2026年高考数学一轮培优练习（新高考）数列的概念（学生版+解析）

第六章数列

§6.1数列的概念

【考情分析・探规律】

3年考情

考点命题趋势

(2021-2024)

2023•全国甲卷

掌握数列的有关概念和表

2022•全国乙卷

考点1数列的增减性示方法，能利用与的关系以及递推

2022•北京卷

关系求数列的通项公式，理解数列

2021•全国甲卷

是一种特殊的函数，能利用数列的周

2024•全国甲卷

期性、单调性解决简单的问题，该

2023•北京卷

考点2递推数列及数列的通内容是新高考卷的必考内容，常考

2022•北京卷

项公式音利用与关系求通项或项及通项公

2022•浙江卷

式构造的相关应用，需综合复习。

2021•浙江卷

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的,列数

数列的项数列中的_________

如果数列｛““｝的第n项小与它的______之间的对应关系可以用一个

通项公式

式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

递推公式

示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛〃”｝的把数列从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛小｝的前〃

前，?项和项和，记作S”，即S产____________

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数—

项数

无穷数列项数—

递增数列a,l+i_a,t

其中

项与项递减数列斯+1_

间的大常数列a计产小

小关系从第二项起，有此项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

摆动数列

的数列

3.数列与函数的关系

数列｛〃“｝是从正整数集N”（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自

变量是序号小对应的因数值是数列的第〃项斯，记为小J〃）.

4.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

5.数列的通项公式

如果数列｛知｝的第〃项为与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这

个式子叫做这个数列的通项公式.

6.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的递推公式.

\1.若数列｛%｝的前〃项和为S”，通项公式为斯，则。尸:6

ISn—Sn-i,n>2.

I

i

；2.在数列｛%｝中，若如最大，则«

I

i

；若以最小，贝W

【随堂练习】

1.思考辨析（在括号内打“w或“X”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）

（2）1,1,1,1,不能构成一个数列.（）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（）

（4）如果数列｛%｝的前〃项和为Sn,则对任意都有%+i=Se-S〃.（）

2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1,5,12,22,…

称为五边形数，则第8个五边形数是.

3.已知数列(｝满足。］=1,。”=〃+即］(〃22,〃wN*),则a,i=.

2

4.已知数列｛诙｝的前〃项和为S”且Sn=n-4n+1,则an=.

点拨】•

II

;1.灵活应用两个常用结论

II

\⑴若数列⑷的前〃项和为工，则。求"uN*I

।।

1（2）在数列3｝中，若为最大，则廿仁丁T：若公最小，则t咤丁T'G2,〃七N*.

aaaa

।!kn三n+l^ln士n+l/!।

；2.掌握数列的函数性质

II

；由于数列可以看作一个关于〃（〃WN・）的函数，因此它具备函数的某些性质：|

:（i）单调性——若知+＞小，则｛小｝为递增数列；若如+1＜小，则仅“｝为递减数列，否则为摆?

\动数列或常数列3户尸。）\

；（2）周期性一若知+小〃,水为非零常数），则｛〃〃｝为周期数列，k为｛仇｝的一个周期.5

【必练核心题型】

题型一由。〃与S”的关系求通项公式

【典例】1.（2025•漳州模拟）已知各项均不为0的数列｛m｝的前〃项和为S〃,若3S〃=a”+l,

则会等于（）

a7

A.--B.--C.-D.-

2323

n

【典例】2.已知数列传〃｝满足£著L〃+1,则S025等于()

k=121

A.2025B.2024C.4049D.4050

【变式训练】

变式1.（多选）已知数列｛的｝的前〃项和5〃苫（3"-1）,则下列说法正确的是（）

A.«i=l

B.数列｛q｝为递增数列

C.数列｛四｝是等比数列

D.a”=2X3””

变式2.已知数列｛④｝的前〃项和S„=n2+n,当红坟取得最小值时，〃二____________.

%

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

［典例］1.（2025・常德模拟）已知数列｛。〃｝满足〃1=1，a„-an+1=2"出小+1,则

4尸•

命题点2累乘法

【典例2.若数列｛斯｝满足0=12,勿+2〃2+3。3+…则々2025=.

【变式训练】

变式L已知数列｛a｝中,6/1=1,i=2（ai+6+…eN*）,则数列｛〃”｝的通项公式

为.

变式2.凸五边形有5条对角线，那么凸〃+2（〃22）边形的对角线条数为（)

?“九一2)B7"71+2)

A.

2•3

(n+2)(?i+l)口5-1)5+2)

C.

22

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

【典例】1.已知数列｛如｝满足为=2〃2+2〃aWR),则“｛小｝为递增数列”是“在0”的

()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

命题点2数列的周期性

【典例】5(2025•孝感模拟)在数列｛小｝中，。尸-2,〃山+/为-1,则数列｛〃〃｝的前2025

项的积为()

3

A.-1B..2C,-3

命题点3数列的最值

【典例】6数列｛乩｝满足儿则当“时，儿取最大值

为.

【变式训练】

变式L在数列｛〃〃｝中,0=1,42=5,a〃+2=4〃+i/〃(〃£N"),则。2025的值为()

A.5B.-5C.4D.-4

变式2.已知数列｛斯｝的通项公式为“产也2.小2,若｛防｝为递增数列,则々的取值范围

为()

A.(l,+8)B.(0,+8)

C&+8)D&+8)

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分,共30分）

1.观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,则该数列的第12项是（)

A.l212B.12C.ln12D.sin12

2.已知数列伍〃｝的前〃项和为S”，若S产〃2/,则公等于（）

A.-5B.5C.7D.8

3.已知数列伍〃｝的项满足小+产-9小，且0=1,则等于（）

n+2

22

A.­=-B.—=-

(n+l)2n(n+l)

2n-l2n-l

4.已知数列｛小｝的通项。产缶，则数列｛3｝中的最大项的值是（)

A.3<10B.19C.-D.逗

1960

5.已知数列｛〃〃｝满足。।=1,“厂小+尸〃1（〃£N*）,则an等十（)

.n2+n_n2-n+2

A.------B.---------

22

C—D—--

n2+nn2-n+2

6.（2025・江门模拟）物理学家法兰克・本福特提出的定律：在人进制的大量随机数据中，以

〃开头的数出现的概率为必（〃）=log〃管.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是

否存在造假或错误.若EP105）=黑言（&WN*）,则攵的值为（）

n=k

A.7B.8C.9D.10

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知数列｛小｝的前〃项和公式为S尸^则下列说法正确的是（）

A.数列｛〃〃｝的首项为。产；

B.数列｛小｝的通项公式为。产下三

n（n+l）

C.数列｛小｝为递减数列

D.若数列｛，｝的前〃项积为乙，则%

8.已知数列｛小｝的前〃项和为S”，且工-小二（〃-1）2,历尸箸，则（）

A.S产〃2

B.an=2n

C.数列｛d｝是递减数列

D.数列｛仇｝的最小值为等

O1

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知数列｛小｝满足a尸〃2.筋，〃£N*,数列｛为｝是递增数列，试写出一个满足条件的实

数4的值：.

10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜,

趣味无穷.现假设有〃个圆环，用小表示按照某种规则解下〃个圆环所需的最少移动次

数,且数列出｝满足。尸1,s=2,。产品2+2"（心3,则解开九连环最少需要移

动次.

四、解答题（共28分）

11.（13分）己知数列｛m｝的各项均为正数，其前〃项和为S”，且满足。产1,出+产2店+1.

（1）求。2的值；（5分）

（2）求数列｛〃”｝的通项公式.（X分）

12.（15分）已知各项均不为0的数列｛小｝的前〃项和为S”且0=1,S“=：anfln+i+1

4

（1）求｛小｝的通项公式；（6分）

⑵若对于任意〃£N*,2”2S“恒成立，求实数2的取值范围.（9分）

【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分

13.在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过〃层薄膜，记光波的初始

功率为打，记2为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的

透过率7＞蟒丁去，其中2,3,…，人为使得铝2一2%则〃的最大值为（）

A.31B.32C.63D.64

14.（2025•遵义模拟）第24届北京冬奥会开幕式由一朵弟六角雪花贯穿全场，为不少人留

下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六

角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得

到〃级K“（〃£N«）角雪花曲线.若正三角形边长为1,我们称人为一个开三角（夹角为学,

则〃级K”角雪花曲线的开三角个数为，〃级K”角雪花曲线的内角和

为

第六章数列

§6.1数列的概念

【考情分析・探规律】

3年考情

考点命题趋势

(2021-2024)

2023•全国甲卷

掌握数列的有关概念和表

2022•全国乙卷

考点1数列的增减性示方法，能利用与的关系以及递推

2022•北京卷

关系求数列的通项公式，理解数列

2021•全国甲卷

是一种特殊的函数，能利用数列的周

2024•全国甲卷

期性、单调性解决简单的问题，该

2023•北京卷

考点2递推数列及数列的通内容是新高考卷的必考内容，常考

2022•北京卷

项公式查利用与关系求通项或项及通项公

2022•浙江卷

式构造的相关应用，需综合复习。

2021•浙江卷

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛小｝的第〃项出与它的序号「之间的对应关系可以用一个

通项公式

式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

递推公式

示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛〃”｝的把数列｛4｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛小｝的前"

前〃项和项和，记作S”，即S产包+G+…+a”

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列all+\>an

其中

项与项递减数列an+\<an

间的大常数列

小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

摆动数列

的数列

3.数列与函数的关系

数列他”｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自

变量是序号〃，对应的函数值是数列的第〃项如，记为〃仁/（〃）.

4.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

5.数列的通项公式

如果数列｛知｝的第〃项出与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这

个式子叫做这个数列的通项公式.

6.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的递推公式.

「・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・・・•・・・・・•・・・・・•・・・・・・・・・•■・・・・•・・・・・・・・・•・・・・・・・•«・・・・・・・・・・・・・・・・・■・・・・■■・■・■•・・・•・・・・・•・・・・・•・・・・・

:点拨】

i

!S”〃=1,

；1.若数列伍〃｝的前〃项和为S”，通项公式为4”则a“=L。C

!I5n—5M-I,n>2.

I

i

i2.在数列｛〃“｝中，若小最大，则，

!〃十1・

।

；若为最小，贝H

!［。胫4〃+1・

【随堂练习】

1.思考辨析（在括号内打吐"或"X”）

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)1,1,1,1,不能构成一个数列.()

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()

(4)如果数列｛为｝的前〃项和为Sn，则对任意neN\都有MH=Sn+l-S“.()

【答案】(1)X(2)x(3)X(4)4

【解析】(I)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列.

(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.

(3)数列可以是常数列或摆动数列.

2.传说占希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数I,5,12,22,-

称为五边形数，则第8个五边形数是________.

151222

【答案】92

【解析】＜5-1=4,12-5=7,22-12=10,

・•・相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,

・••第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是

51+19=70,第8个五边形数是70+22=92.

3.已知数歹U｛4〃｝满足。1=1,1，2,〃£N"),则an=.

【答案】誓2

【解析】数列｛4｝满足ai=l,%=〃+而i(〃22,«eN*),

可得0=1,

ai-a\=2,

43-。2=3,

41-俏=4,

a,ran.\=n,

以上各式相加可得。行1+2+3+・，・+〃二磅罗(〃12),

又卬=1符合该式，所以即/用.

2

4.己知数列｛〃〃｝的前/?项和为S”且Sn=n-4n+\,则a„=.

【答案】G-：,n>2

【解析】当〃=1时，ai=Si=-2;

2

当〃22时，an=Sn-S,i.｝=n'-4n+1-[(/1-1)-4(/?-1)+l]=2n-5.

因为当”=1时,不满足。尸2止5,

所以。产｛-2,n=1,

2n—5,n>2.

!i.灵活应用两个常用结论

II

"1)若数列｛知｝的前〃项和为S”则“求1'<1，>?”w\

!(3〃—o-i，nz,ntIN.I

ini

|⑵在数列㈤中,若斯最大，则｛::或工;若0最小，则｛:;或工?2,〃£N*.1

\2.掌握数列的函数性质

II

；由于数列可以看作一个关于〃(〃WN*)的函数，因此它具备函数的某些性质：:

；(1)单调性—若则｛小｝为递增数列；若。向。“，则｛〃”｝为递减数列，否则为摆;

；动数列或常数列(4r=a)\

;(2)周期性——若小+谆4。为非零常数)，则｛知｝为周期数列，k为｛〃”｝的一个周期.j

【必练核心题型】

题型一由。”与S”的关系求通项公式

【典例】1.(2025•漳州模拟)已知各项均不为0的数列｛斯｝的前〃项和为S”,若3s产%+1,

则色等于()

a7

A.--B.--C.—D.—

2323

【答案】A

【解析】因为3S”=a”+l,则3S”+i=a〃+i+l,

两式相减可得,

即2a”+］=-a〃，

令n=7,可得2aa=-ai,

且0Ho，所以色T

。72

n

【典例】2.己知数列｛〃｝满足£含R+1,则仍0”等于()

k=12〃T

A.2()25B.2024C.4049D.4()5()

【答案】C

【解析】由题意可得m咛令…+肃干〃+1,①

352n—1

当“1时，0=2；

当心2时，©琛琛+…卷土』，②

35271—3

①②两式相减得匹『1,即昕20.

ZH—1

又。尸2不满足4尸2〃-1,

综上所述，。"=｛郊二，2.

所以42025=4049.

［解题技巧］小与S”的关系问题的求解思路

⑴利用以=&6“(〃22)转化为只含S“，S〃」的关系式，再求解.

(2)利用工5.产小(心2)转化为只含即，而।的关系式，再求解.

【变式训练】

变式1.(多选)已知数列他〃｝的前〃项和S“W(3〃-1),则下列说法正确的是()

A.6/|=l

B.数列｛6｝为递增数列

C.数列｛〃“｝是等比数列

D.a〃=2X3”/

【答案】ABC

【解析】・.3=斜-1),

/.6/I=SI=1X(3-I)=1,故A正确；

当〃22时，

・・・诙二工6*幻〃-1)-幻〃11)=3%«i=l也适合，，丽3%故D错误；

•.即+]_3n

*--后-3'

・•・数列｛〃〃｝是公比为3的等比数列，故C正确；

・・・/=1,公比大于1,・•・数列｛小｝为递增数列,故B正确.

变式2.已知数列｛斯｝的前〃项和S=n2+n,当红艺取得最小值时，〃二___

ltan

【答案】3

2

【解析】因为Sn=n+n,

22

则当〃力2时，an=Sn-S„.\=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,

又当n=\时,6/I=5I=2,满足an=2n,

故an=2n,

则哈嚎与6+捌，

又产X+：在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

故当〃=3时，〃式取得最小值，即当〃=3时，包型取得最小值.

nan

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

【典例】1.(2025.常德模拟)已知数列｛4｝满足用=1,々…尸2%,刖,则

an=.

【答案】e

【解析】若总k0,则a3-an+1=0,

BPan=a^i=0,这与ai=l矛盾，所以斯+iWO,

由斯-。”+尸2"。〃斯+1,两边同时除以。山+|,

则_L二一二2"I

anfln-i

，一-—i—=2"

an-lan-2

工』，

a3a2

—-=2,

a2%

上面的式子相加可得工」=2+2?+23+…+2””=（I：：）=2〃.2（〃22）,

anax1-2

所以。"二号"22）,

又见=1符合该式，所以为二'.

命题点2累乘法

【典例2.若数列｛“〃｝满足«|=12,。1+2。2+3的+…则42025=.

【答案】羡

【解析】因为m+2a2+3s+…+〃/=〃%〃，①

所以4|+2々2+3〃3+…+〃〃“+（〃+1）4“，尸（"+1）%“"，②

②-①得，（〃+1）«*（〃+「）%"+「〃％=%三三,

a”n+1

所以^,=—・…•—-«1=-X-X-X-X—X12=—（n22）,

a2a3an-i234nn

又0=12也符合，所以“产"，

n

所以Cl2025=7^7-

o/□

「f翩莪西'i

\⑴形如硒-斫加的数列，利用累加法,即可求数列｛m｝的通项公式.

IQ）形如皿y〃）的数列，利用累乘法，即可求数列｛m｝的通项公式.

ian

【变式训练】

变式1.已知数列｛。”卜|1,。尸1,1=2(41+6+…(〃任N"),则数列｛〃”｝的通项公式

为.

【答案】an=n

【解析】•，7。/1=2(0+。2+…+。〃)，①

・•・当时，(〃-1)斯=23+。2+…+斯-1),②

①-②得〃%+「(〃-1)cin=2an,

即〃如+产(〃+1)的,

・£n+i_n+l

ann'

；=«l―n-=lX-X•••X-^-=/?

«i«n-i1n-1

当〃=1时，结论也成立.

alt=n.

变式2.凸五边形有5条对角线，那么凸〃+2(〃22)边形的对角线条数为()

A7®2)B7乂71+2)

•2°3

C(n+2)S+l)D(n-l)(n4-2)

•2°2

【答案】D

【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，

则得到在凸〃+1(〃23)边形的基础上，多一个顶点，则多〃条对角线，

设凸n+2边形有.八〃+2)条对角线，

所以火〃+2)/〃+1)=〃，

则犬5)力4)=3,46)次5)=4,…，加+2)/〃+1)=〃，

累力口彳导,布?+2)/4)=3+4+…*?,

则危+2尸2+3+4+…+〃=(n1坐+2),,

当n=2时，＜4)=2也满足此式，

所以加+2)=(”一警+2),仑2.

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

【典例】1.已知数列｛如｝满足为=2〃2+2〃aWR),则“｛小｝为递增数列”是“在0”的

()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由｛〃“｝为递增数列得，如+[-4产[2(土+1)2+“〃+1)卜(2〃2+力7)=2+4/1+2>0,,

则2>-(4〃+2)对于'恒成立，得2>-6,可得7三()=2>-6,反之不成立.

命题点2数列的周期性

【典例】5(2025•孝感模拟)在数列｛小｝中，0=2,4M/产小・1,则数列｛斯｝的前2025

项的积为()

A.」B,-2C,-3D.|

【答案】A

【解析】因为。必+尸册-1,%工0,

所以5—,

又,贝!J«2=7，«4=-2,

ai=-24A，

所以数列｛小｝的周期为3,且6a2a3=1,

设数列a｝的前〃项积为7;,

则T1025=0。2a3…6025=(-1)675=-1.

命题点3数列的最值

【典例】6数列｛乩｝满足乩;器，则当*时，儿取最大值

为.

【答案】4I

O

3n-43n-710-3n

【解析】方法一'•b,^\-b=-n

n2n24-12

・•・当后3时"小】＞＞，｛仇｝单调递增,

当心4时,bzKbn,｛瓦｝单调递减，

故当〃=4时，S“)max二力冷.

3n-7>3n-4

方法二2川一12"'

也>3n—10

{2n7271-2

解得与,

又〃WN",・4,

故当〃=4时，(瓦)max=64=J.

O

!(i)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

；(2)解决数列的单调性问题,常用作差比较法，根据差的符号判断数列｛小｝的单调性.

【变式训练】

变式1.在数列｛小｝中，0=1,s=5,a〃+2=a〃+i-a〃(〃WN)，则。2025的值为()

A.5B.-5C.4D.-4

【答案】C

【解析】因为,公=5,an+2=an+\-an(n^N*),

所以43=42/1=4,。4=。3-。2=-1,的=。4/3=-5,。6=。5-〃4=-4,。7=。6-的=1,。8=。7-。6=5,

故数列他”｝的周期为6,

所以025=^6＞,337+3=^3=4.

变式2.已知数列｛m｝的通项公式为。”=而2.止2,若｛痣｝为递增数列，则左的取值范围

为()

A.(l,+8)B.(0,+8)

C&+8)D&+8)

【答案】D

【解析】斯二加-〃-2,若｛斯｝为递增数列，

则a”+i>a”(〃£N"),

有k(n+\)2-(n+1)-2>hr-n-2(n£N"),

解得A-(〃£N"),

则&>(肃)max，

当榕1时，(盛)maxW，所以《,

则A的取值范围为G，+8).

【限时训练】(限时：60分钟)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.观察数列1,ln2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…，则该数列的第12项是()

A.1212B.12C.ln12D.sin12

【答案】D

【解析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数)11页序排列，且3个为一循环节,

由此判断第12项是sin12.

2.已知数列(的前〃项和为S”若Sn=ir-1,则等于()

A.-5B.5C.7D.8

【答案】B

【解析】因为Si),

所以fl3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.

3.已知数列｛小｝的项满足二专且。尸1,则等于()

A2B2

■(n+1)2>n(n+l)

C.-^-D.—

2n-l2?l-l

【答案】B

【解析】由加尸一律言二号，所以詈，崇W,：1..・，尸=—，詈二置（后2）,

n+2d^in+2a13o,24a?5一？na八一［n+1

所以若瞪.•…用令…、詈义岳，所以群品，因为e，所以

4尸而热，又因为〃口满足上式，所以所皆•

4.已知数列｛〃“｝的通项0尸帚，则数列｛m｝中的最大项的值是（）

A.3V10B.19C.—D.—

1960

【答案】C

【解析】令/U）=X+?QO）,

运用基本不等式得应丫）26同，

当且仅当x=3g时，等号成立.

因为«n=j^90,〃£N，所以去必益5，

nn

所以当〃=9或〃二10时，。”二看最大.

5.已知数列｛。〃｝满足a尸1,「即+\=naltan+1（〃£N），则斯等于（）

«n2+n门n2-n+2

A.----B.-------

22

C.3D.^—

n2+nn2-n+z

【答案】D

【解析】易知a〃#0,由题意,得」一乙二〃,

an+ian

贝!I当时，—-—^—=n-l,—^——^—=n-2，…，---=1,

anan-lan-lan-2a2al

以上各式相加得

±.±=1+2+--+(n-12),

anQi2

所以工=中+1二号，

Qn22

2

即an=522),

n2-n+2

当n=\时，〃i=l适合此式，

所以崂治•

6.(2025・江门模拟)物理学家法兰克・本福特提出的定律：在〃进制的大量随机数据中，以

〃开头的数出现的概率为P从〃户log/,誓.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是

80।

否存在造假或错误.若£PlO(n)=譬嘤(ZRN*),则A的值为()

l+IOg5

n=k2

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

80

【解析】EPlO(n)=P((Woa+l)+-+Pio(8O)=lg号+lg岩+・・・+lg察lgv,

IJIK1oUK

n=k

IgBl41g3

而投乳常书f=2植3/9,故1.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知数列｛小｝的前〃项和公式为S尸岩，则下列说法正确的是()

A.数列｛“〃｝的首项为〃产；

B.数列｛小｝的通项公式为〃产而岛

C.数列｛〃“)为递减数列

D.若数列｛*｝的前〃项积为Tn,则7;产；

【答案】ABC

【解析】对于A,数列｛册｝的首项为m=S产士弓，故A正确；

对于B,当心2时，an=Sn-Sn.1=-77--=r,0三适合上式，故B正确；

n+1nn(n+l)2

对于C,因为小+”,尸…(n+z二)(n八+i)n(n+i)(n+“2)：(n4+i;、n＜°，所以数列｛〃“｝为避减数列，故C

正确；

对于D,…乂々=2,所以数列｛£｝的前〃项积7＞占，故D错误.

234n+1n+1n+1

2

8.已知数列｛4〃｝的前〃项和为S”，且S„-atl=(n-1),历产黄，则()

A.S,尸〃2

B.a”=2〃

C.数列｛/%｝是递减数列

D.数列｛"｝的最小值为意

ol

【答案】AD

【解析】产S/rS“/(〃22),

'•S„-a„=S„.i,则,

即S“二〃2(〃WN"),

.*.01=1,当〃22时,4产〃2-(〃-1)2=2〃-1,

又fli=l满足上式，，m=2〃-l(〃£N")，故A正确，B错误；

)211—1^271+1

易知b„>0,•・》，尸一^一，儿+产而不，

二针高瑞。当鲁>1时，心岳I，

・••当Kn<3时,b“>b”+i,当〃23时，bH<blt+\,

・•・数列的｝不是递减数列，且当〃二3时，儿取得最小值荒，故C错误，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知数列｛小｝满足。”二〃2.%，〃£N”,数列｛〃”｝是递增数列，试写出一个满足条件的实

数2的值：.

【答案】1(2取满足7<3的任意一个实数值即可)

【解析】因为数列｛%｝是递增数列,且〃“=，$〃，则―

即(〃+1)2-*〃+1)>n2-Xn,

整理可得2/z+1-z>0,即z<2n+lt

因为，即〃21,

所以2什123,所以2<30取满足2<3的任意一个实数值即可)

10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜,

趣味无穷.现假设有〃个圆环，用小表示按照某种规则解下〃个圆环所需的最少移动次

数，目数列｛〃”｝满足。1=1,s=2,a产M2+2"/（〃23,Z；£N"）,则解开九连环最少需要移

动次.

【答案】341

nA

【解析】由题意,an=an.2+2,

2

故a3-ai=2,

«5-«3=24,

1,2

a2,t.\-a2n-3=2'',

以上各式相加，可得侬「0=22+24+…+22F/+42+…+4",

2,J1

BPa2n.1=1+4,+4+•••+4-=l±2=£zl,

1—43

所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为“尸贮三二341.

四、解答题（共28分）

11.（13分）已知数列伍”｝的各项均为正数，其前〃项和为5〃，且满足。尸1,小+户2居+1.

⑴求S的值；（5分）

（2）求数列｛小｝的通项公式.（8分）

【解析】

（l）Vdi=l,诙+产2信用，

a2=2yfS^+1=2y/a[+1=3.

⑵方法一由,

得S〃+i5=2店+1,故S,+尸（医+1门.

*.\M>O,.*.s„>o,=ys^+1,

即后二房二i,

则店,

JSn_i-JSn_2=\，…，y[S^-y[S

由累加法可得西=1+（〃/）=〃,

；・S〃=〃2(〃22),

又Si=ai=l,满足上式,/.Sn=n2.

2

当〃22时，an=Sn-Sn.i=n--(n-1)=2n-1,

又。|=1适合上式，，%=2〃-1.

方法二由小+尸2同田，

得(。〃+1-1,

当时，(斯・1)2=4S”,

••・(〃〃+[-11)~=4(S“-Snj)=4。”.

.•・Q"]3-2a〃+i-2a”=0,

即(。〃+1+即)(即+1"-2)=0.

*/atl>0,，。”+广。产2(〃22).

又•••做一出二？,

・•・｛〃“｝为等差数列，且公差为2,

/.a„=1+(〃-1)X2=2/2-1.

12.(15分)已知各项均不为0的数列｛〃“｝的前〃项和为S”且。尸1,$丹