2024年高考数学一轮复习（新高考版）第4章 必刷小题8 解三角形

必刷小题8解三角形

一、单项选择题

1.（2023・重庆模拟）在△A8C中，sinA=芈，AC=小，4=45。，则等于（

)

A.2小B.^2C.2小D.2啦

答案D

解析由正弦定理知，第=焉，

小x半

ACsinA

：='—=26.

.BC=sinB

2

2.（2023•南昌模拟）/XABC的内角A,B,。所对的边分别为a,〃，c,若b=3,c=2,2ABC

的面积为2sinB,则cosA等于（）

A.；B.|C.乎D.1

答案D

解析因为〃=3,c=2,△ABC的面积为2sin8,所以SaA“=%csin8=2sin&

lr+(r-cr3

所以a=2,由余弦定理得cosA=

2bc-4-

3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是mb,c,若asin4+双sin8+^sinA)=csinC,

则。等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案D

解析因为asinA+力(sinB+小sinA)=csinC,

所以由正弦定理得/+双力+小〃）=/,

化简得cr-\-tr—(r=—y13abt

+82一c2一小ab

所以由余弦定理得cosC=—五石一

2ab-t

因为Ce（o,7i）,

所以C=150。.

4.（2023•郑州模拟）2021年II月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名

单.某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场4地测得纪念塔

顶。的仰角为45。，乙同学在二七广场8地测得纪念塔顶。的仰角为30。，塔底为C（4,B,

。在同一水平面上,OC_L平面A8C）,测得A8=63m,NAC8=30。,则纪念塔的高CO为（）

A.40inB.63m

C.4（M§mD.63小m

答案B

解析如图所示，ZDAC=45°,ZCBD=30°,NACB=30。，设塔高C。为人因为。C_L平

面ABC,所以。C_LC4,DCLCB,

所以AC=f,BC=①,又A82=AC2+8C2—2ACBCCOSN4CB,

即632=产+3户-2X，lfXfX坐,

解得E=63m.

5.（2022・南宁模拟）在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为小b,c,a=2,/?2+?=«2+

bc,则△A8C外接圆的面积是（）

A.5B.fC.2兀D.4兀

JJ

答案B

解析因为从+d=〃2+尻，所以力2+^2—42=80,

〃+/-CT1

由余弦定理得cosA=----方=2»

所以sin>4=2*

设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得27?=吊=芈,

N1117>D

所以R=¥，

所以8c外接圆的面积是兀K2=爷

6.设△A3C的内角A,B,C的对边分别是〃，b,c,tanA=*且8为钝角.则sinA+sinC

的取值范围是（）

9-律5

A--

84

-

强9

-

7

答案A

解析由tanA=歌及正弦定理得黑黑，所以sin8=cosA,即sin8=sin©+A）,

"C（）S/■"SillIJ/

又B为钝角，所以方+A喏，花）,

故B='+A,

C=7i—(A+B)=2~2A>0=>Ae^03

2Asin>4+cos2A=-2sin)+sinA+1=—2(sinA一

于是sinA+sinC=sin4+sin&-)=

+f,

因为A£（0,：）,所以0vin4＜坐,

由此¥<—2(sinA—")2+*w*即sin4+sinC的取值范围是Gp,1

7.（2022・洛阳模拟）已知在ZVIBC中，A8=5,AC=4,则当函数入4）=sin（A+§+，5cos（A+K）

-cos2A取得最大值时，8c等于（）

A.4B.V21C.屈D.2714

答案B

n

-(专+三)一

解析AA)=26—cos2A—2sinA+cos2A—2cosA—

(2COS2A_1)=-2cos24+2cosA+1,

1凌

当COSA=£,即4=即寸，«A)max=3,

・•・BC2=52+42-2X5X4X5=21,I.BC=y[2\.

4

8.(2022・吉安模拟)在△A6C中，AB=8C,点。是边AB的中点，△4BC的面积为则线

段CO的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,4-co）

C停+8）D.（。,乎］

答案c

解析设A8=8C=/,CD=m,所以%4尤=5飞访8=%即产sin8=.,①

在△8CO中，由余弦定理得"尸=尸+（：02—2《cos8,

即尸cosB=1/2—zzr,②

由①②得一=伊一"》+1|,

即9/-40病户+16〃?4+喑^=0,

O1

令尸=人>0,设8（©=9/一40/足¥+1664+工卷，则方程g（x）=o在（0,+8）上有解，所以

黑）=9（隼^）2_40〃户乂卷j]6//+q^W0,解得〃『将即“22里

二、多项选择题

9.（2022・福州模拟）下列对△ABC解的个数的判断中正确的是（）

A.4=7,力=14,A=30°,有一解

B.。=30,6=25,4=150。,有一解

C.a=小，b=乖,A=60。，有一解

D.q=6,b=9,4=45°,有两解

答案AB

解析选项A,加inA=14sin30。=7=〃，则三角形有一解，判断正确；

25

选项B,加in4=25sin1500=丁，Hla>b>bsinA,则三角形有一解，判断正确;

选项C,加inA=，^sin60。=理一，则avOsinA,则三角形无解，判断错误；

选项D,/?sinA=Osin45°=2^•则〃〈T'inA,则三角形无解.判断错误.

/+-trcr-tr-c"

10.在△ABC中，内角A,B,c的对边分别为a,b,c,若^^-+^y-=°，则

△ABC的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

答案AD

HU一加6T一力一一（TM+c2-〃2Z^+c2—a?

解析变形得

asinA力sinBasinAZ?sinB

结合余弦定理得2"℃°s8=2加COSA

力口承欣,工参行asinAbsinB'

因为c#0,所以sinBcos8=sinAcosA,

即sin2A=sin2B.

因为4,BG（0,兀）,

所以24=24或2A+28=H,即4=5或A+B=、,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

11.（2023・宁波模拟）已知AABC三个内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且市ccosA+usinC

=0,若角A的角平分线交8c于。点，且40=1,则下列结论正确的是（）

A.4=专B.A=]

C.〃+c的最小值为2D.〃+c的最小值为4

答案AD

解析由于ccosA+asinC=0及正弦定理，

得小sinCeos4+sinAsinC=（）,

因为C£（0,兀），sinC^O,所以小cos4+sinA=0,即ianA=一小，

因为A£（0,兀），所以A=李，故A正确；

S^ABC=S△ABl）+S^CD，

所以；M?sin胃=%•1.sin:+泰・1-sin

所以bc=b+c,即£+：=1，

所以A+c=S+c）（｝+£）=2+£+，2+2心盘=4,

当且仅当b=c=2时，等号成立，

所以〃+c的最小值为4,故D正确.

12.（2023・南昌模拟）已知。是△ABC的外心，若盥眉43+林朱历?，且2sinB

|/W||/1C|

+sinC=#,则实数相可取的值为（）

334

A--C-

4B.55D.

答案AB

解析设△ABC的外接圆半径为R,因为。是△ABC的外心，故可得依。|=凡

且4440=款砰=%,而40=m而2=*，

故携I靠•访+偿1亚血=ImAO2,

|A8|]AC]

即mA8|・|4Cl+）HB|・|AC|=2mR2,

be

也即bc=2mR2,则〃?=正，

又2sin8+sinC=y[3,

由正弦定理可得2〃+「=2小凡则宙=（2",二

______6bc__________5

―482+/+4hc~4bc

3

4方c-

当且仅当洋•节，即。=28时,4

33

故结合选项知m可取的值为：或导

三、填空题

13.已知锐角△ABC的内用A,B,C的对边分别为“，b,c,且满足。=小，小tanAlanB

二小+lanA+lanB,则〃+扇的取值范围为.

答案（5,6]

解析方法一由小tanAtan4=^+tanA+tanB,

得tanA+tanB=y/5(tanAtan8-1),

tanA+lanB广

则lanAtan『一切,

即tan(A+B)=-由,

•••tanC=4^3.

又0<C<^,

71

3

；•A+B=~r'.

J

XV0<A<^,0〈B号

由正弦定理，得看=磊=高=善2

2

.••/+护=(2sin/4)2+(2sinB)2

sin2A+sin2^^—

1—

=41-cos2A___

2

=41-g；cos2A一坐sin

4+聂心一圳.

又啜。专

715兀

遍＜乂一不不

・gvsin(2A-1,

.•・5vf+/W6,即『十从的取值范围为（5,6].

方法二由小tanAtan8=，§+tanA+tanB,

得tanA+tan4=，§(tanAtan3-1),

tan4+lanB

则=一小，

1—tanAtariB

即tan(A+B)=一小,

/.tanC=小.

又0<C<^,

c瓦

C=3-

设4=5a,3=§+a.

..八兀兀八兀।兀

.()<^-a<2，r«<2,

71Tt

-6<<z<6-

bc近

由正弦定理，得=2,

sinAsinBsinC亚

2

・・./+b2=(2sinA)2+(2sinI3)2

sin疗al+siir^j+a^J

；停—2a)1-cos停+2a)

1—COS

~2+2

2n

=4(1—2X2COS,COS

3

=4+2cos2a.

7Tn

.兀C兀

・・一?<2aq,

/•5<cos2aW1,

・・・5V/+〃W6,

即M+及的取值范围为（5,6].

14.△48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos2c=sin%+cos2B-sinAsinC,且

0=6,则8=,AABC外接圆的面积为

答案12兀

解析由cos2C=sin2A+cos2B—sinAsinC,

可得1—sin?C=sin2A+I—sirrB-sinAsinC,

即sin2A+sin2C—sin2fi=sinAsinC,

则由正弦定理得"=/+02一力2,由余弦定理可得cosB=­a?+5d—-—=；I,

又因为B£（0,兀），可得

所以△A8C外接圆的半径/?=云气=2小，

所以△ABC外接圆的面积为兀R2=i2兀

15.（2023・临汾模拟）在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足5①+3"=

3c2,贝hanA的最大值为

3

答案J

3d-3b~

解析•.•5/+3序=3/,Aa2=~—厂一,

,.3^—3—2

C4

从+/一5_C2+4〃--

cosA—y

2bc2bc5be

当且仅当/=4〃，即。=2力时等号成立,

又A£（0,兀），:.cosA£cos大£

・“anA7