2026年高考数学复习：重难突破（二十）圆锥曲线之焦点三角形（四类重难点题型）原卷版+解析

重难专攻（二十）圆锥曲线之焦点三角形

〉目录・重难点题型分布

重难点题型四、以焦点三角形与其它知识综合为情景命题

S3⑪困宓•>0份客百爱娅遗鹰旗后）________

重难点题型1以焦点三角形的周长为情景命题

(・・■•■(・■■•・・■・■・■・・•■・■■■・■I■(■•■•■■■(・(■•・I・(■・■■■•■•■■■•■・■(■・・•・•・I■■■■■(■・■(■・■•・,・(・•・(■•■■■•■•■(・•■•・•・・・・■•・•■•■■■・

1.（2025•西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆[+与=1（其中a>b>0）的离心率为两焦点

a23b25

分别为A，K，"为椭圆上一点，且△片为附的周长为16,则椭圆。的方程为（）

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

16252599252516

2.（2024•辽宁大连•统考二模）设椭圆C：二+），2=l的左焦点为尸，直线/:），=依（g0）与椭圆。交于两

4

点，则用周长的取值范围是（）

A.（2,4）B.k,4+2石）C.（6,8）D.（8,12）

22

3.（2024•山东青岛•统考三模）已知。为坐标原点，双曲线C：今-5=1（〃>0为>0）的左，右焦点分别为

22

耳，F],过。的右焦点K且倾斜角为？的直线交C右支于A,B两点，A8中点为W,\F2W\=\]a+b»0

£48的周长等于12,则（）

A.。=3B.双曲线。的渐近线方程为y=±岳

C.\AB\=9D.\OW\=y/6

4.（24-25高二上•陕西西安）已知点工分别为椭圆C:工+工=1的左、右焦点，过点片作/轴的垂线交

43

椭圆C于M,N两点，。「0”。3分别为序的内切圆圆心，则AO。。,的周长是（）

A.且+1B.6+1C.x/5+2D.y/5-2

2

22

5.（24-25高三上•江苏南京•期中）己知椭圆C：与+与=1（4>6>0）的左、右焦点分别为£、K，离心率

a"b

为坐，过上顶点8和右焦点弱的直线与椭圆C的另一个交点为A,且△匕48的面积为3拒，则的周

长为（）

A.4B.4&C.45/3D.4瓜

6.（2025♦广东深圳•一模）已知双曲线C：x2-y2=],左、右焦点分别为£、F,,过F2作倾斜角为60。的直线

与双曲线。交于“，N两点，则△仞7々的周长为.

7.（2025•安徽马鞍山•模拟预测）已知双曲线「：5-£=1（〃>0/>0）的一条渐近线与圆O：/+y2=/

交于AC两点，设圆。在AC两点处的切线与尤轴分别交于反。两点、若双曲线「的焦距为则四边形

/WCD周长的最大值为.

8.（2025•广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆

C:二+与=1（。>。>0）的俅距为4石，焦点三角形的周长为46+12，则椭圆C的方程是.

a~b~

重难点题型2以焦点三角形的面积为情景命题

■・■•SM・••・・・•・・・・•・•・・■•・•・•・・・■•■・・・■•■・・•・・・■・•・・■・■・・•一•・・・•・•・••・・・（・•・•・•・•・（■•■・・•・■•■■•・・■•■・・•・（・•・・・・•■•■・・••・・・•■•・••・・・・■•・・■■■•■・■•

1.（2025海南海口•模拟预测）已知入、乃是椭圆七：4+差=1的左右焦点，点夕（％，九）为E上一动点，

且|^|<1,若/为△修尸2的内心，则△出巴面积的取值范围是（）

B.[72,73]D.[6-a,3一伺

2.（2024・四川宜宾•统考三模）己如双曲线马-4=1的左右焦点分别为斗为，以它的一个焦点为圆心，半

a"3

径为〃的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A8两点，则匹边形/：4入4的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

3.（多选题）已知椭圆£+£=1的离心率为:，4B为椭圆的左、右顶点，0E为椭圆的左、右焦点，P

a~b~~

是椭圆上异于4月的任意一点，过生作直线心的垂线，垂足为M,直线羯M交BP于点N,交椭圆于E"

两点,13A8W的面积最大值为12,则（）

A.a=4

B.若QSQ）,则|尸。|+|叫I的最大值为8+46

C.N在圆上运动

112

D-西+西=3

5.（2025•陕西西安•模拟预测）已知双曲线C:[-），2=l的左、右焦点为K，F2,直线）'=X+〃?与。交于A,

B两点，若△£回的面积是面积的2倍，则〃?=（）

A22D.~6或-g

A,3B.]或6C.-6

23

上_

6.（24-25高三上•云南）已知双曲线21=1（«>0,力>0）的左、右焦点分别为斗巴，过人作双曲线一

a1b-

条渐近线的垂线，垂足为〃，若&耳，鸟的面积为2a2,则双曲线的离心率为（）

A.J5B.币C.2D.72

7（2泌・辽宁・二模）已知椭圆的左、右俵点分别为小匕上顶点为A,直线和

与C交于另一点8,若△AOK与/。尸2（。为原点）的面积之比为4:3,则C的离心率为（）

A.1B.旦C.正D.正

3753

8.（24-25高三上・江苏扬州•期末）根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到另

一个焦点处.已知椭圆C：?+q=1，G，工分别是椭圆C的左、右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，根据

研究，我们知道直线直线P为与在尸点处的切线/所成的角相等.过片作直线或足为〃，则

c.V3D.2技

重难点题型3以焦点弦为情景命题

■・■•SM・••・・・••・•・•■・・（・•・•・•・・・・••・・■•・•・•・・・・・•・•■・■・■•■■■・■■■•・••・・・•・・•■•・•・••・・・・••・•・•■・・••・・・••・•■・•・・■•■・・••・・・••・•・•■・・••・•・•・•・•■•

1.（2024•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）椭圆：+£=1,过原点0斜率为。的直线与椭圆交

于C,D,若1。|=4,则椭圆的标准方程为（）

Aky~,

A.—r+—y=1।BD.—+—=1

7473

C.片+工=1D.，空=1

7677

2.（2025湖南永州•校联考二模）已知椭圆。：寸+二=1的左焦点为尸，过点尸作斜率为3的直线交椭圆C

434

于A.B两点，则/W的长度为（）

.-232527

A.3B.—C.—D.—

777

3.（2025・全国•模拟预测）已知椭圆C:=•+g=im>b>0）的右焦点为F,过点尸且斜率为1的直线/交C

a~b

于A,4两点，若|A3|=",则C的离心率为（）

A.也B.旦C.且D.国

3324

4.（2024・陕西铜川•一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的

7

长半轴长和短半轴长乘积的兀倍，这种方法已具有枳分计算的雏形.已知椭圆C的面枳为12右兀，离心率为

K，F?是椭圆c的两个焦点，A为椭圆。上的动点，则下列结论正确的是（）

①腌圆。的标准方程可以为《+1=1②若4A居=g则%延=20有

J6203•

③存在点A,使得5=]④谕]+的最小值为

A.①③B.②④C.②③D.①④

5.（2024・四川•模拟预测）已知双曲线。:[-），2=1的左、右焦点分别为0入，过片的直线与C的两条渐近

线分别交于A4两点.若△048为直角三角形，则％。.=（）

A.&B.述C.辿D.且

422

6.（2024•山东青岛•三模）已知。为坐标原点，双曲线C：5-/=1（〃>0/>0）的左，右焦点分别为巴，

入，过C的右焦点6且倾斜角为9的直线交C右支于48两点，A3中点为卬，怩W|=,131AB

J

的周长等于12,则（）

A.。=3B.双曲线C的渐近线方程为），=±五*

C.\AE\=9D.\OW\=4G

7.已知过抛物线C：y2=2〃x（〃>o）的焦点/的直线/交。于八，B两点，。为坐标原点，点P（小,2）为C

95

上一点，记△OAEAOB尸的面积分别为若|尸/"=2,则14用・（4+手）的最小值为（）

A.16B.20C.25D.28

重难点题型4以焦点三角形与其它知识综合为情景命题

■・■••・・・・•・•・•・•・（・•・•・••・•■••・•・•・•・・・・・・•・・•・•■・■•■•・・■■■•・•・■・・•・・•・•・•・・■•■・・••■・■■•・・■•■・・••・•・・•・・・•・•■・■•・•・••・・・・•・•・•・•・•■•

1.（2024•湖南郴州•安仁县第一中学校考模拟预测）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形

制原始，它脱胎于占代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，

说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴"的创始归于伏羲，也正由于他

是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”.常用于民

歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的

琴腔，其正视图即为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐滞研

究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对

称建3如图所示坐标系，”（-。，0）恰为左焦点，外，=123,4,567）均匀对称分布在上半个椭圆弧上叱在48

上的投影把线段A8八等分）,他为琴弦，记4=出用3=123,4,5,6,7）,数列｛%｝前〃项和为工，椭圆

2.12025•湖南长沙•雅礼中学校考一模）（多选题）如图，已知双曲线：/-£=1的左右焦点分别为耳，人,

4

以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点以连接8匕，BF”8片与双曲线左支交于点P,与渐近线分

A.\PM\=\BN\

B.S△片纥=2

C.过用的双曲线的弦的长度的最小值为8

4

D.点8到两条渐近线的距离的积为不

3.（多选题）如图，类似〃心形"的曲线E,可以看成由上部分曲线C：1*+2此下部分曲线g：

，+=构成，过曲线C的焦点/任―1）的直线/与曲线G交于M，N两点，P（x,y）是“心形”曲线

七上的动点，下列说法正确的是（）

B.的最大值为J石

C.直线），=*.+，〃与曲线E有4个交点，则，〃的取值范围为（。，人-1）

D.邠面积的最大值为。

4.（2024•云南大理•一模）（多选题）法国数学家加斯帕尔・蒙日被称为“画法几何创始人〃“微分几何之父〃.他

发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙

日圆.若椭圆广工+£■=1的蒙日圆为圆C,过C上的动点时作「的两条互相垂直的切线，分别与。交于

43

P，Q两点,直线PQ交「于48两点，则（）

A.椭圆「的蒙日圆方程为丁+），2=7

B.AMPQ面积的最大值为7

C.|A目的最小值为26

a

D.若动点。在「上，将直线的斜率分别记为4,内,则秘2=^

5.（2025•山西晋中•模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱〃.如图，A5分别

是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，A8=A4'=4,且底面椭圆的离心率为£，工分别为下底面椭

圆的左、右焦点，P为母线B8T••的动点，Q为线段A9上的动点，C。为过点K的下底面椭圆的一条动弦

（不与长轴重合），则三棱锥Q-PC。体积的最大值为.

重难专攻（二十）圆锥曲线之焦点三角形

'目录・重难点题型分布

重难点题型四、以焦点三角形与其它知识综合为情景命题

重难点题型1以焦点三角形的周长为情景命题

■・■•・•・•・■・■>•・B•・•・•■・■>•・•■•■(■■•■•・•・•■・■•・•・•■・■・■•・•・•・•・•・•・•・•・•・•■•・・・・・・(■■(■•・•・•・•・•■・■•■・■•・•■•■>・■•■•■(■■•■・■>•■•■・・•・■・■(・•・・■•・•・•・•・■・・•・・■・■・・•■•MB)

23

1.(2025•西藏南木林县第一中学高三月考)若椭圆r+=V=l(其中京>6>0)的离心率为二，两焦点

a~b~5

分别为A,£,也为椭圆上一点，且△内尼"的周氏为16,则椭圆。的方程为（）

.X-y-.B=i

A.—+—=1I4cD.二汇=1

16252516

【答案】D

【解析】椭圆二+与=1（其中a>6>（））的两焦点分别为白，&"为椭圆上一点，且△/；/■油的周长为

a2b2

r2v-3c3

16,可得2斤2L16,椭圆j+2T=1（其中a>»0）的窝心率为一，可得一二一，解得炉5,广3,则

a~b'5a5

22

14,所以椭圆C的方程为：—+^1=1.故选D.

2516

2

2.12024•辽宁大连•统考二模）设椭圆C:二+V=i的左焦点为尸，直线/：），=匕依。0）与椭圆。交于A8两

4-

点，则△AF8周长的取值范围是（）

A.（2,4）B.(6,4+275)C.(6,8)D.(8,12)

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性、椭圆的定义，求出弦A4长的范围即可.

【详解】令椭圆C：E+y2=i的右焦点为尸，长半轴长。=2,直线/：），="伏工。）过椭圆中心，因此

\BF\=\AFf\,

则周长|AF|+|B尸|+|AB|=|AF\+\AF,\+\AB\=2a+\AB\=4+\AB\,

所以AAFB周长的取值范围是（6,8）.

故选:C

3.（2024♦山东青岛•统考三模）已知O为坐标原点，双曲线C：*一齐=1（4>0力>0）的左，石焦点分别为

K，F],过C的右焦点尸2且倾斜角力?的直线交C右支于A,B两点，AB中点为W,内W卜后万,0

耳48的周长等于12,则（）

A.。=3B.双曲线。的渐近线方程为y=±VL;

C.\AB\=9D.\ow\=y/e

【答案】D

【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得a、8的值，进而代入计算判断各

个选项即可.

【详解】如图所示，

设直线A3方程为y=G（x-c）,

y=>/3(x-c)

联立=>{b'-3a?)x2+6a2ex-3a2c2-a2b2=0,

设A(X|,y),B(x2,y2),

6a~c3a*4-a'b1

则石+再=

3a2-b2

6_3/工0

则•八>°=>3a2>b-

司+x2>0

.32>°

所以|AB\=Jl+KxJ(x+E)2_4g=2,(3黑瓦『一4x=3黑六①，

由双曲线定义知,由KI7A玛6|一|5上|=2a,

所以的周长为

\AFl\+\AF2\+\BFl\+\BF2\=2\AF2\+2a+2\BF2\+2a=2（|AF21+1BF21）+4〃=2|AB|+4〃=12,

所以|A5|=6-2a②，

由①②得：a3-342+加+//=0③，

又因为W为A4的中点，

所以%=若^=J；；,卅二百（4一）二勺）,

23a-b3a-h

所以W（3;\，呼\）,

3a2-b23a2-b2

所以IKW|=J^l-c）2+（普'=罟］庐炉，解得…=b④，

V3a--b-3a~-b~3a~-b~

由③④可得：a=b=l,

所以双曲线方程为f-y2=1

所以双曲线渐近线方程为），=±x,故A项错误、B项错误；

对于C项，|A8|=6-2o=4,故C项错误；

对于D项，因为。=/?=1,所以c=&，

所以伍孚,日）,

所以|OW|=J（土）2+（空尸=灰，故D项正确.

故选：D.

4.（24-25高二上•陕西西安）已知点0乃分别为椭圆C：《+f=1的左、右焦点，过点E作工轴的垂线交

43

椭圆C于M,N两点，0「。2，。3分别为△MK6qNK鸟，△鸟MN的为切圆圆心，则AO02O3的周长是（）

A.且+1B.亚+1C.石+2D.y/5-2

2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中三角

形（四边形）的面积

【分析】由题意，根据椭圆及田MKB，SlNFR,El5A/N的位置大系，利用等面积法可分别求得它们的内切

圆圆心位置及其半径，分别计算卅30003的各边长度可得结果.

【详解】由题意可得片=4,〃=3，。2=],

所以6（-1,0）,|^|=2,

此时过片作垂直于x轴的直线为人=-1,

33

所以M（-l，e）,7V（-1,--）,

因为m（2N6鸟的内切圆的半径相等，且|MKI=|N£|,

团MRE，回8"鸟的内切圆圆心。1,。2的连线垂直于x轴，垂足为Q,

设缶加可用内切圆的半径为「，

在鸟中，可得:（也不+|用巴"|丹人|）.「=!|£用|.|例不，

易知|“耳|+|屿|=2〃=4,

又例（―1§）,所以|M”|二T，

113I

所以1（4+2）"=[X2X9,解得r=不，

乙乙乙L

在缶6MN中，因为匕居为NM"N的角平分线，

所以。3一定在x轴上,

令圆。3半径为A，

在BgMN中，可得;（|M5|+|N6=

易知巴|+|NE|+|MN|=|M"|+|/W；|+|N4|+|NBI=4«=8,

所以。x8xR=1x2x3,解得R==,

224

3I1

所以,16。曰。酒I-IQ片|=/?-r=---=-,

424

所以［。⑼|=也。『+怆卬2=J（；）2+CJ=¥，

则0O0,q的周长为2x@+，+L在+1.

4222

故选:A.

5.（24-25高三上•江苏南京•期中）己知椭圆匚=+与=1（。>4>0）的左、右焦点分别为巴、F”离心率

cTb

为多过上顶点8和右焦点用的直线与椭圆。的另一个交点为A,月sEAB的面积为3立，则△GAB的周

长为（）

A.4B.4X/2C.4右D.4限

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积

【分析】由题意可得出a=Gc，b=6c，将直线AB的方程与椭圆方程联立，求出点A的坐标：根据AEAB

的面积为3&，求出。的值，可得出〃的值，再利用椭圆的定义可得出△匕的周长.

【详解】如下图所示:

由已知£=迫^,则a=J5c，b-Ja2—c2-y/2c»

a3

所以，椭圆的方程为」+三=1，

3c22c2

易知点可0,低）、6亿0）,%=表=—&,

所以，直线B6的方程为y=-J5K+&c,

,即点A

所以，$"八8=g|AK|,&c+[c=gx2cx^^c=¥^c2=3&,解得°=近，

所以，a=y/3c=瓜＞

则AAM的周长为|A耳|+|A玛|+忸制+忸5|=卜=4＞历,

故选：D.

6.（2025・广东深圳•一模）已知双曲线C：f-y2=l,左、右焦点分别为巴、鼻,过鸟作倾斜角为60”的直线

与双曲线C交于M，N两点，则△MN£的周长为.

【答案】12

【难度】0.65

【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求

参数或范围

【分析】由£（一人,0）,5（a,0）,可得MN为），=3殳人=&）=百。一&）,代入双曲线方程中，利用弦

长公式求出|A8|,再由双曲线的定义即可求解周长.

【详解】因为£（一夜,0），F式啦,0）,

所以直线MN为），=tanW（k&）=G（x-0）,

设阳占,必），

x2-y2=\

2

由r厂，W2x-6V2.r+7=0，

则：C{+X,=3&,演毛=:，

所以IMN|=J（内+%）2_=2,18-14=4,

因为|M4=|叫|+2,|N£|=|NE|+2,

所以眼福+|N£|=|M周+|N段+4=|M7V|+4=8,

所以I"用i|N娟i|MV|=12

故答案为：12

7.（2025•安徽马鞍山•模拟预测）已知双曲线「：1（〃>0/>0）的一条渐近线与圆O：x2+y2=a

a2b2

交于AC两点，设圆。在AC两点处的切线与尤轴分别交于反。两点、若双曲线「的焦距为则四边形

ABC。周长的最大值为.

【答案】4

【难度】0.65

【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线

【分析】根据相切以及勾股定理，结合对称性可得周长的表达为+即可里利用向量数量积

的性质求解.

【详解】由题意可知渐近线方程为y=±2x,tan/4O3=2,OA=a,

故tanNAO8.=/故=4

aOA

又AC=2«BC=yjAC2+AB2=飙?+/,

由于焦距为Vi，故2C=G，则<?=/+"=]

4

由对称性可知四边形A8CO为平行四边形，故周长为

21+“〃2+〃2）=29+,4卜2_〃二）+22）=2（〃+J3—而）=2（〃+A/|—〃2）,

设加=（1,75）,”=但，1一〃],由两•万引用同可得〃+GJ]一〃2«2>/从+1-〃2=2,当且仅当彳="?'，即

时等号成立，

故2e+瓜/V）K4,

故最小信为4

8.（2025•广西南宇）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆

22

。:二十与=1（。>方>0）的焦距为46，焦点三角形的周长为46+12,则椭圆C的方程是.

a~b~

22

【答案】三+21=1

3616

22

【阐斤】设椭圆的半焦距为C，由题意得，｛*；胃《”2=>｛工有，所以人=4,故椭圆C的方程是三十二=1.

216S63616

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重难点题型2以焦点三角形的面积为情景命题

1.（2025海南海口•模拟预测）已知£、乃是椭圆£4+4=1的左右焦点，点。（%,九）为E上一动点，

JJ

且|x0|<l,若/为尸2的内心，则△阴居面积的取值范围是（）

A•怜用B.[©网U乎，书包D.[而一"3—6]

【答案】C

【分析】由等面积法求出内切网的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积.

【详解】由椭圆的方程可得a=VL〃=&,c=l,

设内切圆的半径为，则S.pg=1x2c.|j0|=l（2a+2c）-r,

可得”粥=与册

而[+.=],所以闾=拒.「1,

所以「=痔也

所以立42c•『《2*导*信=号•小,

因为闻41,

^瓜-尤~\Hnc\3-也R-E

所以S3出€---X三,---,HPS^.f2.E---.

故选：C.

2.（2024・四川宜宾•统考三模）已知双曲线1-[印的左右焦点分别为片,外，以它的一个焦点为圆心，半

径为〃的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A8两点，则四边形耳人入笈的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据渐近线方程及焦点到渐近线的距离等于。，结合双曲线中a、1）、c的关系可求得。的值，

进而求得切点A的坐标，即可求四边形6A居8的面积.

【详解】因为双曲线=1的左右焦点分别为£（-G0）,E（。,0）

a3

双曲线的渐近线方程为），=±且犬，即其中一条渐近线方程为岛-卬，=0

a

以它的一个焦点为圆心，半径为〃的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点

根据焦点到渐近线的距离及双曲线中。、氏c的关系

所以解得a=V3,c=瓜,

进而可求得切点A当与

Z

则四边形GAgB的面积为S6g8=2SF（"?=2xgx2后x等=6

故选D

【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属

于中档题.

3.（（多选题）已知椭圆£+£=1的离心率为:，A8为椭圆的左、右顶点，耳，鸟为椭圆的左、右焦点,

a~b~-

P是椭圆上异于A,B的任意一点，过F2作直线AP的垂线，垂足为M,直线F2M交BP于点N,交椭圆于E,F

两点，13人8W的面积最大值为12,则（）

A.«=4

B.若。3,力）,则|图+|叫|的最大值为8+46

C.N在圆上运动

1I_2

D.网.网=3

【答案】ABD

【分析1判断出点M的轨迹即可求出的面积最大值，进而求出根据椭圆的定义即可求出

a

|P0+|"|的最大值；设出直线4Plp3"的方程，且点P在椭圆上，即可求出他=-；,最后联立直线

BRF2M的方程即可求得点N的轨迹方程；设出直线EF的方程，并与椭圆联立利用韦达定理即可求解

11

-------P------

阿阿，

n+r

【详解】对于选项A,因为所以点M在以A名为直径的|员|匕所以人B边上高为半径笠•时，

回ABM的面积最大值，即S如，=、2小电0=处5=12,

^nnAT222

又因为e=£二，即c=:*所以向解得〃=4,故A正确；

（122~-12

2

由选项B,由选项A可知，。=4<=2,则8=后二7=2后，所以。（4,2行）,

|闻+|*=|尸9+2—|P国42+|明=8+“4+2）2+（26-0『=8+43当1在直线。耳上时,等号成

立.故B正确;

由选项C,因为4-4,0）,8（4,0）,尸式2,0）,所以设直线AP:y=.（x+4）化工0）,

直线M：y=&（x-4）化*0）,直线人"㈠=一：*一2）,

因为椭圆方程为（+*1，所以尸（孙为）满足蚤+*1，所以y：=12（：；/）,所以

桃,=》——纥=孚一=_3,

七+4*-4XQ-164

联立直线以的方程得-卜-2）=&（1）,解得x=4

所以N在直线x=Y上运动，故C错误；

设直线EF的方程为y=©x-2）（后0）,设七（出,北），尸（和力），

-2)

直线和椭圆联立X2/，消去y整理得(3+442_]6入+165-48=0,

-----F-=1

1612

△=(-16&2)-4(3+4公)(16公-48)=576(公+1)>0,

16k216k2-48

所以4+=

3+4二'L3+4.

因为点E在椭圆上，所以片=〃（£;，）,

所以怛五|=+）彳=〃_"E=44，同理可知|/乙|=〃_6丐=4_g%，

111132—2(.”+xf-)

所以匣「西丁

64-8(xt.+)+xt.-X,..

22-2原2

32-2(x£+xF)96+96/_2

2

64-8(x£+X/,.)+Jrt.-xh.16A:16卜一48144+144炉3

3+4公3+4公

故选项D正确;

故选：ABD.

【点睛】本题考查考生运算求解能力、推理论证能力、函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化

的思想.

5.（2025•陕西西安•模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为《，F?,直线y=x+〃?与C交于4,

B两点,若AEAB的面积是AF/B面积的2倍，则，〃=（）

222

A.—B.一或6C.-6D.-6或—

333

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围

【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与x轴交点后求参数即可.

易得a=G1="=2,故忸闾=4,设A（x，y）,B（x2,y2）,

直线y=x+〃?与x轴交点,△匕A8面积为5，△尸面积为$2，

由题意得面积是AKAB面积的2倍，则;x|EMx|x-），2|=；x|KM|x|y-%|x2,

化简得|用/|=2|月M，结合|耳闾=4,

故阳河|=4+|呼叫,解得怩陷=4,即M（6,0）,故一加=6,解得〃?=-6.

故选：C.

6.（24-25高三上•云南）已知双曲线=©＞。，〃＞。）的左、右焦点分别为斗尸2,过年作双曲线一

条渐近线的垂线，垂足为〃，若乙写“8的面积为2/,则双曲线的离心率为（）

A.旧B.73C.2D.72

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范隹、求点到直

线的距离

【分析】由题设条件推导出|“用"，|0印=。，可得/=2S.=cE结介。2“2+/，计算

求出离心率e.

【详解】由题设知双曲线C：5-《=1的一条渐近线方程为/：y=-x,

a~b'a

团右焦点6（c,0）,且尼"JL/,

\la~+b~c

222

^\OH\=4c-b=a,由S&HOF,=%.为=；ab,解得2a=S：=2S小。6=而，

22

又d=a+b,

正b=2a,即4/=b~,

.-.4a2=c2-a2,即5/=/,

所以二=5,故得c=石,

a~

故选：A.

03

7.（2025.辽宁.二模）已知椭圆C:十方=1（〃＞/»0）的左、右焦点分别为K，6，上顶点为A,直线人名

与C交于另一点8,若△A0£与J?。"（。为原点）的面积之比为4:3,则C的离心率为（）

A.1B.且C.正D.在

3753

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、向量的线性运算的几何应用、椭圆中三角形（四边形）

的面积

|力甩4一3

【分析】根据题意易得鬲=不，可得五==进而设3（乂），），列方程求解即可.

I明|3~4

【详解】由题意，"些=:，|。用=|。段，所以用二：则罂咚

___3___

所以68=居，由40力），鸟9,0）,设5（羽刃,

则68=(x-c,y),AF2=(C,-Z?),

3

x-c=­c(、

则：，解得x=K，y=~b,即8,

3.44144J

y=­b

/4

因为点8在椭圆C上，所以竺鸟+岑=1,化简得《=

16a~16b-a7

所以e=£=且.

a7

8.（24-25高三上・江苏扬州•期末）根据物理知识椭圆