2026年高考数学一轮复习讲义基本不等式（知识点+试题+5大考点+1类典型易错）

第03讲基本不等式

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................2

第三部分：高频考点一遍过..........................................................2

高频考点一：基本不等式的内容及辨析...........................................2

高频考点二：利用基本不等式比较大小...........................................3

高频考点三：利用基本不等式求最值..............................................4

角度1:利用基本不等式求积最大值..........................................4

角度2：利用基本不等式求和最小值..........................................4

角度3:二次与二次（一次）的商式的最值....................................5

角度4：“1”的妙用求最值...................................................6

角度5：条件等式求最值.....................................................7

高频考点四：基本不等式的恒成立问题...........................................7

高频考点五：利用基本不等式解决实际问题........................................8

第四部分：典型易错题型.......................................................10

第一部分：基础知识

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果b>0,而4一，当且仅当〃=。时，等号成立.

②其中，石叫做正数〃的几何平均数；型叫做正数。，〃的算数平均数.

2、两个重要的不等式

&a2+b2>2ab（凡bwR）当且仅当。=〃时，等号成立.

（2）^<（—）2当且仅当。=〃时，等号成立.

2

3、利用基本不等式求最值

①已知X,）'是正数，如果积冷等于定值尸，那么当且仅当火=>时，和x+y有最小值2"；

<?2

②已知x,）；是正数，如果和等于定值S,那么当且仅当工=），时，积冲有最大值

4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧一一凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数）

）、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：x+—!—=x-a-\-——+2+a=3（x〉a）；

x-ax-a

凑系数，例：1-2x）=-2x（1-2x）<-2'+l2"1（1）

=-0<x<-；

2812

x2f-4+444

②拆：例:--=------=X+2H-----=X-2H---4422"+4=8（x>2）；

x-2x—2x-2x-3

7

③除：例：x2+l

x+-;

x

④1的代入：例：已知4>0,〃>0,。+〃=1,求1的最小值.

ab

“k—11z1I、，，、Cb

解析：一+—=（一+一）（。+〃）=2+—+—24.

ababab

⑤整体解：例：已知"，/?是正数，且。。=〃+/?+3,求的最小值.

解析：,二［止）2〃+人+3,即L（a+b）2—（a+〃）—3N0

解得

I2J12J4

a-^b>6^a+b<一2舍去）.

第二部分：高考真题回顾

I.（2024•北京•高考真题）己知G，y）,（孙力）是函数y=2'的图象上两个不同的点，则（）

〃i另+K%+电

A.log,“J.nc-B.一咛

22

2唾2"^>%+々

C.log,2^<x,+x2D.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：基本不等式的内容及辨析

典型例题

例题1.（多选）（23-24高三上,广东揭阳•阶段练习）下列有关说法正确的是（）

A.当x>0时，Igx+-!->2

1g丫

"沈4卜4恒成立

B.当。>0,/?>0时,

C.当X>（）时，Vx+-y=>2

D.当ee（o，g］时，sine+工的最小值为2&

I27sir.0

友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而

造成错解，如本题A选项，当x>（）时，IgxwR不满足“一正”这个前提；再如D选项，sin6+三22正

S1IW

2

当且仅当sine=「，即sin0=五等号成立，而sinOwgi）。

sin夕

例题2.（多选）（23-24高三上,江苏南通•阶段练习）下列说法正确的是（）

4

A.函数y=x+-(x<0)的最大值为T

X

x2+\0

B.函数），=的最小值为2

y1x2+9

C.函数）,…匕2-2）的最小值为6

D.若2"+4”=8,则a+力的最大值为4

精练高频考点

1.（多选）（24・25高三上,安徽,期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（）

A・（^0N^^（x，｝'uR）B.-v+-^->3（x>l）

C.-^-+8x<-4（x<0）D.e*+e--1+>2\/2（xeR）

2.（多选）（23-24高三上•重庆南岸•期中）下列说法正确的是（）

4__x2+10

A.函数y=x+-(x<0)的最大值是TB.函数y==的最小值是2

X&+9

二函数i+排2-2）的最小值是6D.若中=4,则八V的最小值是8

高频考点二：利用基本不等式比较大小

典型例题

例题1.（多选）（24-25高三上•江苏盐城•阶段练习）已知”>0，〃>0"+力=2,则（）

ab、八

A.ab>\B-F+^-2

C.—+^->5D.a2+b2+ab<4

ab

例题2.（多选）（24-25高三上糊南•阶段练习）已知正数d〃满足。+4）=4,则（）

A.ab<\B.q+4扬45

4ab+1+1、仆14、25

C.--------+--------->8D.—+->—

a4bab4

精练高频考点

12

1.（多选）（24・25高三上•四川成都•阶段练习）若正数”，〃满足上+1=1,则（）

ab

21I21

A.ab<SB.2a+b>SC.-+D.------+------>2

ab2a-\b-2

2.（多选）（24-25高三上•陕西愉林•期中）已知正数°,力满足/+6=2,则（）

A.ab<\B.a+b<2C.464昭工4D.2：+2：>4

高频考点三：利用基本不等式求最值

角度1：利用基本不等式求积最大值

典型例题

例题1.（24-25高三下•云南玉溪•开学考试）已知〃>0,b>0,且2a+b=l,贝h力的最大值为

例题2.（2025・湖北•模拟预测）三知实数”，〃满足--26,则他的最大值为（）

A±c1

B.—D

・2524-i

精练高频考点

1.（2025•山东荷泽•二模）已知4>1,b>\t且必=4,则logz'ogz”的最大值为（）

A。！

B.1C.4D.16

2.（24・25高三下•上海•阶段练习）设。>0,b>0,若2a+〃=8,则必的最大值为.

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例题

r"+v

例题1.（24-25高三下•广东东莞•阶段练习）若x>F个=1则^-L的最小值为（）

x-y

175及

A.2x/2B.46C.—D.

6F

4

例题2.（2025•新疆省直辖县级单位•模拟预测）已知xw（0,+oo）,则），=21+/^的最小值为（）

2x+l

A.3B.4C.3丘D.6

精练高频考点

1.（24-25高三下•江苏常州•阶段练习）已知盯+x+y+l=l,则x+y的最小值是（）

A.0B.-1C.二D.1

2

2.（24-25高三下•河南•阶段练习）已知x＞。，则4"上三的最小值为.

角度3：二次与二次（一次）的商式的最值

典型例题

例题1.（24-25高三上•河北唐山•阶段练习）利用基本不等式求以下最值:

求y/+6x+12在时的最小值.

x+3

例题2.⑵3高三上•广东汕头•阶段练习）丁已（0）的最大值为一，

方法总结：形如：J〃二〃「或者小三故三解题时可以优先考虑换元法,换元

AX'+Bx+Cnix+n

时将低次式换元；令公m+〃nx=3再带入二次式中，通过换元化繁为简。

m

精练高频考点

1.（24・25高三上•广东江门•期末）若x>0,则2r-3x+l的最小值是

x

2.（23-24高三上•福建泉州•期中）函数"I）］：”“在（l,x）上的最大值为_____________

2x'-x+\

3.（24-25高三上•全国•课后作业）求下列函数的最值.

已知2,求yJ，+7x+14的最小值

x+2

4.（24-25高三上•安徽六安•期中）（1）已知x>l,求1+21的最小值;

x-1

角度4：“1”的妙用求最值

典型例题

12

例题1.（2025届安徽省皖江名校高三下学期5月联考数学试题）若〃?>0,〃>0,6+2,?=1,则上+4的最

mn

小值是.

I4

例题2.（2025•重庆•模拟预测）若"〃>1,且a+36=5,则一「的最小值为________.

a-bb-\

精练高频考点

21

1.（24-25高三下•湖南长沙•期中）已知”（）,〃>0,且a+〃=2,则一+芯的最小值是______.

a2b

2.（2025•甘肃金昌•模拟预测）已知。>0,/2>0,a+b=\t则"+亨的最小值为_____.

ab

3.（24-25高三下•天津滨海新•期中）已知〃>。力>。，且。+〃=2,则工+：的最小值为

角度5：条件等式求最值

典型例题

例题1.（24-25高三上•云南玉溪•期中）若正数》满足而+a+b=8,则（a+l>+（〃+l『的最小值是（）

A.15B.18C.24D.36

例题2.（24・25高三下•江苏常州,阶段练习）已知x>-l,y>-LD+x+y+l=l,则x+）-的最小值是（）

A.0B.-1C.——D.1

2

精练高频考点

1.（25-26高三上•全国•课后作业）已知工>0,）>0,且/+3町，-2=0,则2x+y的最小值是.

11x4

2.（24-25高三下•浙江湖州•阶段练习）已知正实数X,），满足——=1,则一7+一的最大值为.

xyx-1y+\-------

高频考点四：基本不等式的恒成立问题

典型例题

例题1.（2025•吉林延边•一模）已知正实数）.满足冲二（）,且不等式恒成立，则。

的取值范围是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

例题2.（2025高三•全国•专题练习）已知〃>。,。>。，且。+2〃=2,若3/T42+?恒成立，则实数，的

ab

取值范围是（）

211

例题3.⑵3高三上•天津南开,期中）已知。>。,“。.二厂<若不等式2…2〃恒成立，则〃，的最

大值是.

精练高频考点

41

1.（24-25高三上•江西宜春•期末）已知x>O,y>。，且x+），=5,若--+—^22〃?+1恒成立，则实数〃，

x+1y+2

的取值范围是（）

（1I（21（1]/一

A.「8,而B.C.「8,5D.

2.（2024高三,全国•专题练习）已知。〉0,人〉0,+：=1,若不等式+恒成立，贝IJ〃?的最大值为（）

ab

A.2+6B.3+应C.3+275D.5

3.（2425高三上•四川成都•期中）若不等式。在区间[05上恒成立,则实数〃的取值范围是（）

A.a<42--B.a<\C,a<-D.a<2>/2--

232

高频考点五：利用基本不等式解决实际问题

典型例题

例题1.（2025・上海青浦•模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车

辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某

城市道路通行能力，现给出如下假设：

假设1：车身长度均为4.8米；

假设2：所有车辆以相同的速度v（单位：千米/小时）匀速行驶；

假设3：安全距离d（单位：米）与车辆速度v近似满足d=3.2+0.6522u+0.01/・

该城市道路通行能力的最大值约为.（结果保留整数）

例题2.（24-25高三上•安徽铜陵阶段练习）美国国家海洋和大气管理局（NOAA）最近发布的一则预测引

发全球关注：预计在2024年6月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以

逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本（单位：万元）由两部分构成：

①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；

②生产所需材料成本：（lOx+A1万元，虫单位：万套）为每月生产产品的套数.

⑴该企业每月产量工为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少?

⑵若每月生产X万套产品，每万套售价为：（30+捻）万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制

定计划，才能确保该套装每月的利润不低于625万元.

精练高频考点

1.（2025•江西•模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫

AU

在水平方向上速度为V（单位：米/秒）时的跳跃高度〃（单位：米）满足y=丁工，则该类昆虫的最大

1-Hv~

跳跃高度为（）

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米

2.（2025•广西•一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛码放在天平左

盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的祛码放在天平右盘中，再取出一些中药

放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

3.（2026高三•全国•专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形AACD,如图）上设计三

个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积

之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高

为cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）.

B

水平方向

第四部分：典型易错题型

备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”

1.（多选）（2024•江苏南通•一模）下列函数中最小值为4的是（）

4

A.j=lnx+——B.y=2X+22~x

ln.r

C.，=4卜山人|十^7^D.尸+5

卜mWVFTi

2.（多选）（24-25高三上•浙江温州•期中）下列为真命题的是（）

A.函数），=.1+4》工0）的最小值为2B.函数），=工+—=">1）的最小值为3

XX—1

C.函数y=3x-々工4-1）的最大值为1D.函数），=%旦（xwR）的最小值为2

x\Jx~+2

第03讲基本不等式

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................2

第三部分：高频考点一遍过..........................................................2

高频考点一：基本不等式的内容及辨析...........................................2

高频考点二：利用基本不等式比较大小...........................................3

高频考点三：利用基本不等式求最值..............................................4

角度1：利用基本不等式求积最大值..........................................4

角度2：利用基本不等式求和最小值..........................................4

角度3:二次与二次（一次）的商式的最值....................................5

角度4:“1”的妙用求最值...................................................6

角度5：条件等式求最值.....................................................7

高频考点四：基本不等式的恒成立问题...........................................7

高频考点五：利用基本不等式解决实际问题........................................8

第四部分：典型易错题型.......................................................10

第一部分：基础知识

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果。＞0,。＞0,瓢&9,当且仅当。二〃时，等号成立.

②其中，石叫做正数。，b的几何平均数；且乎叫做正数〃，〃的算数平均数.

2、两个重要的不等式

&a2+b2＞2ab（凡bwR）当且仅当。=〃时，等号成立.

②乃《（”2尸（a,beR）当且仅当a=Z?时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知X,y是正数，如果积q等于定值产，那么当且仅当/=）'时，和x+y有最小值29；

q2

②己知x,＞是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当x=y时，积移有最大值2_；

4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧一一凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数）

）、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：x+—!—=x-a-\-——+2+a=3（x〉a）；

x-ax-a

凑系数，例：1-2x）=-2x（1-2x）<-2'+l2"1（1）

=-0<x<-；

2812

x2f-4+444

②拆：例:--=------=X+2H-----=X-2H---4422"+4=8（x>2）；

x-2x—2x-2x-3

7

③除：例：x2+l

x+-;

x

④1的代入：例：已知4>0,〃>0,。+〃=1,求1的最小值.

ab

“k—11z1I、，，、Cb

解析：一+—=（一+一）（。+〃）=2+—+—24.

ababab

⑤整体解：例：已知"，/?是正数，且。。=〃+/?+3,求的最小值.

解析：,二［止）2〃+人+3,即L（a+b）2—（a+〃）—3N0

解得

I2J12J4

a-^b>6^a+b<一2舍去）.

第二部分：高考真题回顾

I.（2024•北京•高考真题）己知G，y）,（孙力）是函数y=2'的图象上两个不同的点，则（）

：5+当c1y+y，A+x。

A.iog2A±2iB.log,二〉二一

22

<x+x

c.log2Ap}2D.log.乂r>%+/

【答案】B

【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设王<々，因为函数丁=2,是增函数，所以0v2*v2〃，即0〈y〈K,

2X'+2与/-----山V+把至

对于选项AB：可得.>J2*?>2=2,即女士v>22>0,

22

根据函数，—是增函数，所以隰号>啕2空=空，故B正确，A错误;

对于选项D：例如玉=0,工2=1，则乂=1，%=2,

可得Iog22i^&=log2'|c(0，l)，即10g2后*•<l=x1+w，故D错误；

对于选项C：例如XI=T，f=-2,则%=；,%=",

Wlog2^±^-=log21=log23-3e(-2,-l),BPlog,>-3=x,+x2,故C错误,

2o2

故选：B.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：基本不等式的内容及辨析

典型例题

例题1.（多选）（23-24高三上,广东揭阳•阶段练习）下列有关说法正确的是（）

A.当x>0时，lgx+-^>2

lgx

B.当4>0,匕>0时，(〃+})(〃+3)24恒成立

C.当x>()时，G+22

D.当。€0,3时，sine十三的最小值为2立

k2Jsir.0

【答案】BC

【知识点】基本不等式的内容及辨析

【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，当0<E时，怆"，此时它自<。‘A错;

（1V1\

对于B选项，当。>0,b>0时，由基本不等式可得a+-\b+济2=4,

当且仅当。=力=1时，等号成立，B对;

对于C选项，当x>0时，由基本不等式可得4十七N2

=2,

当且仅当x=l时，等号成立，C错;

对于D选项，当。时，0<sin6<\t

由基本不等式可得sin8+.222、，皿仇「=2历,

sin6Vsin6

当且仅当sin〃=及时，等号成立，fi（）<sin<9<l,故sin0+三>2五，D错.

sin®

故选：BC.

友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而

造成错解，如本题A选项，当x>。时，IgxeA不满足“一正”这个前提；再如D选项，sin9+三22核

sin8

2

当且仅当sinO：—,即sind=75等号成立，而sin，w（0,D。

sin”

例题2.（多选）（23-24高三上,江苏南通•阶段练习）下列说法正确的是（）

4

A.函数y=x+-（x<0）的最大值为T

X

=皿/+10

B.函数y=/,的最小值为2

VX2+9

C.函数旷=4+—二*>-2）的最小值为6

D.若2“+4〃=8,则。+3的最大值为4

【答案】ACD

【知识点】基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式、基本不等式的内容及辨析

【分析】利用均值不等式求出最值判断ACD；利用均值不等式结合等号成立条件判断B.

【详解】对于A,xvO,y=T（-x）+白］K-2J（-x）•三=-4,当且仅当一X=白，即工=一2时取等号，A正确;

则户国+Wr",而2’

对于B,令/=&+923当且仅当，=1时取等号,

x2+10

显然/不能取到1,因此y=>2,B错误;

&十9

对于C,当x>-2,即x+2>0时，y=x+2+—--2>2j(x+2)-^--2=6,

x+2Vx+2

当且仅当门2=与，即x=2时取等号，C正确；

x+2

对于D,8=2"+4'22,2".22b=帅心,即2"+2A<16,解得“+

当且仅当2"=22〃，即a=2/?=2时取等号，因此%的最大值为4,D正确.

故选：ACD

精练高频考点

1.（多选）（24-25高三上•安徽,期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（）

A.<XR)B.x+—!—>3(x>l)

I2)23,x-\V7

I,

C.—+8.r<-4（x<0）D.er+e-A+————>2V2（XGR）

2工e+e

【答案】ABC

【知识点】作差法比较代数式的大小、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式的内容

及辨析

【分析】用作差法可判断A,由基本不等式及取等号的条件逐一判断选项B、C、D.

【详解】对A,（山0f/十八2孙孙/口当且仅当工=），时

[2）24244

等号成立；

对B,Vx>l,/.x-l>0,x+—=x-l+—+1>2J(x-l)—+1=3,

K—1X—1VX—1

当且仅当x=2时等号成立；

》5T")=4,

对C,x<0t则-x>0,所以,

则|；+8x<-4,当且仅当工=-：时等号成立；

2x4

对D,丁e'>0,「.已'+尸+―-—>2j(ex+e-x)•一--=2x/2,

eA+e"x丫\)ev+QX

7

当且仅当广八中，即e»T二庭时等号成立,

而e'+e）>2必装7=2，因此e'+e-v+J220中的等号取不到.

e+e

故选：ABC.

2.（多选）（23-24高三上•重庆南岸•期中）下列说法正确的是（）

4F岫x"0

A.函数y=x+—(x<0)的最大值是TB.函数户诉的最小值是2

x

C.函数二+悬口一的最小值是6D.若3=4,则一寸的最小值是g

【答案】ACD

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析

【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，对于函数)，7+&。<0),

X

4「/\4L八「~、4

x+—=—(-x)+——<-2/(-X)——=一4,

x-xV-x

4

当且仅当-工二一/=-2时等号成立，所以A选项正确.

-x

B选项，y=f要=&^+/=之2、43々==2,

4r+9Vx+9V+9

当、户两二了2无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.

Vx+9

C选项，对于函数），=x+-^；（x>-2）,x+2>0,

x+2

16/16_―//_\16_/

x+------=x+2+---------2>2J（x+2）----------2=6,

x+2x+2V7x+2

当且仅当x+2=」Z，x=2时等号成立，所以C选项正确.

x+2

D选项，由基本不等式得空J,

所以人2十之2x（.'；）=2x22=8»

当且仅当x=），=2时等号成立，所以D选项正确.

故选：ACD

高频考点二：利用基本不等式比较大小

典型例题

例题1.（多选）（24-25高三上,江苏盐城,阶段练习）已知心。,〃>0”+。=2,则（）

A.ab>1B.—7H—722

]4a

C.—+—^5D.a2+b2+cib<4

ab

【答案】BD

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小

【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，因为〃>0力>0可得〃+力22疝，可得2而K2,所以0<《心m1,

当且仅当。=8=1时，等号成立，所以A错误；

对于B中，由]+吴2楼\=26,因为0<展1,所以2^22,

当且仅当。=。=1时，等号成立，所以B正确；

1314a4

对于C中，令”;力=>此时^^=2+；<5,所以C不正确；

22ab3

对于D中，因为0<而41且a+〃=2,

可得。2+//+疝=（a+bf-2ab+cb=4-ab<4,所以D正确.

故选：BD.

例题2.（多选）（24-25高三上，湖南•阶段练习）已知正数。⑦满足a+4〃=4,贝IJ（）

A.ab<IB.a+4\[b<5

4ab+14。〃+1、门D.W

C.--------+--------->8

a4b