指数函数与对数函数 全章综合测试卷（提高篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

第四章指数函数与对数函数全章综合测试卷(提高篇)

参考答案与试题解析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(24-25高一,全国•单元测试)下列结论中，正确的是()

A.设a>0,则近•a；=aB.若=2,则团=+V2

C.若。+。一1=3,则a?+aW=±V5D.y(2—TT)4=2—TT

【解题思路】根据分式指数累及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误.

【解答过程】对于A,根据分式指数塞的运算法则，可得言.鼠=0滂=湍工如选项A错误；

对于B,m8=2,故m=±VL选项B正确；

对于C,Q+(=3,(«2+a-2)2=a+a-1+2=34-2=5,因为Q>0,所以成+。-5二次，选项C错

误；

对于D,\j(2-7T)4=|2-?r|=71-2,选项D错误.

故选：B.

2.(5分)(24-25高三上•江苏徐州•阶段练习)设函数/(幻=2"一。)在区间(0,1)上单调递增，贝b的取值

范围是()

A.[-2,0)B.(-oo,0]C.(0,2]D.[2,+oo)

【解题思路】由增函数y=2、结合函数/(x)在区间(0,1)上单调递增得函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递

增，再由一元二次函数图像性质即可求解.

【解答过程】函数y=2、在R上单调递增，而函数/(幻=2%a-a)在区间(0,1)上单调递增，

所以函数y=X(x-a)=(x-柒2_?在区间(0,1)上单调递增，

所以]工0,解得QW0.

故选：B.

3.(5分)(24-25高三上•安徽六安•阶段练习)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是

G

以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=而，其中L表示每一轮优化时

使用的学习率，表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数

衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4,则学习

率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg2=0.3）

A.72B.73C.74D.75

【解题思路】由题意先得L=0.5。5，接着由G=18和L=0.4得L=0.5x0.8^,再结合对数运算性质解不

等式乙<U.2即可得解.

【解答过程】由题d=0.5,Go=18,所以4=0.501，

又由题当G=18时,L=0.4,即0.4=0.50普=。=0.8,

GGG

所以L=0.5X0.8以,令L<0.2即0.5X0.8而<0.2即0.8正<0.4,

解得匹>警二臀二二半匚X2：93-1=故G>4x18=72,

18lg0.8Ig8-131g2-l3K0.3-1

所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.

故选：B.

4.（5分）（24-25高三上•广东肇庆•阶段练习）已知Q=logs6力=logo.52,c=e-2,比较。，b,c的大小

为（）

A.b>a>cB.h>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【解题思路】根据y=log5%在（0，+s）上单调递增比较。和1的大小，根据c和1的大小比较a和c的大小，根据

y=logos%在（0,+8）上单调递减比较b与。的大小，根据c与0的大小比较b和c的大小.

【解答过程】因为函数y=1嗝%在（0,+8）上单调递增，

所以a=logs6<log55=1,

又c<L所以a>c,又因为函数y=logos”在（0,+8）上单调递减，

所以b=logos2Vlogosl=O因为c>0,

所以b<c,综上，Q>c>匕.

故选:C.

5.（5分）（23-24高一上•浙江丽水・期末）已知增函数y=f（x）的图象在口句上是一条连续不断的曲线，

在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为［a,b］,［a,等］,［。+3勺，则匕―。的值是

（）

A.1B.-C.--D.-

333

【解题思路】根据二分法的过程得到a,b满足的方程组，由此求解出a,b的值，即可得出答案.

【解答过程】因为依次确定了零点所在区间为[a,b],[a,审],口+；刍，

(a+bb

~=3(3a+b=0i

，即“〃一4,解得Q=-：”=l.

H=a+2lh-a-33

23

所以b-a=l-(W)=g.

故选:B.

6.(5分)(23-24高一上♦江西西昌•期末)已知函数/(幻=谟+/(。>匕>0,。=1,匕上1)是10：的偶函

数，若“毛〈/(匕一9，则°的取值范围是()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.&2)D.(1,2)

【解题思路】由/(无)是偶函数可得ab=l,代入/(%)解析式，判断出/■(%)的单调性，利用单调性解不等式即

可求.

【解答过程】因为八包是偶函数,所以f(r)=/(%)，

xx

所以a-x+b-x=a+b,整理得3+/)(嗯巨=0，

由题意可知谟+尹>0,所以谟户=1,所以劭=1,

所以/(%)=QX+(；)”,

又a>b>0,则a>1,

任取%i，x26(0f+oo),且％i<%2,

所以-八&)=谈，+(犷1-M+$=〈…：等广。=

因为Q>1,x1<%2»则一a死<0,

又看,x2€(0,+co),所以％1+%2>0，

所以QM+小>1,所以。必+&-1>o,

所以/(%)一/(无2)<。，

所以/(外在(0,+8)上单调递增，

又因为f(%)是偶函数，所以/(%)在(一8,0)上单调递减，

因为/(Q)</(/?-：).

所以|a|v,一|「又a>l,解得1VQV2,

故选：D.

7.(5分)(2024•山西•模拟预测)记max{a,b}表示a,b二者中较大的一个,函数/(%)=-%?-7%-5,

1-X

g(x)=max{3,log3(x+2)},若V>W[a-l,a+1],3x2€[0,4-co),使得/'(必)=g。2)成立，则a的取

值范围是()

A.［-5,-2］B,［-4,-3］C,D.

【解题思路】计算出31T=log3(l+2)=l,结合丫=3】-3y=log3(无+2)的单调性得到

f丁机，并求出g(x)在区间［0,+8)上的值域为［1,+8),由题意得到g(x)在［0,+8)上的值域包

UOg3(X'4),X>1,

含/(x)在口-1,。+1］上的值域，从而得到不等式，求出一5saw-2

【解答过程】y=3-x在R上单调递减，丫=1叱3(%+2)在(-2,+8)上单调递增，

当x=1时，3一=Iog3(l+2)=1,所以g(x)=,

所以在［0,1］上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以当％?0时，g(x)>^(1)=1,即g(x)在区间［0,+8)上的值域为口,+8).

/W=-%2-7%-5=-(%+^)2+日转，

令/(无)=~x2—7x—5=1,得/+7%+6=(%4-1)(无4-6)=0,解得％=—1或％=—6>

画出/(%)，g(x)(xZ0)的图象如图所示，

若YxiW［a-l,a+1］,三不£［0,+8),使得八二)=。(必)成立,

则需要。(外在［0,+8)上的值域包含/(%)在［Q-1,Q+1］上的值域,

则肥；W'，解得-5WaW-2,即a的取值范围是［-5,-取

故选：A.

偿*0<x<2

8.(5分)(2024•江苏徐州•模拟预测)已知函数/(幻是定义在R上偶函数，当％>0时,f(x)=

&+x22

若函数y=/(%)-m仅有4个零点，则头数zn的取值范围是()

A.(词B.(0,：)C.及)D.(-啕

【解题思路】首先根据/■(%)的性质画出函数/Xx)图象，然后把函数y=/(%)-m仅有4个零点，转化为函数

y=/(%)与y=加的图象有4个交点，数形结合即可求解.

【解答过程】当0WXW2时，/-(x)=^x2,此时/•(%)单调递增，

16

当《＞2时，/(%)=Q)x+r此时/(%)单调递减，

又函数/(幻是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数/■(、)图象：

O\X

因为函数y=/(x)-m仅有4个零点，所以函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点，

根据图象可知：ivmv：,即实数机的取值范围是(i,g.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(23-24高一上•吉林延边•期中)下列命题中正确的是()

A.已知2a=5,log83=b,则4a-3匕=,

B.2(lg2)2+31g21g5+(lg5)2-lg2的值为1

C.若％log34=1,则4*+4-,的值为与

D.若2m=3'=人且上+2=2,则上=6

mn

【解题思路】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【解答过程】因为2。=5,则Q=log25,且力=Iog83=，og23,则a—3b=logzS—log??=log?!

,Og2

则代3b=22(a-3b)=2力喑=2^=2故A正确;

2(lg2)2+31g21g5+(lg5)2-lg2=(21g2+Ig5)(lg2+lg5)-lg2=21g2+lg5-lg2

=lg2+lg5=1,故B正确:

x,0813log43

由xlog34=1可得％=—^―=log43,则4*+4~=4+4-=3+；=3

I°g34JJ

故c正确：

因为2nl=3"=3则m=log2k,n=logsk，则£=logk2,，=logQ,

所以A+；=log〃2+logE=log&6=2,所以|=遍，故D错误；

故选：ABC.

10.(6分)(24-25高三上•山西大同•开学考试)已知函数/(%)=|k)ga*+l)|(Q>0,QH1),则下列说法

正确的是()

A./(%)的图象恒过某个定点

B./(%)在(一1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增

C.f(x)图象上存在两个不同的点关于、轴对称

D.若对任意％6卜表2],f(x)VI恒成立，则实数Q的取值范围是(0,Ju(3,+8)

【解题思路】根据/(0)=()可判断A的正误，就Q的不同取值分类讨论后可判断函数的单调性，故可判断B

的正误，考虑|10ga(%+1)|=|10ga(-X+1)|,X>-1,X*0是否有解后可判断C的正误，而任意%G-：，2]，

/&)VI恒成立等价任意XW卜(2卜|ln(x+l)|V|lna|恒成立，故可求参数的取值范围，从而判断D的正

误.

【解答过程】对于A,因为/(0)=|logQl|=0,故/(%)的图象恒过原点，故A正确；

对于B,若a>l,WU)=+°,

(loga(x+l),x>0

故/(%)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增：

若0VaV1,则f(%)=[10gfl(X+1)二：Vj：0，

(-loga(x+l),x>0

故/(%)在(一1,0)上单调递减，在(0,+8)上单饷递增，故B1E确.

对于C,考虑/(一无)=/(%),%是否有解，

而/(一x)=fW,X>-l,xH0等价于|loga(#+1)1=|loga(-X+1)1，%>-l,x0,

也即等价于|ln(%+1)|=|ln(-x+1)|,x>-l,x=0,

也即等价于ln(x4-1)=ln(-x+l),x>-l,x*0或ln(x+1)=-ln(-x+l),x>-l,x*0,

两个方程均无解，

故/(乃图象上不存在两个不同的点关于y轴对称，故C错误.

对于D,若对任意戈w[—g,2],/»<1恒成立，

则对任意工e[-1,2],|loga(x+l)|<1恒成立即|ln(%+1)1<|lna|恒成立，

故|lna|>maxJln3,|ln||j=ln3,故Ina<-ln3或Ina>ln3,

所以Oca或a>3,故D成立，

故选：ABD.

11.(6分)(24-25高三上•江苏连云港•开学考试)已知函数/(0=I：”若方程外%)=上有

四个不同的零点X],X2,x3,%4且V%2<%3<%4，则下列结论正确的是()

A.0<k<1B.2xj+x2>2>/2

9

C.xtx2+X3+=6D.3<Xt4-2X2<-

【解题思路】在同一直角坐标系内作出y=f(x)和y=k的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到

<

1<X1<1<X22<X3<3<^4<4且=1，%3+%4=6，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】如图所示，在同一坐标系内作出函数/(%)=g2：l，0；”式：和k的图象，

由图象知，要使得方程/(%)=*有四个不同的零点，只需0<攵<1,所以A正确；

对于B中，因为股)=|log2||=1/(2)=|log22|=1/(4)=42-6x4+9=1，

且函数y=x2-6x+9关于％=3对称，

由图象得工V.V1Vx2V2V与V3V%V%且一log2%]=logx,x4-x=6,

22234

所以10g2》2+10g2%l=l0g(XiX)=0,可得％i%2=1，则％1=—»

22X2

所以2必+=2=2+%2，其中1<%2<2,

x2

令g(x)=x+：工2nj=2a,当且仅当％=鱼时，取得最小值2vL

所以2%+%222VL所以B正确;

对于C中,%1，%2是|log2%l=k(0<k<1)的两个根，

所以Tog2%i=log2X2»Wlog2Xi+log2X2=0，所以%1%2=1，

由小,34是%2-6%+9=0(0<k<1)的两个根，所以33+X4=6，

所以+%3+%4=7，所以C不正确；

对于D中，由.&=1，可得+2X=—F2X,(1<x<2),

2X222

令Mx)=2%+二(1Vx2V2),可得函数似幻在(1,2)上单调递增，

X

所以八(%)>九(1)=3,即％1+2*>3,h(x)</i(2)=p所以D正确.

故选ABD

y

3

2

1

一=

—\aX/i-----JyK

~QX11X22Xr3X»456~x

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024高二下•四川•竞赛)已知若log*+log/="则上的最大值为二

2a+4-4-

【解题思路】由1。806+1。8》。=3可求得。=力2,代入念中变形后利用基本不等式可求得结果.

【解答过程】因为logab+log/=J，所以1Oga匕=J

乙log。,乙

所以2(logab)2-51ogab+2=0,(logab-2)(2logad-1)=0,

解得logab=2或log"=I，

因为a>b>1,所以0<log"<1，

所以logab=5所以a="2,

所以念=岛=2*余=%

当且仅当b=3即匕=2时取等号，

b

所以士的最大值为W

a+44

故答案为：:.

4

13.(5分)(2024高一•全国•专题练习)已知定义域为R的函数f(%)=£三.若f(k•3X)+f(3x-9X+2)>0

对任意”>1恒成立，则k的取值范围为(一8,勺.

T

【解题思路】由函数单调性可得"%)在(-8,+8)上单调递减，再将问题转化为(3*)2-(k+1)3、-2>0对

任意第>1恒成立，化简得k<3、一。一1,对任意x>1恒成立;即k<伊一卷一1)然后利用g(x)=3X-

3'3,min

/-1单调性求解即可.

【解答过程】/(X)=1=磊=募器=4+大；

x增大时，2*+1增大，含减小，/(%)减小;

所以/(X)在(-8,+8)上单调递减：

l-2-x2X-1,、

fD=2(2-x+1)=2(2」+1)=-f。)

所以/(%)为奇函数，.♦.由/(人3》)+/(3%->+2)>0得，/(/c-3x)>/(9x-3x-2)；

又/(X)在(-8,+8)上单调递减；

所以k•3Xv9、-3"-2,该不等式对于任意文>1恒成立；

即2<3£-二一1,对任意421恒成立：

3人

所以只需AV(3-/_l)

令g(%)=3X--1

显然以幻=3、-最-1单调递增

所以kvg(l)=；

故答案为：(―8,g).

14.(5分)(23-24高一下•河北保定•期中)已知函数/'(%)=-10w，下列四个命题正确的是二(只

填序号)

□函数/•(-/+2x)的单调递增区间是［1,2)；

□若f(a)=If(b)|,其中Q>0,匕>0,a<1<b,则ab=1；

匚若f(a--zx+Q)的值域为R,则ae(0,1］；

□若OvaVI,则|/(1+Q)|V|/(1-Q)］.

【解题思路】对于口，使用复合函数的单调性求解方法即可；对于口，由/(幻的单调性即可得到10g2Q+

10g2b=0,从而得出结论；对于匚，直接给出Q=0作为反例；对于口，利用/(幻的表达式可直接证明结论

成立.

【解答过程】对于口，由于/(外=-1。82%定义在(0,+8)上且单调递减，-/+2%的单调递减区间是［1,+8).

故可解不等式组｛_%2的；>°得到1<x<2,

从而/'(-/+2x)的单调递增区间是[1,2),匚正确；

对于口,由a<1<匕及/'(x)单调递减，知/(a)H/(b),

而/(a)=lf(b)l，故f(a)=-fW，即-/(a)-f(b)=0.

代入表达式/'(x)=-log2%得log2a+log2b=0,即log2(ab)=0,所以ab=1,匚正确；

对■于U,由于当a=0时有/(ax?-zx+a)=/'(-Zx)=-log2(-2x),

M

而对任意实数M,取x=-2—M就有Tog2(_2%)=-log22-=M.

所以a=0时亦有/(Q/—2X+Q)的值域为R,从而原条件并不能推出QE(0,1],匚错误；

对于口,若0VQ<1,注意到1/(1+a)|<1/(1-a)|等价于|log2(l+a)\<|log2(l-a)|,

而这又等价于log2(l+Q)v-logz(l-a)，即log2(l-。2)V0,即l-a2Vl

而1一小<1显然成立，故□正确.

故答案为：□□□.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(24-25高一上•江苏南通•阶段练习)(1)计算：+,3—4)4；

(2)已知成+H=3,求下列各式的值:

□Q+a-1；

1_1

□Q1+a~.

【解题思路】(1)利用分数指数幕和根式的运算性质求解：

(2)利用平方关系求解.

【解答过程】(1)原式=(23)3-(-7)2-1+|3-TT|=4-49-1+TT-3=-46+n-3=n-49；

(2)□因为+a-5=3,所以(Q5+a”)=9,即Q+QT+2=9,所以Q+QT=7；

□因为(£+a-4)2=£++2=3+2=5,又因为a；+a4>0,所以/+cT；=V5.

16.(15分)(24-25高二上•浙江杭州•阶段练习)已知函数/&)=匕黑一%(。>0且0工1bER)是定

义在R上的奇函数，且/'(1)二一|；

(1)求a,力的值；

(2)解不等式/"(1-x2)+f(5x-7)<0.

【解题思路】(1)根据/(0)=0和/(I)=-，即可.联立求解,

(2)根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.

【解答过程】(1)由题意可知：f(0)=0和/W=-

故/(0)=翳-0=0且/(I)=*-1=-

故b=1,a=2,a=—：(舍去)

由于函数y=^,y=—2、,y=r均为单调递减函数，故/'⑺为单调递减，

故/(I-x2)+/(5x-7)<0=>/(I-x2)<f(7-5%),

即1一%2>7-5%，解得2V%V3,

故不等式的解为&|2v；v<3}.

17.(15分)(2024•吉林长春•模拟预测)某制药厂临床试验一批新药的疗效(a-因子是主要成分)，根据

国家规定：服用新药后100mL血液中a-因子含量达到20〜79mg认定为有效□级，80mg及以上认定为有效

匚级，20mg以下认定为无效.经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中因子的浓度呈线性增长，当

其上升至i」1.2mg/mL时，血液中a-因子的浓度将会以每小时20%的速度减少(函数模型如图).

0.3区、

。竹25xOi)

(1)请写出服用该药后血液中a-因子浓度y(单位：mg/mL)随时间x(单位：小时)变化的关系式;

(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中a-因子才能降至无效？(结果取整数).

(参考数据：lg2ko.30,lg3ko.48)

【解题思路】(1)根据给定的条件，结合图象求出y与％的关系式.

(2)利用(I)的结论，结合已知建立不等式，再利用单调性求解即得.

【解答过程】(1)开始时，血液中a-因子浓度呈线性增长时，:&y=kx+b(k^O),

将(0,0),(0.25,0.3)代入，得严二°噬A+b,解得k=1.2,b=0,因此y=1.2x；

当y=1.2时，x=1,又当a-因子浓度上升到1.2mg/mL时，以每小时20%的速度减少,

则当％>1时，y=1.2(1-0.2)%T=1.2x0.8%T,

1.2%0<x<1

所以所求关系式为y=

1.2x0.8XT,X>1,

(2)设至少要经过工小时血液中Q-因子降至无效，即1.2x0.8X-1<0.2,

整理得0.8"1<工，两边取常用对数，得Igos”IVlgL

66

则X一1>晨=X—?售；？=7.8,解得¥>8.8,

lg0.8—l+31g2-1+3x0.30

所以至少要经过9个小时血液中用因子才能降至无效.

18.(17分)(24-25高二上•湖南长沙•开学考试)已知函数/(乃满足：VxGR,/(%+3)=-1/(x),且当

xe[0,3]W,/(x)=-x2-x+m,函数g(x)=logg(2*—1).

(1)求实数〃?的值；

(2)若％W(0,3],且g(%)-/(%)>0,求x的取值范围；

(3)已知九(%)=-x2+Ax-A2+3,其中xG[0,1],是否存在实数《使得以九(乃)>/'(九(乃)恒成立?若存在,

求出实数2的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)根据给定条件，由/(3)=-Tf(0)计算即得.

(2)构造函数iz(x)=g(x)-fa),并探讨单调性,利用单调性解不等式.

(3)由g(Mx))的意义，探讨;I及h(x)的范围，再由恒成立列出不等式求解即得.

【解答过程】(1)依题意，/(3)=-1/(0),即一32—3+m=—：m,解得m=8.

(2)当无£(0,3］时,gM-fM>Qt即log6(2"-1)+/+4-8>0,

令〃(x)=k)gb(2"-1)+/+工-8,定义域为XE(0,3］,显然u(2)=logb3+4+2—8=0,

又0(%)=log6(2*-1)在xG(0,3］上单调递增,y=x2+X-8在无G(0,3］上单调递增,

因此函数比(%)=log^(2x-1)+/+x-8在3G(0,3］上单调递增，

由〃(%)>0=u(2),得2Vx工3,

所以不等式g(x)-/Xx)>。的解集为(2,3].

x

(3)函数g(x)=log73(2-1)的定义域为(0,+8),

要使9(九(%))>/(仞乃)恒成立，首先满足九(乃>。在xG[0刀上恒成立,

由于人(%)=-x2+Ax-A2+3开口向下,

九(0)=-A2+3>0

只需]解得一1V/l<g,

%⑴=-l+A-l2+3>0,

此时h(x)=-(x-；)2--12+3<--12+3<3,

244

则当一1V4<百时，0</i(x)<3对任意％e［0,1］时恒成立，

令s=/i(x)(0<s<3),则g(s)>/(s)恒成立，即g(s)-f(s)>。恒成立,

由(2)可知,9(5)-“5)>0的解集为(2,3］,

则只觎⑴八史;；t'江；>2,解得0"<卜

所以存在0<4<1满足条件.

19.(17分)(2024高二下•浙江•学业考试)已知函数/(x)=log2(Z”+t)-