理，得ab(a—b)+c(a2—b2)=0,

则ab(a—b)+c(a+b)(a—b)=0,

即(a-b}[ab+ac+be)=0.

因为aHb,

所以ab+ac+be=0,

即ab+be=-ac.

由匕2(a+c)=2022,得b(ab+bc)=2022,

所以・abc=2022.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键.

5.(3分)(24-25七年级•四川雅安・期中)计算IOO2.992+982-972+•••+22-1的值为()

A.5048B.50C.4950D,5050

【答案】D

【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后

的偶次项提取-1,然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果.

【详解】解：1002-992+982-972+...+22-#

=(1002-12)-(992-22)+(982-32)-...+(522-492)-(512-502)

=(100+1)(100-1)-(99+2)(99-2)+(98+3)(98-3)-...+(52+49)(52-49)-(51+50)(51-50)

=1C1X99-101X97+101X95-...+101X3-101X1

=lClx(99-97+95-...+3-1)

=lClxC2+2+...+2）

=101x25x2

=5C50.

故答案为：D.

【点睛】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找

到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键.

6.（3分）（24-25七年级•江苏•专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船

内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向

外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（）人.

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【分析】设"为原有水量，，为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，根据“如果9个人淘水，4小时

淘完；如果6个人淘水，10小时才能淘完〃，即可得出关于X,），的二元一次方程组，解之即可用含z的代数

式表示出X,），值，再将其代入等中即可求出结论.

【详解】解：设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，

依题意，得：U+lS=：xtoz-

解得｛，

片«+2y=b20z=+8z14...

故选:A.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

7.（3分）（24-25七年级•安徽合肥•专题练习）如图，ABIICD,PG^^^EPF,+^AHP=180°,下

列结论：

©CDIIPH；@Z-BEP+Z.DFP=2Z.EPG；③乙FPH=4GPH；（4）z/l+/.AGP+Z-DFP-Z.FPG=180°；

⑤若乙BEP＞乙DFP,则一笠y=2,

其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错

角相等.由乙力+乙4Hp=180。，可得根据4BIICD,可得AB||C0|PH,再根据平行线的性质以及角

的和差关系进行计算，即可得出正确结论.

【详解】解：团4力+乙4Hp=180°,

^PHWAB,

加BIICD,

0CDIIPH,故①正确;

^AB\\CD\\PH,

0ZFFP=Z.EPH,乙DFP=(FPH,

回ZBEP+Z.DFP=乙EPF,

又叵PG平分NEP",

0ZEPF=2/.EPG,^LBEP+^DFP=2/-EPG,故②正确；

团4GPH与匕FP"不一定相等，

0ZFPH=/GP”不一定成立，故③错误；

团/AGP=乙HPG+乙PHG,乙DFP=乙FPH,乙FPH+乙GPH=乙FPG,乙FPG=乙EPG,

团44+Z-AGP+乙DFP-Z.FPG=LA+Z.HPG+乙PHG+乙DFP-乙FPG

=/A十Z.HPG+Z.PHG+Z.FPH-Z.FPG

=LA+Z.FPG+Z-PHG-Z-FPG

=LA+Z.PHG,

团4B||PH,

+Z.PHG=180°,

即/A+Z,AGP+Z-DFP-乙FPG=180°,

故④正确;

^BEP-Z-DFP

=/EPH-乙FPH

=（乙EPG+乙GPH）-乙FPH

=LFPG4-Z.GPH-乙FPH

=2GPH+乙GPH

=2乙GPH,

相吟三竺二2为定值，故⑤正确.

Z.GPH

综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，

故选:C.

8.（3分）（24-25七年级•安徽合肥凋测）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找

到了乒乓球的位置.已知法线OC_LMN,反射光线4。与水平线的夹角乙4。。=56。，则平面镜MN与水平线

8D的夹角乙00N的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（）

A.24°B.28°C.34°D,56°

【答案】B

【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是

解题关键.先求出乙40B=124。，再求出乙40c=iBOC=[4AOB=62。，根据垂直的定义可得/COM=

90。，从而可得乙BOM=28。，最后根据对顶角相等即可得.

【详解】解：团乙月00=56°,

团2/1。8=180°-Z.AOD=124°,

团入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，

团乙/]。。=Z.BOC=-Z.AOB=62%

2

团0C1MN,

团/COM=90°,

团乙BOM=乙COM-乙BOC=28°,

由对顶角相等得：乙DON=乙BOM=28°,

故选：B.

9.（3分）（24-25七年级•陕西西安•阶段练习）如图，已知L4BIICD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:

第一次操作，分别作〃8E和匕DCE的平分线，交点为%；第二次操作，分别作〃8邑和NDC瓦的平分线，

交点为同；第三次操作，分别作NAB%和NDCE2的平分线，交点为B；......；第n次操作，分别作〃BE,1和

乙DC%-i的平分线，交点为En.若乙En=a度,那么48EC等于（）度.

A.2naB.2n-1aC.三D.2n+1a

2n

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键.过£作EFII力B,

利用两直线平行内错角相等，可推出乙BEC=〃BE+ZDCE,同理=+然后利用角

平分线的定义可推出乙BJC+=*N/BE+4DCE）=^Z.BEC,同理可求得/BE2c=

乙BE3c=：乙BEC,.，进而得到=右4BEC,即可求得答案.

AB||EF||CD,

:.Z.ABE=Z.BEF,Z.DCE=Z.CEF,

vZ.BEC=Z.BEF+Z.CEF,

•••Z.BEC=乙ABE+乙DCE；

同理/鸣C=乙ABE1+乙DCEi，

•••/A8E和，DCE的平分线，交点为灯,

•••々ABE】=\ABE,乙DCEI=^Z.DCE,

=^(Z.ABE+乙DCE)=三乙BEC,

同理4BE2c=^ABE+LDCE=-Z-ABE+-^DCE=-Z-BE^=-£.BEC,

22212124

乙BE3c=3乙BE2c=三乙BEC,

£ER=*£BEC,

••,zEn=a度，

:.乙BEC=2%度.

故选:A.

10.(3分)(24-25七年级•重庆・期末)甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字

笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元.乙艺术中心采购签字

笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔

记本数量是甲的9倍・，钢笔数量和甲相同.三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心

总费用多464元，则甲艺术中心果购总费用为()元

A.237B.350C.425D.901

【答案】A

【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组.

设甲采购签字笔x个、笔记本了个、钢笔z个，根据数量X单价=总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，

然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方

程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可.

【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为8%元，10y元，25z元；

乙采购采购签字笔6%个、笔记本12y个、钢笔8z个，则费用分别为48%元，120y元，200z元；

丙采购采购签字笔3%个、笔记本9y个、钢笔z个，则费用分别为24万元，90y元，25z元；

根据题意得

((8x+10y+25z)+(48%+120)，+200z)+(24x+90y+25z)=2850

I(24x+90y+25z)-(8%+lOy+25z)=464

整理，^(8x+22y+25z=285©

\x+5y=29②

由②得：x=29—5y③，

取、y都是正整数，

团y可能为1、2、3、4、5,

把③代入①整理，得

25z-18y=53,

53+18y

z=--------»

25

况为正整数，），可能为1、2、3、4、5,

团当y=5时，Z=W^=T^=筌=5.72（不符合题意）

当），=4时，2=殁双=至等=黎=5（符合题意），

当），=3时，2=殁把=史詈"二崇=4.28（不符合题意），

当），=2时，2=汕巴=庄3=里=3.56（不符合题意），

252525

当,，=1时，z=S3+18y=534^X1=71=284（不符合颍意），

把4代入②得：x=9,

•••甲艺术中心采购总费用为9X8+4X10+5x25=237元，

故选:A.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（24-25七年级•江苏扬州•阶段练习）已知2a=3,2匕=6,2c=12,现给出3个数小b,c

之间的四个关系式：①a+c=2b：@a+b=2c—3；@b4-c=2a+3：©b=a+2.其中，正确的

关系式是—（填序号）.

【答案】①②③

【分析】根据同底数塞的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可.

【详解】解：团2a=3,2b=6,2C=12.

02ax2z=3x4=12,2bx2=6x2=12,2c=12,

l3a+2=〃+l=c,

即b=a+l,c=b+l,c=“+2,

于是有：(l)a+c=a+a+2=2a+2,2b=2a+2,

所以a+c=2A,因此①正确；

②。+〃=«+a+l=2a+l,2c-3=2"+4-3=2a+l,

所以a+〃=2c・3,因此②正确：

③b+c=a+l+a+2=2〃+3,因此③正确：

④b=a+l,因此④不正确：

综上所述，正确的结论有：①②③三个，

故选：C.

【点睛】本题考查同底数塞的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幕的乘法法则，得出。、b、。的关系.

12.（3分）（2425七年级•安徽合肥•专题练习）若关于“,），的方程组摩累［羽：：；的解

为m则方程组山鬻魂的解为一.

【答案】丁二7

【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键.

根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组Ct：：，；：；?的解为进而可得出结论.

【详解】解：团关于x,y的方程组［戈尸熟=：?（小〃是常数）的解为凭二:，

（-o（x4-1）+2（x-2y）=15（y=5

回方程组闻鬻：S的解为匕二续5，噌=-

故答案为：｛y=-7-

13.（3分）（24-25七年级•江西九江•阶段练习）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小

正方形边长为a,AB=BC=CD=DE=b.现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用S「S2,

S3央表示它们的面积，若3s3+S2-Si=a+b,且Si+S2+S3=5a+25b,求ab的值是.

图2

【答案】r

【分析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为a+2b,a+b,

a,分别表示出品，S2,S3,再代入3s3+S2-a=a+AS〔+S2+S3=5a+25b,然后利用因式分解得

到a-a+b=5,最后根据必二妇咤空更求解即可.

34

【详解】解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为Q+28,a+b,a,

13s3=a2,S2=(a+b)2—a(a—d)=62+3ab,S1=(a+2b)2—Q(Q+b)=4b2+3ab,

团3s3+S2—Si=a+b,且Si+S?+S3=5Q+25匕，

2222

团3s3+§2-Si=3a2+/72+3ab-(4b+3ab)=a4-b,且S14-S2+S3=4b+3ab+b4-3ab+a=

5a+25b,

整理得3a2—3b2=a+b,且5b24-6ab4-a2=5a4-25b,

03G2-3b2=a+b可得3(a+b)(a-b)=a+b,a+bH0,

0a-Z?=73,

05b2+6ab+a2=5a+25匕可得(a+b)(a+5b)=5(a+5b),a+5匕00,

团a+b=5,

=(a+b)2-(…尸=维=双

449

故答案为:今

14.(3分)(2025•浙江杭州•模拟预测)若『上笠#=?，则(十一2b2+c2)+ac=____.

la+2b-2c=0

【答案】r

【分析】将a看作已知数，利用加减消元法求出b、c的值(用a表示)，再代入求值即可得.

【详解】pc+c=，可变形为我+:=-3a®,

加+2b—2c=0(2b—2c=—a②

由①一②得：3c=-2a,解得c=-(a,

由①x2+②得：4b+2b=—6a—a,解得b=—；Q,

6

则Q2―2炉+。2)+QC=a2-2-~a)+(-|。)+a'(-3a)J,

=(a2-—a2+-a2)+f--a2Y

\1897\37

_23

二石’

故答案为：^|.

【点睛】本题考查了三元一次方程组、整式的混合运算，正确将b、c用a表示出来是解题关键.

15.（3分）（24-25七年级•江西赣州•阶段练习）如图，在三角形力8c中，Z.BAC=36°,44cB是锐角，将

三角形4BC沿着射线BC方向平移得到三角形D”（平移后点4B,。的对应点分别是D,E,F）,连接CD,

若在整个平移过程中，乙4CD和々CDE的度数之间存在2倍关系，则4CDE=.

【答案】12。或24。或36。

【分析】根据题意得A3II。£，再由△43。的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点E在线段3C上；（2）

点£在仆ABC外，根据平行线的性质得到乙4CD和4CDE和，84c之间的等量关系后即可得解.

【详解】解：依题得：AB||DE,

分两种情况考虑：

（1）点E在线段上，过点。作CG||718,如下图：

•••CGIIDEIIAB,

①工ACD=2乙CDE,

•••CGIIDE||AB,

:.Z.ACG=/LBAC=36°,Z.CDE=ZDCG,

vZ.ACD=2/.CDE,

又/力CG=Z.ACD+Z.DCG=3乙CDE,

:.乙CDE=12°；

@2^ACD=乙CDE,

2/.ACD=Z.CDE,

Q

又乙ACG=Z.ACD+Z.DCG=3"DE,

2

•••乙CDE=24°；

(2)点E在△力8。外时，过点C作CGIIAB,如下图:

®LACD=24COE,

vCG||DE||AB,

A/.ACG=Z.BAC=36°,LGCD=乙CDE,

•••Z.ACD=2/.CDE,

又乙ACD=Z.ACG+Z-GCD,

•••2乙CDE=Z.ACG+乙CDE,

即/COE=^ACG=36°；

(2)2^ACD=乙CDE,

由图可知，Z-CDE</LACD,

此恃况不成立：

综上，Z-CDE=12。或24。或36。.

故答案为：12。或24。或36。.

【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平吁线的性质、几何图形中的角度计算，解题

关键是熟练掌握平行线的性质.

16.(3分)(2024•河南郑州•模拟预测)设相是正整数，且是15的倍数，n=15m.已知根是完全平方数,

120x九是完全立方数，36X/1是完全5次方数，则〃的最小值是.

【答案】218x323x5$

3223c+1

【分析】由120X15=2x3x5,n=15m,120x八是完全立方数，可设m=23ax33b+ixs[(a=0,

1.2...),(b,c=l,2...)],又由TH是完全平方数，可设a=2d,b=(2e-l),b=(2/-l),即可表示

出m,又由36X71是完全5次方数，即可设d=5g+3,e=5h-l,f=5k-4,求得36x九=23。。+2。x

330h-5x530k-25Kg=0,1，2...),g,k=1,2...)]则可求得答案.

【详解】解：120x15=23x32x52,

又•.n=156，120X71是完全立方数，

即120x15m是完全立方数，

.•.设血=230乂33匕+1乂53,+1[(0=0，1，2...),(b,c=1,2...)],

•••m是完全平方数，

设Q=2d,b=(2e-1),b=(2f-1),

ni=26dx36e_2xS6f-2[(d=0,1,2...),(e,f=1,2...)],

36xn=36x15m=22x33xS1m=26d+2x36e+1x56Z-1|(d=0,1,2...)，(e,f=1,2...)],

•••36X71是完全5次方数，

二设d=5g+3,e=5h-1,/=5k—4,

•••36X71=23°”2°x33°九-5x530k-25Kg=0,I，2...),(九，k=1,2...)]

•••取最小值：g=0，h=k=l可得：36x71=220x325x5$,

n=218x323x5s；

故答案为218x323x55.

【点睛】此题考查了完全平方数的应用.此题难度较大，解题的关键是根据题意设m=23aX33"1X

53c+1[(a=0,1»2...),(b,c=1,2然后利用同样的方法,表示出36xn=23。。+2。x3?$x

53。"2s[s=o,1,2...),(九，k=32...)].

第n卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(6分)(24-25七年级•江苏无锡•阶段练习)规定两数〃，〃之间的一种运算，记作【出力】：如果才=从

那么[4,/?]=c.例如因为23=8,所以【2,8]=3.

⑴根据上述规定，填空：[4,64]=_,[5,1]=_,[_,125]=3；

⑵小明在研究这种运算时发现一个现象【33]=[3,4]，小明给出了如下的证明:设[3n,4n]=x,

则(3x)n=4〃，即(3*严=4%所以3*=4.

即[3,4]二为所以【3八,4,=[3,4]请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①证明：[7,5]+[7,6]=[7,30].

②请根据前面的经验猜想:((x+l)n,(y-l)n]+[(x+m(y-2)nl=_].

【答案】⑴3,0,5

(2)①证明见详解；②【。+1),(y-l)(y-2)]

【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键.

(1)根据乘方的意义即可得到答案；

(2)①模仿材料中的证明方法设[7,5]17,6]=y,再根据乘方的意义即可得到答案；

②根据【3%4]=[3,4]和[7,5]+[7,6]=[7,30]的证明过程和结论即可猜想答案.

【详解】(1)解：43=64,

[4,64]=3,

v50=1,

[5,11=0,

•••53=125,

二【5,125]=3.

故答案为：3,0,5.

(2)①证明：设[7,5]=X,[7,6]=y,

贝=5,yy=6,

...7x+y=7^.7^=5x6=30,

[7,30]=x+y,

[7,5]+[7,6]=[7,30].

②由【3%4nl=[3,4]的证明过程和结论可以猜想：

【。+1尸，(y-l)n]=[。+1),(y-1)],

【(%+1尸，(y-2)nl=[(x+l),(y-2)],

nnnn

AL(x+l),(y-l))4-((x+l),(y-2))

=[(x+1),(y-1)]+[(x+1),(y-2)],

由[7,5]+[7,6]=[7,30]的证明过程和结论可以猜想：

gl),(y-l)l+(y-2)l=[(X+I),(y-l)(y-2)],

0[(x+l)n,(y-l)n3+[(x+l)n,(y-2)nJ=[(x+1),(y-l)(y-2)],

故答案为:[(x+1),(y-l)(y-2)l.

18.(6分)(24-25七年级♦辽宁沈阳•阶段练习)对于任意四个有理数如从c、d,可以组成两个有理数

2222

对Q,b)与(c,d),我们规定：(a,b)0(cfd)=a+d-bc.例如：(1,2)0(3,4)=I4-4-2x3=11.

⑴若(2%而)⑥(y,-y)是一个完全平方式，求常数A的值为_；

⑵若2x+y=12,且(3%+y,2广+3y2)区)(3,x-3y)=84,求xy的值；

⑶在(2)的条件下，将长方形ABCD及长方形CErG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、8c上，

连接8。、BF.DF.EG,若A8=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y,求图中阴影部分的面积.

［答案］⑴±4

(2)15

⑶48

【分析】本题考杳了新定义公式，完全平方式，完全平•方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义

公式，完全平方式是解题的关键.

(1)根据新定义,求出(2%kx)0(y,-y),再根据完全平方式的特征,即可求出生

(2)根据新定义，求出(3%+丫,2炉+3丫2)合(3,%-3/=84的左边，从而得出方程，再配方将2%+y=12

整体代入，即可求出町；

(3)根据阴影部分的面积等于S.EFG+SAD8F，S^DBF=S^BCD—S^DEF—S^BGF—S长方形FGCE'把阴影部分的

面积表示出来，从得到含有2%+y,孙的整式，再把(2)的条件和结论整体代入即可.

【详解】(1)解：0(a,b)0(c,rf)=a2+d2-be,

0(2x,/ex)0(y,-y)=(2x)2+(-y)2-kxy,

(3(2%kx)O(y,-y)=(2x)24-y2-kxy,

(3(2%,kx)0(y,-y)是完全平方式，

团(2x)2+y2-kxy=4x2±4xy4-y2,

用k=±4；

(2)0(a,b)0(c,d)=a2+d2-be

0(3x+y,2x2+3y2)区(3,x-3y)=(3%+y)2+(%-3y)2-(2x2+3y2)x3=84,

去括号得：9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2=84,

合并同类项得：4x2+y2=84,

团2K+y=12,

04J2+y2+4xy=84+4xy,

0(2x+y)2=84+4xy,

0122=84+4xy,

解得：xy=15,

=15；

2

<3)0SAEF6=1x4yxy=2y,

XXX2

SABDC=1-2-8=8,

SADEF=I•(2%-y)-4y=4xy-2y2,

S&BGF=I­(8x-4y)-y=4xy-2y2,

回S&DBF=S^BCD~S^DEF~S^BGF一S氏方形FGCE，

^DBF=8/-(4xy-2y2)-(4xy-2y2)-4y2,

2

团Ss"=8x-8xyf

团阴影部分的面积为：8x2-8xy+2y2；

回8/-8xy+2y2

=2(4工2+4xy4-y2-8xy)

=2[(2%+y)2-8xy]

02A-+y=12,xy=15

因阴影部分的面积为：2x(122-8x15)=48.

19.(8分)(24-25七年级•浙江•学业考试)商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机.已知该厂家

生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.

⑴若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.

⑵若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方

案；若不可行，请说明理由.

【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型

号电视机15台

(2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙

种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电

视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时,

可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台

【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电

视机，有三种可能.

(1)通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台〃和“两种不同型

号的电视机共用去9万元"，根据这两个等量关系可列出方程组.

(2)当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算最，那么，本题中只需找到两个等量关

系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和"三种不同型号的电视机共用去9万元〃.

【详解】(1)解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：无、y,z

当购进甲种型号及乙种型号的电视机时，

市轲章彳jx+y=S0,

1J(l500x+2l00y=90000,

K：25:

当购进乙种型号及丙种型号的电视机时，

由题意，得biooy+2500Z=90000,

解得=(舍去)；

(Z=-37.5

当购进甲种型号及丙种型号的电视机时，

由题意，得｛i500x；短OzS290000,

综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号甩视机25台

或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台.

(2)解:可行.

设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：X、八z时；由题意，得｛15。。、+荒1I短：=9。。0。,

X=25+|z,

5

Iy=25--z,

以,y,z均是大于0且小于50的整数,

团当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台;

当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；

当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；

当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台

20.(8分)(24-25七年级•湖北襄阳・期末)综合与实践：

【问题情境】(1)对于一个图形，如图1,通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式;

【探究实践】

(2)类比图1,写出图2中所表示的数学等式：

(3)利用(2)中得到的结论，解决问题：若a+b+c=8,ab+be+ac=25,求小+/+。2的值；

【拓展应用】

(4)用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个长

方形或正方形，直接写出m的值.

【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+b2-

(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc4-2ac；

(3)14；

(4)5或7

【分析】(1)根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果；

(2)大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案；

(3)由(2)的结论，把已知条件代入即可；

(4)根据题意可知，拼成图形的面积为2a2+m勤+3b2,要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把

因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可：

【详解】解:(1)大正方形的面积有两种求法：可以是(a+b)2,也可以是小+2耐+力2,

•••(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为：(a+b^2=a2+2ab4-b2；

(2)••・边长为a+b+c的正方形的面枳为：(a+b+c)2,

分9部分来看，正方形的面积为a?+垓+分+2ab+2bc+2ac,

•••两部分面积相等，

，(a+b+c)2=小+匕2++2ab+2bc+2ac,

故答案为:(Q+b+c)?=a?+〃+c2+2ab+2bc+2ac；

(3)由(2)知(Q+b+c)?=Q2+/++2Q/J+2bc+2QC,

a+b+c=5,ab+be+ac=25,,

:.a2+b2+c2=(a+Z)+c)2-2ab-2bc-2ac

=(a+b+c)2—2(ab+be+ac)

=82-2x25=14.

a2+b2+c?的值为14；

(4)由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：2a2十7n如十3b2,

从因式分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或(2a+3b)(a+b),

(2a+b)(Q+3b)=2a2+7ab+3b2或(2a+3b)(a+b)=2a2+Sab+3b2,

二优的值为5或7.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的

相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法.

21.(10分)(24-25七年级•河南安阳•阶段练习)【观察发现】

(1)如图1,将长方形纸片的•角折叠，使顶点4落在A处，8E为折痕；再将另一角折叠，使顶点C落在84上

的C'处，折痕为BD,则ZEBD的度数为：

【思维拓展】

(2)如图2,已知两条平行线力从CD被E尸所截，交点分别为G,H,分别作4BG，和4DHG的平分线GK,HK,

两线相交于点K，求NGKH的度数；

【综合应用】

(3)如图3,当48与CO不平行时，连接EF,J1EF同时平分N8EM和4OFM,贝叱AEM,乙CFM和NEMr之间

的数量关系是什么？写出你的猜想并证明.

EA

E

【答案】(1)90。；(2)90°；(3)4EM尸尸M,证明见解析

【分析】本题考杳了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质.

(1)根据折叠的性质彳导，LABE=LA'BE,乙CBD=LC'BD,进而得ZA'BE+=：(44'BA+4C'5C),

由平角的性质即可得解；

(2)先由平行线的性质得Z_BGH+4HG=180。，再由角平分线的性质得出乙KGH+4GHK="匹”+

m，D”G=90。，最后由三角形内角和定理可得答案；

(3)过点E作EG平分乙4EM,过点尸作?”平分NCFM,先由角平分线的性质和平角的性质得出Z/EM+

乙GEM=90。，^HFE=90°,进而得EGIIFH,过点M作MN||EG,得MMIFH,根据两直线平行内错角相等得

乙GEM=^EMN,乙HFM=LFMN,再结合角平线的性质，即可得出结论.

【详解】解：(1)根据折叠的性质得，4ABE=ZLA'BE,乙CBD=LC'BD,

+乙UBD=g(^BA+LC'BC)=1X180°=90°,即4EBO=90°,

故答案为：90°；

(2)-ABWCD,

NBGH+Z-DHG=180°,

•:GK,分别平分NBG"和ZDHG,

：.iKGH="GH,乙GHK=L^DHG,

22

:.，KGH+乙GHK=^BGH+^DHG=：(4BGH+4OHG)=1x180°=90°.

vZ.GKH+Z.KGH+乙GHK=180%

乙GKH=180°-(乙KGH+乙GHK)=180°-90°=90°：

(3)解：LEMF=/-AEM+iLCFM,证明如下:

如图，过点£作EG平分2EM,过点F作户H平分“FM,

Z.FEM=-ZFEM,乙GEM=-Z.AEM,

22

••・/BEM+乙4EM=180°,

Z.FEM+乙GEM=-/.BEM+-Z.AEM=90°,

22

同理可得：乙HFE=90。,

•••EGWFH,

过点M作MNIIEG,

.•・M/VHFW,

•••々GEM=LEMN,乙HFM=LFMN,

二Z.EMF=乙EMN+乙FMN=匕GEM+乙HFM,

•••EG平分-1EM,FH平分"FM.

・••々GEM=-Z-AEM,乙HFM=-ZCFM,

22

•••乙EMF=-Z-AEM+*4CFM.

22

22.(10分)(24-25七年级•山东临沂•期末)材料1：将一个形如/+px+q的二次三项式因式分解时，

如果能满足p=m+nf=Lq=mn,则可以把/+p%+q因式分解成(％+m)(x+n).例如/+3%+2,具体

做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线

的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为"十字相乘法”.

这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)(x4-2).

材料2：分解因式：(x+y)?+2(工+y)+1

解：将9+y"看成一个整体，令x+y=K,则原式=K2+2K+1=(K+1)2,再将"K"还原，得：原式=

(x+y+I)2

上述解题用至『整体思想''和"换元思想"，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法.

【迁移运用】

⑴利用上述的卜字相乘法，将下列多项式分解因式：

©X2+5X+6；②2x2+2x-12

⑵结合材料1和材料2,对下面小题进行因式分解：

①(x-y)2+4(%—y)+3；②(2a+3b)2-4(2a+3b)-12.

【答案】(1)①(x+2)(x+3)；(2)(x+3)(2x-4)；

⑵①(x-y+1)(%-y+3)：②(2a+3b+2)(2a+3b-6).

【分析】本题主要考查了川十字相乘法分解因式、换元法分解因式.解决本题的关键是阅读材料中提供的解

题思路，仿照材料中提供的思路分解因式.

(1)①仿照材料1的供的思路把1分解成1x1,把6分解成2x3,分别写在十字交叉线的右上角却右下角，然

后交叉相乘，可得1x2+1x3=5,所以分解因式可得/+5x+6=(x+2)(%+3)；

②为照材料1的供的思路把2分解成lx2,把-12分解成-3x4,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，

然后交叉相乘，可得一3x2+1x4=-2,所以分解因式可得2/+2%一12=(%-3)(2%+4)；

(2)①设x-y=p,则原式化为p?+4p+3,仿照(1)中的方法用十字相乘法分解因式，再把p还原即可；

②设2a+3b=