2026年重庆市人教版高中数学必修第一册第3章同步练习题

2026年重庆市人教版高中数学必修第一册第3章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3nC.2n+1D.3n-6解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知函数f(x)=log_2(x+1)，则f(x)的定义域为（）A.(-∞,-1]B.(-1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)解析：由对数函数性质log_a(x)有意义需x>0，故x+1>0，解得x>-1，即定义域为(-1,+∞)。选项B正确。3.若向量a=(1,k)，b=(3,-2)，且a∥b，则实数k的值为（）A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/3解析：向量平行的条件是存在λ使a=λb，即(1,k)=λ(3,-2)，解得1=3λ且k=-2λ，联立可得λ=1/3，k=-2/3。选项C正确。4.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，则圆心C的坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)解析：圆的标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，圆心为(a,b)，故圆C的圆心为(2,-3)。选项A正确。5.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边a=6，则边b的长度为（）A.4√2B.4√3C.3√2D.3√3解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=6，A=45°，B=60°可得6/√2/2=b/√3/2，解得b=6√3/√2=3√6。选项D正确。6.函数y=2^x在区间[-1,1]上的值域为（）A.[1/2,2]B.[0,2]C.[1/2,1]D.[0,1/2]解析：指数函数y=a^x在区间[m,n]上的值域为[a^m,a^n]，故y=2^x在[-1,1]上的值域为[1/2,2]。选项A正确。7.已知直线l的方程为3x-4y+12=0，则该直线在y轴上的截距为（）A.-3B.-4C.3D.4解析：直线方程Ax+By+C=0在y轴上的截距为-C/B，故3x-4y+12=0在y轴上的截距为-12/(-4)=3。选项C正确。8.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q等于（）A.2B.4C.-2D.-4解析：等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2。选项A正确。9.已知函数f(x)=|x-1|，则f(0)+f(2)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：|x-1|表示x到1的距离，f(0)=|0-1|=1，f(2)=|2-1|=1，故f(0)+f(2)=1+1=2。选项B正确。10.已知点P(x,y)在直线x+y=5上，且x,y均为正整数，则点P的坐标可能为（）A.(1,4)B.(2,3)C.(3,2)D.(4,1)解析：将各选项代入直线方程检验：A.1+4=5；B.2+3=5；C.3+2=5；D.4+1=5，均满足条件。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若向量c=(2,-1)与向量d=(k,4)垂直，则实数k的值为________。解：由向量垂直条件c•d=0，即2k-4=0，解得k=2。2.函数f(x)=√(x-1)的定义域为________。解：由根式有意义需x-1≥0，解得x≥1，即定义域为[1,+∞)。3.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，则该数列的公差d等于________。解：由a_n=a_1+(n-1)d，a_3=a_1+2d=7，a_7=a_1+6d=15，联立解得4d=8，d=2。4.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=9，则圆C的半径r等于________。解：圆的标准方程中r^2=9，故r=3。5.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=4，则边b的长度为________。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，4/√3/2=b/√2/2，解得b=4√6/3。6.函数y=1/2^x在区间[-2,2]上的值域为________。解：指数函数y=a^x在区间[m,n]上的值域为[a^m,a^n]，故y=1/2^x在[-2,2]上的值域为[1/4,4]。7.已知直线l的方程为x-2y+5=0，则该直线与x轴的夹角θ（0°≤θ＜180°）等于________。解：直线斜率k=1/2，tanθ=1/2，θ≈26.57°。8.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，则该数列的公比q等于________。解：等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，6=b_1q^1，162=b_1q^4，联立解得q=3。9.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为________。解：f(2)=2^2-4×2+3=-1。10.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的模|AB|等于________。解：|AB|=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8=2√2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。（×）解：反例：a=1，b=-2，a>b但a^2=1<b^2=4。2.函数y=√(3-x)在定义域上是增函数。（√）解：定义域x≤3，函数可写为y=√u(u=3-x)，y关于u减，u关于x减，故y关于x增。3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=10，则a_5+a_7=10。（√）解：a_5+a_7=a_1+4d+a_1+6d=2a_1+10d，a_1+a_9=2a_1+8d=10，故a_5+a_7=10。4.过点(1,2)且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y-5=0。（×）解：平行直线斜率相同，新直线方程为3x-4y+c=0，代入(1,2)得3-8+c=0，c=5，故方程为3x-4y+5=0。5.函数y=2^x是R上的奇函数。（×）解：指数函数y=a^x（a>0）均为非奇非偶函数，其图像关于y轴不对称。6.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是直角三角形。（√）解：满足勾股定理a^2+b^2=c^2，故为直角三角形。7.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=25，则圆C过原点。（×）解：圆心(2,-3)到原点距离√(2^2+(-3)^2)=√13≠5，故不过原点。8.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_6=64，则b_9=512。（√）解：公比q=(b_6/b_3)=64/8=8，b_9=b_6q^3=64×512=512。9.函数y=sin(x+π/2)的图像与y=sinx相同。（√）解：sin(x+π/2)=cosx，y=sinx的图像向左平移π/2即得cosx图像。10.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0相交，则a≠-1。（√）解：两直线相交需斜率不等，l1斜率-2/a，l2斜率-1/(a+1)，-2/a≠-1/(a+1)⇒a≠-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=log_3(x^2-2x+1)的定义域。解：x^2-2x+1=(x-1)^2≥0恒成立，故定义域为R。2.已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，求向量a+b的坐标。解：a+b=(3-1,-2+4)=(2,2)。3.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求a_15。解：公差d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3，a_15=a_10+5d=25+15=40。4.求圆C:(x+1)^2+(y-2)^2=16的圆心坐标和半径。解：圆心(-1,2)，半径r=4。5.已知函数f(x)=2^x，求f(0)+f(1)+f(-1)。解：f(0)=1，f(1)=2，f(-1)=1/2，故和为1+2+1/2=3.5。6.求过点(2,3)且与直线y=2x-1垂直的直线方程。解：垂直直线斜率为-1/2，方程为y-3=-1/2(x-2)，即x+2y-8=0。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求b_7。解：公比q=(b_4/b_1)=32/2=16，b_7=b_4q^3=32×16^3=8192。8.求函数y=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数y=-2x-1(x<-2)3(x∈[-2,1])2x+1(x>1)最小值为3（当x∈[-2,1]时取到）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=6，求边b和边c。解：由正弦定理b=asinB/sinA=6√2/2/√3/2=2√6，c=asinC/sinA=asin(180°-60°-45°)/√3/2=6√6/4/√3/2=3√2。2.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品成本为50元，售价为80元，求该工厂的盈亏平衡点。解：盈亏平衡点需收入=成本，设生产x件，80x=1000+50x，解得x=50，即生产50件时盈亏平衡。3.已知函数f(x)=2^x-1，求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。解：f(0)=1，f(1)=1，f(2)=3，故最大值3，最小值1。4.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_10=20，求该数列的前10项和S_10。解：公差d=(a_10-a_1)/(10-1)=15/9=5/3，S_10=10×5+10×9×5/3/2=275。5.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，求圆C与x轴的交点坐标。解：令y=0，(x-1)^2+4=9，x-1=±√5，故交点为(1+√5,0)，(1-√5,0)。6.某城市出租车起步价10元（含3公里），之后每公里2元，求行驶x公里（x>3）的出租车费用。解：费用y=10+2(x-3)=2x+4（x>3）。7.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，求该数列的前5项和S_5。解：公比q=(b_5/b_2)=162/6=27，b_1=6/27=2/9，S_5=2/9(1-27^5)/(1-27)=2/9×(27^5-1)/26=8190。8.已知函数f(x)=|x-2|，求f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)。解：f(1)=1，f(3)=1，f(5)=3，f(7)=5，f(9)=7，和为1+1+3+5+7=17。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.D4.A5.D6.A7.C8.A9.B10.B二、填空题1.22.[1,+∞)3.24.35.4√6/36.[1/4,4]7.26.57°8.39.-110.2√2三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.解：由x^2-2x+1=(x-1)^2≥0恒成立，故定义域为R。2.解：a+b=(3-1,-2+4)=(2,2)。3.解：公差d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3，a_15=a_10+5d=25+15=40。4.解：圆心(-1,2)，半径r=4。5.解：f(0)=1，f(1)=2，f(-1)=1/2，故和为1+2+1/2=3.5。6.解：垂直直线斜率为-1/2，方程为y-3=-1/2(x-2)，即x