复数的几何表示-2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026湘教版高中数学必修第二册

3.3复数的几何表示

基础过关练

题组一复数的几何意义

1.（2025黑龙江省实验中学月考）在复平面内，复数z对应的点是（2,-1）,则z的虚部是（）

A.2B.2iC.-lD.-i

2.（2025浙江杭州期中）在复平面内，复数z=（2-5i）（-l-2i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.（2025湖南永州期中）在复平面内，复数zi对应的点与复数Z2=l+i对应的点关于实轴对称,

则zi=（）

A.-l+iB.-l-iC.l-iD.l+i

4.（2025重庆力州第二高级中学月考）已知复数3-5i』-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一

条直线上,则实数a的值为.

5.（教材习题改编）已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数z=（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i在

复平面内对应的点：

⑴位于第三象限？

（2）在实轴负半轴上？

（3）位于上半平面（含实轴）？

题组二复数的模与共挽复数

6.（2025河南驻马店高级中学月考）已知2二（2&-1）+葩1）血£阳,则“忆|=夜”是、3”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.设z=l-i（i为虚数单位），则|z2+z|=（）

A.2V3BViUC.V5D.2

8.（2025山东大教育联盟第二次联考）己知a,b£R,i是虚数单位，若a-2i和1+bi互为共甄复

数,则复数z=a+（b-l）i的模为（）

A.2B.V2C.10D.A/TO

9.（多选题）（2025甘肃嘉峪关月考）已知夏数z=「,以下结论正确的是（）

1-1

A/O25是纯虚数

B.|z+i|=2

C.zz=-1

D.在复平面内，复数2+z-i对应的点位于第三象限

1（）.已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+l|的最小值.

11.设复数z满足|z|=1,使得关于x的方程zx2+22x+2=0有实数根，其中乞为z的共轲复数，求

满足条件的复数z构成的集合.

题组三复数加减法的几何意义

12.（2024江苏连云港东海期中）复数6+5i与-3+4i分别表示向量37与无，则表示向量瓦?的

复数为（）

A.3+9iB.-9-i

C.9+iD.-18+20i

13.己知复数ziq|产=a+i（a£R）,若zg在复平面内对应的向量分别为西，两（0为坐标

原点），且鬲+两=2,则a=（）

A.lB.-3

C.1或-3D.-1或3

14.A,B分别是复数zi,Z2在复平面内对应的点Q是坐标原点，若|ZI+Z2|=|ZI-Z2|,则△AOB一

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边二角形D.等腰百角二角形

15.（多选题）（2023江苏常州统考）已知z为复数，设zZiz在复平面内对应的点分别为A,B,C,

且O为坐标原点，则()

A.画1=1丽B.OALOC

C证|二国DVB//AC

16.设向量西，近在复平面内分别与复数zi=5+3i,z2=4+i对应,试计算ZI-Z2,并把它对应的

向量在复平面内表示出来.

17.在复平面内，点ABC对应的复数分别为l+4i,-3i,2Q为坐标原点.

(1)求向量方+而和元对应的复数；

(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.

答案与分层梯度式解析

3.3复数的几何表示

基础过关练

l.C2.B3.C6.B7.B8.B9.ABD12.C

13.C14.B15.AB

1.C因为复数z在复平面内对应的点是(2,-1),所以z=2-i,故z的虚部为-1.

2.Bz=(2-5i)(-l-2i)=-2-4i+5i+l()i2=-12+i,所以复数z在复平面内对应的点为(-12,1),位于第

二象限.

3.C由题意知Z2对应的点为(1』)，

・・・zi对应的点为(1,-l),・・・z尸l・i.

4.答案5

解析设复数3-5i,l-i,-2+ai对应的向量分别为刀，无0?(O为坐标原点)，

则属=(3,-5),砺=(11),沉=(-2,a).

VA,B,C三点共线，，前二历5,

即丽配-函，

(-2,4)=t(-3,a+1),

J{4靠，解得泛故实数a的值为5.

5.解析⑴要使基数Z在更平面内对应的点位于第三象限，需满足黑黑；：即

3<加<5,.

3<m<4.

-7<w<4/1

⑵要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上，需满足收-吧?泮，即

。丁+3m-28=0,

’3＜加＜5,

〃尸一7或加=4,

m=4.

⑶要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足n?+3m-2820,解得mN4

或m<-7.

6.B5a2・2a=0,解得a=0或a=：,故"|z|=V5"是

JJ

的必要不充分条件.

7.B因为z=l-i,

所以z2+z=(l-i)2+1-i=l-2i+i2+l-i=1-3i,

所mz2+z|=Jl2+(-3)2=VTo.

8.B由a-2i和1+bi互为共加复数，得a=l,b=2,

所以z=l+i,

所lil|z|=V12+12=A/2.

M(Hi)(li)2i

9.ABDz==1==i

1-i(l-i)(l+i)2

对于A,z2°25=i2O25=j4x5O6+l=j,.・.z2O25为纯虚数,A正确;

对于B,|z+i|=|2i|=2,B正确；

对于C,zz=i(-i)=-i2=l,C错•误；

对于D,Vz+zi=-i+i2=-1-i,z+z-i在复平面内对应的点为(/,/),位于第三象限,D正确.

10.解析设复数z在复平面内对应的点为Z,复数在复平面内对应的点分别为

Z|,Z2,Z3,则Zi(O,-l),Z2(0,l),Z3(-l,-l),

因为|z+i|+|z-i|=2,|Z]Z2|=2,

所以点Z的集合为线段Z1Z2.

|z+i+l|=|z-(・l・i)|表示点Z到Z3(-l,-l)的距离,

醺雌为婚2般段4Z2上移现加ZZ31的最K

当点Z与点Z1重合时,|ZZ3|取得最小值，为I,所以|7+i+l|min=l.

11.解析设z=a+bi(a,b£R),则f=a-bi,

因因z|二l,所以a2+b2=1.

将原方程化为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0,

整理，得(ax?+2ax+2)+(bx2-2bx)i=0,

所以归奢俨，口

Ux2-2bx=0,D

若b=0,贝ija?=1,所以a=1或a=-1.

当a=l时,①无实数解；

当a=-l时，解①，得x=-l±V5,满足①②,

此时z=-l.

若bM,则由②知x=0或x=2,但显然x=0不满足①;

将x=2代入①，得4a+4a+2=0,解得a=-；,

4

从而b二士半，此时z="士:⑹

44

综上，满足条件的复数z构成的集合为L.手.一

12.C因为复数6+5i与-3+4i分别表示向量次与屈，且第二刀-屈,所以表示向量耐的复

数为(6+5i)・(-3+4i)=9+i.

13Cz尸.二般二皿^"+^^阳，

则|西+西|二|(l,-l)+(a,l)|=|(a+l,())|=|l+a|=2,解得a=l或a=-3.

14.B由题知，复数zi对应向量复数Z2对应向量方,

则口+Z2|=|R+而|,|Z]-Z2|=|用-砺|,

依题意有|方+丽|二|方-而

所以以OAQB为邻边的平行四边形是矩形,

又|次|与|而|不一定相等，

所以△AOB一定是直角三角形.

15.AB设z=a+bi(a,bwR),则A(a,b)^=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,/.B(a,-b),C(-b,a),

/.(?^=(a,b),OB=(a,-b),OC=(-b,a)^4C=(-b-a,a-b),5C=(-b-a,a+b).

对于A,VVa2+b2=J42+Ab)2,|况|二|丽I,故A正确；

对于B「・•方灰二a(-b)+ba=0,，故B正确；

对于C「・・|福二口M2Z(a^b)2,|就卜就|不一定成立，故C错误；

对于D,Va(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2可以为零，也可以不为零,，03不一定平行于

衣,故D错误.

16.解析zi-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.

记zi,Z2在复平面内对应的点分别为ZiZ,则Zi(5,3)22(4』),故范二(1,2)即为zi・Z2所对应

的向量，如图所示：

17.解析⑴由已知得晌量而,灰所对应的复数分别为l+4i,-3i,2,

则次二(1,4),而二(0,-3),反二［2,0),

因i\L0A+0S=(1,1)JC=0C-O4=(1r4),

故》+9对应的复数为l+i,K对应的复数为l-4i.

(2)解法一:由(1)得,37=(1,4),9二(0,-3),碇=(2,0),则互?