2026年高考数学复习 单元检测卷（七）立体几何与空间向量（原卷版+解析）

单元检测卷（七）空间向量与立体几何

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本大题共8小题，母小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（24-25高三下•浙江衢州•期中）已知圆锥的底面周长为2兀，测面积为4兀，则该圆锥的体积为（）

A后口百rn75

A・------7CD•TtC.D・71

3333

2.（24-25高三上•湖南永州•期末）在三棱锥S—ABC中，VA8c是正三角形，=记二面售S—A8—C,

S—8C—A的平面角分别为a,fi,tana=2tan^,tanZS^D=—,则cosNS84=（）

6

A3而R5#r76n9后

A.----D.-------J-----U.------

1414214

3.如图，矩形ADFE,矩形CDFG,正方形八8c。两两垂直，且4?=2,若线段DE上存在点P使得G?_L4P,

则边CG长度的最小值为（）

C.2D.26

4.（24-25高三下•海南•阶段练习）如图1,是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2

的棱台-底面48co为长方形，A8=28C=40cm,A4=24G=32cm,棱台

ABCO-ASCQ的高为24cm.则棱台的体积是（）

图1图2

A.6216cm?B.9216cm3C.12216cm3D.15616cm'

5.（24-25•河南焦作二模）在直三棱柱4AC-AMG中，AB-AC-2,ABA.AC,若该棱柱外接球的表面积

为12兀，则侧面8BCC绕直线8A旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A.1271B.16兀C.20兀D.24兀

6.（24・25高三下•广东惠州•阶段练习）已知平面四边形ABC。中，A3=&AC=2C。=4，Z4BC=45°,

ZBCD=135%若平面四边形A8CD绕C。旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体枳为（）

7.（24-25高一下•浙江绍兴•期中）已知四棱锥S-人88的所有顶点都在球。的球面上，5'。1平面ABC/）,

底面ABC。是等腰梯形，A8〃C。且满足4?=24）=2DC=2,ZADC=120,SC=石，则球。的体积是（）

8Q5

A.-nB.早KC.8直4D.8万

8.（24・25高三下•浙江宁波•阶段练习）如图，一个体积为1的四面体A4C。靠在一个足够大的正方体容器

中（厚度不计），点人在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过比C。时的高度分别为力，2/?,3〃，

每次经过四面体顶点时的液曲将该四曲体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

5

D.

6

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.

7T

9.（24-25高二上•福建三明•阶段练习）如图，在四棱锥P-八8C力中，底面"CQ为平行四边形，^DAB=-,

AB=2AD=2PD,P力，底面A8CO,则()

A.PA1BD

B.8。_1_平面?4。.

C.异面直线A3与PC所成角的余弦值为好

5

D.P3与平面48co所成角为W

10.（24-25•福建莆田•三模）如图,在边长为4的正方体A8CQ-A向。。/中，E,尸分别是棱裾C/D/的

中点，P是正方形A//G。/内的动点，则下列结论正确的是（）

A.若。咫平面CEF,则点尸的轨迹长度为2友

B.若A〃=«7,则点，的轨迹长度为2人

C.若AP=Rj,则直线人。与平面C£尸所成角的正弦值的最小值是名叵

17

D.若P是棱A/丛的中点，则三棱锥尸-CK产的外接球的表面积是4E

11.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图甲，边长为2的正方形A8C。中，E,尸分别是A8，8c的

中点，将VAOE,NCDF,ABEF分别沿DE,DF,样折起，使A,B,C三点重合于点。（如图乙）,

则下列结论正确的是（）

A.PD1.EF

B.平面PZW_L平面?£>E

C.平面与平面夹角的余弦值为更

3

D.三棱锥P-EFZ）的外接球半径是迈

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高三上•河北秦皇岛•开学考试）在三楂锥P-A8C中，AB^BC,点P在底面的投影。为VA8C

的外心，若A4=4,BC=3,2。=5,则三棱锥夕—44C的外接球的表面积为.

13.（24-25高二上•湖北•阶段练习）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCQ-A/CQI，底面A8CO是

正方形，Cq=3,CO=3,且NCCB=/GCO=60,则向量4C的模长为.

14.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）已知正方体A8CQ-A4CQ的棱长为1,正方形A瓦CQ内部有一

片区域/，石是的中点，尸是CG的中点，若对于区域/内的任意一点P,总存在线段收上一点。，

使得平面,则区域的面积最大俏是.

PQ”ADtCI

四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图1,在V48C中，ZB=90,。、E两点分别在AB、AC上,

AnAp_

使之=芸=OE=8。=2.现将VA3c沿DE折起得到四棱锥A—BCED，在图2中4C=弧t•

DBEC

图1图2

⑴求证：AO_L平面8CEO：

（2）求平面ACE与平面AC3所成角的余弦值.

16.（25-26高三上•重庆•阶段练习）如图所示，在四棱柱ABCO-AQGA中，菱形A8C。与菱形DCGR的

边长均为2,且平面A8CO1平面。CGA，NDCC=/DCB=60。，ER=EC,尸为棱CG上的动点.

⑴若平面AE/0平面从444=/，求证：EF//1；

⑵在棱CG上是否存在点人使得平面4"与平面A88所成的角的正切值为巨？若存在，请找出点尸的

2

位置；若不存在，请说明理由.

17.（24-25•宁夏石嘴山•三模）如图，圆柱QQ中，AB是底面圆。2上的一条直径，P，Q分别是底面。「。|

圆周上的一点，PQ//Ofi2,AB=2PQ=2,且点尸不与A8两点重合.

⑴证明：平面APQ1平面8PQ；

⑵若二面角A-O02-P为60%求直线BQ与平面PQO、所成角的正弦值.

18.（24-25高三下•云南昭通・期中）如图甲，正方形"CD的边长为2,M是A8的中点，连接DM,将AADM

沿直线。用翻折，使得平面/VW_L平面8C/W（如图乙），连接A8AC,N是棱AC的中点.

⑴证明：BN〃平面ADM；

（2）求平面ABM与平面AOC所成角的正弦值.

19.（24-25高三下•全国•开学考试）如图，在四棱锥P-A3CD中，底面/WCO为矩形，AB=2,BC=4,

（1）若平面PAB_L平面ABCD,求PC与平面A8CZ）所成角的正弦值;

⑵若平面P8C与平面ABC。的夹角为三，求PC的长.

单元检测卷（七）空间向量与立体几何

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（24-25高三下•浙江衢州,期中）已知圆锥的底面周长为2兀，测面积为4兀，则该圆锥的体积为（）

V1573175

A•71DR•71Cr♦—兀Dn•Tt

3333

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算

2nr=2几

【分析】设圆锥的底面半径为「，母线为/，则由题意可得求出从而可求出高〃,进而可

itrl=47t

求出圆锥的体积

2nr=27r,解得仁，

【详解】设圆锥的底面半径为「，母线为/,则

mi-47r

则该圆锥的高h=V/2-r2=V15，

故该圆锥的体积为」兀/力=运，

33

故选：A.

2.（24-25高三上•湖南永州•期末）在三棱锥S-ABC中，V/1BC是正三角形，A。=gz）C,记二面用S-48-C,

S-8C-A的平面角分别为。，P,tana=2tan/7,tanZ.SBD=—,贝IJCQSNS84=（）

6

A36R576「瓜c9瓜

1414214

【答案】B

【难度】0.4

【知识点】余弦定理解三角形、求二面角

【分析】设VA8C的边长为3,得到AO=1,借助余弦定理，求出30,【anZA抽，再通过作转助线，找出

二面角。，夕的平面角，再结合已知条件tana=2tan）以及tanNSBZ）=@，利用三角函数的相关知识求解

cosNSBA.

【详解】设VA3C的边长为3,则A。=1,

在△ABZ）中，由余弦定理得BD2=AB-+AD2-2A8-ADcosA

22

=3+l-2x3xlxi=7则5。=77,

2

BA2+BD2-AD232+(^)2-l2_55/7

cosZABD=

2ABBD2x3x77-14

则sinNABD=y/1-cos2ZABD=—，tanNABD=—,

145

如图，作5。_1面48。，OE_LAB于E,O尸_LBC于尸，

侧NSEO=a,Z.SFO=p,tana------,tan6-------,

OEOF

又lana=2ian〃，所以O〃uZOE,

sinNOBE=--,sinZ.OBF=---,所以sinNOB/7=2sinNOBE,

OBOB

ITIT

结合NOBE+NOBF:一，得NOBF=--ZOBE,

33

根据三角函数的两角差公式可得sinNOBF=sin(|-NOBE)

=sin—cosZ.OBE-cos-sinZ.OBE,

33

所以sinAOBF=—cos/OBE--sinZOBE，

22

已知sin4OBF=2sinNOBE,则—cosZOBE--sinNOBE=2sinNOBE，

22

将上式移项可得—cosNOBE=2sinNOBE+-sinNOBE=-sinKOBE，

222

解得tan/OBE=立=tan/AB。，所以0,B,。三点共线，

5

由lanNSBD=—得cosNSBD=华,

6、万

BFV65576

cosNSBA=一—■—=cosNSBDcos4PBA=

SBSBOB币2s-14

故选：B.

【点睛】关键点点睛:本题关键点作出辅助线，找出二面角夕，夕的平面角，由tana=2tan夕，得到。尸=2。七,

进而得到sinNOBF=2sinNO4E.再结合差角公式，齐次化处理求出tanNOBE=—.最后将cos/SBA转化为

5

cos乙小£）•cosZ.PBA.综合件较强，属于难题.

3.如图，矩形4DFE,矩形CDFG,正方形A8C。两两垂直，且A8=2,若线段。£上存在点P使得GP_L，

则边CG长度的最小值为（）

C.2D.

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】求空间中两点间的距离

【详解】以DA,DC,DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示:

又5(220),G(0,2,a),

所以枕二1-2,-2苫16尸二卜,-2胃-4

/、

PBPG=x(x-2)+4+^-y-a=0.

Mk然XW0且XH2.

所以/$一4

因为xe（0,2）,所以2x-/w（0』.

所以当2x-f=],/取得最小值I2.

所以。的最小值为2G.

故选D.

点睛：集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线

垂直时即可转为向量的数量积为0,利用向量的坐标表示即可.

4.（24-25高三下•海南•阶段练习）如图1,是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2

的棱台人8co-人心GR，底面A8C。为长方形，A4=23C=40cm,外4==32cm,棱台

A3CD-A8CQ的高为24cm.则棱台的体积是（）

图1图2

A.6216cm3B.9216cm5C.12216cm3D.15616cm3

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】台体体积的有关计算

【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式直接计算得解.

【详解】由棱台的体积公式得：%f；=；（4°x2°+j4°x20x32xl6+32xl6）x24=15616・

故选：D

5.（24-25•河南焦作•二模）在直三棱柱ABC-中，AB=AC=2,ABA.ACt若该棱柱外接球的表面积

为12兀，则侧面B8CC绕直线8片旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A.12兀B.16兀C.20兀D.24兀

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得CG=2,即可求解.

【详解】因直三棱柱—中，A13=AC=2.AB±AC,

则两个底面三角形的外接圆圆心分别为4G，BC的中点。

如图所示，BC=B,C,=2>/2.

设棱柱的外接球的半径为A，圆心为。，

由4油2=12兀，可得;?=百，由对称性知，。为GO中点，

+2=3,解得CG=2.

因侧面绕直线3片旋转一周后得到的几何体是底面半径为2夜,高为2的圆柱，

其体积为V=兀（2夜>x2=16兀.

故选：B

6.（24-25高三下,广东惠州•阶段练习）已知平面四边形ABC。中，AB=6AC=2CD=4，ZABC=45。,

ZflCD=135°,若平面四边形A3CD绕CO旋转一周得到一个几何体，则该儿何体的体积为（）

40兀28兀

A.-B.一D.8n

33

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积

【分析】根据题意分别求出边长并代入锥体和柱体的体积公式做差求出旋转体得体积.

【详解】

因为Z4BC=45。,ZBCD=135°,所以/W〃CO,

ABAC

在VABC中,所以sinZACA=1,ZACB=90°,

sinZACB~sinZABC

所以ZAC£>=45。，在.ACD中，AD2=8+4-2x2x272x—=4,所以

2

AD=2,AD2+DC2=AC2,ZADC=90°,

如图，作所以平面四边形ABW）是矩形，NBCM—45。,DC-20,RM—CM-2,

平面四边形ABC。绕。。旋转•周得到个几何体是圆柱去掉一个圆锥，

BM是圆锥的底61半径，CM是它的高，而AO和A8是圆柱的半径和母线，

由己知=2,CM=2,AB=4,4。=2,

所以丫=71x22x4—』7rx22x2="兀

33

故选：A.

7.（24-25高一下•浙江绍兴•期中）已知四棱锥S-/WCO的所有顶点都在球。的球面上，SO_L平面ABC。，

底面ABC。是等腰梯形，4MCO且满足A8=2A£>=2DC=2,ZADC=120,SC=右，则球。的体积是（）

8Q/2

A.—/rB.-------reC.&{^兀D.84

33

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析1由题意可得梯形A8CD的外接圆的圆心为A8的中点N,据此计算可求外接球的体积.

【详解】因为4B〃CD,NADC=120。，所以N8AO=60。，

在△川笈。中，由余弦定理可得用）=j4）2+AB2-24）.AacosNBA/）=G，

又AB=24>=2,所以+所以

所以AABO的外心是A8的中点N,连接M7,可得四边形AQCN是平行四边形,

所以NC==1,从而N是梯形ABCD的外接圆的圆心，

过N作。NJ_平面ABCD.。为四棱锥S-ABCD的外接球的球心,

因为SO_L平面ABC。，又DCu平面48CO,所以S£>J_£）C.

乂因为SC=JL所以SO=x/5=T=2,所以ON=1,

所以O8=JiTT=夜，所以球。的体积3兀。83=曳27r.

33

故选：B

8.（24-25高三下•浙江宁波•阶段练习）如图，一个体积为1的四面体48CD靠在一个足够大的止方体容器

中（厚度不计），点A在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过&C。时的高度分别为反2/?,3〃，

每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

【难度】0.4

【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行

【分析】取棱8。,。中点C,*,棱OA的两个三等分点C",8",转化顶点与底面求解体积比，利用间接法

可求中间几何体体积.

【详解】由题意液面经过民C。时的高度分别为无24,3〃,

如图，分别取棱中点C,8’，棱D4的两个三等分点C〃,*,

连接C'CCC,CC',BB\B'B",B"C,

则,B&u平面BE*,&B'u¥面BBBL

CVu平面CC。，C〃Cu平面CCC\旦C"CC"C=C",B"Ff\BB"=£,

则平面区/平面CCV,

由C,B”为棱OA的两个三等分点，可知点。到平面CCC"的距离等于点A到平面BB'B”的距离,

也与C到平面BB&的距离相等，

即满足条件液面经过及C。时的高度分别为h,2h,3h,

即可得到我们需要的液面即平面阳方与平面CCU,

显然，三个儿何体中表面积最大的为中间部分的几何体，

=X

由VC-DCU=/匕OBT2=7%"的=，

义Vff-8KA=；匕一心=；X；VD_B(?A=［，

2"几"2366

112

故中间几何体体积V=%」如一^A=l----=-.

ooJ

故诜：C.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得。分.

9.(24-25高二上•福建三明•阶段练习)如图，在四棱锥尸-A4C。中，底面/WCO为平行四边形，6AB=g

AB=2AD=2PD,尸。_!_底面A5CO,则()

A.PA1BD

B.BC工平面PBD.

C.异面直线A3与PC所成角的余弦值为正

5

D./归与平面A8CO所成角为冷

【答案】AB

【难度】0.65

【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】利用勾股定理得到再由PO_L平面ABC。，得到9_L%>,结合线面垂直判定定理，

证得平面AP£>,即可判定A正确：ftlAD//BC,得到8C_L8£>,结合6c_LF£),即可证得3。_1_平

面APO，可判定B正确；把异面直线A8与PC所成角转化为CDHPC所成角，在直角△PCD,可判定C

不正确；根据线面角的定义，得到NT8D为尸8与平面A8CO所成角，在直角△P8Q中可判定D不正确.

【详解】根据题意，设P£>=4)=1,则47=2,

对于A中，由余弦定理可得8。=J1+4-2xlx2cos?=6，

所以/UP+8厅=相2,所以AO_L3£),

因为PDL平面人AC。，且3DuY面八BCD,可得3D工PD，

又由AOI尸。=。且AD/Ou平面AP/),所以/?/1_/平面APQ,

因为AAu平面APZ),所以Q4_LBQ,所以A正确；

对干B中，由4DJLB。，因为AD//8C,可得8c_L8D,

又由尸D_L平面A8CO,且BCu平面A8CD,可得3clpD,

又由8。|P。=。且4力.夕力(=平面尸8£>,所以3cL平面APD,所以B正确；

对于C中，由底面A4C。为平行四边形，可得A8//CZ),

所以异面直线与PC所成角，即为CO与PC所成角，设NPCD,

在宜角△PC£>,可得PC=1Pbi+CO?=石，所以cos/PCO=9=39.

P5

所以c不正确；

对于D中，因为POJ_底面ABCZ),所以—P4。为尸B与平面ABCD所成角，

可得tan/P4O=^=立，所以=

BD36

即直线相与平面48co所成角为所以D不正确.

6

故选：AB.

10.(24-25•福建莆田•三模)如图，在边长为4的正方体/WCO-A/B/。。中，E,尸分别是棱B/C/,的

中点，户是正方形A//。。/内的动点，则下列结论正确的是()

A.若OP0平面则点尸的轨迹长度为2交

B.若AP二厢,则点P的轨迹长度为2兀

C.若AP=Wi,则直线与平面C£/所成角的正弦值的最小值是名叵

17

D.若P是棱A/B/的中点，则三棱锥尸-C防的外接球的表面积是41兀

【答案】ACD

【难度】0.65

【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面角的向量求法、立体几何中的轨迹问题

【分析】由面面平行的判定定理可得平面OMV〃平面CE/L从而可得点尸的轨迹是线段MN即可判断

AB,建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C,结合条件可得外接球的半径，即可判断D

【详解】

图1图2

分别取棱AA，AA的中点M.M连接DM.DN,MN.

易证MN//EF,DN//CE,

MNu平面DMN,MNcz平面CEF,所以MN〃平面CM,

且DNu平面ZWN,ONa平面CM,所以ON//平面CEP,

又MNfDN=N,MN、DNu平•面DMN,则平面OMV//平,面CEF,

因为OP//平面CM，且P是正方形A岗GR内的动点，

所以点尸的轨迹是线段MN.

因为A4=AA=4,所以AM=AN=2,因为NMAN=90。，所以MN=2&，

故A正确.

因为40=/万，所以点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的;个圆，

4

则点尸的轨迹长度为：x2兀=],则B错误.

以A为坐标原点，AH.八。，例的方向分别为x,y,z轴的正方向，

建立如图1所示的空间直角坐标系.

由题中数据可知4（0,0,0）,C（4,4,0）,E（424）F（2,4,4）,P（cosasina4）,0wew?"CE=（0,_2,4）,

CF=（-2,0,4）,AP=（cos<9,sin<9,4）.

n-CE=-2y+4z=0.

设平面CEF的法向量为n=（x,y,z）,则（»x=2得n=（2,2,1）.

n-CF--2x+4z=0,

|nAP\2x/2sin|<9+-|+4

设直线XP与平面CE尸所成的角为。，则sina=cos/〃AP\|=!-1=______—匕L-.

、，〃同网3U

因为046工£,所以四工8+：石生，所以

24442I4j

所以6V20sin（e十十4工20十4,则sina2-^==,故C正确.

14）371717

P是棱A4的中点,则！庄户外接圆的圆心为正方形的中心0-半径为2.

如图2,设oq=x,则三棱锥尸-CE产的外接球的半径R满足R2=（4—X）2+（20）2=/+22,解得/=?,

从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是4兀齐=41兀，故D正确.

故选：ACD

11.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图甲，边长为2的正方形/WC力中，E,F分别是A4,的

中点，将V4OE,VCDF,△5£F分别沿。石，DF,所折起，使A,B,C三点重合于点P（如图乙）,

则下列结论正确的是（）

A.PD1.EF

B.平面尸£中，平面

C.平面分尸与平面以起夹角的余弦值为且

3

D.三棱锥P-E/力的外接球半径是在

2

【答案】ABD

【难度】0.4

【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法

【分析】根据折叠前后的性质，根据线线垂直推出㈤_L平面座尸，进而可得PD_Lb,判断选项A；根据

面面垂直判定定理判定选项B；建立空间I'［角坐标系，求出平面PE尸与平面EFD的法向量所，〃，可得求

出二面角的余弦值判断选项C；根据小,。”,夕。互相垂直，三棱锥的外接球等价于以为棱的长

方体的外接球，长方体的对角线即为外接球的直径，判断选项D.

【详解】折叠前：AD±AE,CD±CF,^EBF=90*：

折叠后：A,B,。三点重合于点/),故PD上PE,PD1PF,PEA.PF,

又E,尸分别是A3,8c的中点，边长为2,故PE=PF=1,PD=2.

选项A：因为PD_LPE,PDA.PF,PEcPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以PT)_L平面抬尸，又因为EFu平面PEV,

所以叨_LEF,故A对.

选项B：因为FE工PD，PE工PF,FDcPF-P,PD,PFu平面PDF,

所以尸£；_1_平面产力尸；又PEu平面PDE,故平面平面PD尸，故B对.

选项C：以〃为原点，尸石为x轴，P尸为了轴，P。为z轴，建立空间直角坐标系，则

E(l,0,0),厂(0,1,0),0(0,0,2).

EF=(-l,l,0),££>=(-1,0,2),设平面EFD的法向量为〃=(x,yz),则

n-EF=0\-x+y=0

令得

nED=()\-x+2z=0z=l,”=(2,2,1).

平面。灰是xO），平面，其法向量为m=（（）,0,l）.

八

所以二面角的余弦值：85。=岛=-^=1=^=-1,故c错.

V22+22+l2-l3

选项D：因为PD_LPE,PDA.PF,PE工PF,所以三棱锥的外接球等价于以产£P。为棱的长方体的

外接球.

长方体的对角线长d=J|PE『+|/Vf+|P£＞『=Vl2+l2+22=娓,

故外接球半径R=@=",故D对.

22

故选:ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高三上•河北秦皇岛•开学考试）在三棱锥P-ABC中：AB_LBC,点P在底面的投影0为VABC

的外心，若A8=4,BC=3,PO=5,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

【答案】竽冗

1O

【难度】0.4

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】依题意可得Rt2\ABC的外心为斜边4c的中点，且VAAC的外接圆的半径/*=；4。=|,则三棱锥

尸-A8C外接球的球心在尸。上，设球心为G,外接球的半径为K,连接4G,利用勾股定理求出R,再由

球的表面积公式计算可得.

【详解】因为AA=4,BC=3,ABA-BC,所以AC=打+4?=5，

所以侬丽的外心为斜边AC的中点，且VA5C的外接圆的半径一="C《

因为尸O_L平面ABC,所以三楂锥P-ABC外接球的球心在尸。上,

设球心为G,外接球的半径为R,连接4G,则PG=G4=R.

所以（叫?十信

5=R2,解得R=M

O

经兀

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4兀叱=4兀x

故答案为：——7T

16

P

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的

问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的

距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股

定理求得球的半径.

13.（24-25高二上•湖北•阶段练习）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABC。-底面ABC。是

正方形，CC|=3,CD=3,且N£C6=/G8=60,则向量4C的模长为.

c、4

【答案】36

【难度】0.65

【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量

【分析】先把A。用CG、co、C8表示出来.接着利用完全平方公式展开AC?，得到

。。：+。0：+。才+2。6=8+2。。1（8.再根据己知条件，算出各向量模长及向量间夹角余弦值，代入式子

求出AC?的值.最后根据向量模长与向量平方的关系，对其。2开方，得到AC的模长.

【详解】根据空间向量的线性表示可达AC=-CG-CD-C8,即可由模氏公式求解.

2

故AC?=（-CC1-CD-CB^=CC}+CD+CB"+ICC,CD-^2CBCD+2CCcCB,

故AC—?+32+32+2X3X3COS60+0+2X3X3COS60=45，

故R4=屈=36，

故答案为：3x/S

14.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）已知正方体A8CD-A4CQ的棱长为1,正方形A瓦CQ内部有一

片区域/,E是8修的中点，尸是CG的中点，若对于区域/内的任意一点总存在线段所上一点Q,

使得PQ”平面人。。，则区域/的面积最大值是.

【难度】0.65

【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明

【分析】首先建立空间直角坐标系并确江关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分

析边界直线并计算区域/的面积最大值.

【详解】以。为顶点，DA.DC、。。1分别为4、），、z轴建立空诃直角坐标系，如图,

A(l,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E(l,1,0.5),F(0J,0.5),

线段£F满足y=l,z=0.5,x«0,l],

设P(MJo，l)，Q(，，1O5),/€[0,l],

设平面4QC的法向量为〃=（x,y,z）,

AD,=(-1,0,1)，AC=(-1,1,0),

^AD.?/?0i-x+z=0

以C?〃0Pi-r+y=0'令x=l得y=l，z=l，则〃=(1JD，

因为PQ"平面人。c,

所以PQ_L〃，2。〃=(/一%)+(1-%)-0.5=0=/=毛+)，0-0.5,

因为点Q在线段EE匕所以0.5<^+y0<1.5,所表示的范围为多边形6入口。用，其

中G(050,l),K(I,0.5』),./(0.51,l),"(0,0.5/)，面枳为1-2创耳-?-)

所以区域/的面积最大值是:3.

4

故答案为：43

4

四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图1,在VA3c中，NB=90,D、E两点分别在A3、AC上,

AnAf?

使====DE=瓦）=2.现将NABC沿DE折起得到四棱锥A-BCED,在图2中AC=扃.

DBEC

AA

（2）求平面ACE与平面ACO所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）巫

78

【难度】0.65

【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）证明出AO_LO£,AD±CD,再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点。为原点，DB、DE、D4的方向分别为％、）'、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可

求得平面ACE与平面4C。所成凭的余弦值：

【详解】（1）在图1的VA4C中，喂=M=DE=BD=2,

DBEC

所以，DEIIBC,且人。=4,BC=-DE=3,

2

因为/ABC=90，所以，ADE=90,则AO_LO£\DE±BD,

在△8CO中，NC8O=90,BD=2,BC=3,则CD=VSE3TSS7=而，

在图2的AC。中，AD=4,CD=用,AC=岳，

满足Ah+CD'AC?,所以AO_LC。，

因为AO_LC。，AD上DE,CD\DE=D,CD、OEu平面8CEO,

所以AO_L平面8CED.

（2）因为4）1.平面8CED,DE1BD,

以点。为原点，DB、DE、D4的方向分别为X、）'、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,4）、C（A3,0）、D（0,0,0）,E（0,2,0）,AC=（2,3,-4）,AE=（0,2,-4）,

/、AC=2x,+3y,-4z.=0

设平面ACE一个的法向量所=N/,zJ,则',

m-AE=2yi-4z,=0

取4=1,可得切=（-1,2,1）,

设平面4CD的•个法向量为〃=（々,％22），Z）A=（0,0,4）,DC=（2,3,0）,

]〃.D4=4Z=0

则2取再=3,贝iJ〃=（3,-2,0）,

In-DC=2X2+3_y2=0

设平面ACE与平面ACO所成角为仇

则“。=即*=/卓=忑品二架，

因此，平面ACE与平面ACD所成角的余弦值为冬竺.

78

16.（25-26高三上•重庆•阶段练习）如图所示，在四棱柱/WCO-A4GA中，菱形A8C。与菱形。CGQ的

边长均为2,且平面A8CO/平面。CG。，NRGC=NDCB=60。，ER=EC1,尸为棱CR上的动点.

⑴若平面吊石尸门平面求证：EFUh

⑵在棱CG上是否存在点八使得平面但与平面神。所成的角的正切值为争若存在，请找出点”的

位置：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在,且点尸在CG靠近G的三等分点上

【难度】0.65

【知识点】面面平行证明线线平行、空间平行的转化、面面角的向量求法、已知面面角求其他量

【分析】（1）借助面面平行的性原定理证明即可得；

（2）由题意可取。C中点。，则有8。、。0、OC两两垂直，再以。为原点建立适当空间直角坐标系，求

出平面人七厂与平面A8C。法向最后结合空间向吊夹角余弦公式计算即可得.

【详解】（1）在四棱柱—中，平面A8qA〃平面。CG",

由平面AEFPI平面48与A=/,平面4无/I1平面DCCR=EF,

则E尸/〃；

（2）存在，且点尸在cq靠近G的三等分点上，理由如下：

取DC中点0,连接。0、OR,

由NRDC=