2026年中考数学：统计和概率（知识解读+例题讲义）解析版

第32讲统计和概率

3"知识导航'十才

知识点1：全面调查与抽样调查

知识点2：几种常见的统计图表

知识点3：众数、中位数、平均数、方差

知识点4：事件类型

知识点5：概率

M知识梳理一.

知识点1:全面调查与抽样调查

1.有关概念

1）全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查.

2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调杳叫做抽样调查.

2.调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调行时，往往采用抽样调查.

3.抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够

大.

总体、个体、样本及样本容量

总体：所要考察对象的全体叫做总体.个体：总体中的每一个考察对象叫做个体.

样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。

知识点2：几种常见的统计图表

1.条形统计图：条形统干图就是用长方形的高来表示数据的图形.

特点：（1）能够显示每组中的具体数据：（2）易丁比或数据之间的差别.

2.折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形.

特点：易于显示数据的变化趋势.

3.扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的

大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图.

百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度

数与361r的比.

扇形的圆心角=360°X百分比.

4.频数分布直方图

1）每个对象出现的次数叫频数.2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频

率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度.

3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分

布情况.

4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分

点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表：⑤画

频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示

频数，绘制频数分布直方图.

知识点3：众数、中位数、平均数、方差

1.众数：在一如数据中，出现次数最多的数据叫做这处数据的众数.

2.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数

据的平均数）叫做这组数据的中位数.

3.平均数

1）平均数：一般地，如柒有〃个数为，X,，…，xn,那么，噎=1（2+/+...+X.）叫做

n

这〃个数的平均数，嚏读咋。拔”.

2）加权平均数：如果〃个数中，项出现次，生出现£次，…，乂出现£次（这里

工+人+…+人=〃），那么，根据平均数的定义，这〃个数的平均数可以表示为

-=^+x2f2+...+xjk这样求得的平均数嚏叫做加权平均数，其中我，…,£叫

n

做权.

4.方差.通常用“一”表示,即/=,[«-；）2+（4-；）2++（丫”一；尸]在一组数据

n

X，/，…，居中，各数据与它们的平均数嚏的差的平方的平均数，叫做这组数

知识点4：事件类型

①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.

③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事

件）.

说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.

（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件，那么0〈P（A）〈l

知识点5：概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A

发生的概率，记为P（A）.

（1）•个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生

的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性

都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=-.

n

2.求概率方法：

（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结

果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使月。等可能性事件的概率可以用列举

法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目

较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）归，列

表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

3：频率与概率

（1）频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

（2）频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

（3）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附近

n

,那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为F（A）=P。

百题型精讲

题型1与统计有关的概念

【典例1】下列调查中，适合采用全面调查的是（）

A.了解某班同学的跳远成绩B.了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况

C.了解全国中学生的身高状况D.了解某批次汽车的抗撞击能力

【答案】A

【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况.

全面调查适用「范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用「范围大、具

有破坏性或无法全面调查的情况.

【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同

学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意：

选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适

合抽样调查，不符合题意；

选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题

意：

选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽

样调查，不符合题意；

故选：A.

【变式1】某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育

阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（）

A.随机抽取城区三分之一的学校B.随机抽取乡村三分之一的学校

C.调查全体学校D.随机抽取三分之一的学校

【答案】D

【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的,

即各个方面，各个层次的对象都要有所体现.如果抽取的样本得当，就能很好地反映总

体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况.

【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调杳不具代表性，故本选项不符合题

意：

B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性：故本选项不符合题意；

C、调杳全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快〃要求，故本选项不符合题意；

D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；

故选：D.

【变式2】下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（）

A.调查某种柑橘的甜度情况B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力

C.调查某市垃圾分类的情况D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况

【答案】D

【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要

考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查

的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往

选用普杳.根据普杳得到的调杳结果比较准确，仰所辖人力、物力和时间较多,而抽样

调查得到的调查结果比较近似判断即可.

【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适

合抽样调查，故本选项不合题意；

B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合

题意；

C中，了调查某市垃圾分类的情况，仝面调查工作策大，适合抽样调查，故本选项不合

题意；

D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合

题意.

故选：D.

题型2用各种统计图描述数据

【典例2】某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分

制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）

进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：

心抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：

组别成绩/分人数（频数）

A0<x<201

B20<x<405

C40<x<60m

D60<x<8016

E80<x<10020

b.。组的数据：60,60,61,62,62,63,63,66,67,67,70,

70,71,74,75,79

请根据以上信息完成F列问题：

⑴求随机抽取的学生人数：

⑵统计表中的m=,扇形统计图中七组所对应扇形的圆心角为

度；

⑶抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；

⑷若该校八年级共有800名学牛.参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体

育测试成绩达到60分及以上的学生人数.

【答案】（1）50人

（2）8,144

⑶70

（4）576人

【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等：

（1）用8组人数除以所占百分比即为所求；

（2）等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应

的圆心角的度数：

（3）根据中位数的定义求解；

（4）利用样本估计总体即可求解.

【详解】（1）解：5-10%=50（人）

即随机抽取的学生人数为50人;

(2)解：m=50-l-5-16-20=8,

20

扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：.X360。=144°,

故答案为：8,144；

(3)解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数,

v1+5+8<25,1+5+8+16>26,

第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分,

•••抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分,

故答案为：70；

(4)解：800x-^^=576(A)

即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人.

【变式1】某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合

描述气温变化趋势的是()

【答案】C

【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选

择即可.

【详解】解：•••扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图

可以清楚地看出数量的多少：折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能

清楚地看出数量的增减变化趋势；

•••最适合描述气温变化趋势的是折线统计图；

故选：C.

【变式2】习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智

增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气.中

华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造

中国人民自信自强的品格.如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，卜.列

结论错误的是（）

A.2022年，人均纸质书籍阅读量为5本

B.2023年，人均电子书籍阅读量为11本

C.2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍

D.2016年至2024年：人均电子书籍阅读量逐年上升

【答案】C

【分析】本题考查条形统计图，根据条形统计图逐项判断即可.从图形中读取有效信息

是解题关键.

【详解】解：由统订图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题

意；

2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；

2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本，

♦••12.3+5.3=2.32,

••.2024年人均电了•书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意;

2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意.

故选：c.

题型3数据的分析

【典例3】为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样

调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下.

【数据收集】

试验田玉米株高(cm)对照田玉米株高(cm)

56,43,51,52,45,55,46,55,46,41,52,40,48,60,40,44,54,44,

51,54,54,48,55,48,49,51,50,45,46,55,48,40,48,54,50,50,

48,49,49,51,46,51,43,51,52,52,52,52,60,52,52,40,54,48,

47,54,49,55,46,48,45,53,47,40,54,54,55,46,56,40,60,60,

43,54,43,56.56,57,52,60.

【数据整理】

把数据分为5组，制成如下频数分布表.(用h表示珠高，40cm<h<60cm)

ABCDE

组别类型

(40<h<44：(44<h<48：(48<h<52：(52<h<56〕(56<h<60：

试验田玉米4815112

株频数

对照田玉米756148

株频数

(1)你赞同卜.面小亮的观点吗？请说明你的理由.

【数据描述】

根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照用扇形统计图.

4频数

16...............................................

14.........-----------------------------

12---------------------------------------/20%175%A

io------------八...........—―

8...............................................

64,

厂2

2

0~404448525660株高直m

（2）补全试验田频数直方图并计算对照田。组所占圆心角的度数；

（3）已知此生长期的玉米株高力满足48cm4九＜56cm为长势良好.比较以上两个统计

图，写出图中蕴含的信息.（一条即可）

【数据分析】

对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：

统计量中位数众数平均数方差

试验田49.55149.7315.10

对照出525250.2840.05

（4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评由此生长期试验出的玉米生长情况.

【答案】不赞同，理由见解析；）见解析，（）见解析；）见解析

（1）（2126°；3（4

【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策：

（1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距,

进行判断即可；

（2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以。组所占的百分比，求出圆心角的，变数

即可；

（3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可；

（4）利用相关数据进行说明即可。

【详解】解：（1）不赞同.

理由：样本中数据的个数是40,数据的最大值与最小值之差是20.若组数为5,则组距

为4,是合适的.若分成10组，则组距为2,不仅繁琐，且会使某些组的频数为0,容

易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.

6

4

2

0

8

6

4

2

0

（3）试验田中长势良好的玉米株数为15+11=26,占比而X100%=65%：

对照田中长势良好的玉米株数占比为35%+15%=50%：

所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田；

（4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围由；而

从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中.综合

以上信息，试验田长势好于对照田.

【变式1】甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：

人员环数

甲6768768697

乙57510586987

对以上数据进行分析，绘制成下表:

人平均中位众

方差：

员数数数

甲/甲7m1

乙7n52.8

⑴填空：町7=,m=,n=；

（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由.

【答案】⑴7；6；7

⑵甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由见解析

【分析】本题考查数据的分析，涉及求平均数、中位数、众数，方差的意义，熟练掌握

相关概念和求法是解题的关键.

（1）利用平均数的定义求硒，利用众数的定义求加，利用中位数的定义求知

（2）利用方差越小越稳定解答即可，

6+7+6+8+7+6+8+6+9+7_

【详解】(1)解:标=-------W--------=7,

在甲射击成绩:6,7,68,7,6,8,6,9,7中，出现次数最多的是6,

故甲射击成绩的众数是6,即血=6,

乙的射击成绩按从小到大排列为:5,5,5,6,7,7,8,8,9,10,

位于中间的两个数是7,7,

故乙射击成绩的中位数是n=丁=7、

故答案为：7：6；7：

（2）解：甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由如下:

•••甲的方差1小于乙的方差2.8,

.•.甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定.

【变式2】为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬〃的演讲比

赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进

入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：

以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；

⑶如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由.

【答案】（1）甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；

⑵甲排名第一，乙排名第二；

⑶设计三项成绩的比为5:2:3,理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众,

次之，能力是基础，占比最低.（答案不唯一）

【分析】本题考查了却权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题

的关键.

（1）利用算术平均数即可求解；

（2）利用加权平均数即可求解；

（3）改变权重即可.

【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次，

98+84+88

甲的平均成绩:3=90（分），

88+85+97

乙的平均成绩:3=90（分），

.•.X甲=X乙,

不能以此确定两人的名次;

98x4+84x3+88x3

（2）解：甲的平均成绩:4+3+3=90.8（分），

88x4+85x3+97x3

乙的平均成绩:—引—二89.8（分）

二元甲>建,

甲排名第一，乙排名第二；

（3）解:设计三项成绩的比为5:2:的理由,

内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最

低.（答案不唯一）

题型4事件的类型及其发生可能性的大小

【典例4】在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬而，正面向卜.B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形D.射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】B

【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即

在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.

【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件、不合题意；

选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，屈于不可能事件，符合

题意；

选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；

选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；

综上，只有选项B符合不可能事件的定义，

故选：B.

【变式1】掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列

事件是必然事件的是（）

A.向上两面的数字和为5B.向上两面的数字和大于1

C.向上两面的数字和大于12D.向上两面的数字和为偶数

【答案】B

【分析】本题考查了事件分类.熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解

题的关键.必然事件指在•定条件下•定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在・•

定条件下，可能发生也可■能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事

件.

分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立.

【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）,共4种,

41

概率为%=§,非必然事件.

选项B：两骰子最小点数为1,最小和为1+1=2,因此和必定大卜1,概率为L是

必然事件.

选项C：两骰子最大和为6+6=12,无法超过12,概率为0,为不可能事件.

181

选项D：和为偶数的概率为数=2,可能发生但不必然.

故选：B.

【变式2】一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任

意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

A.至多有1个球是红球B.至多有1个球是黑球

C.至少有1个球是红球D.至少有1个球是黑球

【答案】C

【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事

件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，

一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.据此

逐项分析判断即可.

【详解】解：•.•一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相

同.从中任意摸出3个球，

•••至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，

A.至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意：

B.至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；

C.至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；

D.至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；

故选：C.

题型5概率的公式计算

【典例5】在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数

字是质数的概率是.

【答案】9

【分析】本题主要考查简单的概率计算，先确定总卡片数和卡片中质数的个数，再根

据概率公式计算即可.

【详解】解：•.•共10张卡片，为质数的有2,3,5,7,共4个，

二抽到卡片上的数字是质数的概率是±=1

故答案为：5,

【变式1】在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相

同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为.

【答案

【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的“J能性相同，

其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=7.

直接利用概率公式求解即可.

【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都

相同，

22

所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为不诉=W

2

故答案为：9-

【变式2】如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在绐每个方格涂色时，均从红、蓝两种

颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是()

1111

A.2B.3C.4D.8

【答案】c

【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝

红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共8种，相邻两个方格所涂颜色不同的有2种,

红施红，蓝纪蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键.

【详解】解：•.■从红、蓝两种颜色中随机选取一种，

.•・仃红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共8种,

相邻两个方格所涂颜色不同的有2种，红蓝红，蓝红蓝，

•••故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是g=

故选：C.

【变式3】某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、

20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是

（）

1111

A.6B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】本题考查简单的概率计算.需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数,

符合条件的结果数

根据概率=,再求概率.

总结果数

【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元.

随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种：

1.10元和20元，和为30元；

2.10元和30元，和为40元；

3.20元和30元，和为SO元.

其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）.

因此，所求概率为：!

故选：C.

题型6用频率估计概率

【典例6】某小组在“用频率估订概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图

所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）

A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是

黄球

B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上"

C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2

D.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花

【答案】C

【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率；分别计算出每个事件的概率，其值

在0.15〜0.2的即符合题意；

【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地

取出一个球是黄球的概率为J,不符合题意；

B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为不符合题意：

C、掷•个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为符合题意；

D、从一副去掉大小十的扑克牌中随机抽取一张，拍到的牌是梅花的概率为£=今不

符合题意；

故选：C.

【变式1】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上〃的概率，将同学们

获得的试验数据整理如下表：（）

抛掷次数712060100120140160500100020005000

“正面朝上”的次数m12385862758827555011002750

“正面朝上〃的频率T0.600.630.580.520.540.550.550.550.550.55

则抛掷这枚棋子出现“正面朝上〃的概率约为（）

A.0.52B.055C.0.58D.0.63

【答案】B

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够

大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值.观察表

格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案.

【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（0.60、0.63

等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在0.55,所以抛掷这枚棋子出现“正面

朝上”的概率约为0.55.

故选：B.

【变式2】在一个不透明的盒子中装有20个记号笔，这些记号笔除颜色外无其他差别，这20

个记号笔中只有a个黑色记号笔，若每次将记号笔充分搅匀后，任意摸出1个记号笔记

下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黑色记号笔的频率稳定在0.3,则a

的值约为（）

A.1B.3C.6D.12

【答案】C

【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率.

根据题意列方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：由题意得益=0.3,

解得a=6,

故选：C.

【变式3】近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部

分.小刚将二维码打印在面积为400cm2的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部

分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在

0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）cm2.

A.160B.240C.0.4D.0.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定

值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6,即黑色阴影的面积占整个面积的0.6,

据此求解即可.

【详解】解：••・经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，

.•.点落在黑色阴影的概率为0.6,

••・黑色阴影的面枳占整个面积的0.6,

色阴影的面积为400x0.6=240cm2,

故选:B.

题型7用树状图/列表法求概率

【典例7］一个不透明的盒子里装有四张卡片,分别写有“美”"好""淮""安"四个字,卡片除

文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.

（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是」

（2）—次从盒了•中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1

张为"美"、1张为”好”的概率.

【答案】碍

（2）1,见解析

【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键.

（1）直接利用概率公式即可解题：

（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即

可.

【详解】（1）解：•••盒子里装有四张卡片，

从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是今

故答案为：4-

（2）解：画树状图如下：

开始

美好淮安

△△△△

好淮安美淮安好美安好淮美

共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为“美〃，1张为“好”的结果有2种,

二抽取的甘片恰好1张为“美〃、1张为“好”的概率为：n=l

【变式1】某学校食堂准备了4B,c,。四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其

中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）

1112

A.ZB.3C,2D.3

【答案】A

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题

的关键.

先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计

算公式求解即可.

【详解】解：画树状图为：

开始

一—

ABCD

ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4

种，

41

・••恰好选到同一种营养套餐的概率是正=4.

故选：A.

【变式2】某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供学生

选择：力文明交通劝导志愿行，8乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目.

(1)甲同学选择4项目的概率为;

(2)请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率.

【答案】(坊

【分析【本题考查了概率的基本计算:，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题

的关键.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)先画出树状图得到所有等可能的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概

率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：•••有两个项目供学生选择，

••・甲同学选择4项目的概率为1，

故答案为:25

（2）解：画树状图为:

开始

甲

乙

丙

由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目

的结果数有2种，

•・•甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是亮=

【变式3】为继承和弘扬口华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参

加社会实践活动.

南通博物苑南通城市博物馆南通大剧院南通美术馆

已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：

⑴小明到南通博物苑参加社会实践活动；

⑵小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动.

【答案】⑴

1

⑵而

【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件

概率（两人选择），熟练掌握概率公式（P⑷二3其中n是总结果数，m是事件4发

生的结果数）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键.

（1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，川南通博物苑

这一种情况数除以总场所数即可得概率；

（2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美

术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率.

【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博

物苑参加社会实践活动的概率为

（2）解：列表如下:

小华小丽©②③④

①①①①②①③①④

②②①②②②③②④

③③①③②③③③④

④④①④②④③④④

共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果

数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率烷.

3"随堂检测.十

1.某航模社团开展某小型无人机£行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次

飞行时长记录如下（单位：分钟）：18,20,22,23,24.这组数据的中位数为（）

A.18B.20C.22D.23

【答案】C

【分析】本题考查了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练掌握中位数的定义一一将

一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位

数；若为偶数，则中旬两个数的平均数为中位数.

先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据18,20,22,23,24已有序:

再根据数据个数为5（奇数），计算中间位置为亨=3,即第3个数据就是这组数据的

中位数.

【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18,20,22,23,24：

数据个数为5（奇数），中间位置为第亨=3个，第3个数据为22,故这组数据的中

位数是22.

故选：C.

2.某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本

阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

1112

A.2B.3C.4D.3

【答案】C

【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解.

【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性用等，

抽到《九章算术》是其中1种可能，

因此概率为成功事件数除以总事件数，即"，

故选：C.

3.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从

中任意摸出一个球，摸到白球的概率为1则红球的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键.

设红球有％个，根据摸到白球的概率公式列方程求解.

【详解】解：设红球有除个，则袋中总球数为Q+3）个，

二摸到白球的概率为关，

根据题意得：言=之，

解得：x=2,

因此，红球的个数为2个.

故选：B.

4.下列说法不正确的是1）

A.明天下雨是随机事件

B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式

C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图

D.若甲组数据的方差S隼=0.13,乙组数据的方差S乙=0.04,则乙组数据更稳定

【答案】B

【分析】本题考查了电机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知

识点是解题的关键.

根据相关知识点进行判断即可.

【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；

B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；

C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合

题意；

D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意.

故选：B.

5.某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销

售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（）

9元

10%

7元

30%

8元

60%

A.7.87tB.7.9元C.8元D.8.1元

【答案】A

【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的

百分比，计算即可得解.

【详解】解：由题意得，师生.购买午餐的平均价格为8x60%+7x30%+9x10%=7.8

（元），

故选：A.

6.某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95,92,96,

94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是（）

A.92,94B.95,95C.94,95D.95,96

【答案】B

【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键.中位数是

将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解.

【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88,92,94,95,95,95,96,

中位数为第4个数，即95：

数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95；

••・这组数据的中位数、众数分别是95,95.

故选：B.

7.某书店某一天图书的销售情况如图所示.

教育类科技类文艺类其他类种类

根据以上信息，下列选项错误的是（）

A.科技类图书销售了60册B.文艺类图书销售了120册

C.文艺类图书销售占比30%D.其他类图书销售占比18%

【答案】D

【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育

类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可.

【详解】解：总销售量为：150・37.5%=400（册），

,科技类图书销售了400X15%=60（册），

.,•文艺类图书销售了400-150-60-70=120（册），

120

.•・文艺类图书销售占匕为：旃x100%=30%,

70

••.其他类图书销售占匕：旃x100%=17.5%；

综上：只有选项D错误，符合题意；

故选D.

8.已知一组数据8,