2026年高考数学一轮复习：复数 专项训练学生版+解析

第04讲复数

目录

01常考题型过关练

题型01复数的概念

题型02复数的分类

题型03共加复数

题型04复数的几何意义

题型05复数的四则运算医

题型06复数的高次方计算

题型07与复数模相关的轨迹（图形）问题难

题型08复数范围内解方程

题型09复数的三角表示*

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

常考题型过关练」

观型（01复数的概念

1.复数2+i?二（）

A.1B.2C.2iD.2-i

2.当〃取正整数时，计算i”+（-i『（i为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（）

A.-2,0,2；B.-2i,0,2i；

C.-1+i,0,1+i；D.-2,-2i,0,2,2i.

3.已知复数z=Jr，则z的虚部为（）

l-i

A.gB.—iC.—D.-g

2222

4.（多选）下面四个命题中，真命题为（）

A.若复数z满足Z2ER则zwR;

B.若复数㈤=|马则*=227；

C.若复数Z满足Z]Z2=0,则4=0或Z2=0；

D.若复数㈤=忆|,则马=土Z?

散型I02复数的分类

5.设z、zPz2cC,则下面四个命题中，正确的是（）

A.z—W一定是纯虚数B.若z；+z；=0,则Z1=Z2=。

C.z=z<=>zeRD.若z+z=0，则z是纯虚数.

6.（多选）若复数z=〃+阳a,）eR）（i为虚数单位），其中真命题为（）

A.z+zeRB.若a=b=l,则z'=-4

C.若3为虚数，则z也为虚数D.若|z+i|=l,则忖的最大值为正

7.（多选）已知复数4、z2,则（）

A.若£=入,则|马|=七|B.若五为纯虚数，则Z,也为纯虚数

一］

C.若4=云，则ZI+z?是实数D.若z；+z；=O,则Z1=Z2=0

8.（多选）已知复数z=a+〃i（a,此R）,|z|=2,则下列说法正确的是（）

A.z-z=4B.若z2wR,则，eR

C.若〃=2,则z为纯虚数D.iqz-3i|«5

散型I>03共辗复数

9.（多选）己知i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.i2O25=i

2

B.复数币的共挽复数为1+i

C.若复数Z为纯虚数,则|Z『=Z2

D.若马,Z2为复数,则归却二㈤㈤

10.（多选）若复数Z满足i.z=l+3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z=3-iB.三的模为4

C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.z-2』=-3-3i

11.（多选）设马,4是复数，则、.列说法正确的是（）

A.若4々2=。，则4=。或Z2=。

B.若z：GR,贝LeR

C.若|zj=㈤，则Z|・Z|=Z2・Z2

2

D.|Z,-Z2|=J（Z1+Z2）-4Z1Z2

12.已知复数z满足（2-i）・z=i,则彳=.

散型（04复数的几何意义

3

3复数z=2一k在复平面内对应的点位于（）

A.笫一象限B.笫二象限C.第三象限D.笫四象限

14.设复数2-i和3+4i在复平面上所对应的点分别为A和4,其中i为虚数单位，则向量人3所对应的复数

在复平面上所对应的点位于第（）象限

A.B.二C.三D.四

15.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,夜），则忖=

16.已知复数4=-2+4i*2=—1—3i.

⑴求受

（2）在复平面内，复数不Z2对应的向量分别是。4,。8,其中。是原点，求N4OA的大小.

鼓型IL05复数的四则运算

17.已知i为虚数单位，复数z则|z|=（）

D.旦

A.MB.萼C.6

2

18.若复数z满足l—2i+z=-2+i,则复数z的虚部为（)

A.-3B.-3iC.3D.3i

N.设i是虚数单位,则复数UT尸-这等于.

20.已知复数z满足i.z=l+i,其中i为虚数单位，则z的虚部为.

散型IJ6复数的高次方计算

;2025

21.复数」的虚部为()

1-i

A.iB.-ic"D.-

222

22=()

乙乙、］+i202s、)

A.1B.V2C.当D.2

23.若i为虚数单位，则复数Z=l—i+i2_i3+…_i*的虚部为()

A.-1B.1C.-iD.i

24.已知i为虚数单位，设复数z满足?廿"'则z=

散型IL07与复数模相关的轨迹（图形）问题

25.（多选）设z为复数，则下列说法正确的有（）

A.若|z|=l,贝丘=±1或z=±iB.若|z—（2+i）|=l,则忖的最小值为石

C.若z=6-2i,则|z|=7D.若1+i是实系数方程W+磔+〃=o的一个根，则。+〃=0

26.（多选）下列有关生数的结论正确的是（）

A.3+i>l+i

B.若复数Z=，〃+l+（"Ll）i是纯虚数，则〃]=一1

C.若213是关于丫的方程2.d+px+*=0（〃,“6R）的一个根，则—+q=38

D.若复数z满足1引目〈夜，则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

27.已知i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z-1|的最小值是.

28.在复平面上，设点44对应的复数分别为4=6+1,22=85。+「日11。（其中1为虚数单位）,当。由已

连续变到三时，向量A8所扫过的图形区域的面积为.

散型IJ）8复数范围内解方程

29.（多选）方程f-2x+2=0在复数集C的两个根分别为：z,,z2,则（）

A.Z]+Z2=-2B.C.ZD.ZZ=2

|Z,||Z2|=2-2\=\^2

30.（多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数z=（3+4i>i,则|z|=5

B.若复数4=2-i,zz=3+4i,则更数z+z?在复平面内对应的点在第一象限

C.0是复数。+玩（〃，bwR）为虚数的充分不必要条件

D.若复数l+2i是关于x的实系数方程2『+川+夕=0的一个根，则p+q=6

31.（多选）已知z=2+i为关于x的方程/+依+5=0（〃£1<）在复数范围内的一个根，则（）

A.|Z2|=5B.Q=4

C.°+2为纯虚数D.2—i为关于x的方程/+⑪+5=0的另一个根

z

32.已知关于工的实系数一元二次方程/+依+。=0(。力€号.

(1)若一根为1一23求。，〃的值；

(2)设。=〃=2,2。是虚数根，记入,z°2,Z。-%2在友平面上对应点分别为A,B,C,>^OA+OB)OC

的值.

散型IL09复数的三角表示*

33.复数z=a+>i(«〃eR,i是虚数单位：)在复平面内对应点为Z，设「=|。4，。是以x轴的非负半轴

为始边，以OZ所在的射线为终边的角，贝ijz=a+历=r(cose+isin。)，把「(cosO+isin。)叫做复数。+加的

三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，［r(cos，+isin0『=r"(cos〃9+isin〃/?),(〃wN”),

-i+—il=[cos—+isin—1=cos2n+isin27r=

例如:

I22JI33)

兀..兀

(l+i)=cos—+isin—4(cosK+isin7t)=-4,复数z满足z3=l+i，则z可能取值为()

44

兀713兀.3九

A.COS—+S1D—B.-----Fsm一

121244

571.5n17兀.17兀

C,cos—+sin—D.cos----+sin-----

贝441212

34.在复平面内，常把复数2=。+万(〃力eR)和向量oz进行一一对应.现把复数g+手i对应的向量绕原

点。按顺时针方向旋转?’所得的向量对应的复数虚部为

35.任何一个及数z=a+砥a,〃tR)都可以表示成z=r(cose+isin。)(止0,%R)的形式，通常称之为复数

的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：［r(cos9+isin。)］"=r"(cos〃e+isin〃e)(〃sZ),我们称这个结论为棣

莫弗定理.计算(l-Gi广5=.

36.如图，复数2=〃+阳4反勺可用点2（〃力）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x轴叫做实轴，）'轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按

照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯

一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（8s〃+isin，）的形式，即，黑：

其中，,为复数z的模，。叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，0Z所在射线为终边的角），我们规定

0工。＜2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值，记作argz/（8se+isin。）叫做复数2=。+勿的三角形式.复数

的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.复数三角形式的乘法公式：

“（cos。］+isin^）-A;（cos6＞2+isin1=［cos（0x+U）+isin（a+》）］.棣莫佛提出了公式：

［r（cos6+isin。）］"=/'（cos〃0+isin〃0）,其中/•＞（）,〃eN’.

⑴已知〃=cos=+isin：,w=——+—i，求的辐角的主值;

3322

（2）复数町，帆2满足帆|=|旬=3,

⑶设多边形AA?L4是单位圆的为接正〃边形，点P是单位圆上任意的一点，求同+也『的

值.

（参考公式：当xeN"且xwl时，有1+X+X2+X3++X”T=1ZW）

02

1.已知复数z满足Z2-Z+2=0,则恸=（

A.2B.V?C.3D.也

2.”新瞽却已知向量0Z对应的复数为G+i，将OZ绕点。按顺时针方向旋转90°，得到OZ，则向量OZ

对应的复数是（）.

A.1—>/3iB.y/3—iC.-1+>/3iD.-V^+i

3.新角度]已知在复平面内，。为原点，向量04,03对■应的复数分别为3-4i,-2+5i,那么向量.8对

应复数的虚部为（）

A.1B.9C.iD.9i

4.（多选）4，Zz^C,i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若㈤>团，则z：>z；

7Z]

B.若ZzW。，则，==

4Z?

C.若向=-3i2i是关于”的方程/十“十^二。（〃，qeR）的一个根，则〃"=19

D.若22=0,则4，z2中至少有一个是0

5―’/新角度（多选）欧拉公式e"=cosx+isinx（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家

欧拉创'九该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学

中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程丁+办+〃=（）（4力€!<）的两根为卬z?,其中4=缶土则（）

A.复数4对应的点位于第二象限B.z2=i-i

C.|«+/7i|=2>/2D.若复数z满足|z|=l,则|z+zj的最大值为血+1

6.（多选）已知复数Z=l-i,Z2=5+i在复平面内对应的点分别为乙和Z一则下列结论正确的是（）

A.点4的坐标为（1,一1）B.^-=2-31

zl

C.若2=42，则，D.Iz.z^l^-Z^

7-已知复数z=2-i，4=i2+（l+i）2；

（1）求5Ml；

（2）若二Z在复平面内的点分别是对应向量”力的坐标，且（垢+%），（2。-力），求k的值.

8-新角度:代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元〃（〃eN）次复系数多项式方

程"k=0至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元〃（〃EN）次复系数多项式”“在复数

集中可以分解为〃个一次因式的乘积.进而，一元〃（〃cN'）次复;系数多项式方程有〃个复数根（重根按重数

计）.

（1）在复数集C中解方程：/+2/—X=2；

⑵写出一个以+2-i为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）

⑶已知一元十次实系数多项式/⑴满足/（%）=心（k=0,12,10）,求〃11）的值.

03♦

1真题溯源过关练

_1—II1

1.（2024.全国甲卷•高考真题）设Z=J5i，贝”巨=()

A.-2B.我C.-V2D.2

2.（2024.全国甲卷•高考真题）若z=5+i,则i0+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

3.（2024.新课标II卷.高考真题）已知z=—1—i,则目=（）

A.0B.1c.V2D.2

4.（2024.新课标I卷.高考真题）若二=l+i,则2=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

23

5.（2023・全国乙卷・高考真题）|2+i+2i|=()

A.1B.2C.石D.5

6.（2023・全国甲卷•高考真题）

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

7.（2023•全国甲卷•高考真题）设〃£1＜卜"+1)(1-5)=2,,则“=('、)

A.B.0C.1D.2

8.（2。23・全国乙卷・高考真题）设■吊’则，=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

9.（2024.天津.高考真题）i是虚数单位，复数（石+i＞（6-2i）=

第04讲复数

目录

01常考题型过关练

题型01复数的概念

题型02复数的分类

题型03共规复数

题型（）4复数的几何意义

题型（）5复数的四则运算国

题型06复数的高次方计算

题型07与复数模相关的轨迹（图形）问题难

题型08复数范围内解方程

题型09复数的三角表示*

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

常考题型过关练1

观型(01复数的概念

1.复数2+/二()

A.1B.2C.2iD.2-i

【答案】A

【分析】利用i2=-l，可求值.

【详解】2+/=2-1=1.

故选:A.

2.当〃取正整数时，计算i"+(-i/(i为虚数单位)的所有可能值，下列选项结果正确的是()

A.-2,0,2；B.-2i,0,2i；

C.-I+i,0,1+i；D.-2,-2i,0,2,2i.

【答案】A

【分析】根据i的乘方的周期性，分类讨论求解即可.

【详解】由i的乘方的周期性，

当〃=4&,(&eN)时，i”+(—i)”=l+l=2；

当〃=4&+L(&eN)时，in+(-i)z-=i+(-i)=0；

当〃=4左+2,(左£N)H、j,i"+(-i)M=i2+(-i)2=-2；

当〃=4&+3,(kwN)时，i"+(-i)w=i3+(-i)3=0；

综上，i”+(-i)"(i为虚数单位)的所有可能值为2。,-2,

故选：A

3.已知复数2=」一，则z的虚部为()

1-1

A.gB.-iC.--D.-9

2222

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算化简得Z=号，求出虚部判断选项.

11+i1+i11.I

【详解】Z-=(r^)=—=2+2^虚部为示

故选：A

4.(多选)下面四个命题中，真命题为()

A.若复数z满足z?€R则zeR;

B.若复数㈤=忆|,则*=z再；

C.若复数Z满足Z]Z2=0,则Z]=0或Z2=0；

D.若复数㈤=|即,则马=土马

【答案】BC

【分析】根据复数的四则运算可逐项判断

【详解】对于A,设复数z=〃+5(a,b€R),则z2=(a+Ai)2=/-〃2+2他itR,

故2而=0,即。=0或6=0,当G=0,z=Z?i为纯虚数时z?eR成立，故A错误;

对于B,设马=〃+Z?i(a,Z?wR),z2=c+t/i(c,JeR),

■|2i|=|z2b/.y/a2+b2=\/c2+d2>即/+从=°2+"2,

222

又转=(a+b\)(a-bi)=a+b~,z^z2=(c+6/i)(c-6/i)=c+d,

所以Z|4=Z2G，故B正确；

对「C,zxz2=(a+bi)^c+d\)=ac-bd+(ad+/?c)i=0,

则|I-I=(w)2+(4)2+(ad)2+(be)?=0,

ad+bc=0

即(4+〃)(/+#)=0,

解得々一人一0或c—d—0,即4=0或々=0,故C正石角：

对于D,|4|=七|,则〃2+加=。2+/,例Z1=l+i,Z2=l-i,此时却=同=及，但z尸土z2,故D错误;

故选:BC.

散型02复数的分类

5.设z、zPz2eC,则下面四个命题中，正确的是()

A.z-）一定是纯虚数B.若z；+z；=O,则ZI=Z2=。

C.z=z=zwRD.若z+z=（），则z是纯虚数.

【答案】C

【分析】根据复数的含义、共枕复数的概念对选项逐一判断.

【详解】对于选项A：

i^z=a+b\,a,beR,ijiiJz=a-b\,

J听以z-5=a+bi-a-b\=2b\,

当8=0时，z-z=0,所以不一定是纯虚数.所以A错误.

对于选项B：

设4=q+b,ifz2=a2+b2i,4,生，4也为实数，

2

所以z；+z；=（4+与）+（生+3）2=a；-Z?j-b：+勿例+2a2b2i=0.

则."+4f-瓦-。令]4=o,①=（）也=]

她+她=0

则Z=l,Z2=i,符合题意，但是不Z2±0.所以B错误.

对干选项C：

设z=a+Z?i,R,则5=〃一加，

???=z.PlL=0.I比H寸Z=〃£R：

若zwR，则6=0,所以三=z=a成立，所以C正确.

对于选项D：

设2=。+历,a.beR,pli]z=a-bi,

若三+z=0,则a+Ai+a-bi=0,所以。=0.

则5=折，当人工0时为纯虚数，当匕=0时，为实数，所以D错吴

故选:C.

6.（多选）若复数z=a+bi.,bGR）（i为虚数单位），其中真命题为（）

A.Z+ZERB.若《=〃=1,则Z"=Y

C.若，为虚数，则z也为虚数D.若|z+i|=l,则目的最大值为々

【答案】ABC

【分析】A选项，z+z=2aeR；B选项，计算出z2=2i，故j=不2=-4：C选项，化简得到

\abi

=由题意得人。（），故z=〃+/Ma/wR）也是虚数，C正确；D选项，根据复数的几何意

za2+b2a2+b2

义得到|z+i|二l的几何意义为复平面内，到（0,-1）的距离为1的圆，从而求出|z|的最大值.

【详解】A选项，z=a+bi,则Z=G-83故z+5=2awR,A正确;

B选项，若a=b=I,则z=l+i,z2=(l+i)~=l+2i+i2=2i,

z4=(2i):=4i2=-4,B正确;

I_1_a-bi_abi

C选项,

za+bi(a+bi)(a一仇)a2+b2a2+b2

由题意得力HO,故2=〃+阳。为WR）也是虚数，C正确;

D选项，|z+i|二l的几何意义为复平面内，到（0，-1）的距离为I的圆，

故此圆上的点到原点的距离最大值为1+1=2,D错误.

故选：ABC

7.（多选）已知复数4、z2,则（）

A.若4=z2,则㈤=忆|B.若三为纯虚数，则z论也为纯虚数

z?

C.若马=云,则Z+Z2是实数D.若Z：+Z；=0,则4=Z2=。

【答案】AC

【分析】设4=。十阳氏〃已R）,根据共扰复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC选项;取4-l+i,

z2=l~i,结合复数的运算、复数的概念可判断BD选项.

【详解】对于A选项，设4=。+历（a/eR）,若贝1匕=。—例，

22

所以㈤=\la+b=|z2|,A对；

对于B选项，不妨取4=l+i,z=l-i,则2—二——J—i为纯虚数,

2°：：）

z2l-i+2

但g=（l+i）（lT）=2为实数,B错；

对于C选项，设Z]=a+〃i（«〃eR）,若马=工，则22=。-加，

所以ZI+z?=(〃+历)+(a-万)=2«为实数，C对；

对于D选项，不妨取z1=l+i,z2=l-i,则z；+z；=(l+i)2+(l-i)2=2i—2i=0,

但z产0且z2H0,D错.

故选:AC.

8.(多选)已知复数2=〃+例(a,〃cR),|z|=2,则下列说法正确的是()

A.z-z=4B.若z2wR,则5wR

C.若b=2,则z为纯虚数D.l^z-3i|<5

【答案】ACD

【分析】根据共扰复数及复数的乘法可判断A；根据复数的分类可判断B；根据纯虚数的定义可判断C；

|z-3i|表示点z到3i的距离，数形结合即可判断D.

【详解】|z|=J/+从=2,所以/+/=4,

对干A：z-z=(a+bi)(a-bi)=a-+b2=4,故A正确；

*『十B：z'=(a+bi)2=a~-b~+2ab\eR,

所以。=0,〃=0,或aw0,Z?=0,或々=/?=0,

当〃=()力/0时，3=-历任WO)不是实数，故B错误；

对于C：若8=2,则〃=(),所以z=2i为纯虚数，故C正确；

对于D：z=a+历对应的点(。力)表示圆/+从=4上的点，3i对应的点(0,3),

|z-3i|表示点z到3i的距离,

由图可知10z-3i|45,故D正确.

散型IL03共胡复数

9.(多选)已知i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.产

9

B.复数卷的共扼复数为1+i

C.若复数Z为纯虚数，贝Ij|z|2=z2

D.若z，Z2为复数,则忆勾=忆忆|

【答案】ABD

【分析】根据负数的四则运算以及共扼复数概念可以判断A,B；对于C,假设z=i,计算即可；对D,假

设4=4+历，z2=c+d\,a,b,c,JGR,计算即可.

【详解】对于A,产4/「心"A正确：

对于以其共复数为，正确；

14-1（I+一I）1+iB

2

对于C,iuz=i,则lzf=l,z=-1,C错误;

对「D,设ZI=a+/?i,z2=c+di,a,b,c,JeR.则ZR?=ac-bd+（ad+〃c）i,

22222222222222

|Z1Z2|=y/（ac-bd）+（ad+be）=\Jac+bd+a（I+bc=\la4-Z?•\jc4-d=卜J|z2|，D正确.

故选：ABD.

10.（多选）若复数z满足i.z=l+3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z=3-iB.三的模为4

C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.z-2z=-3-3i

【答案】ACD

【分析】利用复数的除法化简得出复数z,可判断A选项；利用共扰复数的定义以及复数的模长公式可判

断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为i・z=l+3i,z=—=^-=3-i,A对；

ii

对于B选项，z=3+i.则同=仔1=而，B错：

对于C选项，z在复平面内对应的点的坐标为（3,-1）,位于第匹象限，C对；

对于D选项，z-2z=（3-i）-2（3+i）=-3-3i,D对.

故选：ACD.

11.（多选）设4，Z2是复数，则二列说法正确的是（）

A.若2］々2=0,则4=0或4=0

B.若z：wR,则Z|eR

C.若上卜㈤，则Z1・Z1=z2*z2

D2ZZ+Z2_4ZZ

-|1-2|=7(12)>2

【答案】AC

【分析】由归・勾一㈤|电厂0,可得㈤一。或㈤一0,可判定人正确；rtiz,=-1+^i,可判定B不正确;

由4£=|才,22,=上|2,可判定C正确；取4=1+1/2=17,根据复数的运算法则，得到

2

|z,-z2|^>/(Z1+Z2)-4Z,Z2,可判定D不正确.

【详解】对于A中，若2=0,可得匕勾=闻区|=0,可得㈤=0或同=0,

所以4=0或Z2=0,所以A正确；

对于B中，例如马=_'+3匕可得z：=l,此时4不是实数，所以B不正确;

22

对于C中，由复数的运算法则，可得Z|£=B『,Z2耳=上『，

若㈤=忆|，可得Z/Z=Z2・W，所以C正确；

对于D中，取Z]=l+i,Z2=1-i,JjllJlzj-z2|=|2i|=2,ziz2=2,

所以J(4+Z2)2—4Z|Z2=j22-4x2=q.此时2H/4，所以D不正确.

故选:AC.

12.已知复数z满足(2—i)-z=i,则三=.

【答案】

【分析】应用复数的除法法则化简z,然后利用共辄复数概念求解即可.

/、ii(2+i)-l+2iI2.

【详解】复数Z满足(2-i).z=i,则2=17r研商=不？=丁升

I2

故答案为：-不一11

JJ

观型（04复数的几何意义

3

13.复数z=2i--在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简，再根据其复平•向内对应的点判断即可.

【详解】z=2i—11T=2i-湍尚=公一三工=一9+夕

37

z在复平面内对应的点为，在第二象限.

252

故选：B.

14.设复数2T和3+4i在复平面上所对应的点分别为A和4,其中i为虚数单位，则向量A8所对应的复数

在复平面上所对应的点位于第（）象限

A.—B.二C.三D.四

【答案】A

【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解.

【详解】依题意得,4（2,-1）,5（3,4）,

则A8=（3,4）—（2,T）=（1,5）,

得向量AB所对应的复数在复平面上所对应的点为：（L5）,

则点（L5）位于第一象限，

故选:A

15.在复平面内，复数z对应的点的坐标是则忖=

【答案】抠

【分析】根据复数的几何意义求解复数的模长.

【详解】因为复数z对应的点的坐标是（-1,后），

所以忖="_1『+（应y=•

故?专案为：&.

16.已知复数马=-2+4i,z2=-l-3i.

⑴求幺；

z2

（2）在复平面内，复数不z?对应的向量分别是04,08,其中。是原点，求NAQ8的大小.

7I

【答案】（1）（一事

4

【分析】（I）根据共挽复数的定义求I，再根据复数的运算法则求结论；

（2）结合复数的几何意义求向量0405的坐标，再结合向量夹角求/AO4的大小.

【详解】（1）因为马=-2+4i,所以2=-2-痢，乂Z2=-l-3i,

五-2-4i2+4i(2+4i)(l-3i)

2-6i+4i+1214-2i71.

所以3一_]—3-]+3i_(l+3i)(l—3i)-------------------------=------------=-----------1

101055

(2)依题意向量3=(—2,4),O8=(—1,—3)

于是有OAO8=(—2)X(T)+4X(—3)=-10

|oz|=7(-2)2+42=2X/5,|OB|=7(-1)2+(-3)2=M，

N4O8为Q4与08的夹角，

OAOB-10V2

cos/AOB=COSI)A、O4)==

245Xyfio~2

3

“AO8e[0m],NAOB=—7i.

4

蜕理复数的四则运算

17.已知i为虚数单位，复数z=±-1,则|z|=()

I-1

A.VioB.-C.x/5D.当

2

【答案】B

【分析】法一：若z=l，根据模长公式忖=［求解即可；法二：根据复数的除法运算及复数的模长公式

即可求解.

【详解】法一：・・，=二^2,・・・忖=叱察=芈

1-1|1-i|2

ii(l+i)-1=—+匕

法。Vz=—--1=--———

值一・1-i(l-i)(l+i)222

故选:B.

18.若复数z满足l—2i+z=-2+i,则复数z的虚部为()

A.-3B.-3iC.3D.3i

【答案】C

【分析】借助复数运算法则计算即可得.

【详解】由l-2i+z=-2+i,则z=-2+i+2i-l=-3+3i,

则复数z的虚部为3.

故选：C.

19.i殳i是虚数单位，则复数(I)?-岩等于___.

1-21

【答案】-4i

【分析】利用好数四则运算法则计算出结果.

［详解］复数(1_02_±^=_石_段斗~^=_2i_Wl=7i.

'"<l-2i(l-2i)(l+2i)5

故答案为：-4i.

20.已知复数z满足i.z=l+i,其中i为虚数单位，则z的虚部为.

【答案】-1

【分析】由复数除法、虚部的概念即可得解.

【详解】由题意z=¥=l-i的虚部为T.

故答案为：-1.

散型L06复数的高次方计算

j2O25

21.复数二的虚部为()

1-i

A.-?iB.-iC.!D.—

2222

【答案】C

・XP5।・

【分析】由复数的乘方、除法得1—=±i,结合虚部的概念即可得解.

1-i2

2025

i产如ii(l+i)-i+i

【详解】因为『=丁==「=八\/1上\=~7"，

1-11-11-1(1-1)(1+1)2

；2025

所以复数二的虚部为;.

1-1N

故选:C.

22I=()

乙乙.।+j2O25'，

A.1B.JiC.也D.2

2

【答案】A

【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果.

1-i1-i1-i(1-i)2-2i..

【详解】由题意得工;严=不严「下=(合(乙/工=H=1

故选：A.

23.若i为虚数单位，则复数z=l-i+i2-i3+…一产》的虚部为()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【分析】应用复数的乘方运算化简，即可得.

【详解】由z=l_i+i2_i3+...-i必=1一i-l+i+…+产如一]“*出++[4*505+2_14x505+3+i4x506_i4x506+l=l-i,虚部

为-1.

故选：A

24.已知i为虚数单位，设复数z满足三二产"，则2=.

Z

【答案】\-H-M

【分析】利用复数的运算化简可得z.

【详解】因为平甘2025=」）'=「故2-z=iz,可得z（"i）=2,

因此，7=2'；”—

1+1（l+i）（l-i）

故答案为：1-i.

乳理I107与复数模相关的轨迹（图形）问题

25.（多选）设z为复数，则下列说法正确的有（）

A.若|z|=l,则2=±1或z=±iB.若|z—（2+i）|=l,则忖的最小值为6—1

C.若z=V5—2i,则忖=7D.若1+i是实系数方程X2+如+〃=0的一个根，则。+。=0

【答案】BD

【分析】对于A,通过反例可判断，对于B,由|z-（2+i）|=l,确定复数z在复平面上点的轨迹为以（2,1）为

圆心，以1为半径的圆，即可判断，对于C,由模长公式即可判断，对于D,将1+i代入方程，即可判断.

【详解】对于A,取2=^+乎i,此时|z|二l,故错误；

对「B,由|z-（2+i）|=I,可知复数z在复平面上点的轨迹为以（2,1）为圆心，以1为半径的圆，

所以|z|的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即道-1,正确：

对于C,由模长公式可得同=近，错误；

对于D,由条件可知（l+i1+a（l+i）+Z?=0,

化简可得：（a+2）i+a+匕=0,

所以a+Z?=0,正确，

故选：BD

26.（多选）下列有关史数的结论正确的是（）

A.3+i>1+i

B.若复数z=/〃+l+（"1）i是纯虚数，则〃2=-1

C.若2i-3是关于％的方程+px+g=0（〃MeR）的一个根，则〃+4=38

D.若复数z满足iw|z|v四，则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

【答案】BCD

/、fn+\=O

【分析】由复数的有关概念即可判断A：由复数2=/〃+1+(〃7-于是纯虚数可得《1八，解之即可判断B;

由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共粗复数的结论即可得P，，/的值，则C可判断；由复数的

几何意义，结合数形结合的方法即可求得D.

【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误；

因为复数z=〃?+l+(〃Ll)i是纯虚数，

/n+1=0

所以｛1八，解得"7=-1,故B正确；

，〃一1二0

因为2i-3是关于x的方程2/+必+4=0(〃,”田的一个根，则另一根为—2i—3,

2i-3+-2i-3=—^=-6

2

由根与系数的关系可得，解得〃=123=26,

(2i-3)(-2i-3)=1=13

则p+