相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种模型（培优专项训练）-北师大版九年级《数学》上册

专题03相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种模型

题型归纳

目录

题型一：“母子”模型（共边角模型）.................................................................1

题型二：“手拉手”模型（旋转模型）................................................................13

题型三：“K”字模型（相似模型）................................................................26

:题型专练

题型一：“母子”模型（共边角模型）

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大二角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共用”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

（］）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图］,ZC=Z/1BD；结论：z\BDsAACB,AB2=ADAC.

（2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2,ZACB=9（r\CD1AB；

结论：&ACMABCs△CBD\CA2=ADAB,BC'BDBA,CD?=DADB.

（3）“母子”模型（变形）条件:如图3,ZD=ZCAE,AB=AC；结论：△

1.（2025・陕西渭南•二模）如图，在VABC中,N84C=90o,ADJL5C于点如,若80=4,40=6,则5c的

长为（）

【答案】C

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△人列出比例式求出。。的长，线段的和差

关系求的长即可.

【详解】解:V"AC=90。,AD1BC,

••・ZAOB=ZAOC=90°,

・••/BAD=ZACD=90°-ZDAC,

△AOBs/xCDA,

.A。RD64

••=9即：=-9

CDADCD6

:.8=9,

,BC=BD+CD=13；

故选C.

2.（2025.云南西双版纳•二模）如图，在VA4c中，点。在边8c上，连接AO,/BAD=NBCA若A3=5,

BC=8,△A8D的周长为12.5,则VA8C的周长为（）

A.20B.25.5C.30D.35.5

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得△8ADs/\8C4,

然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解.

【详解】解：ZBAD=ZBCA,=

/.ABAD^/XBCA,

・C/\B&D—

,,二一正，

VAB=5,BC=8,△AAO的周长为12.5,

.12.5_5

解得：CABCA=20,

故选：A.

3.（2025•上海奉贤•三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点

间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相

似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.如图，在VABC中，DB=2,BC=4,CD是7ABe

的完美分割线，且△A8是以C。为底边的等腰三角形，那么的长为（）

c

【答案】c

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判

定是解题的关键.

根据题意可得AD8cs先求出A8=8,再根据警=*=:即可求解..

CBAC2

【详解】解：由题意得，ADBCsMBA,

.DBCB2_\

••———,

CBAB42

/.A8=8,

/.A£）=AC=8-2=6,

.DBCD\

"~CB~~AC~2'

・・・C£）=3,

故选：C.

4.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，V4BC是等边三角形，D、B、C、E在一条直线上,

ZZM£=120°,若BD=1,CE=4,则A8的长是（）.

DBCE

A.8B,2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质

可得/A8C=NAC8=N84C=60c,AB=AC,由ND4E=120。，得ND4A+NC4E=60。，根据三角形外角

性质可得NAC8=NE+N£4C=60。，ZABC=ND+NDAB=&F,所以ND=NC4E,NE=ND4B，故有

△DABs^AEC，则丝=笑，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

ACCE

【详解】解：•••VA4C是等边三角形，

ZABC=ZACB=ZBAC=60°.AB=AC,

•・•ZmE=120°,

，ZZ14Z?+ZC4E=60°.

ZACB=ZE+ZEAC=60°,ZABC=ZD+ZDAB=60°,

/.ZD=ZC4E,ZE=ADAB，

：.LDAB^AEC,

.DBAB

"~AC~'CE，

■:BD=\,CE=4,

.1AB

••布=丁’

/.A8=2,

故选：B.

5.（24-25九年级下•上海宝山•阶段练习）如图，在V"C中，点。是AB的黄金分割点（AO>80,8C=A。,

如果NAC/^900,CD=2,则AC=.

【答案】V5+1

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

先根据黄金分割的定义得也=丝=老二1,然后利用等量代换可得生=丝=更二L再结合4=NBH

ABAD2ABBC2

得LBCDSABAC,最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解：点。是A3的黄金分割点（AO>8O）,

.ADBDy/5-\

"~XB~^D~2

QBC=AD,

BCBDV5-1

2

•;NB=NB,

.△BCD^BAC,

,CDBC>[5-\

'~AC~~AB~2

•.CD=2,

/.AC=yf5+\，

故答案为：x/5+l.

6.（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，V/WC中，AB=AC,5。是//仍C的平分线交AC于D,若

AB=BC+CD,则=的值是

【答案】避二1

2

【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，关键在于巧妙构造辅助

线以及利用三角形的性质进行推导.

通过在上截取班'=利用角平分线性质和全等三角形判定得到一些边和角的关系，再结合已知条件

推出三角形相似，从而求解WCD的值.

【详解】在AB上截取连接OE.

BD是N4BC的平分线，

・•・/EBD=/CBD.

♦：BD=BD,

:・^EB哈&CBD.

/.DE=DC,ABED=ZC.

*/AB=AC,

：.ZABC=ZC,Z4=180°-2ZC.

又,：AB=BC+CD,BE=BC.

:.AE=CD,

/.AE=DE.

/.ZA=ZADE.

■:ABED=ZA+ZADE=2ZA，且N8£Z)=NC=NA8C.

・•・ZABC=2ZA.

又•」NA+NA。。十NC—180。，即乙4+2乙4+2NA—180°,

解得ZA=36。，ZABC=ZC=72°.

；・ZABD=NDBC=36。,ZBDC=ZA+ZABD=72°.

在VABC和△%£)中，

ZC=ZC,ZA=Z£>BC=36°,

^ABCsABCD.

设CZ)=x,BD=y.

•:网D^&BD,AE=CD,

:・BC=BE,AE=DE=CD.

NBDC=NC=72。,

:・BC=BD=y,AB=AC=BC-^CD=x+y.

由AA8cs△BC。可得第=傲，即2=之二

CDBCxy

设£=匕则！=；,即/+，—i=o.

yti

解得；"山亘=土虫.

22

v/>o（%,y为线段长度），

.・./=—即空=旦.

2BD2

故答案为：避二L

2

7.（2U25•陕西西安•二模）如图，住RtZXA8c中，ZA4C=90°,A8=b,8c=10,A/JJ./C于点"，BF

平分/ABC交AC于点八交AD于点、E,则线段4E的长为.

【分析】作尸MJ_8C于点根据角平分线的性质得到4=N2,进而得到N8皮>=N4,根据等角对等边

得到他=AF,证明r（AAS）,得到A£=A/=BW,证明△CMFS^CA"得至!器=黑，

ACAB

代入计算即可.

【详解】解：如图，作五M_L8C于点M,

vZl+Z4=90°,Z2+ZBED=90°,

；.ZBED=N4,

/.Z3=Z4,

:.AE=AFr

在△班尸和"中，

Z5AF=90°=ZBMF

♦4=N2,

BF=BF

・•・公BAF%BMF（S

,,AE=AF=FM,

•:BM=AB=6,

/.CM=10-6=4.

vZC=ZC,ZCyV/F=ZE4C=90°,

.-.△CA/F^ACAB.

CMFM4FM

：.——=-----,即ni一l=----,

ACAB86

:.FM=3,

AE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

熟练掌握各知识点是解题的关键.

8.12025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）如图，在VA8C中，点。为边AB上的一点，4。=2A。,Z4C。=30。,

点、E为CD中点,ZBED=60°,CD=4,则AC=.

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及含30度角的直角三

角形的性质；

延长BE交AC于点F,过点。作DG〃AC,证明修AAS),结合勾股定理可得OG=,

然后证明△力阳，利用相似三角形的性质求出质，进而问题得解.

【详解】解：延长瓦f交AC于点片过点。作£)G〃AC,如图所示：

/.Z.CFE=180°-ZACD-ZCEF=90°=ZAFB,

-：DG//AC.

/./DGE=NCFE=90。,ZACD=ZEZX7=30°,

•・・E为CO的中点，CZ)=4,

：.CE=DE=-CD=2,

2

:.ACFF^AZ)GE(AAS),EF=^CE=\t

'DG=CF=ylCE2-EF2=722-12=75,

,/DG//AC,

:…DGBsSFB、

,DGBD

••二9

AFBA

*/BD=2AD,

.DG_BD_2

，，~AF~~BA~3,

…36

•・A尸=T

2

•AC3A/3/Z_5x/3

••AC=AF+尸C=+\J3=;

22

故答案为：挛.

2

9.(24-25八年级下•山东济南•期天)如图，在VA4C中，过点B作N/WO=NC,使边5。交4c于点D.

A

D

BC

(1)求证：

(2)若A8=6,>40=4,求线段CD的长.

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△△8fMA4C8是解题

的关键.

(1)由乙钻D=NC,NA=ZA,根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△A8/K>Z\AC6；

ADARAR2

(2)由相似三角形的性质得——=—,而AB=6,AO=4,则4。=任-=9,求得C£>=AC-AD=5.

ABACAD

【详解】(1)证明：•.•在△ABO和八48中NA=NA,ZABD=NC,

:AAB4SCB.

(2)解：-AABD^AACB,

.ABAD

：.AB2=AC-AD，

即4AC=36,

/.AC=9，

:.CD=AC-AD=9-4=5.

10.(24-25八年级下•山东泰安•期末)如图，已知点P是线段A8的黄金分割点，AP>PB,以点8为圆心；

以AP长为半径画弧；再以点尸为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C,连结AC,PC,BC.

⑴求证：ABCPSWC；

(2)若AC=4,求PC的长.

【答案】(1)见解析

(2)275-2

【分析】本题考查了黄金分割：把线段A8分成两条线段AC和5c(AC>BC),且使AC是A8和8c的比例中

项(即AB：AC=AC：BC),叫做把线段A8黄金分割，点。叫做线段48的黄金分割点.其中AC=1」AB,

2

并且线段4B的黄金分割点有两个.也考查了相似三角形的判定与性质.

(1)由作法得BC=AP,根据黄金分格的定义得到人尸=8P.胡，贝然后根据相似三角形

的判定方法可判断△^CPs^RAC；

(2)先利用黄金分割的定义得到AP=叵4AB，而BC=AP,则生=叵口，接着根据相似三角形的性

2AB2

质得到与隼二归1,从而可求出AC的长.

ACBA2

【详解】(I)解：由作法得BC=A?，

•••点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,

APi=BPBA

,BPBC

；BC?=BPBA,H即n0=

DC~BA

而/尸8C=NCB4,

•••LBCP^BAC；

(2)解：，•点。是线段48的黄金分割点，AP>PB,

AP=^^-AB,

2

即竺二正二，

AB2

•••BC=AP,

.BCV5-1

-----=-----，

AB2

*/&BCP^ABAC,

.PCBCV5-1

"~AC~~BA~2

•••PC=^^x4=26-2.

2

11.(25-26九年级上•吉林长春•开学考试)如图，等边VA8C的边长为4,点在同一直线上,

C£=8,/BAD=NE.

(1)求证：X瓯sXECZ

(2)直接写出4。的长为

【答案】(1)见解析

(2)AD=2X/7

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质.

(1)根据等边三角形的性质可得NA8C=NAC8,从而得到=,即可求证；

(2)根据可得应)=2,从而得到处'=做-皮'+成=14,再证明△AEBZXfiAD,

即可求解.

【详解】(1)证明：・・・VA8C是等边三角形，

・•・/ABC=ZACB,

：.180°-ZABC=180°-ZAC5,

工ZABD=ZACE,

•：ZBAD=NE,

・•・AABD^AECA：

(2)解：•・•等边VABC的边长为4,

，AB=AC=BC=4,

,/AABD^AECA,

.ABBD4BD

..---=----,即Hn-=----,

CEAC84

BD=2,

:・DE=BD+BC+CE=\4,

•:ABAD=NE，ZADB=ZADE,

/.△ABI3AEAD,

,ADBDAD2

••=，UHnp=

DEAD14AD

AAD=277（负值舍去）.

12.(24-25九年级上•四川资阳・期中)【基础巩固】

(1)如图①，在RlZXABC中，ZAC3=90。，CDLAB于点D,求证：AC2=ADAB.

【尝试应用】

(2)如图②，在矩形/WC。中，A£)=2,点尸在上，FB=3AF,DF工AC于点、E,求AE的长.

【拓展提高】

(3)如图③，在矩形488中，点E在边8C上，与关于直线DE对称，点C的对称点厂

在边48上，G为A。中点，连接GC交。尸于点M,GC//FE,若A£>=6,求GM的长.

【答案】（1）见解析；（2）乎；（3）3夜一3

【分析】（1）由ZACD+NBCD=90。，NDCB+NB=90。得到NB=ZACD，再由NA=NA,得到ACAD^^BAC,

从而得到喋=黑，变形即可得到答案；

ADAC

ACAp1

（2）由矩形的性质得，A5||CO,从而得至正sacOE,即生=三=；,由（1）可得，N=AEAC,

CECD4

从而得到于=4E?AE,计算即可得到答案；

（3）/XOCE与△力厂E关于直线DE对称，得ADFE%DCE,从而得到/。庄=/£心£=9（凡DC=DF,

再通过证明△CZW纥△DEA（AAS）得到CM=D4=6,由（1）可得，OG;GMGC,设GM=8CG=x+6,

解方程求出的值即可.

【详解】解：（1）证明：・・・/4。8=90。

・•・^ACD+/BCD=90。

*：CDA.AB

/DCB+NB=90。

，ZB=Z4CD

•/ZA=ZA

・•・LCAD^^BAC

•..A—C―=A-B

ADAC

/.AC2=ADA8;

（2）VFB=3AF

••・AB=AF+BF=4AF

在矩形438中，AB||CD,AB=CD,Z/lOC=90°

LAFE^^CDE

.AE_AF_\

^~CE~~CD~4

・•・CE=4AE

，AC=AE+EC=5AE

VDFJ.AC，NCZM=900

••・ZADE+NCDE=NCDE+ZDCE=90°

即：ZADE=NDCE

・•・LADC^AED

.ADAE

''~AC~~AD

DA1=AEAC

，32=A£?AE

AAE=—

5

(3)解：在矩形中，ZBCD=ZCDA=zTA=90°

z^DF+ZCDM=90

,/A/X?E与正关于直线DE对称

・•・LDFE^DCE

:,4DFE=/DCE=Wf,DC=DF

*：GC//FE

：.DM1GC

，ZCDM+Z£>CM=90o

・•・ZADF=ZDCM

.・.&COM丝△£>£4(AAS)

：,CM=DA=6

・・・G是AO的中点

DG=GA=3

由(1)可得：△GDCsgMD

，DG2=GMGC

设GM=x,CG=GM+CM=x+6

则32=X(X+6)

AX2+6X-9=0

解得：芭二30-3或毛二-35反一3（舍去负根）

:・GM=3五-3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相

似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键.

题型二：“手拉手”模型（旋转模型）

【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不

变），我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的

旋转相似三角形。

手拉手相似模型

条件:如图，Z13AC=ZDAE=a,生=空=左；结论：2ADEs/\ABC,^ABD^AACE；—=k

ABACBD

1.（23-24九年级上•山西晋中•期中）如图，一副三角板（NC=N£=90。，NB=30°,ZD=45°）.AD=BC,

顶点A重合，将VAOE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形

的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断

是解决问题的关键.

【详解】解：选项A,•・•NC=NC=90°,ZC4F=ZB=3O°,

・•・4ACFS4BCA,故选项A不符合题意.

选项从如图，设CO与AE交于点0.

VZACO=ZDEO=90°,ZAOC=ZDOE,

:.AACO^Z\DEO,故选项B不合题意；

选项C,VZBC4=Z4£D=90°,ZCAF=ZDAEt

/.AACF^AED,故选项。不合题意；

选项。中没有相似三角形，符合题意.

故选:D.

2.（23-24九年级上•山东德州•期末）如图，矩形ABC。和矩形力ER7,AO=12,A8=9,AG=8,AE=6,矩形

AEFG绕点A旋转，给出下列结论：①3BE=DG；②BEJ.DG；③当NR4G=60。时久心磴=3x/5s410G;④

DE2+BG2=3\5,其中正确的结论的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】4

【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三

角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关犍.通过证明AADGSMBE,由相似三角形的

性质可求4BE=3DG,可以判断①错误；由相似三角形的性质可得NAEE=NAGD,由余角的性质可证

8EJ.OG,可以判断②正确；由勾股定理可求.8。+。0=325,可以判断④错误；分别求出山BG、SJDG

即可判断③，即可求解.

【详解】解：•・•矩形A8CD和矩形A瓦G,A£>=12,A8=9,AG=8,A£=6,

AC:2AE2

/.NDAB=ZGAE=9(),-=-

AD3AB-3

・SG-有嚼

•_B_E_—_A__E—_3

■AG_4,

•;4BE=3DG,故①错误；

如图：设施与DG交于点H,

•.,△ADGs^ABE

ZAEB=ZAGD,

又<"OE=NGOH,

:.ZEAO=ZGHO=90°,

♦.・BE上DG,故②正确；

如图，连接BD、GE,DE,BG,

AD=12,AB=9,AG=8,AE=6»

.\B£>2=AB2+Ar>2=81+144=225,G£2=A?+AglOO,

♦.•BEtDG,

:.BH2+DH2=BD2,BH2+HG2=BG2,HG2+HE7=GE2,DH2+HE2=DE2,

.\BD2+GE2=BG2+DE2,

.•.63+0炉=325,故④错误：

如图，过点G作GNtAB于N,GP_LAO于。，

vZBAP=90°,

・••四边形4PGN是矩形，

:.AN=GP,NG=AP,

•.•N84G=60。，

..NGAP=30。，

.-.GP=^G=4,AP=6PG=40

•,^AABG=^XA5JVG=1X9X4X/3=18^,

S=—xAD-GP=—x12x4=24

tADG22

••4S^，故③正确；

综上所述：正确的结论是②③.

故选A

3.（24-25九年级上•湖北孝感・期中）如图RtZVlBC中，ZACB=90°,。是斜边A8的中点，将△AC8绕点

A按顺时针方向旋转得到△AM,点E在CO的延长线上，若AC=6,8c=8,则CE的长为.

B,

E

/D\\/

CA

【答案】y

【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定，熟

练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键：由题意易得A8=l(),

CD=AD=^AB=5,由旋转的性质可得4C=4£=6,N84C=NE4b,然后可得,进而根据

相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：•••NAC4=90。，。歪斜边AB的中点，4C=6,BC=8,

•*-AB=ylAC2+BC2=10-CD=.40==5,

ZACD=ZDAC,

由旋转的性质可得AC=AE=6,ABAC=ZEAF,

/.ZACE=ZAEC=ZDAC,

**•么AC&ECA»

...-A-C-=-A--D-=一5,

CEEA6

・s36

5

故答案为乎.

J

4.(2025・江苏盐城•二模)如图，菱形A48绕点A旋转得到菱形ABC'。'，点^在3c上，交CO于点

P.若AB=6,/疗=4,则CQ的长为.

12

【答案】y

【分析】过点C作CE〃A£交&P「点E,根据菱形的性质得出AO=a)=5C=45=6,ZADC=NB,

根据旋转的性质得到推出△A3均ABM,NAB'B二NB,得出"=6&=4,ZAD'D=4B'B,进而得到

14

三点共线，则有C£>=CQ'—">'=2,通过证明44'石0'4^'求出。石=38"=§,再证明

△CEPs^DCP得到出=孚=M即可求出CP的长.

DPCD3

【详解】解：如图，过点。作CE〃A*交夕P于点K,

AD=CD=BC=AB=6,ZADC二NB,

R'C=BC-BB'=6-4=2,

由族转的性质得，AB,=AB=AD=A,D=(5,?A8。：2B,NBAB'=NDAD，ZAUC=ZADC,

.^ADD'^ABB'(SAS),=NB,

:.DD=BB=4,NADDn/AQB,

:.ZAiyD=ZAiyC,

6,。三点共线，

•・•菱形Ab'CO,

,f

:.CD=AB=6f

:.CD=CD'-Diy=6-4=2,

•:CE〃AH、

;.NBEC=ZAB'C=NB,

又•「ZAB'C+4EBC=ZAffC=ZB+/BAB,

:.NEBC=NBAH,

.,.△&ECS.ABB',

CE-R，C-23-1

而一行一1一3'

14

;.CE=-BB'=-,

33

-CE//.AB//CDf,

•：CE//Ciy.

.•.△CEP^DCP,

4

.竺=里其2,

DPCD23

CPCP22

~CD~CP+DP~7+3~5,

22,12

:.CP=-CD=-x6=——.

555

12

故答案为：

J

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、相似三角形

的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键.本题属于几何综合题，适合有能力解决

几何难题的学生.

5.（24-25九年级上•陕西延安•期天）如图，△COQ是VA08绕点。顺时针方向旋转30。后所得的图形，点

。恰好在AA上.

（1）求/A的度数；

（2）CD交OB于点E,求证：CEDE=BEOE.

【答案】（1）75。

（2）见解析

【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，

对于（I），根据旋转的性质得AO=CO,Z4OC=30°,再根据等腰三角形的性质得出答案；

对于（2）,根据旋转可得ND=4,即可得然后根据相似三角形的对应边成比例得出答

案.

【详解】（I）解：:△COD是V/108绕点。顺时针方向旋转30。后所得的图形，

/.AO=CO,ZAOC=30°,

（2）解：由旋转可得NO=N4,

,//CEB=NOED,

:.4BCES&DOE.

.CEBE

..—=，

OEDE

6.（2025•山东聊城•三模）综合与实践

问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片逆行探究活动.阳光小组准备了两张矩形纸

片ABCD和EFGH,其中A8=6,AO=8,将它们按如图1所示的方式放置，当点4与点七重合，点人

，分别落在AB,A。边上时，点E〃恰好为边AB,A。的中点.然后将矩形纸片EFG”绕点A按逆时针

方向旋转，旋转角为。，连接跖与OH.

图2图3备用图

观察发现:

（1）如图2,当a=90。时，小组成员发现跖与存在一定的关系，其数量关系是:位置关系

是.请说明理由.

探索猜想:

（2）如图3,当90。＜。＜180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由.

RFq

【答案】（1）7J7=7BFVDH

DH4

（2）依然成立，见解析

【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得△48户~“1。”，冉由相似即可得8尸与

的数量关系，再延长DH根据/。“/二%。即可得到BF与DH的位置关系.

（2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得△谢〜“IDH，再根据相似三角形的性质可得,与。〃的数

量关系和位置关系.

【详解】（1）解：因为点凡H恰好为边AB,AD的中点，且八B=6,AD=S,

所以A"=4/1B=3,AH=-AD=4,

22

又因为在RSA8/和RIYADH中，

AFAB

NBAF=/DAH=90。，

TH-7D-4

所以〜△49〃，

所以==：，NABF=NAD〃，

DH4

延长。，交8户于点M,如图,

cD

图2

因为RbAS尸中，ZABF+ZAFB=90°,

乂因为n43产=/4。〃,

所以ZAW/+ZA尸3=900,

所以在△£)•中，ZDMF=90°,即8/_LOM.

所以8/_1力”.

BF3

(2)解：当900<a<180°HLR7=:且

DH4

因为四边形ABCD和EFGH为矩形,

所以NZM8=NH4/=90。,

所以NZMB+N84”二N〃4尸+N84”,

即ZZM"=N"凡

由(1)知，AB=6,AO=8,

AF=-AB=3,AH=-AD=4.

22

,AFAB3

所以而"而二"

所以-“ID”，

BF3

ZABF=ZADH,

DH4

记DH与BF交于点、P,DH与AB交于点N,如图,

图3

因为NAB/=NAZ)〃，?BNP1AND,

所以/BPN=ND4N=90。,

所以

【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的

方法，证明出△钻尸〜⑷）〃是解决本题的关键.

7.（24-25九年级上•陕西西安・期口）如图I,在中，Z4CB=9O°,AC=BC,在斜边A4上取一

点、D,过点。作。后〃8C,交AC于点E,现将VADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点。在

VA4c的内部），使得2440+248=90。.

（1）皿图2,①求证：△ABDS^ACE：

②若a>=l,BD=y/6,求人。的长.

（2加图3,将原题中的条件“AC=8C”去掉,其它条件不变，设条软&,若CIBDWE3,

求」的值.

【答案】（I）①见解析；②2五

⑵返

13

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是关键.

（1）①利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定进行解答即可；②根据相似三角形的判定和性质、

勾股定理进行解答即可；

（2）利用相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可.

【详解】⑴解：①•：DE〃BC、

AEAD

~\C~~AB

由旋转知，ZEAC=^DAB,

:.AABD^^ACE.

②•••在RtZXABC中，AC=BC,

AB=6AC♦

由①知，AABDRCE,

:.ZABD=^ACE.

ZABD+ZACD=9QP,

.\ZACE+^ACD-90°t

...NDCE=900.

QXABDSBACE,

，四=丝=生=技

ACAECE

AD=yf2AE^BD=ECE.

•/BD=\[b,

\CE=6，

在RSCOE中，CD=T,CE=V3

根据勾股定理得，DE=2,

在R^AOE中，AE=DE,

AD=CDE=2叵.

(2)由旋转知，ZEAC=ZDABf

ACAE

：~\B=~AD'

:0BDs丛CE.

ACAECE,

——==——=k.

ABADBD

VA£>=3,%)=2,

:.AE=kAD=3k,CE=kBD=2k.

QAABDs^ACE,

.\ZABD=ZACE.

ZABD+ZACD=9(r,

/.ZACE+ZACD=90o,

...NDCE=90°.

在"△COE中，DE2=CD2+CE=\+4k"

在中，DE2=AD2-AE2=9-9k2,

.•.1+4攵2=9一9公，

,2面，小、一2后

k=----（舍）^k=——.

1313

8.（24-25九年级下•江苏连云港•阶段练习）如图1,在正方形ABCO中，AB=5,在人。上取一点£使得

人七=石，以AE为边作正方形AE尸G,连接的，CF.

GG

图1图2备用图

问题发现：

（1）笠BF的值是「直线此，C尸所夹锐角的度数是二

Cr

拓展探究：

（2）如图2,正方形A&U绕点力顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成

立，请说明理由：

解决问题：

（3）在旋转过程中，当点E到直线A8的距离为及时，请直接写出CT的长.

【答案】（1）立，45°（2）结论成立，理由见解析（3）。尸=2晒或6

2

【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形

相似是解题的关键.

（1）通过证明可得空="上,NABE=NACF,即可求解；

CFCA2

（2）通过证明可得=2（1,/ABE=/ACF,即可求解；

CFCA2

（3）分点E在直线A。的左侧和点E在直线A£）的右侧两种情况，过点E作EHJ.AB于H,由勾股定理可

求昭的长，即可求解.

【详解】（1）如图①，连接河，连接AC交8E于0,延长BE交回。于”，

图①

,/四边形488和四边形AER7是正方形，

:.AC=6AB,AF=五AE/BAC=Z.EAF=45°,

Ap/-

ZE4C=ZEAB=90°,—=V2=—,

AEAB

.BEAB8....

..——=——=——.Z.ABE=Z.ACF，

CFCA2

又•：ZAOB=/COE,

：.ABAC=ZBHC=45°,

故答案为：—,45°；

2

（2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接心,连接AC交跖于。，延长跖交尸C于”,

图②

•••四边形48a)和四边形AEFG是正方形，

.\AC=\/2AB,AF=6AE,乙BAC=Z.EAF=45n,

ZFAC=NEAB,—=V2=—,

AEAB

,BE_AB/4or_/\rr

..--,/ABH-/AC尸»

CFCA2

乂•.•ZAOBOCOE,

，NBAC=/BHC=45。：

(3)如图③，当点E在直线AO的左侧时，过点E作£H_LA3交ZM的延长线于，，则后〃=夜,

图③

AH=>JAE2-EH2=7^2=1，

:.BH=AB+AH=6,

,BE=1BH?+EH2=J2+36=屈，

BEA/2

*.*-----=-----，

CF2

CF=2M；

如图④，当点七在直线A。的右侧时，过点上作上”J.AN丁“，则E，=血,

E

:.AH=XIAF2-F.H2=1，

:.RH=AB-AH=4,

BE=>JBH2+EH2=J16+2=3A/2，

BE42

---=---'

CF2

:.CF=6,

综上所述：。尸=2炳或6.

题型三：“K”字模型（相似模型）

【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角

相等”，再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从

而得到两个三角形相似.

（1）“三垂直”模型:如图1,NB=ND=NACE=90。,则“BCs^CDE.

（2）“一线三等角”模型：如图2,NB=NACE=/D,则△A8CS/\CQ£

特别地，连接AE,若。为3。的中点，则△ACES/XAACSACDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

I.（25-26九年级上•广东深圳•开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭4/3的高度，他们采取了如

卜.办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得跖=20米；②沿着直线把后退到点D处，眼睛恰

好看到镜子里凉亭的顶端A,并测得。=5米，眼睛到地面的距离8=1.6米（此时NA£6=NC£D）,那

么凉亭A8的高为（)

A.0.4米D.0.16米

【答案】C

【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决

问题的关键.先由题意可得△樨〜血，从而得到相似比卷二篇，再将题中已知线段长度代入求解即

可得到答案.

【详解】解：如图所示:

.ABCD

~BE~~ED，

由题意可知，BE=20米，EO=5米，8=1.6米，

一AB=——1.6,

205

解得48=6.4米，

故选：C.

2.（2025九年级上•湖南岳阳•专题练习）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原

理.激光笔从左边点C处发出光线，经平面镜点。处反射后，落在右边光屏班:上的点。处（B、C两点均

在量角器的边缘上，。为量角器的中心，A、0、R三点共线,AC±AB,O8_LA8）.他在实验中记录了

以卜数据：①水平距离A8的长为96cm；②铅垂高度AC的长为48cm；如果小辰想使反射点。沿。8万向

下降35cm,求此时点人沿OA方向移动的距离为（）

A.48B.36C.24D.12

【答案】。

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用.设

OB=r,在RSAOC中，由勾股定理可得08=60,由已知条件可证得△A0CsZkB0/)(AA),贝!有芈=岑

OAOB

=¥，解出此时80=80,使反射点。沿。B方向下降35cm后8O=80-35=45cm，同理可得

96—6()6()

OA="m,则有若1=照即y=在RtaAOG中，利用勾股定理

△A'OGs^BODi,设/\£=Acm,

。/11uu3

可解得AG=36cm,OA=48cm.,由此即可求得点A移动的距离.

【详解】解：设08=r,在RSA。。中，

由勾股定理可得：AC2+OA2=OC2,

即482+(96-r)2=r2,

r=60,

则OB=60,

由题意得：NAOC=NBOD,

VAC1AB,DB1AC,

/.△AOC^ABOD(AA),

ACBDHr148BD

OAOB96-6060

...80=80,

如图，反射点。沿OB方向卜降35cm后,

D

=8()-35=45cm,OB=60cm,

同理可知此时“。。产力。"，

设AG=Axm,OA=ycm,

।AG明山x45

则两=万万即

4

在RsAOC中，aV+AC2=oc：,

即『+"2=60