浙教八年级数学上册-探索勾股定理 第1课时（分层练习）

2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

基础过关练

题型一：利用勾股定理直接求解

1.在即18。中，ZC=90°,4=30。，JC=3,则力8的长是（）

A.2石B.36C.4百D.6>/3

2.如图，在Rt△44C中，4c=10,48=8,则4c的长为1）

3.如图，//是Rt△48C的角平分线,/。=9（）。，力。=5,/C=4,则点。到48的距离为（）

C

BA

A.2B.3C.4D.5

4.如图，在Rt△44。中，AB=1,力。=2,点。在48的延长线上且80=/IC,连接CO,E为CD

中点，则砥的长是（）

C

ABD

A-iB-Tc-4D-2

5.在无△48C中，有两条边的长分别为1,2,则斜边的长为（）

A.2或后B.2或6C.V5D.J3

6.如图，在《△/班?中，4c4=90。，点。是4B的中点，若6,BC=8,则CQ的长为（）

ADB

A.5B.10C.V7D.2万

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7.在△/仍C中，N8=60。，ZC=45°,若4B=2,则8c长度为（）

A.2B.6C.1+D.>/6

题型二：利用勾股定理列方程求解

1.如羽，在RSABC中,乙ACB=9。，DE垂直平分AB交火.于点D,若的周长为14,且4AC=3//C,

则力B的长为（）

2.如图，在中，4cB=90。，4=30。，/C=4,点。是力〃的中点，连接C。，则C。的长

为（）

A.2B.—C.—D.—

334

3.如图，在中，ZBJC=90°,就是边4c上的高线，。为6c边上一点，且娓=/BAD,

若4E=2,S△3旧,则比的长为（）

3

A.、行+1B.石C.x/5-1D.-

4.如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,5C=6cm,/JC=8cm,按图中所示方法将△8CO沿8。折叠，使

点C落在力8边的C点.则“。C’的面积为（）cm2

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5.如图，4RtAJBCZ^5C=90°,点上在边8C上目8E=3,CE=2AB,连接力E,将△力BE沿力E

进行折叠，点8的对应点为点E,点。是的中点，连接8。，当80〃四时，AB=

6.如图，长方形/AS中，.4B=3cm,.4£>=9cm,将此长方形折叠，使点“与点力重合，折痕为历

则4BE的面积为cm2

7.如图，在RtZ\/8C中，4=90。，AB、AC边上的中线CD、BE相交于点F,已知CD=6,

BE=&,贝ljBC的长为.

题型三：勾股定理与无理数的综合

1.如图，在Rt△。力4中，4）AB=9（）。,（）A=1,AB=1.以点。为圆心，长为半径画弧交数轴正半

轴于点P，则点。所表示的数是（）

C.◎D.1+V2

2.如图，在平面直角坐标系中，点46的坐标分别为（00，（4,0）,以点6为圆心，以相长为半径

画弧，交x轴负半轴于点C,则的面积为（）

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A.jB.1C.-D.2

3.如图，在数轴上，点A,点8分别表示实数-1,2,过点8作且8c=2,连接力C.若

以点A为圆心，4。长为半径作弧，交数轴正半轴于点。,则点。对应的实数是)

A.屈B.V13-IC.V13+1D.713+3

4.如图，已知正方形48CQ的面积为3,点4在数轴上，且表示的数为-1.现以点彳为圆心，以

力C的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点£（E在力的右侧），则点E表示的数为（）

A.15R.>5C.石-1D.V6-1

5.如图所示，力（3,0）,5（0,1）,以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点。的

横坐标是

6.如图在R38CO中，BC=\tOC=2f以原点。为圆心，长为半径画弧，交数轴于点力,则

点A表示的实数是.

B

/、、、、

।।小彳I。、；、、、、|।」1r

-4-3-2-10（0）12

7.如图，在四边形力4c。中，BA=BC,对角线4c平分次），与4。相交于点O,且D4=DB.若

AB=lO,AC=l6f则力。的长为.

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题型四：利用勾股定理求面积

1.如图，在中，NACB=9M,4C=3,BC=4,CD是43边上的高，则C。的长为（）

2.如图，在△/IBC中，CO平分//CB,BD上CD,BC=3,NA=N4BD=30。，则△力8c的面积为（）

3.如图，在四边形力比中，AB=BC=l,AD=娓,且48C=90。，/410=135。，则匹边形45co的

面积是（）

4.如图，在RtA48C中，/84。=90℃。平分乙化况/£_18于点七，连接BE,48=6,4C=8,则"BE

的面积是,

5.如图，在Rt△川5C中，48C=90。，48=1,BC=2.以点力为圆心，以”长为半径作弧；再以

点。为圆心，以8c长为半径作弧，两弧在力。上方交于点。，连接80,则8。的长为.

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D

6.如图，在△X8C中，AB=ACf。为的中点，DEJ.4B于点、E,若48=10,8c=16,则。E的

长为.

7.如图，ZUBC中，/月。8=90。，点。是力8边上一点，连接CO.AC=10,4）=12,且/月。。=乙4,

则线段8。的长为.

题型五：已知两点坐标求两点距离

1.在平面直角坐标系中，点PG1）到原点的距离是（）

A.-石R.-2C.2D.行

2.在平面直角坐标系中有力（-3,0）、8（0,4）两点，则线段"的长是（）

A.1B.3C.5D.7

3.如图04=>/i3,AB=V26»6（-2,3）,。是坐标原点，则NO/出的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.已知直角坐标系中，△/4C的三个顶点坐标分别是4（-2,0），8（-5,0）,C（-5.4）,连接原点。与顶点

A,则下列线段中长度最长的是（）

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A.OAB.ABC.BCD.AC

5.在平面直角坐标系中，点力（1,2）,纵-3力），当线段最短时，的值为.

6.如图，在直角坐标系中，以点力（3」）为端点的四条射线/出，ACfAD,力石分别过点3（1,1）,点

C（l,3）,点。（4,4）,点£（5,2）,则/创C/DAE（填“>=="或"V’）.

7.设力（。,-2）,8（4,2）是平面直角坐标系中的两点，尸是线段48垂直平分线上的点，如果点P与点

。（1，5）的距离等于2上,则点尸的坐标为.

8.如果在直角坐标平面内有点，（0,-8）、6（6,0）,点C在7轴上，如果/1C=6C,那么点C的坐标

是•

题型六：判断能否组成勾股数

1.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.下列各组

数中是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.2,3,5C.32,42,52D.5,12,13

2.下列各组数构成勾股数的是（）.

A.5B.1.5,2,2.5C.6,8,12D.9,40,41

3.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.下列各组

数中，是勾股数的是（）

A.1,2,3B.4,5,历C.7,24,25D.0.6,0.8,0.9

4.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国占代把直角三角

形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦观察下列勾股数：3,4,

5；5,12,13；7,24,25...,这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1,柏拉图研究了

勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10：8,15,17：若此类勾股数的勾为

10,则其弦是（）

A.25B.26C.27D.28

5.下列四组数中，不是勾股数的是（）

A.a=3,Z>=4,c=5B.a=9,〃=12,c=15

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C.a=5,6=I2,c=13D.Q=3,6=5,C=7

6.观察下列勾股数的规律：

第1组：3,4,5,其中5=,2+4,;

第2组：5,12,13,其中13=疹而；

第3组：7,24,25,其中25=曲三；

第4组:9,40,41,其中41=际后；……

则第片组勾股数中，最大的数（斜边）是（）

A.2/z+1B.2n2+2z/+1C.2/r+2nD.n2+//+1

7.以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（）

A.9,12,15B,03,0.4,0.5C.62,82,102D.

345

8.下列各组数是勾股数的是（）

A.03,0.4,0.5B.母，百C,16,12,20D.8,15,19

题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积

1.如图，用面积分别为1,4和S的三个正方形围成Rt"BC（48C=90。），则S的值为（）

C.3D.1

2.如图，在Rt△月8。中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为力邑,邑.若

S3+E-S[=io.则图中阴影部分的面积为（）

57

A.6B.5C.-D.-

22

3.如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.己知

最大正方形的面积是16,则图中阴影正方形的面积之和为（）

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C.24D.32

4.如图1,以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片4B，C,它们的面积分别记为S，邑，冬.现

将正方形纸片8放置在最大的正方形C内，如图2,阴影部分面积记为其，则下列说法正确的是（)

6

图2

A.B.S；+S；=S；C.S'D.S{+S2=S4

5.如图，在△48C中，41c8=90。分别以为直径向外作半圆，面积分别为'应向，若

C.40兀D.64n

6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正

方形的边长是5,则正方形4&C,。的面积和为.

7.如图，四边形A、B、C、。、E都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、

。的面积依次为5,14,6,则正方形。的边长为.

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8.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作

正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别

是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形

面积为1,则第2025代勾股树中所有iE方形的面积为

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

9.如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，己知③号正方形的面积是1,

那么①号正方形的面积是

10.如图，在♦△48。中,ZBJC=90°,BC=4,分别以力反力。为直径作半圆，面积分别记为5㈤,

则£+$2=

题型八：勾股定理与网格问题

1.如图，每个小正方形的边长为1,MBC的三边a,b,c中无理数是（）

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2.如图，图中小正方形的边长为1,ZU4C的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边人权c的

大小关系正确的是（）

C.a>c>bD.a>b>c

3.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,A,8,C三点均在正方形格点上，则下列结

论错误的是（）

A.AB=2后B.Z5JC=90°C.S^8c=l°D.点A到直线的距离是2

4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点4B,C都在格点上，以/为圆心，力3的长为

半径画弧，交最上方的网格线于点。，则C。的长为（）

C.x/13D.x/l3-3

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,“，c均在网格的格点上，下列结论不正确的是

()

A.BC=x/5B.AB=5C.408=9()。D.S-BC=1°

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6.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4B、C都在格点上，BD上4c于点D,

则“的长为（）

7.如图，小正方形的边长均为1,A、8、C在小正方形的格点上，连接力8,BC，ACf则N4C8

A.45°B.30°C.90°D.60°

8.如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点。，C都在格点上，以点0为圆心，OA

的长为半径画弧，交网格线于点8,则线段BC的长为（）

A.4-2百B.4-6'C.4-35/2D.4-20

题型九：勾股定理中折叠问题

1.如图，在中，/C=90°,点。为8c边上一点，将“CO沿力。翻折得至IJ△力UQ,若点、C在4B

边上，JC=6,8c=8,则BC的长为（）

2.如图，在RtZ\4?C中，ZC=90°,AC=4f8C=6.点从/分别是边力C、上的点，连结M,

将△/£/沿）翻折，使得点A的对称点落在边8c的中点Z）处，则OE的长为（)

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3.有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边ZC=12cir,8C=16cm,现将直角边4C沿直线力。

折卷，使它落在斜边相匕目与NE重合，则。等于（）

A.2cmB.5cmC.8cmD.6cm

4.己知直角三角形纸片48C的两直角边长分别是6,8,现将△/出。按如图所示那样折叠，使点4

与点3重合，折痕为。E,则。£的长是（）

A.3B.jC.4D.1

5.如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为】cm,则长方形纸的面积为（）

6.如图，在口△48。中，/C=90。，力C=41C=6,将它的锐角4翻折，使得点力落在边8c的中点

。处，折痕交彳。边于点E,交,48边于点凡则OE的长为（）

2525

A.2B.3C.-D.-

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7.按国际标准，/系列纸为长方形.将44纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为

力八点4落在线段力。上的点"处，第二次折叠折痕为"、，点£与点。恰好重合.则与=.

BECBECBECBEC

8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边打=6cm,8c=8cm.现将直角边力。沿直线力。折叠,

使它落在斜边相上，且与月石重合，则。的长等于cm.

题型十：以弦图为背景的勾股定理

1.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形48C。与四边形EFG”都是正方形,

若BG=2CG,则小正方形与大正方形的边长之比为（）

£

C.D.

日5

2.将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若M=8,c=5,则图2中阴影部分的面积为（）

3.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角

形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为〃7,〃（〃?>〃）.若

小正方形面积为5,（〃，+〃『=21,则大正方形面积为（)

B.13C.15D.15.5

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4.某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所

示的弦图，图中正方形相CO,正方形EFGH,正方形的面积分别记为S,52,邑.若

A.2^2B.4C.5D.5G

5.第14届数学教育大会UCMET4）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵

爽的“弦图”,如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若

4E+EE=8,G〃=2,则大正方形/出CO的面积为.

6.如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图此

图案的示意图如图2,其中四边形功。和四边形女'G〃都是正方形，aBCG,ACDU,2AE

是四个全等的直角三角形.若EF=1,DE=4,则相的长为.

7.如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图它是由

四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形.若48=10,AE=8f则正方形EFGH的面

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8.我国汉代数学家赵爽用"弦图”证明了勾股定理.如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一

个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形较短的直角边〃=5,斜边c=13,则小正方形的边

长为.

a

题型十一：勾股定理综合应用

1.如图，在中，48边的垂直平分线。E分别交、4c边于点。和点E,且BC?+CE?=/E?.

⑴连接此，求证：ZC=90°；

(2)若NC=4,BC=2,求CE的长.

2.如图，在MBC中，BC=25/17,点。在边力。上，80=8,CD=2.

(1)猜想/力。8的度数，并说明理由;

(2)若48=17,求△48。的面积.

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3.如图，在Rt△力灰?中，NACB=90。，点D、E分别为48、8。上的点，连接AE.

(1)若DE」.力B,平分/历IC,AC=5f48=13,求OE的长度；

(2)若4=30。，OE垂直平分48,连接。。，求证：AWC是等边三角形.

4.如图，在RtA48C中，Z5CJ=90°,4c=12,48=13,点。是RtZ\48C外一点，连接。C,DB,

且CZ)=4,BD=3.

⑴求证：/。=90。；

(2)求四边形力3co面积.

5.如图所示，己知一块三角形的花园，测量发现力8=4。，BC=20m,。是腰力8上一点，且CQ=16m,

BD=12m.

(1)求证：CD：B；

(2)求三角形花园△力8。的面积.

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6.如图，在四边形力灰:。中，/B=90。，AB=2,BC=CD=4,4D=6,连接4C.求匹边形片8CO的

6.根据以下信息，判断三角形的形状.

(1)三角形的三边长〃，b,C满足/一刈=庆一如，判断此三角形的形状.

(2)如图，在△"C中，。_1力8于点。，BD=9,BC=\5fAC=20t判断的形状.

7.实践与操作:如图，在RtZUBC中，4c8=90°.

⑴作48的垂直平分线，交BC于点、P,交于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);

(2)连接力P,若4C=4,CP=3时，求4P的长.

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8.如图，在△/水?中，高力。与高CE交于点尸，AD=CD.

（1）求证：BD=FD；

⑵若8。=2,CD=4f求力3和CK的长度.

9.如图，△/3C与△/OE均为等边三角形，ZCZ?D=90°,BD=&B,连接CE,延长〃。交花于点人

(1)求NFCE的度数;

(2)求证：AF=EF.

题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题

1.如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端力到墙根。的距离为7米，云梯顶

端“到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台用，连接。何，现将云梯的底端力向外

移动到/处，则。必的长将（）

A.小于12.5米B.大于12.5米C.等于12.5米D.大于等于12.5米

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2.如国，一架2.5m长的梯子48斜靠在一竖直的墙力。上，梯子底端3到墙底部。的距离80为0.7m,

如果将梯子顶端4沿墙下滑Mm到。处，梯子底端B将外移的距离8。为（）

A.（J.8mB.0.7mC.U.GmD.0.5m

3.一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7米（即力O=0.7m）,由于楼梯滑动,

底部滑动了L3米（即4O=1.3m）,楼梯的高度为2.5米（即/6=2.5m）,则楼梯下滑了米,（即

求8c的长）.

4.如图所示的两个滑块A,8（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的

滑道上滑动，开始时，滑块A与点。的距离为20加，滑块3与点。的距离为15M.当滑块A向下滑

到点。时，滑块8向右滑动了cm.

5.如图1,某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人.如图2,云梯最多能伸长

到25m（即川?=CQ=25m）,消防车高4m,救人时云梯伸长至最长，在完成从19m［即8£=19m）

高的8处救人后，还要从28m（即DE=28m）高的。处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近

的距离小:为多少米？（延长4C交于点O,40上DE,点、B在DEk,OE的长即为消防车的高4m）

图1图2

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6.如图，一架消防梯48的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端/距墙面。8的水平

距离为7米.

（1）求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？

（2）若消防梯顶端8沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端力在水平方向滑动了多少米?

题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题

1.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（4C=8米），升起云梯到火灾窗

口8.已知云梯48的长为17米，云梯底部距地面的高4£=1.5米，则发生火灾的住户窗口距离地

面的高8。为（）

A.19.5米B.17.5米C.15米D.16.5米

2.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小

明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离

旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.则小明算出旗杆的高度为（）

A.10米B.12米C.13米D.15米

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

3.某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下:

活动项目测量风筝放S的垂直图度

测量示意

图

D

①测得水平距离8C的长为15米.

测量数据记录长度②根据手中剩余线的长度计算出风筝线48的长为17米.

③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米.

任务一如上图，求风筝离地面的垂直高度力。.

解决问题

如果小明想要风筝沿。//方向再上升12米，4c长度不变，则他应该再

任务二

放出多少米的线？

4.学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆月8的高度，通过测量得

到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CZ）为1米，到旗杆的距离CE为12米（如

图2).

根据以上信息，解答下列问题

（1）设旗杆48=X米，则力。=米，AE=米（用含工的式子表示）

（2）求旗杆x的值.

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

5.如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度底，他们测量得到

下面的数据（图中所有点在同一平面内）：

①嘉嘉握住风筝线的手点B到CE的距离8。=7m；

②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线8c=25m；

③嘉嘉握住风筝线的手点B距离地面的高度AB=1.8m.

（1）求风筝距离地面的高度CE的长；

（2）嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米?

题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题

1.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，

一棵高5m,另一棵高2m,两树相距4m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需

要飞（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

2.如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距⑵

则喜鹊至少要飞m.

12m

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵棚的树梢飞到

另一棵树的树梢，至少飞了m

4.如图1,有两棵树，一棵高18米（/4=18米），另一棵高2米（CQ=2米），两树相距12米（BD=\2

米）,

（图1）（图2）

（1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米?

⑵如图2,台风过后，高18米的树力6在点M处折断，大树顶部落在点。处，则树46折断处，”距

离地面多少米?

5.在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住

了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得

放飞点与风筝的水平距离为：5m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的

手到地面的距离相为L5m.已知点4,B,C,。在同一平面内.

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2.7探索勾股定理(第1课时)分层练习(学生版)

(1)求风筝高地面的垂直高度

(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线OC方向再上升12m,请问能否成功？请运用数学

知识说明.

6.学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动,

利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题.

报告测量风筝的垂直高度环.

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

工具皮尺等

是

C

C

示意图

F

D

4_____

/////

先测量水平距离8。，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长防，最后测量放

方案

风筝的同学的身高

数据=16米，8产=20米，＜4=。£=1.7米，ZBDF=90°.

⑴求此时风筝的垂直高度M;

(2)若站在点力不动，想把风筝沿。。方向从点少的位置上升18米至点C的位置(即C9=18米，点

C、点八点。在一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需放出风筝线多少米？

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题

1.如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm,高为8cm的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯

子外面的长度为Acm,则力的取值范围是（）

A.5</?<7B.2<//<4C.4</?<6D.3<h<5

2.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯

子外面的长度为力cm,贝必的取，直范围是（）

A.h<15cmB.h>8cmC.8cm<A<17cmD.7cm<h<16cm

3.已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm,.将一支铅笔按如图方

式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm,,则铅笔的长是（）

A.22cmB.21cmC.20cmD.19cm

4.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作.书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、

广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高几何？译文：现有一扇门，不

知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少.横着放竹竿比门宽多出

4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图.设门的对角线长为x尺,

5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jia）生其中，出水一

尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？"（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池,

水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇它高出水面1尺（即8c=1尺）.如

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端8恰好到达池边的水面。处.问水的深度是多少？则

水深为尺.

6.《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问

水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池堵，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池

塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度.

7.如图在平静的湖面上，有一支红莲84,高出水面的部分力。为1米，一阵风吹来，红莲被吹到

一边，花朵齐及水面（即/出,已知红莲移动的水平距离C。为3米，则湖水深C8为多少？

题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题

1.一艘轮船位于灯塔尸的南偏东60。方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30。方向航行60海

里到达8处，此时与灯塔。的距离为（）

A.27海里B.75海里C.50海里D.156海里

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

2.一艘船由/港沿北偏东60。方向航行24km至8港，然后再沿北偏西30。方向航行32km至。港，

则4,C两港之间的距离为（）

A.16kmB.12kmC.40kmD.877km

3.如图，轮船甲从港口。出发沿北偏西25。的方向航行6海里，同时轮船乙从港口。出发沿南偏

西65。的方向航行8海里，这时两轮船相距海里.

4.如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上."远航''号、"海天”号轮船同时离开港口，各自沿

一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口;小时

后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

5.禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用.如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔

船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、8两地前去劝阻，6min后

同时到达。处.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西23。.

（1）求甲巡逻艇的航行方向；

（2）成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3min后甲、乙两镀巡逻艇相距

多少海里？

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

6.如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在彳处测得灯塔P在北偏东60。方向上，继

续航行1小时到达8处，此时测得灯塔在北偏东30。方向上.

⑴求/4P8的度数；

（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？

7.如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一

固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.

（1）若它们离开港口2小时后分别位于力、，处（图1）,如果知道“远航”号沿射线。1方向航行，“海

天号沿射线方向航行，则力。=海里，BO=海里；

⑵若它们离开港口1.5小时后分别位于4、B处（图1）,且相距30海里,如果知道“远航”号沿东

北方向航行，能知道“海天''号沿哪个方向航行吗？

题型十七：勾股定理的实际应用之水杯中台阶上地毯问题

1.如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上

铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为10m,则购买这种地毯至少需要一元.

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

2.某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住.楼梯台阶

剖面图如图所示，已知NC=90。，JC=3m,AB=5m.

（1）求8c的长；

（2）若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.（假设地毯

在铺的过程中没有损耗）

3.如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面48平行的护栏

=小明量得每一级石阶的宽为32cm,高为24cm,爬到山顶后，小华数得石阶一共200

级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮池们求护栏"N的长度.

4.如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5,3和1,4和8是这个台阶的两个相对的端

点，点力上有一只蚂蚁，想到点3去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点8的最短路程长是

多少？

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2.7探索勾股定理（第1课时）分层练习（学生版）

题型十八：勾股定理的实际应用之水杯中判断汽车是否超速问题

5.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调

海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值

由80km/h调整为70km/h.如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪

力处的正前方120m的。处（即/C止20m）,过了8s小汽车到达5处,此时测得小汽车与车速检测

仪间的距离为200m.

小汽车小汽车

*二、---------/

'、、：

、、।

______________________

检测仪

（1）求8C的长;

（2）这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由.（参考数据：lm/s=3.6km/h）

6.行车不超速，安全又幸福.三知某路段限速40km/h,小明尝试用自己所学的知识检测经过该路

段的汽车是否超速.如图，他所在的观测点P到该路段/的距离（OP的长）为40米，测得一辆汽

车从A处匀速行驶到8处用时3秒，4尸0=60：乙?尸0=45二试通过计算判断此车是否超速？

（应=1.4）

7.某条高速公路限速100km/h,如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到

路对