第五章 图形的轴对称 单元练习-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学7年级下第五章图形的轴对称

一,选择题（共10小题）

1.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

2.己知等腰三角形的一个底角的度数为70°,则另外两个内角的度数分别是（）

,40°D.以上都不对/\

A.55°，55°B.70°,40°C.55°,55°或70°

3.如图△/WC和△AOC关于直线AC成轴对称，/B=3（）°,Z2%。=46°,则

A.120°B.116°C.106°D.96°1

4.如图，在△ABC中，AB=AC.ADLBC,BD=4,则8C=（

A.8B.6C.4

5.下列说法中，不正确的是（）

中Mc

A.等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴

B.两个三角形全等，则这两个三角形一定关于某条直线对称

C.轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分

D.线段和角都是轴对称图形

6.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、8为圆心大于的长为半径画弧，相交于两

4

点M,M②作直线MN交AC于点。，连接8D.若乙4=25°,则NCO8=（）及、

C.60°D.90°/\'、、、

A.25°B.50°

B//DC

7.如图，在△ABC中，ZB=42°,ZC=28°，点D为BC边上一点,将△A。。1/

沿直线折叠后，点C落在点E处,若DE〃AB、则()E

•N

A.Ill0B.110°C.97°D.121°〃

8.如图，河道/的同侧有M,N两个村庄,计划铺设管道将河水引至M,N两村，

下近四个方案中，管道总长度最短的是（）

\.NN[-「「

/_A_____

77JMM,-t-

Q\1

A.QB./C.D.Q_\_

9.如图，在5X5的正方形网格中，点A、8均在格点上.要在格点上确定一点C,_____

B

L

连结AC和4C,使3c是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（）一一

A.5个B.6个C.7个D.8个

A

10.如图，在△ABC中，NC=90°,点。是NC4B、NA8C平分线的交点，

且8c=8cm,AC=6cm,AB=Wan,则点。到边A8的距离为()

A.\cmB.2cmC.3cmD.4cm

填空题(共6小题)

11.如图，是等边△ABC的边AC上的高，以点。为圆心，长

为半径作弧交BC的延长于点E则NOEC=.

I2.下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形

:⑥平行四边形.其中一定是轴对称图形的有个.

13.如图，△A8C为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点。，

使4O=AP,若NAP8=l04。，则N4OP.

I4.如图，已知点。为△人8c的两条角平分线的交点，过点。作

垂足为。，且00=4.若△A8C的面积是34,则△ABC的周长为_________.

15.如图，在△ANC中，43=AC,点。、E在BC的延长线上，G是AC上

一点，且CG=CD,/是GO上一点，KDF=DE.若NA=lOD°,则NE=度.

(I)在图中画出与△ABC关于直线/成轴对称的△人"C；

(2)在/上找一点。，使得QB+QC最小.

18.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是8C边上的中线，B£LAC于点E.

求证：/CBE=/BAD.

19.如图，点。、E分别是等边三角形ABC边8C、AC上的点.

且BO=CE,BE与AD交于点F.求证：AD=BE.

20.如图，在△48C中，ADYBC,垂足为。,AC的垂直平分线交8c于点E,交AC于点凡AE=AB.

(I)若NC=40°,求/84E的度数：(2)若CD=5,CF=4,求△A8C的周长.

21.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=12.使用尺规进如下作图：在4c和A8上分别截取AM,AN,

使AM=AN,分别以M、N为圆心，以大于3MN的长半径作弧，两弧在NCA3内交于点尸，作射线A尸

交边4c交于点O.(1)根据作图可知AO是△A/3C的一条线;

(2)过点。作于点E.若CQ=4,S“m=3(),求BE的长.

22.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线八交于点。，AC边的垂直平分线，2交8c于点人与

/2相交于点0,连接。4,OB,0C.(1)若AAOE的周长为8c〃?，△OBC的周长为20cm.

①求线段BC的长：②求线段OA的长.

(2)若/ZMC=120°,求NDAE的度数.

0

23.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,。是边A8上的动点,连接CD,点B关于直线CD的

对称点为E，射线与射线C。交于点F,设/8CQ=a.

(1)①当a=20°时，连接CE.则NAFC的大小是__________,•

②当aV45°时，求NAR7的大小.

(2)在(1)中②的条件下，若AO=4C,求证：AF=CF

A

CB

北师大版数学7年级下第五章图形的轴对称

参考答案与试题解析

一,选择题（共10小题）

寇号123456789K）

答案CBCABBABDB

一.选择题（共10小题）

1.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

【分析】根据如果一个图形沿一条吏线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：五角星的对称轴共有5条，

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

2.已知等腰三角形的一个底角的度数为70",则另外两个内角的度数分别是（）

A.55°,55°B.70°,40°

C.55°,55°或70°,40°D.以上都不对

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.

【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为70°,

所以另外两个内角的度数分别是70°,40。，

故选：B.

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答.

3.如图，已知△ABC和△AOC关于直线AC成轴对称，N8=30°,ZBAD=46°,则N8C。的度数为

A.120°B.116°C.106°D.96°

【分析】连接BZZ求出NCDB+NCBD可得结论.

【解答】解：如图，连接BD.

'：/\ABC和△AOC关于直线AC成轴对称，

AZABC=ZADC=30°,

•・・/84。=46°,

・・・NABQ+NAO5=134°,

・・・NCO8+NC4Q=134°-300-30"=74°,

/.ZBCD=18O0-74°=106°,

故选：C.

【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

4.如图，在△ABC中，AB=AC.ADLBC,BD=4,则BC长是（）

【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答.

【解答】解：・・・A8=AC,ADLBC,

・・・8C=28O=8,

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

5.下列说法中，不正确的是()

A.等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴

B.两个三角形全等，则这两个三角形一定关于某条直线对称

C.轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分

D.线段和角都是轴对称图形

【分析】利用轴对称图形的性质及轴对称图形的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：八、等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴，故不符合题意；

仄两个三角形全等，则这两个三角形不一定关于某条直线对称，故符合题意；

C、轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分，故天符合题意；

。、线段和角都是轴对称图形，故不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考杳了轴对称的性质及轴对称图形的定义，关于某直线对称的两个图形是全等形，一定能

够重合，但是，两个全等形不一定关于某直线对称.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分

能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.轴对称图形妁对称轴至少有一条.

6.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于夕8的长为半径画弧，相交于两点

M,N；②作直线MN交AC于点。，连接80.若NA=25°,则NCO8=()

【分析】根据基本尺规作图得到直线MN是线段A8的垂直工分线，根据线段的垂直平分线的性质得到

D4=Q8,根据三角形的外角的性质解答即可.

【解答】解：由作图的步骤可知，直线MN是线段A8的垂直平分线，

:,DA=DB,

，N。8A=NA=25°，

AZCDB=ZDBA+ZA=50°,

故选：B.

【点评】本题考查的是基本尺规作图和线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的

两个端点的距离相等是解题的关键.

7.如图，在△ABC中，ZB=42°,NC=28°,点。为边上一点，将△AOC沿直线人。折叠后，点

C落在点E处，若则NAQE的度数为（）

A.111°B.110°C.97°D.121°

【分析】先利用三角形内角和定理可得NB4c=110。，再利用折叠的性质可得：NE=NC=28°,然

后利用平行线的性质可得N8AE=ZE=28°,从而可得NCAE=82°,再利用折叠的性质可得：ZCAD=

|ZCAE=41°,最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答.

【解答】解：・・・/8=42°,ZC=28°,

AZBAC=1800-ZB-ZC=110°,

由折叠得：ZE=ZC=28°,

•:AB"DE,

.\ZBAE=ZE=28O,

：.ZCAE=ZBAC-ZBAE=^2°,

1

由折置得：ZCAD=^ZCAE=4\Q,

Z.Z4DC=180°-ZC-ZCAD=111°,

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析

是解题的关键.

8.如图，河道/的同侧有M,N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M,N两村，下面四个方案中，管道

总长度最短的是（)

•N

M.

【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论.

【解答】解：根据题中所给的信息分析可得：

作点M关于直线/的对称点M',连接M'N交直线/于点Q,则MQ+NQ=QN+QW'=NM'，此时

管道长度最短.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之旬线段最短是解题的关键.

9.如图，在5X5的正方形网格中，点4、B均在格点上.要在格点上确定一点C,连结AC和BC,使4

【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案.

【解答】解：如图:

网格中满足条件的点。的个数为8个，

故选：D.

【点评】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解决此题关键.

10.如图，在△4BC中，ZC=90°，点O是NCA8、NA8C平分线的交点，且BC=8c7〃，AC=6cm,AB

=10o小则点O到边A8的距离为（）

【分析】过O点作于。，OF_LAC于E,OFLBC于F,连接OC,如图，先根据角平分线的

1ill

性质得到0。=0月=0尸，再根据三角形面积公式得至lJ-・/W・O/）+/C・OE+gBC・OQ"C・BC,即

2LLL

1111

-XIOXOO十拼X6XO。十拼X8XO/?=掾X6X8,然后解方程求出即可.

【解答】解：过。点作OO_LA/3于。，OE_LAC于E,。/_18c于R连接OC,如图，

•・•点。是NC/W、N/WC平分线的交点，

：・OD=OE,OD=OF,

：.OD=OE=OF,

:S^AOB+SMOC+S^HOC=SMBC,

：.-*AB*OD+^AC*OE+JBC・OF=1AC・8C,

2222

即一x10X00+1x6X00+1x8X00=1x6X8,

2ZZZ

解得。。=2,

即点。到边AB的距离为2c〃?.

故选:B.

A

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形的面

积公式.

二.填空题(共6小题)

II.如图，是等边△ABC的边AC上的高，以点。为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则

NDEC=30°.

【分析】根据等边三角形的性质可得NABC=6()°,根据等边三角形三线合一可得NC8Q=30°,再根

据作图可知进一步可得/。石。的度数.

【解答】解：在等边△ABC中，NABC=60°,

•••8。是AC边上的高，

・・・8。平分NA8C,

：・/CBD昊乙ABC=30°,

・：BD=ED,

:・NDEC=/CBD=3Q°,

故答案为：30。.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

12.下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形.其中一定

是轴对称图形的有4个.

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【解答】解：①角；③等边三角形：④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形，

故答案为:4.

【点评】本题考查的是轴对称II形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全

重合.

13.如图，ZUBC为等边三角形，尸为边8c上一点，在AC上取一点。，使AO=AP,若乙403=104°,

则/ADP的度数是68°

【分析】由等边三角形的性质可得N6=NSAC=6()°，从而可求NA八产=16°,则可求得2月m=44°,

再由等腰三角形的性质可求NAOP的度数.

【解答】解：•••△ABC是等边三角形，

・・・N8=N34C=60°,

•・・/APB=104°,

/.ZBAP=1800-ZB-ZAPB=\6°,

.•・N7MD=N4AC'-NZMk=44",

*：AD=AP,

：.ZAPD=ZADP,

1

AZADP=1(180°-ZPAD)=68°.

故答案为：68°.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是由得N%。的度数.

14.如图，已知点。为△ABC的两条角平分线的交点，过点。作OO_L8C,垂足为。，且0。=4.%X

A8C的面积是34,则△A8C的周长为17.

【分析】根据角平分线的性质得到点0到△A8C各边的距离为4,利用三角形面积公式得到;XABX

4+|xACX4+|xBCX4=34.然后计算出AB+AC+BC即可.

【解答】解：•・•点。为△ABC的两条角平分线的交点，

・•.点O到△A4C各边的距离相等，

而ODLBC,00=4,

••・点0到△ABC各边的距离为4,

*.*SaABC=SMOB+S^BOC'+SMOC^

111

A-XABX4+4XACX4+4x£?CX4=34,

222

，A8+AC+BC=17,

即△ABC的周长为17,

故答案为：17.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

15.如图，在△ABC中，AB=4C,点/）、E在8C的延长线上，G是AC上一点，且CG=C。，F是GD

上一点，且。尸=。£若乙4=100°,则NE的大小为10度.

【分析】由。尸=。£,CG=CD,得出NE=NQF£,ZCDG=ZCGD,再由三角形的外角的意义得出

ZGDC=ZE+ZDFE=2ZE,ZACB=ZCDG+ZCGD=2ZCDG,从而得出NACB=4NE,进一步求

得答案即可.

【解答】解：•:DF=DE,CG=CD,

：.ZE=ZDFE,/CDG=NCGD,

•；GDC=NE+NDFE,NACB=NCDG+NCGD,

:.GDC=2/E,ZACB=2^CDG,

•••NACB=4NE,

:△ABC中，AB=AC,NA=100°,

AZACB=40n,

/.ZZ?=400+4=10°.

故答案为：10.

【点评】此题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的意义，解题的关键是反复用等腰三角形的性质确

定各角之间的关系.

16.如图，已知乙408=50°,点P为/AO8内部一点，点M为射线04、点N为射线。8上的两个动

点，当△PMN的周长最小时，则80°.

A

5^/p

0NB

【分析】作尸点关于04的对称点E,连接EP,E0,EM,得ME=MP,NMP0=N0EM；作尸点关

于08的对称点F,连接NRPF,0F,得PN=FN,N0PN=/0FN；根据PM+PN+MN=EM+NF+MN

E,M,N,尸共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出NMPN的角度.

【解答】解：作夕点关于。4的对称点£，连接EP，E0,EM；

:.EM=MP,NMPO=NOEM,NEOM=NMOP,

作P点关于0B的对称点片连接NF,PF,OF,

:・PN=FN,40PN=/0FN,4P0N=4N0F,

:・PM+PN+MN=EM+NF+MN》EF,

当E,M,N,尸共线时，Z\PMN周长最短，

又,?ZEOF=ZEOM+ZMOP^-ZPON+ZNOF,

NAOB=NMOP+NPON,

：.ZEOF=2ZAOR,

XVZAOB=50°,

，NEO尸=100°,

・••在尸中，ZOEM+ZOFN+ZEOF=180°,

：,ZOEM+ZOFN=\SO°-100°=80°,

•・•ZMPO=ZOEM,ZOPN=ZOFNr

・•・ZMPO+ZOPN=80°,

•:NMPN=NMPO+OPN=80’,

故答案为：80°.

【点评】本题考查轴对称-最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称

性质，对角等量代换.

三.解答题（共7小题）

17.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点小B、。在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与△ABC关于直线/成轴对称的△A"C；

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可.

（2）连接用C,交直线/于点Q,则点Q即为所求.

【解答】解：（1）如图，△48'。即为所求.

（2）如图，连接BC,交直线/于点Q,连接BQ,

此时Q8+QC最小，

则点。即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关

健.

18.如图，在△A8C中，AI3=AC,4。是8C边上的中线，BELAC于点E.求证：NCBE=NBAD.

【分析】根据三角形三线合一E勺性质可得NC4O=NB4D,根据同角的余角相等可得：NCBE=NCAD,

再根据等量关系得到NCBE=N8AD.

【解答】证明：・・・4B=AC,4）是BC边上的中线，

AAD1BC,ZBAD=ZCAD,

*：BEYAC,

：.ZBEC=ZADC=W,

:.NCBE=9C-NC,NC4D=90°-NC,

：.ZCBE=ZCAD,

：・/CBE=/BAD.

【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的

而相互重合.

19.如图，点。、上分别是等边三角形A8C边3C、4c上的点，且BD=CE,BE与AD交于点、F.求证:

AD=I3E.

A

【分析】根据等边三角形的性质得乙钻。=/。=60°,AB=BC,由此可依据“S4S”判定△A3。和4

BCE全等,然后根据全等三角形的性质即可得出结论.

【解答】证明：:△A3c为等边三角形，

AZA13D=ZC=6()a,AB=BC,

在△人BO和△8CE中，

(AB=BC

乙48D=乙C,

\BD=CE

:•△ABD/ABCE(SAS),

:・AD=BE.

【点评】此题主要考杳了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练

掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.

20.如图，在△AAC中，ADA.BC,垂足为44C的垂直平分线交AC于点£交人。于点凡AE=AB.

(1)若NC=40°,求/BAE的度数；

(2)若CO=5,CF=4,求A48c的周长.

【分析】(1)先利用线段垂直平分线的性质可得EA=EC,从而可得NC=NCAE=40°,然后利用三

角形的外角性质可得NA£8=B00,从而利用等腰三角形的性质可得NA£8=N8=80°,最后利用三

角形内角和定理进行计算，即可解答：

(2)先利用线段垂直平分线的性质可得AC=2C/=8,然后利用等腰三角形的三线合一性质可得。石=

A。，再利用等量代换可得CE=4〃，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解

答.

【解答】解：（1）・・・Eb是AC的垂直平分线，

.\EA=EC,

••・NC=NC4E=40°,

•；NAEB走XaCE的一个外隹，

・・・NAEB=NC+/G4E=80°,

•：AE=AB,

・・・NA£B=NB=80°,

.,.ZBAE=1800-ZAEB-ZB=20°,

・・・NBAE的度数为20°；

（2）TEF是AC的垂直平分线，

・"C=2C尸=8,

f：AE=AB,ADIBE,

：・DE=BD,

*：AE=CE,

:.CE=AB,

VCD=5,

：.CE+DE=5,

；・AB+BD=5,

・•・XABC的周长=AC+48+8C

=S+AB+BD+DE+CE

=8+5+5

=18,

即△/WC的周长为18.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知

条件并结合图形进行分析是解题的关键.

21.如图，在△ABC中，NC=90°,AC=12.使用尺规进如下作图：在AC和4B上分别截取AM,AN,

1

使AM=AN,分别以M、N为圆心，以大于&MN的长半径作弧，两弧在/C48内交于点F,作射线AF

交边BC交于点D.

(1)根据作图可知A。是△ABC的一条角平分线；

(2)过点。作OEJ_AB于点E.若CD=4,S"5O=30,求B£的长.

【分析】(1)根据角平分线的作法可得；

(2)根据角平分线的得出OE的长，根据三角形的面积公式求出A8的长，再根据"L证明Rt^ACQ也

RtAAED得出AE的长即可得出结果.

【解答】解：根据作图可知AD是的一条角平分线，

故答案为：角平分；

(2):人。是△A8C的角平分线，CQ_LAC,DELAB,

：.DE=CD=4,

S/\ABD=30t

11

：-AB•DE=-ABx4=30,

22

••・AB=15,

在RtAACD与RtAAED中，

(CD=DE

MD=AD"

ARtAACD^RtAAfD(HL),

.\AE=AC=12,

・・・8E=A4-AE=15-12=3.

【点评】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证

明RlZ\ACOgRlZ\AEO是解题的关键.

22.如图，在△A8C中，A8边的垂直平分线八交/3C于点Q,AC边的垂直平分线/2交BC于点E,人与

/2相交于点O,连接。4,OB,OC.

(1)若△AOE的周长为8a〃，△OBC的周长为20cM.

①求线段4c的长；

②求线段OA的长.

(2)若NBAC=120°,求NDAE的度数.

【分析】(I)①根据线段垂直平分线的性质得到。4=。力EA=EC,根据三角形的周长公式计算即可；

②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算.

【解答】解：(1)①•・•A是48边的垂直平分线，

:・DA=DB,

•・・/2是4c边的垂直平分线，

：.EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=