复数的三角表示（基础练）解析版

第七章复数

7.3.1复数的三角表示式（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.已知i为虚数单位，复数z=sin―—icos',则z在复平面内对应的点位于（)

66

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

.江.兀匚5

【解析】•/z=sin—-/cos—-sin—+/COS—=---1---1

666622

，z在复平面内对应的点的坐标为（-/苧），位于第二象限.故选:

B.

2.将更数4cos[-]J+isin（-化成代数形式，正确的是（）

A.4B,-4C.4/D.-4/

【答案】D

【解析】4cos—%+isinf-^=4[0+i(—l)]=-4j.故选：1)

3.复数sin45-icos45的辐角主值是（）

A.45°B.135°C.225°D.315°

【答案】1）

【解析】•・一=』也

K2JI2

cos^=—,sin^=-—，

22

，辐角主值。=315,故选：D.

4.复数-且+表示成三角形式正确的是()

22

TC,.7T5%..7T

A.cos—+zsin—B.cos—+zsm—

6666

5乃..5乃乃.."

C.cos—+isin—D.-cos—Fzsin—

6666

【答案】C

【解析】Tr=]-停+(gj=],

cos0=——-»sinO=-,

22

又6e[0,2万)，・・・。=—,

6

/31.5乃..5〃11vi-f>

---F—z=cos——+rsin——，敬磔：C.

2266

5.复数4=1,z?由向量0Z；绕原点。逆时针方向旋转？而得到.则arg（&^幺）的值为

)

714%

A-IB.—c空D.——

33

【答案】C

+Zsin+Z

【解析】4=1,.•"1=cosO+zsinO,OZ2=OZ,(cosfy)=1

全二L=J_（二1+立。所以复数在第二象限，设幅角为。，tane=—G：.e=M

22223

故选：C

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.已知好数z=cose+isin6（-巳〈夕〈军）（其中i为虚数单位），下列说法正确的是（）

22

A.复数z在复平面.上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.|z|=l

D.4的虚部为sin。

Z

【答案】BC

【解析】z=cosO+，sin0>

：<0<—.「.cos，〉。，sin(-1,1).

22

则复数z在更平面上对应的点不可能落在第二象限，故A错误:

sin。的值可能为。，则z可能为实数，故3正确;

由于Iz|=4cos20+sbrO=1,故C正确;

由于』=-----------=------c°s"_'si。"-------=cos。-isin。，其虚部为一sin夕，故。

zcos夕+isin夕(cose+isin6)(cos〃-isin。)

错误.故选：BC.

7.下列复数不是三角形式的是（)

/\

J万..乃、

A.2cos---zsin—B.2cos—+zsin—

I33JI36J

D.2fcos^/sin^

C.2coszsin+

-rfI55)

【答案】ABC

【解析】复数的三角形式是Ncos，+isin，），其中尸>0,A,B,C均不是这种形式,

其中A选项，2（cos?-isinqJ中-isin（71不满足;

3

B选项，2cosf+isinf中生工工不满足：

（36J36

C选项，—2卜osq+isin?）中—2<0,不满足；D选项满足.

故选：ABC

8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式

eix=cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.

根据此公式，则下列四个结论正确的是（）

A.ein+l=0；

（1AY019

B.1—2i2}=-i；

B.C.2cosx=eS+ef

D.2sinx=eLv-e-Lt.

【答案】ABC

【解析】因为e"=cos;r+isin/r=-1，故6"+1=0，故A正确.

eu=cosx+zsinx,etr=cos(-x)+/sin(-x)=cosx-zsinx,

所以e"+e*=2cosx，elv-e-Lv=2zsinx，故C正确，D错误.

而

2019

2019/zT\2OI9

IL乌］7V..71J

cos—4-isin—eb/JJT,=cos6731+isin673乃=-1.

2233

故B正确，故选：ABC.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.若i为虚数单位，复数z=cos二-，sin与的共轨复数是则复数千在复平面内对应的

3

点位于笫象限

【答案】三

【解析］z=cos--Zsin—=----/,

3322

_1

・・Z=F乌,

221'

2J__叵_3=」_且.

Mz=(--4-

24-TZ_4__2-T/'

复数z2在复平面内对应的点的坐标为（-1,,位于第三象限.

故答案为:三

10.复数z=T+的三角形式为,辐角主值为一

、1一〃

3乃..3万3兀

【答案】历cos——+/sin——

44JT

罟“所以闾.\2021

【解析】因为•2021i,所以

3〃..

Z=-1+Z=一+zsin——,

44J,

所以复数z的辐角主值为F

31..3兀

故答案为:回cos—+zsin—

44)T

11.欧拉公式e“=cosx+isinx(/■为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，

而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,

源表示的夏数在复:平面M位于第一象限.

【答案】三

【解析】由e*=8sx+isinx,

得=cos4+isin4,

表示的复数在复平面中所表示的点的坐标为(cos4,sin4),

<兀<4<—几，/.cos4<0.sin4v0,点(cos4,sin4)位于第三象限.

2

故答案为：三.

四、解答题：(本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

12.(1)把下列复数的代数形式化成三角形式.

①3-后；

②亚-

(2)把下列复数的三角形式化成代数形式.

.//冗••万)

①4cos—+isin—；

、33)

5冗..5万)

②3cosi-isin——

T4)

【答案】(1)①3-石i=20fcos■!■■^+lSln■!■^］；②0-5/^i=2cos—+isin—1

【66)\44；

⑵①2+2向②一辿一逑i.

22

【解析】⑴①+卜可=26.

因为与3-杳时应的点在第四象限，所以arg(3—Gi)=1工，

所以3-后=2百cos@+isin"

66J

②/="扃+卜可=2.

因为与血-J5i对应的点在第四象限，所以arg（后一拒i）二g,

77r..7%

所以J5-J5i=2cos——+1sin——

44

J71..7T\4乃A・冗71|•.1A

(z2x)①4[cos?+isin§4cos—+4sin—i=4x—+4xi=2+2©.

332

sfcos—+isin—l=3cos5/r35/2372.

+-|3sin—i=3x+3xi1

44JTI422

z-11z-1

13.若复数z满足=3,argp则求Z的代数形式.

zz

【答案】

设0=z。，则|z(J=；,argZo=?,・・・Zo=；71.7116

【解析】cos—+sin—=—।—i,

ZJL33J44

,z-1二卜解得z=l+^>

Z

14.把复数zi与Z2对应的向量0A08分别按逆时针方向旋转色和旦后，重合于向量0M

43

且模相等，已知Z2=T-6，，则求复数4的代数式和它的辐角主值.

【答案】-&+VL;网

4

717154..5乃

【解析】由题可知Z]cos—+/sin—=Z.cos—+zsin—

I44/33

修+乌fi

则Z1=(-l->/3zj------------1

2222

也+也j*（1+，）（一）'

~T+^2l

可知Z,对应的坐标为卜近,也）,则它的辐角主值为三.

A级必备知识基础练

i4史

1.［探究点一］复数r+；i的三角形式是（）

A.cos60°+isin60°B.-cos60°+isin60°

C.cos120°+isin60°D.cos120°+isin120°

WT!

2」探究点一］已知z=co$3+isinm,则下列结论正确的是（）

A后的实部为1B.z2=z-1

C.z2=ZD.|z2|=2

nit

3」探究点一］复数cosTsii的辐角主值是（）

<l5n7*

AdB.4C.4D.4

nTI

4」探究点二］复数cosRisin；经过〃次乘方后，所得的复数等于

它的共枕复数，则〃的值等于（）

A.3B.12

C.6匕1/£Z）D&+1（Z$Z）

5」探究点二］［2（cos60°+isin60°）］3=.

itn

6.［探究点三］计算（cos兀+isin兀）：（cos3+isirP）=.

7」探究点一］已知复数z1=73+i,若复数z满足2iz=zi,则复数

z的辐角主值为.

J/•1l\外加

8.［探究点二］已知zi=z\C0S3+iesin3、z2=6(cos6+isin6),计算

Z］Z2,并说明其几何意义.

9」探究点一、三］已知复数z=r(cos夕+isin求二的三角形

式.

B级关键能力提升练

10.若复数(〜加看，为实数，则正整数〃的最小值是()

A.lB.2C.3D.4

11.复数z=cosu+isin”是方程^+仪二。的一个根，那么a的值为

()

V5.1i15

A-十.•n-十一•

A.221B.221

y/i11y/i

C.-2ziD.-22i

1«

2(cos6+isin']二

12.计算:z=2;.，贝U|z|二

13.莱昂哈德・欧拉发现并证明了欧拉公式，=cos夕+isin”从

而建立了三角函数和指数函数的关系若将其中的。取作兀就

得到了欧拉恒等式6+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,

它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数（自然对数

的底数e,圆周率兀），两个单位（虚数单位i,自然数单位1）以及

。.请你根据欧拉公式:ei〃=cos8+isin”解决以下问题:

⑴试将复数台写成〃+历（。/£R,i是虚数单位）的形式;

（2）试求复数a+；的模.

14.计算下列各式的值:

(l)(-7+7i).[2(cos3+isin3)J

(2)3(cos63°+isin63°)-2(cos99°+isin99°)-5(cos108°+isin

108°).

15.求证：

=COS0-isin6.

/x二二

16.设zi='+i,Z2=l・i,Z3=sin^+icos1%求"%的值.

c级学科素养创新练

17.设A.B.C是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)4-(cosB+isin

B)-(cosC+isinO是一个实数，则AABC是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C直角三角形D.形状不能确定

18.已知k是实数，①是非零复数，且满足arg

—

G=4,(1+%2+(1+i)2=1+kco.

(1)求公；

(2)设z=cosC+isin[0,2兀)，若|z■①|=1+衣,求C的值.

参考答案

1.D令z=-22i=a+bi(a/£R),z的模是r,z的辐角是&则

Vs卜。姐=?=・*

£T1]_b_71更

r=\z\=\,a=-2,b=(疝°一，一2'可取0=120°..•・二？i的三角形式是cos120°+isin

120°.

nnl,b1.VI13.V31.】

z_=fz-H---\x---+--+--

2.Bz=cos3+isin322i.r=^22i^2=442i=-2?i,其实部为•二故A错

1z=i--/-\龙、

误;Z-l=-2+缶=^,故B正确；,2#z2,故c错误;图二(-2)2+(2)2=]，故D错误,故

选B.

2三_包—色土土

3.D复数cos4-isin$2:i=cos4+isin4,

—TTT—1M7MlMt

所以目数cos'-isin*1的辐角主值是'.故选D.

ftnEEf!n

4.C由题意，得(cos*+isin石)"=cos3+isin3=cos^-isin3,由复数相等的定义，得

E«1

COST=COS3=2,

sin—=-sinj=~,解得3=2依.%£Z),〃=6匕1(依Z).

I3

5.-8=2[cos(60°x3)+isin(60°x3)]=8(cos1800+isin180°)=-8.

1.6，外K2贡2=1a

—+—(彳'T'"T"一+"-

6.二2i(cosn+isin7t)4-'cos+isin'=cos3+isin3=--2i.

ti

7.3因为z产-V3+i,2iz=」，

-vi-HCVTHX51.V5望江

所以z=力XD2:i=cos3+isin3,

n

所以复数Z的辐角主值为3

:「G+2+(cos:+isin；)

8.解ziZ2hx6x|_cos36+isin()」=3~~=3i.

___T1

首先作复数Z1对应的向量0Z1,然后将OZ］绕点。按逆时针方向旋转;再将其长度伸长为

原来的6倍，得到的向量即为ZIZ2所对应向量.

1(«»Oe-HitaO011

-==--

9解:《皿"皿刀bos(0O-0)+isin(()o-0)]=7cos(-0)+isin(-。)].

10.B因为二i,所以由题意知i”为实数，所以正整数n的最小

值为2.

tt贡

11.D因为z=cos"+isiJ5是方程V+a=0的一个根,

二wn111

1—\———MB

(cos15+isin15^5=-cos3-isin3=-2

nft

W6)

1

12.2_2i4z=2;cos+isin=2(cos0+isin

f!fTf!f!

COSJL(-6)+isin(-6)J=2v3.2i,

0)4-.

则用2G2“=瓜加赤=皿4.

13.解(1)根