高中数学立体几何-截面问题

题型1:作几何体的截面

立

体题型2：判断截面的形状

几

何

中

的

截

题型4：由动点求截面的最值

面

问

题题型5：与截面有关的体积计算

题型6：由截面求其他量

【题型1:作几何体的截面】

【练方法】

核心解题方法

1基本原理：利用平面的基本性质公理1（两点在面内则直线在面内）公理3（两平面相交则交线唯一）

2通用“两点法”：

步骤1：找截面平面与几何体的两个公共点确定交线

步骤2：延长交线与几何体的棱或面相交得到新的交点

步骤3：依次连接交点形成封闭的截面多边形

3平行线法：利用线面平行的性质截面与几何体平行面的交线互相平行

4延长线法：延长棱或面对角线找到截面与几何体延伸面的交点再反推截面边

5辅助平面法：过已知点作平行或垂直于棱的辅助平面辅助确定截面的边

6正方体截面作图口诀：先找两点连直线延长相交找新点平行传递画对边依次闭合成截面

生典例题1（2024高三,全国•专题练习）在正方体ABCD-A/iCiDi中,已知AB=L0是棱。0

上的动点（可与力、/重合）.当。是DD]中点时，画出过力，Q,%的截面;

解典例题2（24-25高二上・上海•期中）如图，已知E,F,G,"分别是正方体ABCD-418道1。1

的棱48,BC,CCi，。道1的中点，且E尸与HG相交于点Q.

（I）求证：点Q在直线OC上；

⑵作出过小G、内三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）

，小试牛刀1（24-25高三•全国一轮复习）如图，在四棱锥P-/8C0中，底面力BCD为等腰梯形,

[_________

AD=PA=2,BC=4,E,RG分别为P4B&CD的中点.在答题卡的图中作出平面EFG截四棱锥P-48CD所得

的截面，写出作法（不需说明理由）;

,小试牛刀2（24-25高二上•上海•课堂例题）如图，正方体/1BCO-的棱长为a,M、N

分别是G〃、/1Q的中点，。在CCi上且满足CP=2PG，过M、N、。三点作正方体的截面.

2

AC.

A

AB

，小试牛刀3（2024高三下•全国・专题练习）四棱锥的棱匕?，VC,以）上各有一点P,

L

Q，R，过P，。，R三点作四棱锥的截面（图）.

V

【题型2：判断截面的形状】

【练方法】

核心解题方法

1边数判定：截面与几何体的面相交的个数等于截面多边形的边数

正方体截面：与3个面相交--三角形与4个面相交一四边形与5个面相交一五边形与6个面相交~六边形

2特殊形状判定：

三角形：截面过三个顶点或与三个面相交可分为锐角三角形直角三角形正三角形

四边形：截面与四个面相交可分为平行四边形矩形菱形梯形正方形

五边形：截面与五个面相交必为凸五边形

六边形：截面与六个面相交正方体中截面六边形的对边互相平行

3特殊情况排除：

正方体截面不可能是直角三角形钝角三角形正五边形

圆柱截面：平行于底面一圆垂直底面一矩形斜截一椭圆

圆锥截面：平行底面一圆过顶点一等腰三角形斜截一椭圆平行母线一抛物线

生典例题1（25-26高二上•上海•期末）已知正方体棱的中点为E,棱｛。的

中点为F，棱的中点为G,过E,F、G作该正方体的截面，则该截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

血试牛刀1（25-26高二上,上海•月考）已知正方体ABCD-<i4CiDi中，点E为E4的中点,

点F为的中点，则平面AE户截正方体力风:。-41%。1。1形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

3

小试牛刀2（24-25高一下•河南郑州•期末）已知正方体48。。一4816。1，点£是上底面

&B1C1D1上任意一点，过4C,E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（）.

A.等边三角形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

»小试牛刀3（24・25高一下•江苏南通•期中）在正方体中48。。-481加。1中，E为8c的中点,

,

则平面截正方体所得的平面图形为（）

A.三角形B.等腰梯形C.直角梯形D.五边形

【题型3：求截面的面积或周长】

【练方法】

核心解题方法

1周长计算：

方法1：直接法依次计算截面多边形各边的长度再求和

方法2：展开法将几何体侧面展开截面边转化为平面线段再计算长度

2面积计算：

方法1：分割法将截面多边形分割为三角形利用三角形面枳公式计算再求和

方法2：投影法$其中。为截面与投影面的夹角

C_»投影

染面一嬴？

方法3：特殊图形公式截面为正多边形平行四边形梯形时直接套用对应面积公式

3关键技巧：

截面为三角形时优先用海伦公式或S='R）sinC

2

截面为平行四边形时用底乘高或向量叉乘计算面积

截面为圆或椭圆时用对应曲线的面积公式

典例题1（24-25高二下•四川成都・月考）如图，已知正方体4BCD—4B1GD1的棱长为2,若K

为棱为当的中点，过4C,K三点作正方体的截面，则截面的周长为（）.

A.2V5+3V2B.6C.2a+3遮D.V5+2V2+3

典例题2（25-26高三下•云南昆明•月考）在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E,尸分别是45,001的

中点，AB=2,则过点EEC的平面截该正方体所得的截面周长为（）

4

A3企+2百Bvn+5后

♦2•2

c.3西+?D.苧+2H

,小试牛刀1（25-26高一下•河南许昌•期中）如图1,在正方体ABCD-A/iCiDi中，力B=3,

E,F,G,〃分别是棱4B,BC，CCi，的小的中点，且E尸与HG相交于点0.

图1图2

⑴求证：直线DQ为平面ABC。与平面CCWi。的交线；

（2）在图2中作出过4G，二点的截面，并求出该截面的周长和面枳.（写出作图过程并保留作图痕迹）

,小试牛刀（24・25腐一下•浙江杭州•期中）已知正方体48。。一4%％。1的棱长为3,

,2

（1）求四棱锥A-的体积;

（2）若点P,Q分别为3GCg的中点，求过点①，P,Q的平面截止方体所得的截面的周长.

,小试牛刀3（24-25高一下•海南•月考）在正四棱柱480-&8传1。1中,43=2,44]=3,M,N

分别是48,4。的中点，则平面MNCi截该四棱柱所得截面的周长为（）

A.7V2B.9V2C.5+3V2D.5+5企

【题型4：由动点求截面的最值】

【练方法】

核心解题方法

1轨迹分析：先确定动点的运动轨迹分析截面随动点变化的规律

2周长最值：

方法1：展开法将几何体侧面展开截面周长转化为平面内两点间的距离利用两点之间线段最短求最小值

5

方法2：几何临界法找到动点在端点中点垂足等特殊位置时的截面周长比较得到最值

3面积最值：

方法1：函数法设动点参数将截面面积表示为参数的函数利用函数单调性或导数求最值

方法2：几何临界法找到截面面积最大或最小时的动点位置（如截面过几何体中心或顶点）

方法3：投影法截面面积与投影面积成正比投影面积最大时截面面积也最大

4关键结论:

正方体中截面为六边形时过中心的截面面积最大

圆柱中平行于底面的截面圆面积固定斜截面椭圆的长轴随倾斜角增大而变长

生典例题1（2025高三・全国•专题练习）如图，已知四面体力BCD为正四面体，48=4，比尸分别是

4DBC中点，若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个

多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（）

'B.?C"D*

解典例题2（24-25高二上・安徽合肥・期中）已知正方体,48。）_不87。的体积为1，点M在线段BC

上（点例异于8,C

两点），点N为线段CC'的中点，若平面/MN微正方体A。。。—4力'厂。'所得的截面为四边形，则线段的取

值范围是（）

B.&1)。曲）

（25-26高一下•浙江杭州•期中）已知正方体48C0—4/iCiDi的棱长为3,点N在

棱CQ上，CiN=2NC,点M在棱BC上（点M异于两点），若平面力MN截正方体一4%。1%所得

的截面为五边形，则线段MN长的取值范围为.

6

小试牛刀2（24-25高三下•江苏•月考）在四面体力BCD中，AB=CD=V34,AC=BD=5,AD=

BC=何,£、F分别为力D、8c的中点.若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面a去截该四

面体，则得到的多边形截面面积的最大值为.

小试牛刀3（2024•江西九江•一模）已知正方体A8CD-4B1GD1的棱长为1,E为线段为历

上的点，过点£作垂直于当。的平面截正方体，其截面图形为M,下列命题中正确的是

①M在平面44CO上投影的面积取值范围是我，1；

②M的面积最大值为逆；

③M的周长为定值.

【题型5：与截面有关的体积计算】

【练方法】

核心解题方法

1分割法：用截面将几何体分割为两个部分分别计算两部分的体积

2补形法：将截面分割后的几何体补成熟悉的几何体（如棱柱棱锥）再计算体积

3关键技巧：

截面为平面时利用“同底等高的棱锥体积相等”简化计算

截面平行于底面时利用相似比求分割后棱锥的体积相似比为截面与底面的边长比体积比为相似比的立方

截面过顶点时分割后的几何体为棱锥直接用夕二gs底力计算体积

4体积差法：用原几何体体积减去分割后其中一部分的体积得到另一部分的体积

典例题1（23-24高三上•安徽・月考）如图，在棱长为a的正方体43。。一4道£。1中,M,N分

别是44i，的。1中点,过是M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线I.

7

(1)画出直线1的位置，并说明作图依据；

(2)王方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.

典例题2(24-25高一下•重庆万州•期中)如图所示,正方体力的棱长为

(1)过正方体48。。一414。道1的顶点力］,B,g截下一个三棱锥/一冬3。1，求正方体剩余部分的体积；

(2)若M,N分别是棱48,8C的中点，请画出过Di，A7,N三点的平面与正方体ABCD—Ai/CiDi表面的

交线(保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由)，并求出交线围成的多边形的周长；

，小试牛刀1(2023•广西河池•模拟预测)已知四棱锦P-A8C。中，底面ABC。为直角梯形，PA1

L______________________

平面为8C0,ADWBC,ABLAD,PA=AD=4,BA=BC=2tM为24中点，过C,D,M的平面截四棱锥P-

所得的截面为a.

(1)若a与棱尸8交于点尸，画出截面*保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明普=3.

ro

(2)求多面体48coMF的体积.

小试牛刀2(2025♦云南昭通•模拟预测)在棱长为3的正方体48CD-&BiCiDi中,E是棱

8

的中点，尸为棱BC的三等分点（靠近B点），过4E,F三点作正方体的截面，则以B为顶点，以该截面为底面

的棱锥的体积为.

（2025•山东聊城•一模）点M,N分别为三棱柱4BC-4$iG的棱的中点,设

△4MN的面积为Si，平面4MN截三棱柱力夙:一481cl所得藏面面积为S,五棱锥.力I-CJBINM的体

积为叭，三棱柱力的体积为匕则?=__________,*=______

【题型6:由截面求其他量】

【练方法】

核心解题方法

1求截面与棱的夹角：利用截面论边与棱的位置关系构造直角三角形计算线线角

2求截面与底面的二面角：找到截面与底面的交线在两个面内分别作交线的垂线得到二面角的平面角再计算

角度

3求截面的高或斜高：利用截面的形状构造直角三角形计算截面多边形的高或斜高

4关键技巧：

截面与底面平行时截面与底面的夹角为0°截面为相似图形

截面与底面垂直时截面的边与底面的交线垂直可直接构造直角三角形

利用截面的对称性简化角度或长度的计算

（24-25高一下•河南郑州•月考）在四棱锥P-43CD中,AD//BC,AD=2BC,E为PD

中点，平面/BE交PC于F,则。二

⑵-24高一下•福建•期末）如图，在棱长为4的正方体48CD-中，M为棱D%

的中点，N为棱的中点，设宜线4小与平面MNC交于点Q,则DW=（）

D\C.

9

小试牛刀1（2025•江西•一模）如图,正方体ABCD-481C1D1的棱长为1,E,尸分别为44口

CG的中点，G在Dig上,且。iG=^GCi，平面EFG与棱所在直线交于点儿则8"=（）

1

B.D

3-Z

，小试牛刀2（24-25亶二上•黑龙江•开学考试）如图，在棱长为12的正方体

中，E,尸分别是棱CD,81G的中点，平面4Er与直线CC］交于点M则N"=（）

A.1()B.15

「小试牛刀3（2022・贵州毕节•三模）在长方体48CD-4B1G5中，点E,F分别是棱4%,AXA

的中点，点。为对角线4C，BD的交点，若平面EO/n平面力BCD=1,gAB=G，且AG=kGB,则实数k二

)

A-B2

04-I3

蹑后跳对邮绿

一、单选题

1.（23-24高二上•上海普陀•期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形ErGH

10

的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.矩形D.上述三种图形以外的平面图形

2.（24-25高二上•上海•期中）如图,在三棱锥A-BCD中，棱48的中点为£棱力C的中点为F,棱8。的中

点为G,经过E、/、G的截面一定是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.平行四边形

3.（2023•四川南充•一模）如图,正方体ABCD-AiBiC/i的棱长为2,E,3分别为BC,C%的中点，则平

面截正方体所得的截面面积为（）

A.：B.\C.9D.18

22

4.（23-24高三上•河北廊坊・期末）如图所示，正四楂台A8CD-/li8iC]Di中，上底面边长为3,下底面边

长为6,体积为半，点E在4D上且满足DE=24E,过点E的平面a与平面D〃C平行，且与正四棱台各面相

交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（）

II

A.7V2B.8V2C.3V3+4V2D.4V3+472

5.（24-25高三下•北京•开学考试j长方体4BCD—49中，4B=鱼,BC==1,£为线段&C的中

点，尸是棱CRi上的动点，若点P为线段8D]上的动点，则PE+PF的最小值为（）

6.（2025•湖南永州•模拟预测）在长方体48。0—4*1。山1中，dB=6,BC=4,瓦尸分别是棱4B,BC的中点,

点P满足而=4苗（0<A<1），若过点E,F,P的平面截长方体力BCO—力1/。1。1所得的截面为五边形，则

实数;I的取值范围是（）

A*（晶]B.（0月C.片1）D.[1,2）

二、多选题

7.12024•山西晋城•一模）如图，在正四棱柱48。。一48£。1中，AB=2,AAI=4,C[E=3EC^平面ABE

将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为。上，下部分对应的几何体为。卜，则（）

A.。卜的体积为2

B.。上的体积为12

12

C.。卜的外接球的表面积为91T

D.平面ABE截该止四棱柱所得截面的面积为2遥

三、填空题

8.（22-23高一下河北邯郸期