《总体集中趋势的估计》教案

第九章统计

9.2.3总体集中趋势的估计

一、教学目标

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（众数、中位数、平均数）.

2.会求样本数据的众数、中位数、平均数.

3.理解集中趋势参数的统计含义.

4.通过对总体集中趋势的估计的学习，培养学生数学分析、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

求样本数据的众数、中位数、平均数.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，完成下列判断顾。

判断下列说法是否正确.（正确的打“，错误的打“X”）

（1）改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变.（）

（2）改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变.（）

（3）在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标.（）

10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、

【答案】（1）J（2）X（3）J.

2.设其平均数为。，中位数为〃，众数为c,则有（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bI）.h>c>a

【答案】B

【解析】将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17,

.•.a=^（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7,中位数为〃=15,

众数为c=17.因此，c>b>a.故选:B.

（2）新知探究

问题1:在初中的学习中我们学习了平均数、中位数和众数等刻画“中心位置”的量，请大家

探究它们之间的联系与区别以及根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.

学生回答,教师点拨并（提出本节课所学内容）

（3）新知建构

众数：一组数据中重复出现次数最多的数.

中位数：把一组数据按大小依次排列，处在最中间位置位置（或最中间两个数据的平均数）的

数叫做这组数据的中位数.

平均数：如果〃个数幻，…，X”，那么:=!（为+刈+…+&）叫做这〃个数的平均数.

频率分布直方图中的众数、中位数、平均数：

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等：

③平均数的估计值等「频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标

之和.

（4）数学运用

例1.2020年宿州市某中学参加高中数学建模（应用）能力测试，高一年级有60人，高二年级

有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平

均成绩为（）

A.72分B.73分C.74分D.75分

【答案】C

【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为60x70+40x80=74.

100

故选：C.

变式训练1:一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据，若求得新的

数据的平均数是1.6,方差是3.6,则求原来数据的平均数.

【答案】17.2,0.4

【解析】设一组数据为占（，=1,2,3,…,〃），平均数为了，所得一组新数据为

乂.（1=1,2,3,・・・,〃）,平均数为2,方差为学，

则X=3A;-50（i=1,2,3,…,y=X+）、2++[=16,

n

一一I13x.—50+3尤,-50++3x-50/

所以一!---------=-------------------=1.6,

n

所以35一50=1.6,所以亍=*=17.2,

3

变式训练2:一组数据12,13,x,17,18,19的众数是13,则这组数据的中位数是（)

A.13B.14C.15D.17

【答案】c

【解析】因为数据12，13，X,17,18,19的众数是13,所以x=13,则这组数据的中

位数是也2=15,

2

故选：C.

例2.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消

毒水等防疫物品，保障抗疫•线医疗物资供应，在国际社会.上赢得一片赞誉.我国某口罩生

产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产

的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),

[60,70),[90,100],得到如下频率分布直方图.

(1)求出直方图中〃?的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的匚罩的质量指标值的平均数和中位数

(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).

【答案】(1)m=0.030：(2)平均数为71,中位数为73.33.

【解析】(1)由1OX(O.O1O+O.O15+O.O15+〃2+O.O25+O.O5)=L得6=0.030.

(2)平均数为5=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=7],

220

设中位数为"，则0.1+0.15+0.15+(〃-70)><0.03=0.5,得〃=亍=73.33.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

变式训练:为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考

试的学生中抽出60名,将其成绩(成绩均为整数)分成[40,50),[50,60),[90,100]

六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

频率

(1)求第四组的频率，弃补全这个频率分布直方图；

(2)请根据频率分布直方图，估计样本的中位数.(每组数据以区间的中点值为代表).

。20

【答案】(1)第四组的频率为0.3；作图见解析：(2)丁：

【解析】因为各组的频率和等于1,所以第四组的频率为

1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)x10=1-0.7=0.3.

补全的频率分布直方图如图所示.

频率

⑵前三组的频率之和为：(0.010+0.015+0.015)x10=0.4<0.5

前四组的频率之和为：0.4+0.03x10=0.7>0.5

设中位数为x,则应有xe(70,80)

220220

乂•:0.4+(x-70)x0.03=0.5,/.%=—即样本的中位数为一

33

抽取学生的平均数约为

x=10x(45x0.010+55x0.0154-65x0.0154-75x0.030+85x0.0254-95x0.005)=71

例3:某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现

分数都位于20~55之间，现将所有分数情况分为［20,25)、［25,30)、［30,35)、［35,40)、

［40,45)、［45,50)、［50,55］共七组，其频率分布直方图如图所示，已知〃z=2〃.

频率A

(1)求频率分布直方图中加、〃的值；

(2)求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.(每组数据用该组区间中点值作为

代表)

【答案】(1)6=0.04,〃=0.02；(2)平均数为36.25,中位数为35.

m=2〃

【解析】(1)由频率分布百方图，得，os十0.03+0.06+〃7+0.03+〃+0.01)x5=l'

m=0.04

解得〈；

n=0.02

(2)该班级这次月考语文作文分数的平均数为

22.5x0.05+27.5x0.15+32.5x0.3

+37.5x0.2+42.5x().15+47.5x0.1+52.5x().05=36.25,

因为，(0.01+0.03+0.06)x5=0.5,所以该班级这次月考语文作文分数的中位数为35.

变式训练:某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名

学生的数学成绩，按成绩分组:第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),

第5组［95,100］,得到的撅率分布直方图如图所示.

⑴由频率分布直方图，估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有1000名学生，若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀''等次，则根据

频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

【答案】(1)中位数为86.67,平均数为87.25(2)300

［解析］⑴设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为利〃

因为前2组的频率之和为0.4<0.5.1月为前3组的频率才和为0.7>0.5.所以85<m<90.

由0.4+0.06x(/?7-85)=0.5，得m=86.67.

〃=77.5x5xO.Ol+82.5x5xO.O7+87.5x5xO.O6+92.5x5xO.O4+97.5x5xO.O2=87.25所以，这50

名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67、87.25

(2)因为样本中90分及以上的频率为(0.04+0.02)x5=0.3.

所以该校高一年级1(X)0名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到

“优秀”等次的人数为0.3x1(XX)=3(X)人.

四、小结：

众数：

中位数：

平均数：

频率分布直方图中的众数、中位数、平均数：

A级必备知识基础练

1」探究点一］某趟车某时刻从始发站驶往终点站的过程中,10

个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,3010,则

这组数据的众数、中位数、平均数的和为()

A.170B.165C.160D.150

2」探究点三]一组样本数据的频率分布直方图如图所示，则依

据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是

()

A.12.5,12.5B.13.5,13

C.13.5,12.5D.13,13

3」探究点二]某公司10位员工的月工资（单位：元）为

羽阳,…RO,其平均数和方差分别为'和尺若从下月起每位员

工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和

方差分别为（）

A*4+io。？BX+100,52+1002

c*,s2Dx+iooy

4」探究点三]某学校在7月1日前,开展了“奋斗百年路，启航新

征程”历史知识竞赛.工作人员将进入决赛的1。0名学生的分

数（满分1。0分且每人的分值为整数）分成6

组:[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]得至U如图所

示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法

错误的是（）

A.分数的中位数一定落在区间［85,90）内

B.分数落在区间［80,100］内的人数为70

C.分数落在区间［80,85）内的人数为25

D.分数的平均数约为85

5」探究点二］抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩

（单位:环），结果如下:

运动员第一次第二次第三次第四次第五次

甲8791908993

乙8990918892

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差

为.

6」探究点三］某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检

测，在该校随机抽取了M名学生进行检测，实行百分制，现将所

得的成绩按照［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］

分成6组,并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的

统计表和频率分布直方图.

分组频数频率

[40.50)

[50.60)25P

[60.70)S().30

170,80)mH

180,90)100.10

[90,100]

合计1

⑴求出表中及图中a的值；

⑵估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数（精确到

0.1）.

B级关键能力提升练

7.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图

所示,60分以下视为不及格.若同一组中的数据用该组区间中

点值为代表，则下列说法中不正确的是（）

A.成绩在［70,80）内的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1。00

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75

8.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天

放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直

方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到。.01）分

别是（）

C.2.292.25D.2.252.25

9.已知某7个数的平均数为3,方差为凡现又加入一个新数据

3,此时这8个数的平均数为'，方差为之则（）

AX=3,52=2BX=3,52=4

CZ=3,52=28D."=3,S2=

10.下列说法正确的是（）

A.有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层随机抽样调

查，如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30

B.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9』0,5，则这两组数

据中较稳定的是甲

C.数据123,4,4,5的平均数、众数、中位数相同

D.某单位A,B,C三个部门平均年龄为38岁、24岁和42岁,

又A乃两部门人员平均年龄为30岁,B,C两部门人员平均年

龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为35岁

11.某市有15个旅游景点，经计算,黄金周期间各个景点的旅游

人数平均为20万，标准差为s,后来经核实，发现甲、乙两处景

点统计的人数有误,甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙

景点实际为18万，被误统计成23万;更正后重新计算,得到标

准差为.则S与51的大小关系为（）

A.s=siB.s<siC.s>siD.不能确定

12.（多选题）若数据孙孙…内o的平均数为2,方差为3,则（）

A.数据3汨+2,3为+2,…,3MO+2的平均数为20

10

£

B.<=ix/=20

C.数据3X1+2,3x2+2,...,3xio+2的标准差为

10

Ed

D.i=i=70

13.（多选题）如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的

折线图，则（）

123456射击次数

A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为元*2,则元〈的

B.若甲、乙射击成绩的方差分别为则I<s：

C乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数

D.乙比甲的射击成绩稳定

14.（多选题）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每

项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优）,绘制如图所示

的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造能力指标值为4,

点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的是

（）

A.乙的记忆能力优于甲

B.乙的观察能力优于创造能力

C.甲的六大能力整体水平优于乙

D.甲的六大能力比乙均衡

15.已知一组正数X1,X2/3,X4的方差+*2+“3+”4/6）,

则数据Xl+2,X2+2b3+2,X4+2的平均数为.

16.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为

已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|光引的值

为.

17.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分

布如图所示.现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产

品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取

的件数为;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品

的平均使用寿命分别为1020小时,980小时/030小时，估计

这个企业生产的产品的平均使用寿命为小时.

第三分厂

第二分厂

20%

18.由正整数组成的一组数据孙X2/3/4,其平均数和中位数都

是2,且标准差等于1,求这组数据.（结果按从小到大排列）

c级学科素养创新练

19.某校高一⑴⑵班各有49名学生，两班学生在一次数学测

试（满分100分）中的成绩（单位:分）统计如下表：

班级平均分众数中位数标准差

高一⑴班79708719.8

高一⑵班7970795.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

高一⑴班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中，全班的

平均分为79分，得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上

游了了

⑵请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建

议.

参考答案

1.D数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、

中位数、平均数的和为150,故选D.

2.D根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的

频率为0.3,则平均数为7.5x0.2+12.5x0.5+17.5x0.3=13,由中位数的概念可以得到中位数

在第二组区间［10,15)内，设为苍则0.2+810)x0.1=05,解得x=13,故选D.

3.D由题意知y=即+100,

10(巾+也+...+即0)+100=5+100,方差

则(X1+X2+...+X10+I00X10)=

11

lo525252lo52

?={[ai+lOO)-(+lOO)]+[(X2+lOO).(+lOO)]+...+[(.rlo+lOO)-(+lOO)])=[(.¥r)+(X2

-欠)*..+(M0为2]=S2.故选D.

4.B由频率分布直方图可得(0.01+0.02x2+0.03+6+0.07)x5=1,解得力=0.05,

前三组的概率为(0.02x2+095)x5=0.45<0.5,

前四组的概率为(0.02x2+0.05+0.07)x5=0.8>0.5,

所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内，故A正确；

分数落在区间[80,100]内的人数为(0.05+0.07+0.03+0.01)x5x100=80,故B错误；

分数落在区间[80,85)内的人数约为0.05x5x1()0=25,故C正确；

分数的平均数为

72.5x0.02x5+77.5x0.02x5+82.5x0.05x5+87.5x0.07x5+92.5x0.03x5+97.5x0.01x5=85,故

D正确.

故选B.

5.2由图表中甲、乙两位射击运动员的训练成绩得

_87+91+904-894-93

X.=7

=90,

-89+90+91+88+92

XL—s-=90.

方差S.一

=4,

，_(89.90)24<90.钝)2+(91.90户修皿90)24<92.90)2

及==2.

所以乙运动员的成绩较稳定，且方差为2.

6.解(1)何=10《0.10=100:〃=25+100=0.25:

(0.005+0.025+0.030+6/+0.010+0.010)x10=1,

解得67=0.02.

200

(2)设中位数为x,则0.005xl0+0.025xl0+(x-60)x0.03=0.5,解得x=3=66.7;

平均数为(45x0.005+55x0.025+65x0.03+75x0.02+85x0.01+95x0.01)x10=68.5.

7.D由频率分布直方图可得,成绩在［70,8())内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确;

由频率分布直方图可得，成绩在［40,60)内的频率为0.25,因此，不及格的人数为4

000x0.25=1000,故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为

45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5(分)，故C正确;因为成绩在［4。,70)

005

内的频率为0.45,［70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+1Ox。％71.67,故D错误.

8.C由频率分布直方图得，自学时间在［0.5,2)内的频率为(0.16+0.2+0.34)x0.5=0.35,自学

时间在［2,2.5)内的频率为0.52x0.5-0.26,所以自学时间的中位数为2+0"x0.5H2.29,众

2-25

数为2=2.25.故选C.

9.B•.•这7个数的平均数为3,方差为正现又加入一人新数据3,此时这8个数的平均数

7

为工方差为4

7x3+3

X-------二一

・・・8=3,由方差公式得2fl[7r+(3-3)2],

71

所以r=2x8x^=4.

故选B.

9

10.D对于选项A,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为6=18,故选项A说法错误；

对于选项B,乙组数据的平均数为5=7,

122

方差为7(5・7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=5,

因为乙组数据的方差比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙,故选项B说

法错误；

197

对于选项C,数据123,4,4,5的平均数为6,众数为4,中位数为2,故选项C说法错误；

对于选项D,设A.8C三个部门的人数为a/,c,则有

38a*2413b

"b=30,化简得4=。

24b<M2<Bb

Me=34,化简得C=。

a—孙-A-3b

所以该单位全体人员的平均年龄为44=35岁,故选项

D说法正确.

故选D.

11.C由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变炉两次统计的各景点旅游人数的平

均数是相同的，设为，则

s=J2as■守+a”)2+(廿郎+二+(和即)

J[(2a守+(旧守+(必•守♦二+(和郎]

S产w,

若比较S与51的大小，只需比较(15-3)2+(23兵)2与(20-S)2+(18-5)2的大小即可，而

————0———■今

(15-x)2+(23-x)2=754-76/+29，(20-x)2+(18-x)2=724-76,+2〉,所以

(15至)2+(23-牛>(203)2+(]8.积从而s>si.故选C.

12.BCD因为数据即用,。的平均数为2,所以数据3乃+2,3幻+2….,35)+2的平均数为

10

Z

3x2+2=8,故选项A错误产标尸10x2=20,故选项B正确;数据3即+2,3必+2….,3ko+2的方

差为32x3=27,所以数据3x1+2,3X2+2,...,3A-IO+2的标准差为3百,故选项C正确;由方差的

10

计算公式可得户1=10x3+10x22=70,故选项D正确.

13.CD甲射击测试中6次命中环数为:678,9,9/。,乙射击测试中6次命中环数

为:5,5,6,7,7,7,甲、乙射孟成绩的可均数分别为元》为，甲、乙射击成绩的方差分别为C，V

_1一】

Xi=2X2=---

则6x(9+10+6+7+9-8)~8.17,,(6+7+5+5+7+7户6.17,所以>42,故选项A4皆

误;由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小，所以耳乙比甲的射击

8+9

成绩稳定,故选项B错误，选项D正确;甲射击成绩的中位数为2=8.5,乙射击成绩的中位

6+7

数为2=6.5,故选项C正确.

14.BCD由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4,甲的记忆能力指标值是5,故甲

的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误;乙的创造能力指标值是3,观察能力指标值是4,

故乙的观察能力优于创造能力，故B正确;甲的六大能力之和为25,乙的六大能力之和为

24,所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确;甲的六大能力指标值的方差大于乙的六

大能力指标值的方差，所以甲的六大能力比乙均衡,D正确.