梅河口市某中学2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试卷（含解析）

吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期数学期中考试

一、单选题

1.命题R,siru4e，”的否定为（）

A.3LveR,sin.v>e'B.BXGR,sin.v>e'

C.VXGR,sin.r<eTD.VXGR,sin.v>er

2.已知向量"=(1,2),〃=(—2,x),且〃//人则]=()

A.-1B.1C.-4D.4

3.已知向量”，力满足卜|=1,k=2,,一母=不，贝必+〃在万上的投影向量是（）

B.53

A.—bC.--bD.——b

444

4.的图象是（）

5.®>O），若把/（x）的图象向右平移!个单位长度后得到的图象关于点

O

5,0对称，则口的最小值为（）

I/）

A.2B.3C.4D.5

6.已知P-A4C为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（）

A.6%B.127：C.247cD.36兀

ABAC=石，则此三角形为（）

7.已知VA4c中,BA+BC]AC=O,M+M

A.等边三角形B.等腰非等边三用形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.如图，在V4BC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线月及AC于不同的两点M.N,若

381

AB=mAM,AC=nANm>0,n>0.则二+-----的最小值（）

fm3n+2

M

A.2B.8C.9D.18

二、多选题

9.（多选）下列命题中正确的是（）

A.棱柱的侧面一定是平行四边形

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.棱锥的各侧面一定有一个公共点

D.棱台各侧棱的延长线交于一点

10.设I是z的共粗复数，下列说法正确的是（）

A.|z-z|=|z|2B.若z=L则旧=1

C.若㈤=忆|,则Z：=z；D.z+W是实数

11.如图，在VA8C中，BC=3,。为8c边上的中点，/BAD=a,NCAD=/3,且a+〃=与，则（）

sinaAC

A.VA3C外接圆的半径为2石B-------=------

,sinpAB

D.4。的最大值为更

C.AC的最大值为3

2

三、填空题

12.（5a-4/?+c）-3（a-3〃+c）-7a=.

13.在VA8C中，点。满足AB=4AD，若对任意feR，均有，。一必今N,则co»的最小值是,

14.已知VA8C是边长为1的等边三角形，尸为平面48c内一点，则PA-(P4+PC)的最小值是

四、解答题

15.己知向量”，〃满足同=1,卜］=2,且。与b的夹角为泉

⑴分别求与卜训的值；

⑵若(。+〃)“"妨)，求攵的值.

16.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为。，沿倾斜角为夕的斜坡向上走。米到8,在3出测得山顶P得仰

角为

(1)若尸=15°,求坡面的坡比.(坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值)

flsinasin(/-/?)

⑵求证;山高力二

sin(7-a)

17.如图，一块扇形铁皮AO8,半径。4=36厘米，圆心角44。3=1，现剪下一个扇环A8CQ做圆台形容

器的侧面，并从剩余的扇形CO。内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面).

O

(I)。。应取多少厘米？

(2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？(不计连接处损耗)

18.记V/WC的内角AB,C的对边分别是4,b,c,已知c(2cosC-cosA)=acosC,B*2c.

(1)证明：VA8C为等腰三角形：

(2)若A8边上的高为后，且7cosA=2cos3,求VA4C的周长.

19.对于定义域为A的函数y=如果存在非零常数c,VxwAj"+c)W(x)+c,那么称函数““具

有性质尸(c).

⑴判断函数）［=21-1,%=人是否具有性质/1），并说明理由；

（2）设Ovavl,证明：函数y=a、Tog2X具有性质产（。）：

⑶若函数¥=42•具有性质P（c）,求。的取值范围.（参考公式：cos2x=l-2sin2x）

题号12345678910

答案I)CBAACAI)ACDABD

题号11

答案BC

1.D

利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解作答.

【详解】命题“七wR,siiuWei是存在量词命题，其否定是全称量词命题,

所以命题“3eR,siiuYe"”的否定是：VxeR,sinv>e\

故选:D

2.C

由向量平行的坐标表示可求得工.

【详解】因为。=(L2),力=(-2/),且〃///,,所以X—2x(-2)=。，解得x=Y.

故选:C.

3.B

【详解】由题可知，向量〃，〃满足忖=1,忖=2,卜—q=j7,

.2

所以a=7&-2a.b+b=7(i•b=—\»

u+b^b

,ah+h,*1.

则〃+〃在〃上的投影向量为•b=---；——b

Nw44

4.A

利用特殊点法判断即可.

【详解】因为/(加急卜如苦｝

71

所以年>°'故排除C；

I'COS-3

3

-如<0,

故排除B：

3，

It

所以/（工）在0，T不可能单调递减，故排除D；

因为排除了BCD,而A又满足上述性质，故A正确.

故选：A.

5.A

根据平移写出函数解析式g（x）=sinfs+F7,可得⑦+一\=E，运算得&=301,ZwZ得解.

ko；26

【详解】由题意，平移后函数解析式为g（"=sin卜林+—,

由题意得二。+与色7t二妹，ke7」,

26

解得3=3&-1,keZ,日.3>0,

当1=1时，稣in=2.

故选:A.

6.C

通过补形的方法求得正确答案.

【详解】将正四面体P-4BC补形成正方体如下图所示，

正四面体的棱长为4,所以正方体的边长为4x立=2夜，

2

所以正方体的对角线长为2拒xG=2#,

所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为6,

所以外接球的表面积为471x（新）、24兀.

7.A

若。是AC的中点，易得BQ-AC=O,即8O_LAC,再应用向量数量积的运算律和定义可得cosA=Q,即

4=T，即可确定三角形性状.

【详解】若。是AC的中点，则BQ=；(84+8C),故(BA+8C)AC=2BOAC=0,

所以80_LAC,显然VA8C为等腰三角形，即8A=8C,

,ABACIABAC,n-----------“_

由r+]\=(1r+1r)=V1+2cosA+1=V3,可得cosA=—,

AB\\AC\V卜.\AC\2

又OvAv兀，故A=],故V48C为等边三角形.

故选：A

根据条件,利用向量的中线公式及“爪子”定理,得〃叶〃=2,从而有3加+3〃+2=8,再利用基本不等式,

即可求解.

【详解】因为点。是8c的中点，则AO=-(AB+AC\,又A8=〃?AM,AC=〃AN,则AO=-mAM+-nAN,

2V722

1

--a

2

又。,三点共线，则AO=2AM+(1—4)AN,所以彳1

-1

2=1-

由〃z+〃=2,得到3/〃+3〃+2=8,所以

381亮卜…计2)243，〃9(3〃+2)

一十--------

tn3〃+23/2+23/〃

又心。,〃＞。，则必+9(3"2)2/a.9(3〃+2)=54,

3〃+23mN3〃+23m

m+n=2

24

当且仅当J243机_9(3〃+2),即加=不〃=可时取等号，

3/7+23m

3X1

所以L，、(9+54+81)=R

9.ACD

根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项.

【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确;

对于B选项，如图，平面ABC〃平面A4G，

B

但图中的几何体每相邻两个四功形的公共功并不互相平行，故不是栩林，故B错误：

对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确；

对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正

确.

故选：ACD.

10.ABD

根据复数的四则运算、复数的模、共规复数以及复数的定义加以计算判断.

【详解】对于A,令z=a+阮a,〃wR,则三=々一〃i，

于是z・z=(a+Z?i)(a-历)=/+力2=,臼=卜「，所以A正确；

对于B,z=a+b\,a,beR,则£=〃一/力，因为z=L

Z

7*.+=+方2=]=同2J=同，所以R正确：

对干C,令Z1=l,Z2=i,满足㈤=上|,

而2：=1闫=-1,Z：NZ；,所以C错误;

对于D,令z=a+bi,a,beR,则三=〃_5，

而z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a是实数，所以D正确.

故选：ABD.

11.BC

对于选项A,根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B,在两个小三角形中，分别运用正弦定理,

结合中线的定义进行判断即可：对于选项C,运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D,结合

选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为赵.

2

2夫_BC;3五

【详解】对于选项A：根据正弦定理可得一5抽（。+夕）—走—，解得R=G，

T

所以VA3C外接圆的半径为白，A错误；

……BDAB「山、一BDsinZADB

对于选项B：在△AB。中，--=~~~——,所以sina=----------.

sinasinZ.ADI3AB

升…+CDAC叱八一。CDsin/ADC

在,.AC。中，—~^=./“”，，所以sin〃=.....-----.

sinpsinZADCAC

因为BD=CD,sinZADB=sinNADC,

”,sinaBDsinZ.ADBACAC一.

所以「二=----------x•，B正确；

sinpABCDsinZADCAB

对于选项C：根据余弦定理得4c2=AH2+AC2-2ACcosNBAC=AB?+AC2+AliAC=9

可得AA2+AC2+AA・AC=9N3AB・AC，

所以AZTACM3,当且仅当A8=AC=3时等号成立，此时ABAC的最大值为3,C正确;

对于选!®D：因为AO=；（A8+4C）,

所以|何=；（A8+4C）2中网2+时+2网|4Cgs第=；阿+时一网阿

因为4B2+AC2+A&AC=9,所以4力+4。2=9-ABAC，

所以卜42=；低81+卜42-,斗卜4）=；（9-2|48|卜4）,

当网・“|=3时，-2x3）=1,所以从。二告，此时40取最小值.

所以的最小值为"，D错误.

2

12.-5«+5b-2c

根据向量运算法则，化简整理即可.

【详角《】由题意（5a—4〃+c）—3（a—3Z?+c）—7。=—5a+5b-2c.

4

13.-/0.8

5

根据给定条件，结合向量的几何意义可得a）_L8C,确定点C的轨迹，进而求出8必的最小值.

【详解】在直线"C上取点E,令3c=笈£，不等式忸。一5。月8|a|EZ）闫。4,

依题意，CO是点。与直线8C上任意点距离的最小值，则CQ1BC,

点C在以为直径的圆。上(除点用。外)，当AC与圆。相切时，NA最大，cosA最小,

令A£)=2,则8。=6,圆。半径CO=3,AO=5,AC=4,

AC4

所以8"的最小值为而下

建立直角坐标系，结合向最数最积求解即口「.

【详解】以线段8c的中点。为坐标原点，3C所在直线为x轴建立如图所示的平面宜角坐标系,

设点尸伍力，则叫T，苧7，PC=f1-x,-3J,明信一f

所以PB+PC=(—2x,—2y),

3

则PA(PB+PC)=2X2-2)，y=2/+2户伤=2/+2

T-8

当且仅当x=0,)'=乎时，幺.仍4+。0取最小值一，

15.(1)1,Q

2

(2)t=-

(I)根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.

(2)根据向量垂直，可得到其数量积为0,从而可列出等式求出k的值.

【详解】(1)cib=|«||/?|cos^=lx2xcos—=1.

3

,一〃卜,(a-/?)=yja2—2ab+b2=Jl-2+4=>/3.

(2)因为(d+A)_L(d-心),

(a-\-b^^a-kh^=a~+(\-k)db-kb1=0

2

所以1+1—左一4k=0,解得左=g.

16.(1)2-75

(2)证明见解析

(1)由题意利用坡面的坡比的定义计算可得：(2)求得的以的长度和正弦定理可求得山的高度.

【详解】(1)坡面的坡比为

tanp=tan15=tan(450-30)=3n*3n30---1—=2-43

l+tan45tan30,,石

1+lx-

3

(2)在二48P中，乙48P=180-y+0,

ZBPA=180o-(a-p)-ZABP=180°-(a-p)-(180°-Y4-p)=Y-a

在../WP中,根据正弦定理

AP_A3_________AP_a

sin/AAPsinZAPB'sin(1800-y-p)sin(y-a)'

A尸二竺她二坦

sin(y-of)

▼…一、i/.asinasin(y一/)

所以山身为才=APsina=-------------

sin(y-a)

17.(1)18

(2)1987c

(1)根据A8的长度等于。1的周长可计算出。1的半径，再根据几何关系可计算出OC的长度；

(2)根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知.

【详解】(1)连接。。并延长交CO于点N,过点。作交OC于点M,

因为乙408=^,所以A8的长度为36^=12兀，所以C。的周长为12兀,

所以2心0幽=12兀，所以，M=6,

在RtZ^aMO中，ZO.OM=-,所以。«=2。也=12,

所以oc=oq+qN=oq+aM=i8,

所以OC应取18厘米

C\i

M

O

(2)设圆台上、下底面的半径分别为KG，母线长为,,

因为0C=18,所以co的长度为18《=6兀，所以2叫=6兀，所以4=3,

因为。陷=6,所以与=6,

因为00=18,所以/=08-。4=36-18=18,

所以需要的铁皮为：兀片+兀(彳+幻/=36兀+162兀=198兀平方厘米，

故需要198兀平方厘米的铁皮.

18.(1)证明见解析

(2)2()

(1)利用正弦定理化简条件可得sin2C=sinB,结合三角形内角关系即可证明结论；、

⑵根据cosB=-cos24可得78必=-2cos2A,结合二倍角公式化简可得cosA=1，从而得到sin4=巫，

44

根据八△边上的高为力=/,可得$m4=巫,§皿8=巫即可求解

ba

【详解】(1)因为C(2CQSC-COS八)=acosC,

由正弦定理可得sinC(2cosC-co$A)=sinAcosC,

即2sinCeosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C),

因为在VABC中,sin(A+C)=sin("-B)=sinB,

所以2sinCcosC=sin8,即sin2C=sin8,

因为在V48C中，氏Cw(Om),

所以A+2C=兀或A=2C(舍去),

则B+2C=7t,

则在VAKC中，A=n-B-C=C,

即A=C,

所以VASC为等腰三角形：

（2）由（1）知A=C,a=c,因此8=7i—2A：

因为7cosA=2cosB,代入cosA=cos（兀-2A）=-cos2A

得：7cos=-2cos2A,

所以7cosA=-2（28$%-1）,得14cosA-1）（coS+2）=0

因为A为三角形内角，cosA>(),cosA+2>0,

故：cosA=-