2026年中考数学：圆的相关概念和基本性质（知识解读+例题讲义）解析版

第26讲圆的相关概念和基本性质

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知识点1：圆的定义及性质

知识点2：圆的有关概念

知识点3：垂径定理及应用

知识点4：圆心角和圆周角的相关概念

知识点5：圆内接四边形

M知识梳理

知识点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的--个端点0旋转--周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到•个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴：

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作靠，读作圆

弧AB或弧ABo

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。«

劣弧的概念：小于半圆的孤叫做劣弧“

知识点3：垂径定理及应用

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论L1）平分弦（不是直径）的直径垂直「弦，并且平分弦所对的两条弧;

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的•条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另•条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rta,用勾股，求长度:

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

垂径定理的应用：经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

知识点4：圆心角和圆周角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角，

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量

相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对为圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即；圆周角=；

圆心角）

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

知识点5：圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外带等于它的内对角。

即：在。O中，•・•四边43co是内接四边形

ZC+ABAD=180°N8+NO=180°

/DAE=ZC

百题型精讲叶

【题型1圆的基本概念与辨析】

【典例1】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④

长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不•定是半圆.其中正确的说法有：）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念.

根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需

在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆.

【详解】解：•.•直径是圆中最长的弦，

・•・①正确；

•••弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心，

.•.②错误；

•••半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧，

二③正确；

•・・在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧，

仅长度相等不一定是等弧，

.•.④错误；

•••半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆，

.••⑤正确.

・•・正确的说法有①、③、⑤，共3个,

故选：C.

【变式1】如图，48是。。的直径，点。、。在。0上，116°,ADWOC,〃。。的

度数为（）

A.30°B.64°D.52°

【答案】D

【分析】此题考查了半径相等，平行线的性质及三角形内角和定理.根据三角形内角和

定理可求得乙4OC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得〃0。的度

数.

【详解】解：•.28。。=116。，Z.BOC+Z.AOC=180°,

:/AOC=180°-z^OC=64°,

-ADWOC,

.4=/.AOC=64°,

•：OD=OA,

••・40=Zi4=64°,

••/AOD=180。-244=52°.

故选：D.

【变式2】如图，A,B,C三点在。0上，若OAIICB,2c=40。，则iA的度数是（）

A.140°B.90°C.70°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质.利用半径相等结合等

边对等角求得N08C=ZC=40%乙OAB=乙。84再根据平行线的性质列式计算即可求

解.

【详解】解：连接。儿

•••OB=OC,Z-C=40°,

"OBC="=40°,

'-OA=OB,

-Z.OAB=Z.OBA,

-.OAWCB,

：.^A+Z.ABC=180°,

:2+Z.ABO+40=180°,即2乙4+40=180°,

••・乙4=70°,

故选：C.

【变式3】下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.等孤所对的弦必相等

【答案】D

【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的美系，圆是轴对称图形以及垂径定理，圆心角、

弧、弦的关系：在同例或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对

弦的弦心距也相等.根据圆的相关性质逐一判断即可.

【详解】解：A.平分弦（非直径）的直径垂直于弦.并且平分弦所对的弧，故该选项

错误:

B.圆是轴对称图形，任何•条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项错误：

平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；

C.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误：

D.同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；

故选：D.

【题型2垂径定理】

【典例2】如图，AB是CO的弦，半径0C14B于点D.若48=8,0C=5.则。。的长是

（）

A.3B.2C.6D.2

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键.

由垂径定理得到4D的长，再由勾股定理解答即可.

【详解】解：-OCLAB^AB=8，

■AD=\AB=gx8=4,

又丁。力=0C=5,

•••在Rt△。力。中，OD=>/0A2-AD2=,52-42=3,

故选：A.

【变式1】如图，在。。中，弦48的长为8,圆心。到AB的距离。£=4,则。。的半径长

为（）

A.4B.4bC.5D.5日

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到4E,再根据勾股定理求解

即可.

【详解】解：•・•在。。中，弦4B的长为8,圆心。至以3的距离0E=4,

-0E1ABAE=^AB=4.

在RtZXAOE中，0A=y/0E2+AE2=742+42=41/2,

故选：B.

【变式2】如图，圆形拱门最下端力8在地面上，。为”的中点，C为拱门最高点，线段C。经

过拱门所在圆的圆心，若4B=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接04先证明

CDLAB.AD=BD=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可;

【详解】解：如图，连接。小

•••D为A8的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在I员I的圆心，A8=1m,

'CD±AB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为r,

-'0A=0C=r,而CD=2.5m,

-OD=2.5—r,

.*.r2=0.52+(2.5—r)2,

解得：r=1.3»

.••拱门所在圆的半径为1.3m；

故选B

【变式3】工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）

所示的工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图

（1）所示的力、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及.4、B、

E三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，力8是的弦，CO切于

点、E,AC1CD.BDLCD,若C0=16cm,AC=BD^4cm,则这种铁球的直径为（）

图（1）图（2）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】C

【分析】连接O/，OE,设Of与月8交于点P,根据=ACLCD，BD1CD得

四边形/18QC是矩形，根据CO与。。切于点1龙为。。的半径得OEJ_CD，

0E1AB,^PA=PB,PE=AC,根据边之间的关系得24=8cm,AC=BD=PE=4

222

cm,在口△04P,由勾股定理得，PA+OP=OAf进行计算可得=10,即可得这

种铁球的直径.

【详解】解：如图所示，连接04,OE,设OE与4B交于点P,

cD

E

,-AC=BD,AC1CD,BD工CD.

••・四边形力8QC是矩形，

・•・CQ与。。切于点E,0E为。0的半径,

••.OEJ.CO，OE1AB,

：.PA=PB,PE=AC,

vJ^=C/)=16cm,

•■PA=8cm,

,-AC=BD=PE=4cm,

在RtAOAP,由勾股定理得，

PA2+OP2=OA2

82+(0A-4)2=OA2

解得，04=10,

则这种铁球的青仔=254=2x10=20cm,

故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点.

【题型3圆心角和圆周角】

【典例3］如图，已知点4、B、C在。。上，C为丽的中点.^Z.BAC=35°,则〃。8等于

()

【答案】A

【分析】连接0C,如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案.

【详解】解：连接0C,如图所示：

点人B、C在。。上，C为南的中点,

BC=AC,

:.乙BOC=LAOC=~LAOB^

vZ.BAC=35°,

根据圆周角定理可知zFOC=：2ZLBAC=70°,

:•乙AOB=2Z.BOC=140%

故选：A.

【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系

是解决问题的关键.

【变式1】如图，点4B,C在。。上,若N。=64°,贝叱4=()

(

A.16°B.32°C.48°D,64°

【答案】B

【分析】本题主要考查圆周角定理,掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的

一半是解题的关键.

直接运用圆周角定理求解即可.

【详解】解：•.2。=64。，

-Z.A==32°.

故选：B.

【变式2】如图，AC,BC为O0的弦，连接。4,OB,0C.若匕力08=40。,Z0C4=30。，

则NBC。的度数为()

c

A

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出

/-ACB=^AOB=20°,即可求解.

【详解】解：•••乙4。8=40。/。。4=30。，

：./.ACB=\^AOB=20°,

•SCO=LOCA+LACB=30°+20°=50°,

故选：c.

【变式3】如图，力B是。。的直径，Z.BAC=50°,则4n=()

【答案】B

【分析】根据圆周角定理可进行求解.

【详解】解：必8是。。的直径，

；/ACB=90。，

••54C=50。，

.•.乙48C=90°-NB4C=40°,

,.•AC-AC,

=4ABC=40°；

故选B.

【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关

键.

【题型4圆内接四边形】

【典例4】如图，已知四边形4BCD是O。的内接四边形,E为4D延长线上一点,41。。=128。,

则上CDE等于（）

A.64°B.60°D.52°

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理.，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得乙4BC的度数，再根据圆内接四

边形对角互补,可推出“DE=〃BC,即可得到答案.

【详解】解：•・・△ABC是圆周角，与圆心角Z40C对相同的弧，且乙4。。=128。，

Z.ABC=\LAOC=1X128°=64°,

又四边形ABC。是O。的内接四边形,

二^.ABC+Z.ADC=180°,

XVZ-CDE+Z-ADC=180°,

•••Z-CDE=Z.ABC=64。，

故选：A.

【变式1】如图,四边形4BCO内接于O。，AB=BC,连接80,若Z/BC=70。，fflzFDC

的度数为（)

A.20°B.35°D.70°

【答案】C

【分析］此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到

Z/1DC=110°,根据＜8=8C得到乙即可得到的度数.关键是根据

圆内接四边形的性质得到乙4DC=110°解答.

【详解】解:由圆内接四边形的性质可知:4ADC=180。一乙48c=180°-70°=110°,

r\?"\

'：AB=BC,

•••Z.ADB=乙BDC,

-Z.ADC=乙BDC+Z-ADB,

:•LBDC=\LADC=55°.

故选：C.

【变式3】如图，圆内接四边形/18C0中，乙BCD=105。，连接OB,OC,OD,BD,

z.ROC=2Z.C.OD.则乙CHO的度数是（）

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】根据圆内接四边形对角互补得出乙4=180°-105°=75。，根据圆周角定理得

IWZ.BOD=2"=150°,根据已知条件得出NC。。=*80。=50°,进而根据圆周角定

理即可求解.

【详解】解：•••圆内接四边形4BCD中,Z.BCD=105°,

.♦24=180°-105°=75°

:ZBOD=2LA=150°

“BOC=2^-COD

J=50。，

­.CD=CD

.zCBD=^COD=7X50°=25°,

故选：A.

【点睛】本题考查了国内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

为随堂检测「

1.下列各项命题中，属于真命题的是（）

A.相等的弦，所对的圆周角相等

B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长

C.相等的圆心角所对的弦相等

D.相等的弧，所对的弦相等

【答案】D

【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解“在同圆或等圆中，弦、弧、

圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键.

【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意;

B.同圆或等圆中，若弧为优弧，则较长的弧，所对的弦越短；不符合题意，故结论错误;

C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等：结论错误，故不符合题意；

D.相等的弧，意味着在同圆或等圆中，那么所对的弦相等；结论正确，故符合题意；

故选：D.

2.如图，。。中，为弦，OC为半径，且0C14B于点＞若4B4C=32。，则4/M。的度

数为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理.由题意易得48。。=2匕8力。=64。，进

而可得408力=90。-乙80C=26。，再根据等边对等角即可得出结论.

【详解】解：•.由=丽，乙BAC=32。,

:/BOC=2Z.BAC=64°

,'OC1AB,

••ZOBA=90°—NBOC=90°-64°=26°,

：0B=OA

“BAO=Z.ABO=26°,

故选：B.

3.如图，。。的直径718=4,半径。CJ.48,点。是弧BC上的一个动点，OE_LOC,

DFLAB,垂足分别是E、F,则EF长()

A.变大B.变小C.先变小，再变大D.不变，始终等于2

【答案】D

【分析】本题考查矩形的判定和性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把Er转

化为0。是解题的关键..

【详解】解:连接0D，

-0C1AB.DE10C.DF上AB,

:/EOF=Z.OED=Z.OFD=90°,

••・"DE为矩形，

:EF=OD=1AB=3x4=2,

•••EF长不变,始终等于2,

故选D.

4.如图，在直径为10cm的。。中，弦/18=6cm,0CJ.4B于点C,则。。=()

A.3cmB.4cmD.6cm

【答案】B

【分析】根据垂径定理，结合勾股定理OC=即可求解.

【详解】解：：。。的直径为10cm.

:=5cm,

'-'AB=6cm,OC1AB

"C=3cm

；.OC=y/AOz-ACz=4cm，

故选：B

【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分弦.熟记相关结论即可.

5.如图，点4B,。在。。上，点C是劣弧人8的中点，若乙1。8=160。，则的度数是

()

A.10°B.40°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系.连接OC,由点C是劣弧

丽的中点得后=就，故乙40C=4B0C，再由同弧所对圆周角是圆心角的一半即可.

【详解】解：如图，连接。。

•••点C是劣弧南的中点

.-.AC=BC

•••Z.AOC=LBOC

•••LAOB=160°

.-.Z.BOC=^AOB=S0°

/.Z-BAC=、BOC=40°.

故选：B.

6.如图，是。。的直理，若乙E=30。，则乙4。。的度数为（）

【答案】A

【分析】本题考查了员I周角定理，掌握圆周角定理是关键.

根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：、•弧AO所对的圆周角是乙E=30。，所对■的圆心角是200,

；/AOD=2Z.E=60°,

故选：A.

7.如图，AB是半圆。的直径，C,D,E三点依次在半圆。上，若NC=140。，则NE的度

数为（）

D

cE

AOB

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】连接根据直径所对的圆周角是直角可得乙AE8=90。，再利用圆内接四边

形对角互补可得乙4ED=18O0-ZC=40。，然后进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

【详解】解：连接AE,

是半圆O的宜.径,

•ZEB=90°,

•四边形4CDE是圆内接四边形,

.­•ZC4-LAED=180°.

vzC=140°,

-.Z.AED=18O°-ZC=40°,

.ZDEB=Z.AEB+Z.AED=90°+40°=130°.

故选：C.

8.如图，四边形ABCD内接于。。，AB=AC,ABWCD,zfi=70°,连接AC,则“AD的度

数为（）

A.25。B.28。D.35。

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平彳J线的

性质，三角形内角和定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键：

根据四边形48co内接于O。，得到=180。：根据而=前，得到

乙B=乙4。。=70。，利用平行线的性质得到上B4C=〃CD=40。，再运用三角形内角

和定理解答即可.

【详解】解：•.•四边形4BCD内接于。0,LB=70S

•"+zD=180°,

=180°-70°=110°,

'.,AB=ACy

；/B=Z.ACD=70°,

MB+Z.ACD+Z.BAC=180°.

：.Z-BAC=180°-70°-70°=40°,

-ABWCD.

：./.BAC=LACD=40°,

：.^CAD=180-Z/1CD-ZD=30°：

故选：C；

9.如图，点。在△/BC的边3c上，AC=OC,"=36。,以。为圆心。/为半径的圆交/IB于

点D,且8。=。4,则乙B的度数是。.

【答案】24

【分析】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三

角形的性质、三角形外角性质是解题的关键.

连接OD,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得乙4OC=T

X(180°-36°)=72°,根据三角形的外角的性质“OC=4B+求解即可.

【详解】解：如图，连接

A

BOC

vBD=OA=00,

:•乙B=乙BOD,Z.0DA=Z.0AD,

vZ.0DA=+乙BOD,

•••Z.0DA=Z.0AD=2/-B,

'.•ZC=36°,AC=0C,

Z,A0C=|x(180°-36°)=72°,

vZ-AOC=Z.B+Z.0AD,

/.3乙B=72°,

:•(B=24°,

故答案为:24.

10.如图，四边形48CD内接于。0,48为直径，BC=CD,连接力C.若乙。48=40。，则乙。

的度数为.

【答案】110°

【分析【本题主要考查圆心角、弧、弦之间的关系、同圆（或等圆）中同弧所对的圆周

角相等、直径所对的留周角为90。和园内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角

互补是解题的关键；先根据弧、弦之间的关系得出心=而，再根据圆周角定理得出

4D4c=/R4C,直径所对的圆周角为90。,求出乙4BC,最后根据圆内接四边形的性质

得出ND+N/1BC=180。，求出答案即可.

【详解】解：•••BC=CD,

:.BC=CD,

•''Z.DAC=Z.BAC.

•••匕。713=40。，

.'.Z.BAC=Z.DAC=2O°.

•MB是。。的直径，

乙力CB=90。，

.'./-ABC=90Q-ABAC=70O.

••・四边形A8CD内接于O。，

:/D+z.ABC=180°,

.•.zD=180°-70°=110°.

故答案为:110°.

11.一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直

径？小聪同学所在的学习小组想到了如卜.方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的

上下边沿分别与杯口相交于4B,C,。四点，利用刻度尺量得该纸条宽为4.2cm,

AB=3.6cm,CD=4.8cm.则纸杯的百■杼为.

【答案】6cm

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求M8N,DM的长，设

0M=x,由勾股定理得到公+2.42=(4.2-xK+IS?,求出x的值，得到的0M长,

由勾股定理求出。。长，即可求出纸杯的直径长.

【详解】解：如图，设杯口所在圆的I员I心为O,CD的中点为M,的中点为N,

连接0。,0B,则MNJ.A8,MNLCD,且MN过圆心O,

:.DM=^CD=x4.8=2.4.BN=^AB=x3.6=1.8,

由题意，得MN=4.2,设0M=%，

:QN=MN-0M=4.2-x,

vOM2+MD2=OZAON2+BN2=01,

:.0M2+MD2=ON2+BN2,

.­,X2+2.42=(4.2-X)24-1.82,

•—=1.8,即0M=1.8，

••.OD=VOM2+MD2=3,