2026年高考数学一轮复习讲义（新高考）随机事件、频率与概率学生版+解析

第04讲随机事件、频率与概率

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................2

探究核心考点........................................................3

考点一随机事件与样本空间..........................................................3

考点、二随机事件的关东与运算.......................................................4

考点、三互斥事件与对立事件的机率...................................................5

考点、8频率与概率..................................................................6

考点五频率估计概率在统计中的应用.................................................6

基础过关.............................................................................8

能力提升............................................................................11

真题感知............................................................................12

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024•全国甲卷概率独立性检验

2024.北京概率分布列

2024.上海概率与统计平均数

2025•北京概率与统计分布列

二、命题规律及备考策略

【命题规律】从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概定的考查比较稳定，主要考查以频率估计概

率、互斥事件与对立事件等内容，

【备考策略】

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别

⑵理解事件间的关系与运算

【命题预测】选择题或填空题的形式考查，难度较易：有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形

式出现，与统计等知识结合考查，难度中等

＞知识梳理4

1、事件的相关概念

2、频率与概率的关系

(1)频率：在〃次重复试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数,频数及与总次数〃的比

值七，叫做事件A发生的频率.

n

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件4发生的频率人总是接近于某个常数，并且在它附近摆

n

动，这时，就把这个常数叫做事件4的概率，记作P（A）.

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率A随着试验次数的增加稳定

n

于概率尸（A）,因此可以用频率&来估计概率尸（A）.

n

3、事件的关系与运算

（1）包含关系：一般地，对于事件A和事件8,如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件3包含

事件4（或者称事件A包含于事件8）,记作43A或者8.

（2）相等关系：一般地，若83A且An称事件A与事件8相等.

（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件4发生或事件8发生，则称此事件为事件A与事件6的

并事件（或和事件），记作AL4（或4+B）.

（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生，则称此事件为事件A与事件8

的交事件（或积事件），记作（或AB）.

（5）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件8不能同时发生，即A[8=0,则称事件A与寻件8互斥；

如果A，&,…，A”中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件片,.A/皮此互斥.

（6）对立事件：若事件A和事件8在任何一次实验中有且只有一个发生，即AU8=Q不发生，A1B=0

则称事件A和事件4互为对立事件，事件A的对立事件记为入.

＞探究核心考点＜

考点一随机事件与样本空间

典例1.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从

袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有1个是黑球D.摸出的是2个白球、1个黑球

典例2.下列事件中，随机事件的个数是()

①2020年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有I,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为I号签；

④向量的模不小于0.

A.1B.2C.3D.4

跟踪训练1.随机事件、必然事件、不可能事件

(1)一般地，当C是试验的时，我们称C的子集A是。的随机事件，简称事件，一般用大写字母

A,B,C,…来表示.

对于样本空间Q,人是事件和等价.由一个样本点组成的集合，称为基本事件.

当试验结果(即试验的样本点)时，就称事件A发生，否则称A不发生.

(2)夏也是C的,并且包括了所有的,所以,我们称样本空间C是必然事件.

(3)空集。也是C的,所以空集。是,空集0中没有,永远不会发生，所以我

们称。是不可能事件.

跟踪训练2.在试验反“连续抛掷•枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的

含义：

(1)事件4=｛。,3),(2,3),(3,3),(4,3)/53),(6,3)｝；

(2)事件4=｛(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)｝；

(3)邪件C=｛(L3),(3,1),(4,2),(2,4),[3,5),(5,3),(4,6),(6,4)｝.

考点二随机事件的关系与运算

典例1.对空中移动的目标连续射击两次，设A=｛两次都击中目标｝,8=｛两次都没击中目标),C=｛恰有一

次击中目标｝,。=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是()

X.AQDB.A\JC=Bk)D

C.A\JC=DD.8nO=0

典例2.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E：点数是奇数，事件用点数是偶数，事件G：

点数是3的倍数，事件”：点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的为()

A.E与尸B.F与GC.E与HD.G与H

跟踪训练1.打靶3次，记事件A表示“共击中i发“，其中i=0,l,2,3,那么4UA表示()

A.“全部击中”B.“至少击中1次”

C.“至多击中1次”D.“至少击中2次”

跟踪训练2.美国男子职业篮球联盟(NBA)每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线

队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2）,3名锋线队员（标号为3、4和5）,新赛季开始前联盟

要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件”="第一次抽到后卫

队员“，事件N=”第二次抽到锋线队员“，事件。="抽到的2名队员类型相同”，事件Q的灼立事件为0.

⑴用集合的形式写出试验的样本空间O,并求出20）；

（2）求尸（M+N）和P（M-N）.

考点三互斥事件与对立事件的概率

典例1.已知一个古典概型的样本空间。和事件48如图所示.其中〃（Q）=12,〃（A）=6,〃（8）=4,〃（Au8）=8,

则事件4与事件6（）

A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件

C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事，牛，也不是独立事件

典例2.已知事件4B互斥，它们都不发生的概率为;，且PQ4）=2P（B）,则P（/）=（）

A.-B.-C.-D.-

3993

跟踪训练1.（多选）已知事件4凡且P（4）=0.4/（8）=0.2,则下列结论正确的是（）

A.如果那么。（AuB）=0.4,P（44）=0.2

B.如果A与8互斥，那么夕（Au用=0.6/（4?）=0

C.如果A与8相互独立，那么尸。可=0.92

D.如果A与3相互独立，那么P（A8）=0.08,P（Au8）=0.52

跟踪训练2.甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概

率为g@3名学生至少有I人回答正确的概率为浦乙回答正确且丙回答错误的概率足.则甲、乙、丙均

回答正确的概率为.

考点四频率与概率

典例1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，发现正面朝上出现了30()次，

那么出现正面朝上的频率和概率分别为()

A.0.6,0.6B.0.6,0.5C.050.5D.0.5,0.6

典例2.为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名另、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20

名学生进行测量，得到如下数据伸位：cm)：

男生身高：17(),170,172,169,175,180,182,171,171,176,177,178;

女生身高：165,160,171,160,166,164,168,170.

(1)试估计高一男生的平均身高；

(2)试估计高一女生身高的中位数；

(3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少？

跟踪训练1.下列说法正确的是()

A.某种福利彩票的中奖概率为品，那么买1000张这种彩票一定能中奖.

B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.

C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第1()个病人一定治愈.

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，

30%认为不降水.

跟踪训练2.某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后乂打了一网共100条，其中

做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼()条

A.150B.300C.400D.600

考点五频率估计概率在统计中的应用

典例1.某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下:

出生婴儿数21840230702009419982

出生男婴数11453120311029710242

(1)试计算这几年男婴出生的频率(精确到0.001)；

(2)估计该市男婴出生的概率(精确到0.1).

典例2.为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停

车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行

的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间/

(单位：小时)，整理得到数据分组及频率分布直方图如下:

组号分组频数

1[2,4)6

2[4,6)8

3[6,8)22

4[8.10)28

5[10,12)12

6[12,14)4

(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率;

(2)求频率分布直方图中的值.

跟踪训练1.甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下：

ns日

不投中HH

由频率估计概率，解答卜.列问题.

(1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率.

(2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独

立，估计甲、乙两人平局的概率.

⑶在(2)的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率.

跟踪训练2.为了解一个鱼塘中养殖的他的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条色，称得每

条鱼的质量(单位：kg),并将所得数据分组(每组包含左端值，不包含右端值)，画出频率分布直方图，

如图所示.

⑴根据直方图作频率分布表；

⑵估计数据落在口.15,1.30）中的概率为多少；

（3）瘠上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼,

其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数.

＞三阶突破训练＜

基础过关

一、单选题

1.某池塘中饲养了两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采

样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（）

采样点品种4品种B

东209

南73

西178

A.6)星B.10尾C.13尾D.17尾

2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M=”点数不大于2"，事件N="点数大于1”，则下列结论中正确的是

（）

A.M是不可能事件B.N是必然事件

C.McN是不可能事件D.MuN是必然事件

3.对任意事件A,其概率为则夕的可能范围是（）

A.[-3,-2]B.[-2,-1]C.[—1,0]D.[0,1]

4.如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A,

B,C三种部件能正常工作的概率分别为?4，32各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正

543

常工作的概率为（）

5.某人打靶时连续射击两次，则出件“至少一次中靶”是事件"至多一次中靶”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

二、多选题

7.为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正〃面体的骰子来进行游戏.卜.列数字可以作为〃的取值的是（）

可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为匕及尸，则丫-七+尸=2.

A.4B.12C.16D.20

8.已知44为古典概型样本空间C中的两个随机事件，其中〃（C）=20,〃（A）=10,〃（8）=8,〃[4UB）=14,

则下列选项正确的是（）

A.事件A与8互斥B.P（AI可=K

C.事件A与8独立D.P（M+45）=P（A）

9.下列说法正确的是（）

A.若A3是两个随机事件，则尸（A+A）=P（A）+P（B）-P（A4）

B.若随机变量X则P（X<0）=P（X>2）

C.相关系数「越大，成对样本数据的线性相关程度越强

D.数据1,2,5,7,9,11的上四分，立数是9

三、解答题

10.京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁

路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达

上午(00:00至11:59)下午(12:00至23:59)

07:26G33517:4912:26G33922:51

北京西广州南北京西广州南

10小时23分10小时25分

08:00G7715:3514:00G8121:43

北京西广州南北京西广州南

7小时35分7小时43分

08:32G157919:1220:13G89706:07"

北京西广州南北京西广州南

10小时40分9小时54分

10:00G7917:17

北京西广州南

7小时17分

⑴某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的

概率；

(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙

必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.

(i)记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；

(ii)甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？(结论不要求证明)

11.玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称•'中国三大青花瓷产地其采用玉溪本地特

有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和

废品两类，现有青花流6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率

分别足,本

⑴求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率：

⑵设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X,求X的分布列及期望.

12.问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多

大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案.下

面设计了一个调查程序：

已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查(吸烟问题).

第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个

骰子：(结果只有被测人员知道)

第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6,则被测人员在计数器上点一下：

如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下.己知最后计数器数字是211.

⑴求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率：

(2)试估计某高校吸烟的人数.

13.近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其

在工业机制人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，

近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获

得数据如下表：

甲款机器人乙款机器人丙款机器人

测试次数50100100

成功次数206080

假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.

⑴估计甲款机器人单次送餐成功囱概率；

（2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；

⑶若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为。，幺，分，直接写出方差屿,

力刍的大小关系.

能力提升

1.从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[1（）/5）,6：

[15,20）,8;[20,25）,13;[25,30）,35;[30,35）,46;[35,40）,34;[40,45）,28；[45,50）,15;[50,55）,10;[55,60],5,则样本在

[35,60]内的频率是（）

A.0.69B.0.46

C.1D.0.92

2.一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色.若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概

率是（）

331|

A.—B.—C.-D.—

510510

3.（多选）已知A,4为随机事件，尸（A）=0.3,P（3）=0.2,则下列结论正确的有（）

A.若A,A为互斥事件，则P（A+8）=0.5B.若A,"为互斥事件，贝lj-（久+可=0.5

C.若4,B相互独立，则川4万）=0.24D.若A,B相互独立，则尸（A+8）=0.44

4.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为;和则恰有一个人译出密码的概

JJ

率.

5.某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.

为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中

甲校学牛选择正确的人数为80,乙校学牛选择正确的人数为75.假设学牛方问答领相互独用频率估计概

率.

(1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率P;

(2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，求X的数学

期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.乙校学生选择正

确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值.

6.夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了

100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表：

天气游泳人数未游泳人数合计

晴天6040100

雨天3070100

合计90110200

⑴分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率；

(2)试根据小概率值夕=0.001的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关.

n(ad-bc)2

参考公式：2n=a+b+c+d.

z=(d+/?)(<?++<?)(/?+J)，

参考数据:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

真题感知

I.(2024.全国甲卷.高考真题)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间

的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级合格不合格总

品品品计

甲车

2624050

间

乙车

70282KX）

间

总计96522150

(1)填写如下列联表:

优级非优级

品品

甲车

间

乙车

间

能否有95%的把握认为甲、乙两主间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

⑵已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

万＞〃+1.65押尹，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(后之12.247)

n（ad-bc）2

附：K2=

（。+/?）（（?+d）［a+c）（b+d）

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.(2024.北京・高考真题)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单

中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为04万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)•份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)

3.(2024.上海•高考真题)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中

抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

⑵估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与口均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

(附：Z2=;其中〃=〃+〃+c+d,P(/2>3.840.05.)

\a-¥b)[c+d)(a+c)(b+d)'7

4.(2025・北京•高考真题)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学

生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该

题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互

独立，用频率估计概率.

⑴估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的

概率及X的数学期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知

识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握

该知识点的概率估计值分别为小，P,，判断Pi与P2的大小(结论不要求证明).

第04讲随机事件、频率与概率

考情探究................................................................2

知识梳理................................................................2

考曷一随机事件与样本空间..........................................................3

考点、二随机事件的关东与运算.......................................................4

考点三互斥事件与对立事件的概率...................................................5

考曷0频率与概率..................................................................6

考点、五频率估计概率在统计中的应用.................................................6

象石出过关...........................................................................................8

能力提升............................................................................11

真题感知............................................................................12

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024•全国甲卷概率独立性检验

2024.北京概率分布列

2024.上海概率与统计平均数

2025•北京概率与统计分布列

二、命题规律及备考策略

【命题规律】从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概定的考查比较稳定，主要考查以频率估计概

率、互斥事件与对立事件等内容，

【备考策略】

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别

⑵理解事件间的关系与运算

【命题预测】选择题或填空题的形式考查，难度较易：有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形

式出现，与统计等知识结合考查，难度中等

＞知识梳理4

1、事件的相关概念

2、频率与概率的关系

(1)频率：在〃次重复试验中，事件A发生的次数我称为事件4发生的频数，频数〃与总次数〃的比

值七，叫做事件A发生的频率.

n

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件4发生的频率人总是接近于某个常数，并且在它附近摆

n

动，这时，就把这个常数叫做事件4的概率，记作P（A）.

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率A随着试验次数的增加稳定

n

于概率尸（A）,因此可以用频率&来估计概率尸（A）.

n

3、事件的关系与运算

（1）包含关系：一般地，对于事件A和事件8,如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件3包含

事件4（或者称事件A包含于事件8）,记作43A或者8.

（2）相等关系：一般地，若83A且An称事件A与事件8相等.

（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件4发生或事件8发生，则称此事件为事件A与事件6的

并事件（或和事件），记作AL4（或4+B）.

（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生，则称此事件为事件A与事件8

的交事件（或积事件），记作（或AB）.

（5）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件8不能同时发生，即A[8=0,则称事件A与寻件8互斥；

如果A，&,…，A”中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件片,.A/皮此互斥.

（6）对立事件：若事件A和事件8在任何一次实验中有且只有一个发生，即AU8=Q不发生，A1B=0

则称事件A和事件4互为对立事件，事件A的对立事件记为入.

＞探究核心考点＜

考点一随机事件与样本空间

典例1.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从

袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有1个是黑球D.摸出的是2个白球、1个黑球

【答案】C

【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答.

【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意；

B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意；

C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意；

D.摸出的是2个白球、I个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.

故选:C.

典例2.下列事件中，随机事件的个数是()

①2020年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④向量的模不小于0.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可.

【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.

故选：B.

跟踪训练1.随机事件、必然事件、不可能事件

(1)一般地，当Q是试验的时，我们称C的子集A是。的随机事件，简称事件，一般用大写字母

A,B,C,…来表示.

对于样本空间C,A是事件和等价.由一个样本点组成的集合，称为基本事件.

当试验结果(即试验的样本点)时，就称事件A发生，否则称A不发生.

(2)。也是。的,并且包括了所有的,所以,我们称样本空间C是必然事件.

(3)空集。也是C的，所以空集。是,空集Z中没有，永远不会发生，所以我

们称。是不可能事件.

【答案】样本空间AcQ子集样本点必然发生子集事件

样本点

【分析】略

【详解】略

跟踪训练2.在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的

含义：

(1)事件A=｛(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)｝；

(2)事件区=｛。,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)｝；

(3)事件C=｛(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)｝.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】运用随机事件概念解析艮J可.

【详解】(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3,根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件

A中,故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第一次掷出的点数为3.

(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6,且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事

件8的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.

(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都

在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.

考点二随机事件的关系与运算

典例1.对空中移动的目标连续射击两次，设4=｛两次都击中目标｝,8=｛两次都没击中目标),。=｛恰有一

次击中目标｝,。=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是()

A.AQDB.A\JC=B\JD

C.A\JC=DD.8nZ)=0

【答案】B

【解题思路】根据事件关系，即可判断选项.

【解答过程】A.事件。包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以AGD,故A止确：

B/UC=D包含的事件为至少一次击中目标，BUD=C为样本空间，所以B错误，C正确：

D.事件3与事件。是对立事件，所以BCIO=0,故D正确.

故选：B.

典例2.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：

点数是3的倍数，事件”：点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的为()

A.E与FB.尸与GC.E与HD.G与H

【答案】B

【解题思路】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.

【解答过程】对于选项A,因为事件E和事件?不能同时发生，所以E与尸互斥，故选项A错误，

对于选项B,当朝上面的点数为6对，F与。同时发生，即F与G不是互斥事件，所以选项B正确，

对于选项C,因为事件E和事件〃不能同时发生，所以E与〃互斥，故选项C错误，

对于选项D,因为事件G和事件“不能同时发生，所以G与，互斥，故选项D错误，

故选:B.

跟踪训练1.打靶3次，记事件A表示“共击中i发"，其中1=0,1,2,3,那么4J4表示()

A.“全部击中”B.“至少击中1次”

C.“至多击中1次”D.“至少击中2次”

【答案】C

【分析】根据题意用自然语言描达出事件4UA，即可得.

【详解】由题意，4表示共击中o次，A表示共击中1次，

所以&A表示打靶3次,其中,,至多击中1次”，或“击中不超过1次”.

故选:c

跟踪训练2.美国男子职业篮球联盟(NBA)每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线

队员两种类型，其中2名后卫队员(标号为1和2),3名锋线队员(标号为3、4和5),新赛季开始前联盟

要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件"第一次抽到后卫

队员“，事件N=”第二次抽到锋线队员“，事件Q="抽到的2名队员类型相同”，事件。的对立事件为0.

⑴用集合的形式写出试验的样本空间C,并求出P(0);

⑵求P(M+N)和P(MN).

3

【答案】(1)样本空间见解析，!

73

(2)P(M+/V)=—,P(MN)=6

【分析】(1)利用列举法可以写出样本空间，根据古典概型以及对立事件的概率公式即可得答案；

(2)根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】(1)由题设可得：

C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2.3),(2.4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)),

Q中共有20个基本事件.

。中含有的基本事件为:(1,2),(2,1),34),(3,5),(4,3),(4,5),(5,3),(5,4)

共8个基本事件，

8