2026年高考数学试题（天津卷）解析版

2026年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学

第I卷(选择题)

注意事项：

(1)每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.

(2)本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A,B互斥,那么尸(Au8)=P(A)+P(B).

•如果事件A,E相互独立,那么P(AB)=P(A)尸(砌.

•棱柱的体积公式v=s//,其中S表示棱柱的底面积，〃表示棱柱的高.

V=-Sh

•圆锥的体积公式3,其中S表示圆锥的底面积，〃表示圆锥的高.

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1,已知全集°={一21，。/，2,3},集合A={-1,0,1,3},集合人{-2,0,1},则&力。5二()

A.{-2}B.{-2,2)C.{0,1,2}D.{-2,0,1,2)

【答案】D

【解析】

【详解】由题可得(64)={-2,2},乂因8={-2,0,1},

则值jA)u8={-2,0,1,2}.

2.设xwR,则“x>0”是'”2+3%>()”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由丁+3%>0,解得：x<—3或冗〉0,

即工>0时，％2+3%>0成立，反之不成立,

所以“1>0”是“Y+3工>（）”的充分而不必要条件.

3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数7•n-ogi,

根据最小二乘法算得：»=—1.17X+1370.7,下列说法正确的是（）

八候鸟个数

•%

•・・・・・・

•・・

~~0赢

A.y与X负相关B.当戈=1（）时，y一定为1359

C.当X=1O时，y一定小于1359D.两变量无线性关系

【答案】A

【解析】

【详解】因为相关系数r=-0.91，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域,

所以》与X负相关，所以A正确，D错误；

当工=10时，>'=-11.7+1370.7=1359,所以V约为1359,

所以B,C错误.

4.函数/（幻部分图象如图所示，则/（幻的解析式可能为（）

A.x+sinnxB.x-simixC.-x+sin7u*D.x・sin心

【答案】C

【解析】

【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.

【详解】由题意，

由题意及图得，函数y=/（x）为奇函数，且当x=l时，/（A-）<0,

对A选项，当x—1时，14-sin7t-1+0-1>0,弓图象不符，故A错误;

对B选项，当x=l时，1—sin兀=1—0=1>0,与图象不符，故B错误;

对D选项，当x=l时，Ixsin兀=1x0=0,与图象不符，故D错误；

对C选项，在g(x)=-x+simix中，

g(T)=-(-X)+sin(-7U)=x-sinTU=-g(x),即该函数为奇函数,

(I)=-1+sinn=-1+0=-1<0,与图象相符，故C正确.

5.正方体ABCO-AAGA中，错误的是()

A.AC//AGB.CC,1®ABCC.面4G8D.AOQ_1_面4。。1

【答案】D

【解析】

【分析】A项，通过证明四边形ACCA是平行四边形，即可证明结论；B项，通过CG_L8C,CC,1CD,

即可证明CG1平面ABC-,c项，通过证明4C7/平面A&B,CD,//平面4GB,即可证明结论；D项,

假设垂直，得出AO_L平面AC",结合儿何知识得出矛盾，即可得出结论.

【详解】由题意，

在正方体ABCD—1中,

A项,

A4,//CC,,A4,=CC,,

・・・四边形ACC.A是平行四边形,

.•.AC//AG，A正确;

B项,

由几何知识得，CC,±BC,CC,LCD,

BCcCD-C,笈Cu平面人8C,CDu平面A8C,

・・・CG_L平面ABC,故B正确;

C项，

•・・AC//AG，AGu平面4G3,ACa平面AG3,

・•・AC//平面A。/,

由几何知识得，BCV/AR,BC=AR,

・•・四边形A8CA是平行四边形，

:.CDJN,

•・・A3u平面AGB,CRa平面AGB,

・・・。。//平面4。出，

vAcncD,=c,A8naG=4，

・•・平面AC"//平面AGB,C正确；

假设平面AOQ|_L平面ACj,则交线为A2,

此时有A。，A。，

・・・AQ_L平面AC。，

ACu平面AC。，

\DLAC,

连接C,£>,

由儿何知识得，AC//4G，则A。，4G，故NGA。=90。

在一AC。中，由几何知识得，=\D=C}D,

三角形为等边三角形，NGA0=6O。，矛盾,

故D错误.

6.已知函数/(x)=|lnM，若。=/(2°3),/?=/(303),c=/(34s),则。，b,。的大小关系为()

A.a<h<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<h

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简/(x),再由指数函数、时数函数和基函数的单调性比较大小即

可.

lnA,x>1

【详解】由题意可得“x)=・

-ln%,0<x<1

因为函数y=X03在(0,+8)上单调递增，所以1<2°3<303，

又因函数y=3'在R上单调递增，则0v34’<1<305，

所以c=/（3-O5）=-ln3-O5=ln3°-5=/（305）,

因1<203<303<305，且/⑴在+8）上单调递增,

所以f（203）</（303）</（305）,即/（203）</（30-3）</（30-5）.

故〃<〃<c.

14

7.*+—)*+—)的最小值为()

xx

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【解析】

【详解】因为x4—xH——x2H—亍+5之,—7+5—9,

（X八X）x-VX-

4

当且仅当/二二，即f=2，K=±近时，等号成立，

X

所以+：（x+：）的最小值为9.

8.已知S2”—S〃=〃，%=6,则%+%=()

A.68B.56C.-3D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】根据前〃项和的含义，依次令"=2,3,4,逐步计算即可得到结果.

【详解】由S2〃-S“=〃，得

S2-51=1,即电=1；

S4-S2=2,即6+4=2；

因为6=6,所以。4=Y；

S6-S3=3,即4+%+4=3，所以。5+4=7；

§8-54=4，即氏+4+/+4=4，所以%+4=-3.

r2v2

9.己知双曲线=1（。>0,/?>0）的左焦点为尸，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足

a2b2

\FA\=\FP\tZE4P=30°,则双曲线离心率为（）

A.4

【答案】D

【解析】

【分析】过点P作尸，垂直工轴，垂足为H,根据几何关系用〃，c表示出点P坐标，代入双曲线方程构造齐

次式，然后可得离心率.

【详解•】如图，过点尸作尸〃垂直于x轴，垂足为“，

因为|E4|=|FP|,所以/外4=/必尸=30。，所以NP尸H=60。，

又|P@=|E4|=a+c,所以|Hq=g（a+c）"H|=¥（Q+c），

根据双曲线对称性，不妨设点/>在第二象限，则P-^a+,

\7

fV3*6Y

(13——a-\---c

将点尸坐标代入双曲线方程得:I2222，

后=1

整理得（4+3C1力2_3（4+C『/=4//，

将代入上式，整理得（4+3。）2卜2一/）_3（〃+£）%2=4/卜2一42）,

、4

两边同时除以/,整理得（3e-4）（«+1）“=0,解得0二或

第II卷（非选择题）

注意事项：

（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

（2）本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.化简（3+>=.

【答案】8+6i

【解析】

【详解】（3+i『=9+6，+/=8+6，.

11.（x+2），）4展开式中，的系数为.

【答案】

8

【解析】

［分析］根据二项式定理得到（x+2），）4展开式的通项公式即可求解.

【详解】根据二项式定理，（x+2»展开式的通项公式为7；M=C；xj（2），y=C；234-y.

当r=l时，4=C：xi（2y），c：2V）,,因此。的系数为c3=4x2=8.

12.在VA3c中，3C=4,AC=3,cosA=-i则sinB=

4

【答案】

1616

【解析】

【详解】在VA3C中，cosA=-l所以sinA=Ji二嬴7二

4

&巫

由正弦定理可得.》ACsinA3x/15.

sinB=------------=-------=-------

BC416

13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是；

在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

oQ7

【答案】□.万□.莉

【解

【分析［第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至

少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.

【详解】由题意，

第一空：

箱子里总共有6个球，其中黄球2个，牛黄球共4个.

设事件4表示没取到黄球，事件&表示三次都没取到黄球,

42

有放回抽取，每次取到非黄球的概率为P(A)=：=：；，

63

三次都没取到黄球的概率：P(A2)=f|l*.

第二空：

设事件及表示至少取到一次红球，事件与表示三次都取到白球,

尸,闯、七(1Y)获1，

P(A24)

•・•三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：P(B/A2)=

外)

尸(44)=尸⑷一尸㈤得十系,

37

D/OI4\_尸(4片)_216_叉

⑻2)-p⑷-8一64

27

，在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是?

14.已知同二万力=1,恸>1，记不=2万+〃〃.当〃+B—u=C时，A+//=当忖+万一^=1

时，4+〃的取值范围为

【答案】□2□.[1,3]

【解析】

【分析】第一空：利用'=〃+和2+很一得出4和〃的值，即可得出结论；第二空：将不=大江+〃万

代入卜+2一目=1得|(1一义"+(1-〃)司=1，展开，令％=1—4，y=i—〃，s=x+y,代入井整理,

得出52=1-(/2-1)/<1,即可求出4+〃的取值范围.

【详解】由题意，

同二〃5=1,5>1,c==〈+〃b,

第一空：

当Z+万一"=0时，C=4+B=+

••4=JL/—1,

；.4+〃=2.

第二空：

将1=2"+〃〃代入,+石一目=1得(1-4"+(1-同=1,

两边平方，得：[(1一/1)乙+(1-〃»]2=1,

展开：(1—2)~旧|"+2(1—A)(l—jLi}ci,/?+(1—//)*,\bP=1»

代入IR=1,ab=\^记出|=£>1,

(l-2)2+2(l-4)(1-〃)+f2(1_〃)2=1,

令x=l-2,y=l-〃，s=x+y,

则原式变为:x2+2xy+t2y2=l,

配方得：x2+2xy+ry2=(x+y)2+(/2-l)y2=r+(r2-l)y2=L

由于产>],(r-i)y2>0,因比r=l-(r2-l)y2<1,

即Is区1,解得

2+^=2-5G[2-1,2-(-1)]=[1,3],

因此，％+"的取值范围为：U,3].

15.在平面内，。为坐标原点，抛物线丁=21上有A、B、C、。四个点，A、B、C、。的纵坐标分

别为))、％、%、如，直线43与直线CD交x轴于点乙直线AC交x轴于点M，直线BO交x轴于

点N,以下说法正确的有.

①若尸与抛物线焦点重合，则以力=-2；

②”=先如；

③|OM|ON|=2|OP「：

0P

®\yA-yc\\\=\%-％11。mI；

2

【答案】®®

【解析】

【分析】首先探求抛物线弦与X轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得,

③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.

【详解】由题意A、8、C、。为抛物线y2=2x上四个点可知，%，%，了C，%两两不等.

/2\/2、

设抛物线V=2x上任意两点S%,T,其中s"

I乙7I//

.s—t2

当s时，直线订的斜率f_阿二丁二,

2t2

则直线ST方程为y-r=—(x--),

s+f2

v/

令y=0,则直线ST与工轴的交点R横坐标%二一万

特别地，当s+r=O时，s=-t,

此时直线ST垂直于x轴，/也成立，

Qf

因此，直线ST与光轴的交点R横坐标/二一'(*).

①由题意直线交工轴于点尸，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为

故由*式可得;二一上/，即”:%=-12,故①错误;

②由题意直线AB与直线交工轴于点P,

则由*式可得点P横坐标％=一空=一空辿，

可得）'八）’8=）'cX），故②正确；

③由题意宜线AC交x轴于点M,直线3。交x轴于点N,

则由*式可得

叫=kM=|-峭，3日4|=卜叫，g=闯=|-喇=|-竽

|以）%先如I_|）»%「|0/_|以）%「

则|OM||ON|=1

-—A-'I--7~

故|OM|ON|=|O叶,故③错误:

④由*式可得|y「九||04=回-以”&%-%||。M=帆-％|睁，

当点A或C为原点时，则点P,M也重合于原点，此时|以一先||。4二|）'8一刻||°叫；

当点人与。均不为原点时，即）且比工°，

"-归第生词」加女-先力|

则结合②结论可知,

1力_）力心11%无一）‘”』-为先I

则有|力-九11。耳T%-%11。"I,故④正确;

可小嚼则符■长卜・|

⑤由%）%=”。，

Sq“如尸旧一川\yAycyAyB

\yA-yc\

・，cr—J一22

5如L\\\_y\

NPyBDy^ypycyp帆-％1

22

」曲|以一先|_以旧一月_坟丁丁力2

1>«121为

如图,当\OM局\"时，

不成立，故⑤错误;

故答案为：②④

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

TT

16.已知/（x）=sin（2x+—）.

6

（1）求最小正周期；

（2）若xw一j=，求/“）的最大值和最小值；

612

（3）若s\na=—>求/（a）.

-3

【答案】（1）兀

（2）最大值为*3,最小值为-!

22

（3）

6

【解析】

【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；

（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；

（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.

【小问1详解】

_27r2兀

T=—=——=n

囱2

【小问2详解】

nn7C兀

若则2犬+工£

66,3

由正弦函数性质可知，当2%十二=—二，即x=一二时，函数/（%）有最小值，即

666

吟1

G=/(—=---

6J2

当2"看=?即1=噎时，函数/'3有最大值，即“XL

所以困数了（工）的最大值为李，最小值为-g；

【小问3详解】

若awO,yJsina=—，所以cosa=A/1-sin2a=，

33

则sin2a=2sinacosa=二^，cos2a=l-2sin2«=-,

33

=sin2ac"+c°s2asin人迪xqLL幻

则f(a)=sin2a+—

I6J6632326

长方体加一与。］。［中，

17.ABC4AB=2,AA1=3,AD=4,^E=3ED］,2C}F=FC.

（1）求证：BD上面CEF；

（2）求面AM与面CEb的夹角的余弦值;

（3）求三棱锥A-CE/的体积.

【答案】(1)方法一：如图，过点E作EG〃CG，交AD于点G,则有AG=3GD,GO=1.

连接CG，则C,G,£G四点共面，平面CEF即平面CC,EG.

由器=器=；,ZGDC=ZDCB=90%可得口6£＞。与△OC8相似，

所以NGCD=ZDBC,则可得2GCD+ZBDC=90°、所以CG1BD.

长方体ABCQ-AqG"中，C，_L平面A8CO,

因为BOu平面438,所以CGJL8D.

又CC|DCG=C,CG，CGu平面。灯\所以3。工平面CM.

方法二：

如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。一町2.

则。(0,0,0),A(4,0,0),8(4,2,0),C(0,2,0),尸(0,2,2),E(l,0,3).

所以9二(4,2,0),促=(1,一2,3),京二(0,0,2).

所以丽存=4-4+0=0,丽,炉=()+()+()=()，

所以而_1,在,而_1_声，即3OJ_CE,3OJ.b.

又CE0|C尸=C,CE,C/u平面CE/"所以平面CER

⑵叵

5

(3)2

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证：

(2)建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的

余弦值可得：或由面面角的向最求法可得：

(3)由向量法证明AE_L律，从而求得△人石尸的面积，由向量法求得点。到平面的距离，再根据

棱锥的体积公式求得三棱锥A-CE/的体积；或由向量法求得点力到平面。砂的距离，根据棱锥的体积公

式可得三棱锥A-CEF的体积.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

方法一：过点£作石G〃CG，交AO于点G,则有AG=3G。，GD=i,

连接CG,则C,££G四点共面，平面C"即平面CFEG.

如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。一肛2,则

D（0,0,0）,A（4,0,0）,F（0,2,2）,E（l,0,3）,G（l,0,0）

SF=（-1,2,-1）,=（-3,0,3）,所以荏.丽=0,

所以荏_1.炉-

,所以齐=（一g1,'|）,

取E尸的中点P，则

______15_

GPEF=-+2--=0,所以百,丽.

所以异面直线AE与GQ所成的隹等于平面AEF与平面CEF的夹角.

__3^5

又。。代文篇"缶考’

2

所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为姮.

5

方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。一-N.

则。（0,0,0）,A（4,0,0）,B（4,2,0）,0（020）,以0,2,2）,矶1,0,3）.

所以荏二（一3,0,3）,钎二（一4,2,2）,

设平面AEF的法向量为〃=（占％z）,

IA）-AE=-3x+3z=0

则_，故可取力=（1』,1）.

[ii•AF=-4x+2y4-2z=0

由（1）知平面CE/的一个法向量为9二（4,2,0）,

/—\n-DB4+2

所以c°中m=丽=用五甲手

所以平面AEF与平面CEF的夹箱的余弦值为巫

5

【小问3详解】

方法一：由乔=（-1,2,-1）,屈=（-3,0,3）,得通.丽=0，

所以荏_1,前・

所以△AE尸的面积为'AE•£尸=2x3J5x遥=36.

22

由（2）知，平面AE尸的一个法向量为乃=（覃，1），AT=（-4,2,0）

点C到平面AE尸的距离为|与产|=］寺2卜当.

所以三棱锥C-AM的体积V=1X36X33=2，

33

所以三棱锥A-C£F的体积为2.

AE-77B12675

方法二：点力到平面的距离为2^5~~

因为EG〃CF,所以EG到b的距离相等，

所以4CEF的面积等于口GCV的面积，即gxCGx。产=gxVT+4X2=45.

所以三棱锥A-CEF的体积为丫='乂逐乂述=2.

35

18.已知椭圆C：二十与=1（。＞人＞0）的离心率为5,椭圆被直线x=b截得的线段长为百.

a~b~2

（1）求C的标准方程;

（2）斜率为的直线与圆9+），2=从相切，且该直线交椭圆于P（%,y）,Q*2，%）（X＜）'2），4

是椭圆的上顶点.记直线4P,4Q的斜率分别为勺，卷,求

【答案】（1）—+^-=1

43

(2)3

【解析】

【分析】(1)根据椭圆的离心率可知。=2c,b2=3c2»然后将X=b代入椭圆方程即可求解:

(2)根据直线与圆相切即可求出〃?=±2百，分类讨论即可.

【小问1详解】

由于椭圆的离心率为!，所以e=£=!，即〃=2c,

a2

由于/=〃十°2,所以从=31，

将x=b代入椭圆方程，得＜+£=1，即三十二=1，解得即y=±且C，

a2h24c23c24,2

由题意，所截得的线段长为G，所以2x立c=J5,解得c=l,从而/=422=3,

所以椭圆的方程为三十二二

43

【小问2详解】

由(1)可知，从=3,所以圆的方程为9+9=3,

设直线/的方程为y=-+相，因为直线/与圆相切，如图所示,

则圆心到直线/的距离

椭圆上顶点4（0,、6），分两种情况讨论:

22

①当机=26时，直线/的方程为广一Jlt+2#，代入椭圆方程:

化简得5X2—16x+12=0，解得x=2或x=y.

则当x=2时，y=0,当x=?时，），=延，由于y〈为，所以P（2E），Q

35

一也

则占=小=.包」一4毛J3」底=一直

此时!■二一方=

2-02-6_06k2_V3

5-T

22

②当〃1=一2月时，直线/的方程为），=—后一26，代入椭圆方程?+弓=1,

化简得5/+16工+12=0，解得光=一2或％=-9，

当上=一2时，y=0,当工=一初寸，y=_可3,由于yv%，所以夕一:，一华，Q（-2,0）,

55k55>

46Q3百

则一口“心-丑-亘此时*=3=3.

_6_2-2-02k\/3

502T

综上所述，3的值为3.

K2

19.已知等差数列｛〃”｝与等比数列出｝满足：q=2,b、=l,%=〃+仇，4=4一4.

⑴求数列｛凡｝,也｝通项公式；

（2）记用t=｛x£R|xW〃，3A:eN\x=4或工=4.｝,记c”为纥中的元素个数.

（i）求c）：

3"-1

5）求Z（T）F&・

m=l

〃一

【答案】(1)a”=2〃h=31

⑵⑴A「(4"6)3”+3

3224

【解析】

【分析】(1)通过基本量计算即可求得通项公式；

(2)(i)分析｛%｝和｛"｝项的特征，结合集合纥的定义即可得解；(ii)利用分组求和法和错位相减法求和

即可.

【小问1详解】

设等差数列｛〃“｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为^7,

因为q=2,々=1,生=4+82M4»

2+d=1+4\d=。-1d=2\d=-\

，,即《,解得b=3或［=0(公比不能为。,舍去),

12+3〃=八1[3d=c/2-3

所以%=2〃，4=3"T

【小问2详解】

(i)由⑴知史为偶数,么为奇数，所以数列｛凡｝和帆｝没有相同项,

根据题意，集合心中的元素由数列｛4｝和｛2｝中小于等于n项组成，

3”-1

小于3”的正偶数有^―1•个，由3"TW3”得女4〃+1，攵EN"

2

所以数列也｝中小于等于3”的项有芝，个，｛2｝中小于等于3”的项有〃+1个，

所以c”=-3-”--1+,7+1=11.3rt+/z+1l.

3222

(ii)当314，〃<3’时，｛包｝中小于等于〃z的项存，个，

又〃，为偶数时，｛可｝中小于等于，〃的项有三个，，〃为奇数时，｛《J中小于等于，〃的项有‘F个,

;+3'T<m<ytieN\m为偶数

所以%=｛2,

/+———，3,।W机<3',i£N：m为奇数

2

…2im+m2,3'~}<<3',ie为偶数

所以amcm2im+w（/n-l）,3,_|<m<3\zGN",〃z为奇数'

从Vc3-到％共有3,-1一（3"-1）=2・3”项，

又〃?为奇数时，

4“-C“+]-amcm=2i（m+1）+（/〃+1）~--1）=2/+1+3m

所以£（T）%,£”=3"（2i+1）+3〔3“+（3“+2）+（3"+4）+…+（3,-2）]

m=3,-1

3/-,（3/-,+3,-2）、

=3M（2z+l）+3——-------L=35（z2i—2）+6•9'7,

3"-13*_|32_I3"_I

所以£（—1）'Z”£H=%£〃+£（—1）'%£”+…+£（T）"Z,£〃

W=1»I=3°/»=3'm=y'

=（0・3°+6・9°）+（23+6O）+（4-32+692）+〜+[（2〃-2）3"T+6-9"T]

=[0・3。+2・31+4・32+-,+（2〃-2）3”-1+6（9。+91+92+..+9”7）

「-i]_9〃

=[2-3,+4-32+.--4-（2n-2）3M_,]4-6--j—^-

=[2-3|+4-32+---+（2/?-2）3,,-,]+-（9/,-1）

令S“=2・3+4・32+…+（2〃-2）3"M①，

则3S”=2-32+43。+…+（2〃-2）3"②，

①一②得—2S“=20i+3?+…+31）-（2〃一2）3”

3（1-3,,_|）一（2"2）3"

1-3

=-（2//-3）3n-3,

⑵-3）3"+3

所rr以ilS=1-----L-------,

〃2

所底（力“*=①等+料叫尸+（丁）3、3

20.已知/(x)=e'——sinx.

（1）求曲线y=/（x）在点（（）,/（（）））处的切线方程;

「11x

（2）当XW-鼻,+8时，证明/（幻之1+不：

（3）求实数。的最大可能值，使得/（!）•/（:）•/（!）•••”1）2（〃+1）”对任意的〃WN"都成立.

123n

【答案】(1)x-3y+3=0

(2)令g(x)=e，——sinx——x-\,则g'(x)=e'--cosx--,

2222121

当工之0时，ev>1»———cosx<—,则g'(x)=e"—cosx—>1------=0,

3333333

所以g(x)在［0,+e)上单调递增，则g(x)Ng(0)=l—0—0—l=0,

21

所以g（x）N0在［0,+动上恒成立，即e'—^sinxN§x+l在［0,+司上恒成立;

当一一Wx<0时，令m（x）=短（工）=ev一一cosx一一,

221)

所以〃«x)=e'+-sinx,因为)=e'和y=-sinx在一4,0上单调递增,

333/

21)

所以m'(x)=e'+—sinx在--,0上单调递增,

3_3)

2--2f

所以加'（工）=ex+—s\nx>e3+-sin——

33I3j33

1(2丫-12I

因为33>23.e，所以-所以e3>±,由于0<sin—<l,

e⑴33

2--

所以加（x）=ex+-siiu>e3--sin->0,

333

2I

则『(x)=e'——cosx--tH--,0上单调递增,

33

则g'(x)=ev-^cosx-1<g'(0)=0,即g'*)<0在］一/01亘成立,

所以g(x)在一鼻,。上单调递减,

J7

1、

所以g@)>g(O)=1—0—0—1=0,即g(x)>0在,0成立,

J/

211、

故e'—sinx>—x+1在一］,0j成立,

33

2|11A

综上，《、一；5足工之不工+1在一；,+8上恒成立,

333)

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可;

21X-1，利用导数研究g(X)在一+8)上的单调性以及最值即可证明结论;

(2)令g(x)=e'--sinx—

(3)利用导数证明h1f(x)〈In1+；X+2X2)W：X+2T

2,分和。两种情况讨论不等式是否成

33

立.

【小问1详解】

2

由于J'(x)=e'--cosJI,

所以/(o)=i,r(o)=i-1=i,

则曲线)，=f(x)在点(0,7(()))处的切线方程为：y-l=1(x-0),

即x-3y+3=O；

【小问2详解】

略

【小问3详解】

匚当〃