2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷02【浙江专用范围：人教A版必修第一册~选修第三册第八章】（全解全析）

高二数学下学期期中模拟卷02（浙江专用）

全解全析

（考试时间：120分钟分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.阿I答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第一•册〜选修第三册第八章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/=卜|歹=怆（'一2）},8=卜|k一1|<4,不£2},则4八3的非空子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】因为集合A=[x\y=lg（x-2）}={x|x-2>0}={x|x>2）,

集合8={x|上一1|<4,x£Z}={x|-3Vx<5,x£Z}=1-2,-1,0,1,2,3,4），

则.4。3={3,4},有2个元素，

所以4c8的非空子集个数为22-1=3.

故选:C.

2.已知Z]=l+2i,=〃?+[加-l）i,i为虚数单位，且两复数的乘积2浴2的实部和虚部为相等的正

数，则实数〃，的值为（）

【答案】D

1/20

【详解】因为Z|Z2=(l+2i)[〃7+(^—l)i]

=[m-2(m-1)]+[2m+(m-l)]i

=(2-m)+(3m-l)i,

所以2—加=3)—I,即〃7T

3

经检验，:能使2-加=3/-1〉0,

4

所以用=3满足题意.

4

故选：D.

3.己知双曲线C：歹2+m/=i的渐近线方程为y=±&,则〃?的值为（）

1

A.-3B.----C.-V3D』

33

【答案】A

2上1

【详解】双曲线方程标准化，由了2+〃优2=1,"1~(加<0).

m

1二万

y=,所以，•=,即I~V，解得m=-3

4.已知函数/(x)=tancox+1（口〉0）的最小正周期为］,则/（x）图象的对称中心可以为

()、、、

(5冗八

A.--,0C.D.

(24B.（寮

777

【答案】D

2兀1

【详解】因函数f（x）=tancox--+--1（G>0）的最小正周期为四，则工=工=>69=2

3)2CD2

2%、

即得/(x)=tan2x+1»

2/20

,_27rkju/._k冗7T/._\

ili2x--=-^—(%cZ),可得：X=——F](%£Z),

(2兀、(k冗兀、\

即函数/(x)=tancox----+1(G>0)的对称中心为—+—,1kGZ(*),

k37143，

7(74、

、'it=1时，x=-I—=—,得对称中心为|--』，故D正确；

4312{12)

经检验其它选项均不符合(*)式.

故选：D

Ss

5.设等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，若谭=6,则芍>=（）

»3

A.6B.16C.26D.36

【答案】C

【详解】解法1：设等比数列m“｝的公比为心

6a,八/

若q=l,则S“=〃4,此时U=L=2W6,与已知矛盾，故qwl.

533%

.(1-，)

(j3)(1+小

=]+/=6,得/=5,

S3q(JQ1一/

i-q

%(T)

于是鼠=i—q=(~')(1+力

=1+夕6=1+⑺2=26.

/US61-夕6

i-q

解法2:因为｛凡｝为等比数列，所以53,56—邑，59—56，¥2-59仍为等比数列.

令§3=x（xwO）,由已知率=6,可得$6=6%.

根据等比数列的等比中项性质，有（S6—S3）2=（S9-S6>S3.解得S9=31X.

2

由(Sy-SJ2=(Sb-邑)(，，一Sy),得625x=5x•(£2-3lx),

3/20

因工wO,两边同时除以5x,得S12=156X.

儿156x

所以常■==26

6x

6.某智能机器人需执行包含5个不同指令4,B,C,D,七的程序，若每个指令只执行一次，指令

力，3必须连续执行（顺序可以互换），指令。不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的

种数为（）

A.18B.36C.48D.144

【答案】B

【详解】把48捆绑，相当于共有4个指令，48内部排列有种排法,

。不排在最后一个位置，先排C有C；种排法，再排另外3个指令,

由分步乘法计数原理可得总的排列数为C；A：A；=36.

故选：B.

7.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及

临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件力是“AI模型筛选出候

选分子AT,事件8是“Ai模型筛选出候选分子V一已知P（4）=0.3,P（8）=04,尸（8|彳）=0.2,

则P(川8)=()

33

D.

40

【答案】A

【详解】因为2（4）=0.3,所以尸（1）=1一0.3=0.7.

所以尸（1〃）=尸（））P（8|））=0.7x0.2=0.14.

由P（3）=尸（力8）+P（】3）,得尸（43）=2（4）一尸（彳8）=0.4—0.14=0.26.

桢〃0.262613

所以P(/3)=」7J=--

'，P(B)0.44020

4/20

AFy9/T（\

8.己知平面内的一个动点p到直线•的距离与到定点尸（、回，0）的距离之比为点41,-

33<2

设动点尸的轨迹为曲线C,过原点。且斜率为A（A<0）的直线/与曲线。交于M、N两点，则△〃/二面

积的最大值为（）

A.V2B.272C.当

D.1

【答案】A

【详解】设动点尸（x,y）至心的距离为4由题意得曝

化简整理得曲线c的方程为一+y2=1，

4.

若直线/存在斜率，设其方程为》=履，设直线/与曲线c的交点M（XQJ,N（X2,必）,

24

将U=丘代入曲线土+y2=1中得(1+4公卜2-4二0,

/.±+x2=0,X)%2=

4-1+4左2

所以IMN\=J(1+〃2)(L2)2=[(…J2

一4.%々

Ll|]I2A：—11

又点力到直线，的距离,2故△M4N的面积S=：；|MV14=-==

4=~2J1+4左2

J7l+-公；

(24一1)24k

所以S?

1+4左21+4左2

(1)当4=0时，S?=1,则S=1；

(2)当Z>0时，S?<1,则S<1；

5/20

44

2

S=l+7_r-------<1+—?==2（当且仅当一，二一4左，即攵二一，取等

（3）当攵＜0时,/+(_的2”

k2

号），则S4加；

若宜线/不存在斜率，MN=2.于是AWNN的面积S=1x2xl=l,

2

综上得：△肪1N的面积的最大值为J5.

故选:A.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关

知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于较难题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.数据22,18,19,23,24,30,25,24,26,23的第35百分位数为22

B.数据（怎.，乂）1=1,2,3,…，10）组成一个样本，其回归直线方程为，=工一3,其中5=8.2,去

除一个异常点（1,7）后，得到新的回归直线必过点（9,5）

C.若随机变量则函数/（x）=p（x（SWx+2）为偶函数

D.在2x2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则彳2变为原来的3倍

2

2_Mad-be')

(*(4+b)(c+d)(〃+c)(b+d)其中〃=a+b+c+d)

【答案】BCD

［详解】对于A,数据按照从小到大的顺序排列为18,19,22,23,23,24,24,25,26,30,

因为10x35%=3.5,所以数据第35百分位数是从小到大的第4个数23,故A错误；

对于B,数据（苍，乂.）（1=1,2,3,…，10）组成一个样本，其回归直线方程为f二x-3,其中三=8.2,则

歹=8.2-3=5.2,

6/20

去除一个异常点后，其中玉=则得到新的回归直线必

(1,7)x；---1=9,yx=*---Z=5,

过点(9,5),故B正确；

对干C,因为随机变量，〜汽(1,。2),所以对称轴为〃=1,则函数

f(x)=P(x<C<x+2)=P(-x<C42—工)=/(一%)为偶函数，故c止确：

2

2n(ad-he)

对于D，在2x2列联表中，Z~=7~~k7——八，

(•+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若每一个数据均变为原来的3倍，则

-、J，:(~—3~)**、;-------二3%2,则72变为原来的3倍

3(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

故D正确.

故选:BCD.

10.已知/(工)=(2工-1)7=旬+。3“3+。4,+。5,+。6,+%，，则下列描述正确的是()

A.。()+Q1+生+。3+%+。5+。6+%=1

B.。3〉。4

C.I4I+I」I+I4I+I。3I+I。4I+I%I+I。6I+I%1=37+1

D.q+2生+3%+4%+5%+6%+7%=14

【答案】ABD

【详解】对于A,将工=1代入/(工)，/+4+4+%+%+%+&+%=/。)=1，故AJE确；

对于B,%=23禺(-1)'=280,%=240(-1)3=-560,%>4,故B正确；

对于C,将x=—l代入/'(X),/(-|)=-37,

I/I+I/I+I。2I+I。3I+I。4I+I。5I+I。6I+I。71=_/(T)=3?，故C不正确;

对于D,对/(X)求导，

64々］、+6

/"(x)=14(2x—1)=q+2jx+3%/+4%x，+5%x+667a7x>

7/20

将工=1代入/'(x)得到/'⑴=4+2%+3%+44+5%+6。6+7%=14,故D正确.

故选：ABD.

H.对于任意△/8C,AE=2EC，BD=-DC,两直线4。，8月相交于点。，延长CO交于点

4

____Q___

A.CO=—CA+—CB

1717

B.xOA+yOB+zOC=()^x:y:z=3:S:7

C.当N8<C=f,4B=1，4C=2时，则cosZPOE='S"，

3494

S^DEF_48

.\L7-231

【答案】ACD

【详解】△Z8C中，令B赤=5,75=4茄，瓦5=4而,4〃ER，下=2反，

—3—

BD=-DC,

4

(4\42

CO=CA+AO=a+AAD=a+A(CD-CA)=ci+Al—b—d=(1-A)d+-，

\f77

CO=CB+BO=^+pBE=^+n(CE-CB)=^+//—5-ft=§之+(1—〃)才，

13)3

8/20

「14

1-4=幺/t=—

317

因为Z与B不共线，则・,解得，

9

—A,=\—u〃二一

17尸17

所以函=一与，A正确;

1717

—►—>—>38-148-

对干B,0A=0C+CA=-—a一一b+a=—a一一b,

17171717

OB=OC+CB=--a--h^h=-^a^-h,

17171717

14x-3y-3z_一8x+9y—8z1-

则工04+yOB+zOC=---------------a+----------------b-0,

1717

1

x=­z

14x-3y-3z=0

因此《2

，解得，x:y:z=3:8:6,B错误;

-8Cx+9Cy-8Cz=0A4

y=­z

3

对于C,依题意，NDOE=/AOB=@，函,b=AB-Jc^

|ft|=>/^§2+^C2-2Ag^=Jl+22-2xlx2x1=V3

ab=^CB=^AC(AB-AC)=^AC^B^AC2=-2xlx1+22=3,

OA-OB=—(7a-4b)\-a+3b)=—-752-1262+255.6

289289

9(-7x22-12x3+25x3)66

289v)289

\OA\=^(^-4b)2=—\49^2+1662-56^-6=-749x4+16x3-56x3=—V19,

171717

|OB|=-J(a-3b)2=—>]a2^9b2-6a-b=-74+9x3-6x3=

17v171717

9/20

66

——OA,OB70011V247

cosNDOE=COS0408〉====「=C正确;

网4M工3后494

17X17

——►——►3/—8/-

对于D,CF=tCO=—Q+—eR,

1717

CF=C/+AF=CA+uAB=(l-u)CA+uCB=(1一〃)5+，

干聚3Z8

—8/1780

J7^—w,—=u»,解得/=—,w=—，则

17171111IM3

S"EF\AF\_2^8_16

S“BC^\AB\\AC\smABAC叫31133

"ABFD\BF\\BD\339S.CDE_\CD\\CE\414

同理--------------=­x—=—.-------=•=-X-=—

S-ABC

\AB\\BC\11777S.ABC\^C\\AC\7321

_S4ABe~S^AEF~S4BFD~SKDE_1

n^DEF.169448

--1D正确.

S“BC

0^ABC337721'~231

故选：ACD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212）,是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最

早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经

过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角

形被称为阿基米德三角形.在平面直角坐标系中，已知直线/：y=8与抛物线Cy=交于48两

点，则弦与抛物线。所围成的封闭图形的面积为.

■］空42工

33

【详解】首先得到弦的两个端点的坐标分别为/（4,2）,5（-4,8）,

10/20

y=#,,=x,儿4=4,y[i=-4

该两点4,8处的抛物线的切线方程分别为y=4x—8,y=Tx-8,联立两条切线求得交点坐标为

（0-8）,

从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为lX8X16=64,

2

故弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为——.

3

128

故什杀为：----

3

13.将边长为4的正方形力8。沿对角线3。进行翻折，使得二面角4一3。一。的大小为120。，连接

AC，得到四面体/8C。，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为.

【答案】更兀

3

【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点。为球心，

故该四面体的外接球体积忆=3兀R3=3兀.（2&）3二处2兀，

333

又AO1BD,CO1BD,Z0,C0u平面ZOC,AOC\CO=O,

所以6。1平面/OC，

二面角A-BD-C的大小为120。，S.a.=、2JL2JIsin120°=26,

AZHxV2

11/20

/4BCD="D+'B10('=-S“)(」0剧~1--S\0D\=—S-15/)1=

A-DCUZJ-/I(7Cb-A(凡3A/1C/C||3△/1(7C||3△17I(C)/(L||3

故所求体积之比为更兀.

3

故答案为：正R.

3

14.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众现在编排一个动作，机器人从原点。出发,

每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一-个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含

到达）点四（一1,0）位置的条件下，水平方向移动3次的概率为.

【答案】—

17

【详解】设事件4="有且仅有一次经过（含到达）M（-l,0）\事件5="水平方向移动3次”，

按移动到〃（一1,0）位置需要1步还是3步分类讨论.

记£=向左，R=向右，U=向上，。=向下，

（I）若第1步到〃（一1,0）为事件4,则移动3次满足要求的是£U（£或U或火）/或。或。），

LD（L或及或D）,LR（U或Z）或R）,

所以小）二竽哈$

（2）若3步到〃（一1,0）为事件4,则移动3次满足要求的是应

所以尸（4）二15

64

3517

因为z=4U4，且4,4'工斥，所以=尸(4)+0(4)=

3

满足48的情况有：LLL，LRR，RLL，所以P（48）=—,

64

12/20

所以「胡小篇号

故答案为：—

17

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S“

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式;

（2）若"=故,求数列｛4｝的前〃项和7；.

（2国=2一曙

【答案】（1）。〃=〃

【详解】（1）因为数列｛%｝的前〃项和S〃

22

所以〃=1时，©=S[=1,

当〃22时，a〃=S〃—Sj=n，

又％=1也适合上式,

所以数列｛%｝的通项公式为an=n；

(2)由6

"T⑴

得7=1x—F2x——+…+〃x—♦

“222T

1,1^1,11

—r,=lx—+2x—+•••+/?-1lXx—+〃x——-

22223v7T2〃x

11111

作差得：-7；=—+-kH--r+…+----n----

2〃222232〃2〃

13/20

=1一(八+2)•击

得：1=2—(〃+2>:.

16.如图，在边长为2的正方体—中，E是棱N3上的点，平面£4上交棱3c于点

(1)证明：EFIIAC：

2

(2)若直线4片与平面C/E所成角的正弦值为一，求线段力£的

时点回到平面C/E的距离.

4

【答案】(1)证明见解析(2)1；一

3

向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解.

【详解】(1)连接力C,由正方体可知AA}//CC],AA}=CC]t

.・.四边形AA}C}C为平行四边形，・..ZC〃4G，

•・・力。仁平面。14七，4Gu立面C/E,...ZC//平面C/E，

•・•ZCu平面48CQ,平面4BCZ)n平面G4E=.，

ACHEF.

(2)

14/20

如图，以Q为原点，建立空间直角坐标系。-xyz,

设/E的长为小则4(2,0,0),4(2,0,2),£(0,2,2),4(2,2,2),凤2M0),

福二(0,2,0),4Q=(-2,2,0),祠=(0,凡一2)，

设平面C/七的一个法向量为n=(xj,z),

w-XC=-2x+2v=0(a\

故可得n=

n-A^E=ay-2z=012)

设直线4片与平面所成角为O,

M八3（福昨寿

2_2

厂一户一3，解得。=1，

N2+T

.•.花二（0,1,0）,故4E的长度为1;

4”24

._..一.d=-------=--------=一

•・•〃=...点片到平面C/E的距罔忸

17.已知椭圆。:与+£=1（。>。〉0）的离心率为当,

巨椭圆上的点到焦点的最长距离为J5+1.

（1）求椭圆C的标准方程；

力04的斜率之积为一!，求△408的面积.

⑵若直线交椭圆。于48两点，。为坐标原点，直线。/上

2

【答案】（1）三+y2=l；（2）立

22

a+c=1+yp2i—

a=J2

【详解】（1）由题意得〈「、万，解得〈，

£=c=i

2

a2=2fb2=a2—c2=\>

r2

・•・椭圆。的方程为L+y2=1.

2二

15/20

（2）当直线48斜率不为零时，设直线45的方程为：X=my^-t,4（$,%），4工2，》2），

x=niy+1

联立《消元得（〃/+2）y2+2mty+t2-2=0,

2

-2mtt2-2

由韦达定理得:必+为=，必必=

tn2+2tn2+2

已知%•％=一1，即+?二一；，

/At人）乙

则2凹必=-（即+\）（研+。,

2）‘必=_[〃尸必％+加（乂+%）+/]，

代人韦达定理化询得，加2=2『一2,

又比一%|=）（必+8）2-4%为

_卜-2ml、2彳『-2二2也小+2"）2后二丘

W/+2J掰2+2m2+22r\t\

则s.0AB=；/1.回一歹21=；M.4=q，

乙乙11I4

当直线斜率为零时，设其方程为y=〃（-

y-n

联立E+解得x=±E，

设/在左侧，则力（一j2—2〃2,〃），"（j2—2〃2,4

1nn

由%%=一5,则W7左奇2

解得〃=±此时|/同=2也一2〃2=2,

2

16/20

则Sqs=J明/同=94、2=4，

所以△046的面积是交.

2

18.已知函数/(x)=e'一1一1,g(x)=6flnx-x.

⑴求/,(X)的极值：

⑵若〃(x)=/(x)—g(x)在［1,2］单调递增，求实数Q的取，直范围：

(3)当。<0时，若对任意的』总存在12C［gj］，使得/(x)Wg(z)，求实数4的取值范

围.

【答案】(1)/(X)的极小值为0,无极大值

/IfO1"

⑵(—00©(3)-oo,2-e__

\e_

【详解】(1)/(x)=e、-x-l,求导得/'(x)=e、-l,/(°)=0-

因为x>0时，/'(x)〉0,所以/(x)在(0,+。)上单调递增，

因为x<0时，/'(x)<0,所以/(x)在(-8,0)上单调递减，

又/(。)=0,故/(x)在x=0处取极小值0,无极大值.

(2)函数/z(x)=/(x)-g(xj=ev-x-\-a\rvc+x=ev-6flar-l,

x

求导得/?,(x)=ev--=,由h(x)在［1,2］单调递增，

XX

得力'(x)20在［1,2］上恒成立，即xe、2a在口,2］上恒成立，因此。工卜内而.工41,2］,

设H(x)=xe、，xe［l,2］,//,(x)=er+xer=(x+l)e>0,则"(x)在［1,2］上单调递增,

于是"(x)min=〃(l)=e,即aVe,所以a的取值范围为(-8,e］.

17/20

...「［，」］,使得/(与心8仁)，

(3)若对任意的王£—,1，总存在当£

e

则当对时，/('Mg(必

当工G加时,/M)=eT>0,

BP/(x)S-,1上单调递增,/(x)max=/(I)=e-2,

函数g(x)=Hnx-x,a<0,TN].

求导得gr(x)=--1=---

XX

rhq<0,得g'(x)<0,函数g(x)在[：/]

上单调递减,

fJA]

则ga)max=g《尸一