集合（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第1讲集合•配套讲义

一、考情分析....................................1

二、知识清单......................................................................2

1、元素与集合..............................................................2

2、集合间的基本关系........................................................3

3、集合的基本运算..........................................................3

4、集合的运算性质..........................................................3

三、解题通法....................................4

考点一：集合的表示与基本运算...............................................4

考点二：集合间的关系与参数求解.............................................4

考点三：集合的新定义与综合探究.............................................5

四、典题精讲............6

考点一：集合的表示与基本运算...............................................6

考点二：集合间的关系与参数求解.............................................7

考点三：集合的新定义与综合探究.............................................9

五、高考真题............13

一、考情分析

1.考查频次与题型

集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考I卷）中属于高频必

考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1题或第2题,

分值为5分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断.

年份题号与题型分值考查内容

2024年第1题（单选）5分三次不等式与离散集合求交集

2025年第2题（单选）5分正整数集合的补集运算

2026年第3题（单选）5分三角函数求值与交集运算

2.命题角度与特色

核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定.

命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知

识板块的交汇融合.

试题特点：侧重“反套路、再思维”的考杳，如2024年与代数高次不等式结合,

2026年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功.

3.备考策略

夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和

确定性.

突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等

式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力.

数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心

点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn图直观分析.

二、知识清单

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

•确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何

一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合4={1,2,3,4,5},可知在该

集合中；6C4,不在该集合中.

•互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出

现的.例如,集合4={a,瓦c}应满足aHb工c.

・无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合4={123,4,5}和B=

{135,2,4}是同一个集合.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：E和区

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn图）.

・列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫

做列举法.

•描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花

括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖

线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

（4）常见数集和数学符号：

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合4、B,如果集合4中任意一个元素都是集合8

中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或

B3A）,读作“4包含于B"（或“B包含4”）.

（2）真子集：如果集合但存在元素％且％W4我们称集合4是集合

B的真子集，记作40B（或B24），读作“4真包含于B”或“B真包含力”.

（3）相等：如果集合A是集合8的子集（AN8）,且集合8是集合力的子集

（BQA）,此时，集合A与集合8中的元素是一样的，因此，集合4与集合B相等，

记作A=B.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0.0是任何集合的子

集，是任何非空集合的真子集.

【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若4。B,

当4为空集。时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，此情况极

易被遗漏，导致漏解.

3.集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合4且属于集合B的所有元素组成的集合，称为力

与B的交集，记作AnB,即An8={xIXwA,且XWB}.

（2）并集：一般地，由所有属于集合4或属于集合3的元素组成的集合，称为人

与8的并集，记作AU8,即408={%|%€4或工€8}.

（3）补集：对于一个集合4由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合称为

集合4相对于全集U的补集，简称为集合4的补集，记作Q4即Q4={x|xw

U,且xWA}.

4集合的运算性质

(1)ACiA=A,4n0=0,AC\B=BC\A.

(2)A[JA=A,4U0=4,A\JB=B\JA.

(3)AC(QA)=0，4U(QA)=U,Q(QA)=4

(4)德•摩木艮定律：C(/(/ln5)=(Ct//l)U(Ct/^，Cu(AuB)=(CuA)n(Q8).

【知识拓展：子集个数规律】

若有限集4中有几个元素，则：

•A的子集个数为2联个.

・4的真子集个数为2八-1个.

-A的非空子集个数为2n-1个.

・4的非空真子集个数为2n-2个.

三、方法总结

考点一：集合的表示与基本运算

考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算

・审清代表元素：第一步必须看清竖线前的代表元素是小y还是有序数对Q,y).X代

表求定义域或解不等式，y代表求值域，(x,y)代表求两曲线交点.

•端点精确取舍：求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于0和

被开方数非负.在进行交、并、补运算时，开区间的补集端点为闭，闭区间的补集端点为

开.

考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算

・德•摩根定律降维：面对复杂的补集与交并集混合运算，如(扇㈤n(Q8),应优先

利用德・摩根定律将其转化为Cu(AUB)进行化简.

•Venn图直观定位：对于离散型数集，画出Venn图，从最内层的多个集合交集区域

开始，由内向外逐层推算并填入各个区域的元素.

•容斥原理公式：解决集合基数(元素个数)问题时，直接应用公式card(/UB)=

card(A)+card(8)—card(AAB).

考法3：已知集合运算结果逆求参数

•代入、求解、检验三步法：先根据交集结果将已知元素代入集合中列方程求解，求

出参数的所有可能值后，必须代同原集合，检验是否满足元素的互异性，并确认交集结果

是否恰好为已知集合.

考点二：集合间的关系与参数求解

考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数

•等价转化交点问题：集合交集只有一个元素，等价于两曲线图象只有一个交点.常利

用分离参数法转化为方程唯一解问题，结合导数研究单调性或数形结合求解.

・熟记子集计数公式：直接套用2n或2九-1计算子集或真子集个数.

考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数

•等价转化子集关系：熟练掌握：4nB=4=4=B；=B=

•空集排雷：处理4£B且4含有参数时，必须首先分类讨论4=0的情况（如方程

判别式A<0或一次项系数为0导致无解），切记不能漏掉空集.

考法6：利用集合相等与互异性求参数

•对应分类讨论：根据两个集合相等，对应元素相等列出方程组.由于对应关系不唯一,

需要分情况讨论.

・互异性排雷：解出参数的所有可能值后，必须代回原集合中检验是否有重复元素，

排除无效解.

考点三：集合的新定义与综合探究

考法7：理解集合新运算求元素或集合

•规则翻译与试算：面对抽象新定义，先用具体数进行试算以理解运算规则.对于坐标

或和差新定义，通过确定两个自变量范围，用枚举法或排除法列出所有可能组合，再利用

互异性去重.

考法8：基于集合新定义判断性质或求参数

・性质推导与构造反例：新定义性质判定中，若涉及区间最值，需结合二次函数等在

动区间上的最大、最小值进行作差分析.判断全称命题时，善于构造特殊的极值反例来快

速排除错误选项.

考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值

•利用整除性缩小范围：当集合划分涉及元素和相等时，首要切入点是计算总和

”罗，利用其必须被相应组数整除的特征，过滤并确定参数n的取值边界，进而采用

“从小到大”的枚举验证.

考法10：结合数列性质求集合元素最值

・极端构造法：若新定义限制了集合元素之间的差值（间距），要求元素个数最多，

应使元素尽可能小且排列紧密.通常构造首项为最小自然数的等差数列模型，利用求和公

式确定元素个数的上限.

四、典题精讲

考点一：集合的表示与基本运算

考法1:解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算

例1.(2026•福建龙岩•二模)(单选)若集合A={y\y=x2},B=[x\2x<8},则4n

B=()

A.[0,3]B.(3,+oo)C.(0,3]D.(-oo,3]

【答案】A

【思路】求解集合运算问题，第一步永远是看清集合的“代表元素”.集合A的代表元素是y,且

y=x2,所以集合A实质上是求二次函数的值域；集合B的代表元素是x,实质上是解指数不等式.

分别求出两个集合的区间表示后，再利用数轴求交集即可.

【解析】={yIy=x2]={y|y>0]=[0,+co).

5={xI2A<8}={x|%<3]=(-oo,3].

.-./in5={x|0<x<3}=[0,3].

对应选项A.

【规律】求解此类问题时，第一步看清代表元素是不还是y(区分是求定义域还是值域)；第二步

分别求出定义域、值域或不等式的解集，将其化为最简形式(通常表示为区间)；第三步利用数

轴求交集或并集，注意端点值的取舍.

考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算

例2.(2025•江西萍乡•一模)(多选)已知全集{7={1,234,5,6},集合且

满足：AnB={3,5},(Q4)n(QB)={2,4},则下列说法正确的为()

A.46B.6E/UB

C.集合4可能是{1,356}D.(GM)U(C(yB)={124,6}

【答案】BCD

【思路】面对复杂的补集与交并集混合运算，首先想到利用德♦摩根定律进行化简.题目中给出的

(QM)n(Q8)可以直接转化为CuSuB),从而轻松求出AJB.结合已知的交集结果，我们就可以

在全集范围内逐一判定各个元素的归属，进而对选项进行判断.

【解析】由题意知(Q4)A(QB)=Cu(4u8)={2,4},

•'-AUB={1,3,5,6}.

对于A,VAUB={1,3,5,6},且4)力UB,Dt,A选项错误；

对于B,VAUB={1,3,5,6),/.6EAUB,B选项正确；

对于C,已知AnB={3,5},这意味着3,5既属于A又属于B.若力={1,356},当8={3,5}时,AU

B={1,3,5,6},Q4={2,4},QyB={1,2,4,6),此时满足所有已知条件，故C选项正确；

对于D,・・・(C(M)U(QB)=QG4nB),又An8={3,5},・・・(QA)U(Cu8)=Q(4nB)=

{1,2,4,6},D选项正确.

对应选项BCD.

【规律】处理复杂集合运算时，常利用德•摩根定律进行降维化简：Cu(4u8)=(QA)n(Cu8),

QSn8)=(Q4)U(Cu8).结合Venn图，将全集中的元素逐一填入对应的区域，是解决此类交

并补混合运算最直观的方法.

考法3：已知集合运算结果逆求参数

例3.(2026•湖南长沙师大附中•一模)(单选)已知集合4={1,胃，B={a.b},

若4nB={2},则力=()

A.1B.2(12或1D.i

2

【答案】B

【思路】己知交集结果为{2},说明元素2元素必然同时属于集合A和集合B.我们可以分别让集合

A和集合B中含参的元素等于2,从而建立方程求解.求出参数后，千万别忘了代回原集合进行检

验，看看是否满足集合元素的互异性，以及交集是否恰好为{2}.

【解析】已知集合4={1，1，B={a,b},月.4nB={2},

••.26A,即£=2,a=2b,此时A={1,2}.

又2GB,即a=2或b=2.

若a=2,则b=l,此时B={2,1},则4nB={1,2},与力nB={2}矛盾，舍去.

若b=2,则Q=4,此时B={4,2},力n8={2},符合条件.

综上所述，b=2.

对应选项B.

【规律】逆向求参数问题的核心步骤：

一“代”：根据交集或并集的结果，确定已知元素，将其代入含参集合列出方程；

二“解”：求解方程，得到参数的所有可能取值；

三“验”：将求得的参数代同原集合，检验是否满足元素的互异性，以及运算结果是否与题意完

全一致.

考点二：集合间的关系与参数求解

考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数

例4.(2025・山东名校考试联盟•二模)(单选)已知集合力={(%,y)ly=et%ER},B=

{1%，y)\y=x+a,xER}fAnB有且只有2个子集，则实数a=()

A.—eB.-1C.1D.e

【答案】C

【思路】集合4nB有且只有2个子集，这意味着交集里面只有1个元素.从图形上看，集合A和B

分别代表指数函数和直线的图象，交集只有1个元素等价于这两个函数的图象只有一个交点.我们

可以将问题转化为方程有唯一解的问题，利用导数研究函教的单调性和极值，从而确定参数Q的值.

【解析】令e"=x+a,则。=6'-％.

记g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1.

当%>0时,gf(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增;

当XV0时,gr(x)>0,g(x)在(-8,0)单调递减.

旦当XT+oo时，g(x)T+8；XT-8时，g(x)->4-00,g(0)=1.

因此Q=e*-x只有一个实数根时，a=g(O)=1.

由于AnB有且只有2个子集，则4nB只有一个元素，故Q=g(O)=1.

对应选项C.

【规律】含有几个元素的集合，其子集个数为2%真子集个数为2九-1.当遇到函数图象交点与集合

交集元素个数结合的问题时，常转化为方程根的个数问题.处理含参方程根的个数，最通用的方法

是分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性与极值求解.

考法5:判断集合关系或根据包含关系求参数

例5.(2024.江西上饶六校联盟，5月模拟)(多选)设集合/={xI3x2-2x-1=0},

B={xIax—1=0},若AU8=4,则a的值可以为()

1-3

A.B.OC.--3D.

【答案】ABD

【思路】题目给出4UB=4,这实际上是隐晦地告诉我们集合B是集合4的子集.我们可以先解一

元二次方程求出集合A的所有元素.在求参数a时，一定要警惕一个极易被忽略的陷阱一一集合B可

能为空集.我们需要分B为空集和非空集两种情况进行全面讨论.

【解析】集合4={%I3x2-2r-1=0]={-i1}.

o

由AUB=力可得BcA,贝I」分B=。或B={—；}或B={1}或B={-；,1}四种情况.

当B=。时，Q=0；

当5={-3时，满足一:。一1=0,解得。=一3；

JJ

当3={1}时，满足。-1=0,解得a=1；

当8={-;，1}时，显然不符合条件.

.•。的值可以为一3,0,1.

对应选项ABD.

【规律】处理集合包含关系求参数时，必须牢记“空集是任何集合的子集”.首先进行关系转化：

AUB=A<^BQA,4nB=A=AG8.其次进行分类讨论，优先考虑子集为空集的情况，再考

虑子集非空的情况，避免漏解.

考法6:利用集合相等与互异性求参数

2

例6.(2026•山东德州•一模)(填空)设集合2=B={a,atab}9若A=8,则

a3+b3=.

【答案】-1

【思路】两个集合相等，意味着它们包含的元素完全一样.观察集合AandB,两者都有元素Q,那

么剩下的元素必须对应相等.由于对应关系不唯一，我们需要分情况列出方程组.解出参数后，互异

性是检验解是否有效的唯一标准，必须将解代回原集合看是否有重复元素.

【解析】'•A==[a2,a,ab),A=B,

•••a*1且匕H1且a工0且a工b.

3=1或俨=匕

lab=b-lab=1

当・・,a羊1且注1,・•・{；：/・・.a3+b3=_l.

当卜j=?时，解得R=・・.awl且.♦・]：=；不成立.

kab=13=13=1

综上可得，a3+b3=-l.

【规律】解决集合相等问题，通常根据元素对应相等列出方程组.由于对应方式可能有多种，需要

进行分类讨论.解出参数后，务必将参数代回原集合，利用集合元素的互异性进行排雷检验，剔除

产生重复元素的无效解.

考点三：集合的新定义与综合探究

考法7：理解集合新运算求元素或集合

例7.(2026•广东东莞・一模)(填空)已知集合4={(z,y)|x2+y2wi,x,yEZ},B=

{(x,y)I|x|<2,\y\<l,x,yEZ),定义集合力㊉B={(/+x2,y1+为)IOi，%)W

A(x2fy2)G8},则/©B中元素的个数为.

【答案】31

【思路】面对新定义运算，首先要“翻译”规则.本题的新运算实质是将两个集合中点的横纵坐标

分别相加.我们可以先利用列举法找出集合A和B中的所有整点，然后分析相加后横纵坐标的整体

取值范围.由于某些极端坐标的组合可能无法同时取到，最后需要用排除法剔除这些不可能的组合.

【解析】由题意,4={(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)},B={(x,y)|xe{-2,-l,0,l,2},y6

{-1,0,1)).

对于集合4㊉B,其横坐标力+不e{-3,-2,-1,04,2,3},纵坐标+为W{一2,—1,0,1,2}.

但当%i+&=±3时,yi+为只能取一1，。，1，

所以“©B中元素的个数为7x5-2x2=31.

【规律】解决新定义集合运算问题的关键是“读懂规则，举例试算”.对于坐标类或求和类新运算,

道常先确定各部分的最值范围，得到一个宽泛的可能集合，再利用枚举法或排除法确定最终元素

的个数，计算过程中要特别注意集合元素的互异性，做好去重工作.

考法8：基于集合新定义判断性质或求参数

例8.(2025•福建福九联盟・5月联考)(多选)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元

素则定义A(X)=M-m.据此，下列命题中不正确的是()

人.若乂={-1,1},丫={0,b},且A(X)=A(Y),则匕=2

B.若X=卜|/(%)>g(x)fxG[-1,1]},A(X)=2,则对任意xG[-1,1],都有f。)>

g(x)

仁若乂二口。+2],丫={丫|丫=%2,%£町，则存在实数a,使得A(Y)V1

口若乂=[a,a+2],y=g”+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得A(XU

y)=3

【答案】ABC

【思路】题目定义了一个集合的“极差”概念A(X).我们需要将这个新定义逐一应用到各个选项中.

对于A选项，直接计算极差即可；对于B选项，极差为2只能说明端点在集合内，中间的点不一

定在，可以尝试构造反例；对于C选项，涉及二次函数在动区间上的极差，需要结合对称轴和区

间端点分类讨论求最大值和最小值；对于D选项，考查并臬的极差，只需让两个区间重合或包含

即可.

【解析】A选项，由*={-1,1},丫={0*}，可得A(X)=2,△(7)=|d|,因为A(X)=A(P),所以

\b\=2,b=±2,故A错误；

B选项，由A(X)=2知，-1GXK1GX,则/(1)Ng(1)且/'(—1)Ng(—1),但是/(0)>

g(0)不一定成立，例如：/(x)=x2-1,g(x)=/(-1)=g(-i)=o,f(0)=-1,

g(0)=0,故B错误；

C选项，由乂=口,。+2],Y={y\y=x2,xEX],当Q+2W0,即a4一2时，△（/）=a2-（a+

2）2=-4a-4>4；当一2<QW-1时，可得仅丫）二M之1当一1vQ<0时，可得△«）=（a+

27>1；当aNO时，可得A（Y）=（Q+2）2-Q2=4Q+4N4,所以不存在实数a,使得仅丫）V1,

故C错误；

D选项，由X=[Q,Q+2],Y=[b,b+3]f取b=Q,可得A（XU丫）=A（[a,a+3]）=3,对任意实

数Q,总存在b使之成立，故D正确.

对应选项ABC.

【规律】处理新定义性质判断题，需严格按照定义进行逻辑推演.若涉及函数的最值差（极差），

需结合函数的单调性、对称性进行分类讨论；在判断全称命题（“对任意……”）真假时，善于

构造特殊的极值反例来快速排除错误选项.

考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值

例9.（2026•山东九五协作体•一模）（填空）已知4B,C为集合M={1,2,…，几}（九WN"）的

非空子集，满足：

①/n8=Anc=8n。=0,AUBUC=M；

②{%EM|%=3/c,kWN，}G4B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③4B,C中所有元素的和分别为S1,S2，S3，且S]=$2=53.

则正整数九的最小值为.

【答案】8

【思路】题目要求将集合M划分成三个互不相交的部分，且三部分的元素和相等.这意味着M中所

有元素的总和必须是3的倍数.我们可以利用这个必耍条件，先写出总和公式，通过整除性质缩小

几的取值范围.然后采用从小到大逐一验证的方法，结合奇偶性和3的倍数等条件，直到拼凑出满

足所有条件的最小正整数.

【解析】由①知48,。构成M的一个划分.

由②知8中全为奇数，C中全为偶数，A中包含M中所有3的倍数.

由③知Si=S2=S3,设总和为S,则S=3sl.

由于S=安式必须是3的倍数.故n只能是3k或3k+2的形式.

从小到大检验：

若n=2,S=3,Si=1,M={1,2},4含3的倍数（无），8全奇，C全偶，无法满足SI=S?=

S3=1：

若3,S=6,Si=2,M={1,2,3},4必含3,此时S】23>2,不符；

若n=5,S=15,Si=5,M={1,234,5},4必含3,还需元素和为2,只能取2,即4={2,3}.剩

下奇数1,5给B,S2=6装5,K符；

若71=6,S=21,Si=7,M={L23456},4必含3,6,此时S129>7,不符；

若n=8,S=36,Si=12,M={1,2,3,4,5,678}.4必含3,6,还需元素和为3,可取1,2,此时4=

{123,6}.剩下奇数5,7给8,S2=12.剩下偶数4,8给C,S3=12.满足条件.

故正整数九的最小值为8.

【规律】当集合划分问题涉及元素和相等时，首要切入点是计算所有元素的总和，利用总和的整

除性质过滤参数的可能取值.随后采用“从小到大”的枚举验证法，结合集合元素的特定属性（如

奇偶性、倍数关系）进行分配试探.

考法10:结合数列性质求集合元素最值

例10.（单选）已知集合A满足：①4GN,②=必有|x—y|N2,③集合A

中所有元素之和为100,则集合4中元素个数最多为（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【思路】题目要求集合元素个数最多，且元素之间差的绝对值至少为2.为了在总和为100的限