广东省九校联考2025-2026学年高一年级下册4月学情调研数学试题（解析版）

高一年级4月份学情调研

数学试题

本试卷卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知好数z满足z（2-i）=i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.笫三象限D.第四象限

【答案】B

【解^5]

【详解】因为z=—!—=但»=一，+2"其在复平面内对应的点为

2-i555155；

所以z在复平面内对应的点位于第二象限.

2.已知平面向量人则“a=7b（X£R）”是“a，b共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若〃=则〃，6共线，故充分性成立；

若〃，6共线，不一定得到&=/lb（4£R）,

如〃w0,b=0，显然满足G，3共线,

但是不存在实数%使得a=%力，故必要性不成立;

所以“4=28（%£R）”是“4,匕共线”的充分不必要条件.

故选：A

3.如图所示，梯形A'8'C'。是平面图形A3CO用斜二测画法得到的直观图，A7T=9C=1,则平面图

形A8CD中对角线AC的长度为（）

A.y/2B.GC.75D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案.

【详解】由梯形AB'CTT的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形A8C。,

如图所示，其中A3=24?=2，BC=gC'=l,

所以AC=="Ti=6•

BE=2EC，设0C=。，DA=b，则。E等于（）

E

DC

5.1,2.1151,2rI[

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+-Z?D.—a+—b

62326333

【答案】C

U新斤】

【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.

【详解】因为DC=2AB,BE=2EC,

所以r>E=z)c十C£=℃十gc6=r>c十-r>cj=oc+g(r>A十A6-ocj

9---1-1-2--|-1---51-

=-DC+-DA^-AB=-DC^-DA^-DC=-d+-b.

33333663

故选:C.

5.己知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为G，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为()

A.2兀B.4兀C.8兀D.16兀

【答案】D

【解析】

作出轴截面图，显然球心在圆锥的高所在的直线匕记球半径为R,

由勾股定理得R2=3+(R—3)2,解得R=2,可得圆柱的底面半径为R=2,

高为2A=4，故其体积V=7EXA2X2R=16TI.

6.己知〃,Z?,c为VA3c的三个内角A,6,C的对边，向量〃2=(6,-1),”二(854区114).若加_|_〃，且

6zcosB+/;cosA=csinC,则角B的大小为()

【答案】A

【解析】

【详解】由可得“〃=(),即Jicos八一sin人=0=2cos(A+tJ=°，

由OVAVTC,所以A=工，

3

因为acos8+/?cosA=csinC,则sinAcosB+sinBcos4=sinCsinC，

所以sin(A+8)=sin2C,而A+8+C=TI,则sinCnsiifC，且sinC>0,

所以sinC=lnC=四，则B=」—C得3=乙.

236

7.已知点。为VABC的外心，且向量A0=/lA8+(l—/l)AC，2eR,若向量BA在向量8c上的投影

向最为‘8C,则cosB的值为()

4

A至B.且C.2Di

2552

【答案】D

【解析】

【分析】根据AO=4AB+(l-/l)AC判断出0,R,C三点共线，再结合外心的性质得到VABC的形状,

最后根据投影向量的定义求出cosB的值.

【详解】已知AO=/IA3+(1-Z)4C,将其变形可得人。—=-人C),即CO=XCB.

根据向量共线定理，可知CO与C3共线，所以。，8，。三点共线.

因为点。为VANC的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且0,B,。三点共线，

所以8c为VA8c外接圆的直径，那么NB4C=90°，即VABC是直角三角形.

根据投影向量的定义求cos3的值，|841cosB=-BC,

\BC\4

可得|BA|cosB=；|3C|,即

418Al

又因为cosB=""U,所以COS2B='，因为0<3<工，所以cosB='.

\BC\422

cosB的值为5.

故选:D.

8.已知a,为平面向量，c为单位向量.若非零向量。与c的夹角为小且仅一3。)•伍一"|=0,则

a-b的最小值为()

A.73-1B.6+1C.2D.2-5/3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查向廉模的几何意义，先建立平面直角坐标系，有两种方法可以解决本问题，方法一几何法：

不妨假设单位向量G方向与x轴正方向同向，利用非零向量a与《的夹角为T构造出向量〃，由于

(。-3e)•伍-e)=0,根据向量减法以及向量数量积的几何意义知力的终点运动轨迹，最后再表示出,

求解卜一川的最小值：方法一代数法：不妨假设单位向量。方向与x轴正方向同向，假设

a二(x,)，),c=(l,0),〃=m，〃)，利用非零向量力与e的夹角为三，且,一3个,一)=0,找出〃的

关系，最后把卜一，用W表示出来求解最小值.

【详解】法一：如图，ZAOx=ZBOx=^,C(l,0),D(3,0),

由题意得。的终点在射线。4:y=&或射线03:)，=-氐上，不妨假设〃的起点为原点，终点为点以

那么(b-3g)(/?-g)=(OB-OO)(O3-OC)=D3C3=(),

所以，DBA.CB.

根据向量减法以及向量数量积的几何意义知〃的终点的运动轨迹是以线段co为直径的圆,

a-b=OA—OB=BA

所以|。-耳的最小值为圆心（2,0）到射线。4或射线OB的距离减去半径1,即G-1.

法二：设a=(x,y),e=(1,0),〃=(，〃,〃)，

由得分6=同同以）§四，则x=

+r，

所以y=±\/3x.

由仅一3e)«Z?-e)=。，得〃「+/一4m+3=0,

即(加一2)2+〃2=1,

所以，点（根,〃）在以（2,0）为圆心，半径为1的圆上运动

a-b=yl（x-m）2+（y-n）2即圆上的点到直线），=±y/3x的距离，

所以卜-司的最小值即为圆心（2,0）到直线y=±JIr的距离减去半径1,

即6-1.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若复数马=2-i,Z2=3+4i,则下列说法正确的是（）

A.21-22的虚部是一51

B.若复数4的共扼复数为W，则z：=|z『=Z]£=

C.在复数范围内，Z1是方程M-4x+5=（）的根

D.若复数：满足|z-Z2|=l,则忖的最大值为6

【答案】CD

【解析】

【分析】由复数的减法和虚部的定义，判断选项A；由复数的乘法运算和模长公式，计算后判断选项B；验

证方程的复数根判断选项C；由复数模的几何意义判断选项D.

【详解】对A,复数4=2-i,Z2=3+4i,

z,-z2=2-i-（3+4i）=-l-5i,其虚部是一5.A选项错误：

对B,Z=2+i,|zj=z/[=,『=5,z；=（2-i）2=4-4i+i2=3-4iw5,B选项错误；

对C,z；—4Z1+5=3-4i—4（2—i）+5=3—4i—8+4i+5=0,复数范围内，马是方程/一4元+5=0

的根，C选项正确；

对D,设2=工+）彳，x.yeR,|z-z2|=l,则复平面内点（x,y）的轨迹为以（3,4）为圆心，1为半径的

圆,

目的几何意义为点（%），）到原点的距离，由圆心（3,4）到原点的距离为5,则目的最大值为6,D选项正

确.

故选：CD.

10.已知mb,c分别为VABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是（）

A.若〃cosA=/?cosB,则VABC一定为等腰三角形

B.在锐角VA3c中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若Bn],4=26,且VA8。有两解，则〃的取值范围是（3,26）

D.若48。=120",乙钻。的平分线交4。于点。,8。=1,则a+c=ac

【答案】BCD

【解析】

【详解】选项A,因为acos4=bcos8,即.[十.一（）:一”），所以有

2bclac

〃（/+c2-/）=/（/+/-/）,

整理可得（〃一从）（〃+从一02）=0,所以。或〃2+〃2=02,故为等腰三角形或直角三角形，故A

错误：

TT7T7T

选项B,若VA8c为锐角三角形，所以A+8>一,所以一>A>一—B>0,

222

（兀、（A

由正弦函数），=sinx在0,不单调递增，则sinA>sin-n-B=cosB,故B正确；

选项C,如图，若VABC有两解，则asinAcbvq,所以3<〃<26，则b的取值范围是（3,26）,

故C正确:

as\

/M1：h\\J

B4.............A2

选项D,/ABC的平分线交AC于点D,BD=1，由SAABC=SAABD+SW8,

由角平分线性质和三角形面积公式得LQCsinl20o=，4sin60o+，csin60。，即ac=a+c,故D正确.

222

11.己知是互不相等的非零平面向量，其中〃力是互相垂直的单位向量，且

c=xa+yb(x,yeR),记04=々,03=Z?,OC=3，则下列说法正确的是()

A.若(a-c)«〃-c)=(),则。,A,民C四点在同一个圆上

B.若(〃一c)・(〃-c)=0,则/的最大值为0

C.若同=1,则(4一°)・伍一。)的最大值为5+1

D.若问=1,则％+y的最小值为一五

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,根据条件，利用数量积的运算，得到C4_LC6,进而可得NAO笈I44。6=兀，即可求

解；对B,根据条件，将问题转化成求圆的弦长的最大值，即可求解；对C,根据条件设

OA=(coscr,sina),OC={cos/5,sin/?),进而有OB=(-sina,cosa),从而得

=1+小仙］。-夕-；)，即可求解；对D,结合选项C和条件，可得/+)3=1,再利用基本不等式，

即可求解.

【洋解】对于A,如图，若(4一。＞(〃-6)=0,则CA-CB=O，所以C4J_CB，

又&J_b，所以NAOB+NACB=71，所以O,A8C四点在同一个圆上，故A正确;

5

~XA

对于B,若(石一？)・(/?-1)=0,由A选项知O,A,RC四点在同一个圆上，

因为同=|。4,所以其长度为圆上弦的长度，当线段OC为该圆的直径时，|c|最大,

且最大值为|A3|=+|切2=J],故B正确；

对于C,由题可得A3,C均在以。为圆心，I为半径的圆上，

设OA=(cosa,sina),OC=(cos£,sin/7),又OAJ.OB，

71,sin['+a))=(-sina,cos;a),其中rz,/?e[O,2TE),

=cos—+a

不妨设ORI12

所以

(4一(?)•(/?-<?)=(OA-OC^(OB-OC)=(cosa-cos/?)-(一sina-cos£)+(sina-sin/?)-(cosa-sin

=sinacos尸一sin6cosa-(cosacos成+sinasin/)+1=sin(a一4)-cos(a-尸)+1

=1+>/2sinIa-。—|1+,又一2兀<o(­/3<2nf故当a—£=—或—型时取等号,

k4；44

所以(a-c)•仅-c)的最大值为1+夜，故C错误;

得卜osP=xcosa-^sina,

对干D,结合C选项,由5=X五+yb(x,y6R)，

【sin"=xsina+^cosa

又问=1,所以(xcosa-)sina)2+(xsina+ycosa)?=1,

即F(cos%+sin%)+y2(cos%+sin2a)-2mosasina+2Axosasina=1，

即1+),2=)[，则由(了+),)2=%2+,2+2刈4212+)，2)=2,得X+”一无,

当且仅当x=y=-立时取等号，所以X+)，的最小值为-0,故D正确.

,2

12.已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为

【答案】县

2

【解析】

【分析[根据圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式列式即可求解.

【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为「，母线长分别为L，/,高均为〃，

nRI2h(2nRL}R24R213

由题意可得:<^-1)化简可得：

I”I2

故答案为：B

2

13.如图，为了测量某大厦的高MN,选择地面上一点A和另一栋楼的楼顶C为测量观测点.从A点测得

的/点的仰角NM4N=60，C点的仰角/CA8=45,/MAC=75,从C点测得NMCA=60.已知

楼高8C=40m,则大厦的高MN=m.

I<]60

【解析】

【分析】在二4WC中根据正弦定理可得AM=40Gm，即可利用锐角三角函数求解.

【详解】如图，在VA8C中，NBAC=45,/A3C=90,8C=40,所以AC=40&m.

在“AMC中，因为NM4C=75,NMCA=60,所以Z4MC=45.

40>/2_AM

ACAM

由正弦定理得,故6，故AM=40Gm，

sinZAMC~sinZACM

22

在RtcAMN中，易得MV=A“sinNM4N=60m.

故答案为：60.

14.在锐角VA8c中，角A8,C的对边分别为4,4c,VA8C的面积为S,满足2s=/一。—。了，若

a2+b2=2tS，则t的最小值为.

［答案］5叵-3

2

【解析】

【分析】由2s二片一“一4结合余弦定理和面积公式可得.八二？-？34,再利用同角三角函数的关系

可求得sinAcosA的值，由/+〃2=2/S化简得，二:（^—1-7»由三角函数的性质求出2的范围，

cbj2c

从而可求出/的最小值.

【详解】因为2s=/-S_c『=a2-32+c2）+给0,2bccosA=b2+c2-a2,

所以AsinA=2Z>c-2Z>ccosA,所以sinA=2—2cosA,

因为sin?A+cos2A=1，所以4-8cosA+4cos'A+cos24=1，

即5cos2A-8cosA+3=0，解得cosA=g或85人=1（舍云），

因为Aw(0,擀)，所以sinA=Jl-cos2A=Jl-£=,

兀,「兀

在锐角VA3C中，有。<四，B=n-A-C<-,则0<——A<C<—,

2222

asin(g-A)cosA3

所以tanC>tan(----A)=-------------=-------=-,

2co.-A)sinA4

,,bsinBsin(/4+C)sinAcosC+cosAsinC

因x为—=-----=-----------=-----------------------

csinCsinCsinC

sinA.43

=------+cosA=--------+-,

tanC5tanC5

314416

因为tanC>一,所以0<-------<-,所以0<---------<-

4tanC35tanC百，

3431635…3b5

所以二＜二^十二＜一+-=所以一＜一＜一

55tanC515535c3

因为02+从=26，

ci1+b22b2+c2-2/?ccosA

所以/=-------=--------------------

2shesinA

lb1-vc1--be

5

-be

5

]0b2+5c2-6bc

设士二工（工则竺+£=2工+工22、^7^二2五，

c\53Jcbx\x

当且仅当2x=,，即x=也时取等号，

九2

所以/的最小值为2x2&-2=5&-3

422

故答案为：5\-3

2

【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不

等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和「角形的面积公式对标+从=2/S化简变形，考查计算能力，

属干难题.

四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

一一7T

15.已知平面向量〃z=Xq+e2，〃=3q，其中牛色是夹角为1的单位向量.

（1）若〃?与〃共线，求义；

（2）若〃?与〃夹角为钝角，求人的取值范围.

【答案】（1）2=-3

（2）（一=,一3）213,一（

【解析】

【分析】（1）由向量共线得到〃2=女〃，结合平面向量基本定理唯一性即可求解；

（2）由向量数量积为负，且向量不共线即可求解.

【小问I详解】

由加与〃共线，

——

设m=kn»

即+畛=攵（3q—•

由不/不共线，得4=3左且1=—女，

解得a=一3；

【小问2详解】

夹角为钝角需满足机.〃<0,且阳，“不共线，

.2..2

in-/?=32ei+（3-2）^e2-e2

=3A+（3-2）xlx|xcos-^-l=5；1<0

解得A<——,

•J

由（1）可知，当"7"共线时，几=一3,此时共线反向，

所以4的取值范围为（―8,-3）=卜3,-1；

16.已知\^436'的内角48,。的对边分别为4氏<:,且asin（A+8-C）=csin（8+C）.

（1）求角C的值；

（2）若2+/?=6,且VA3c的面积为有，求VA3C的周长.

【答案】（1）y

（2）6或5+9

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合A+3+C=TT,代换整理得sin2C=sinC,再结合倍角公式整理可求角C

的值;

a=2a=1

(2)根据面积公式Sa吐=Q出代入整理得H?=4,结合题意可得，或《I'分情况讨论可

b=2

得VA3C的周长.

【小问1详解】

Vtzsin（A+B-C）=csin（B+C）,WOsinAsin（A+B-C）=sinCsin（B+C）,

V0<A<7T>/.sinA^O,/.sinAsin（JI-2C）sinCsinA，

sin2C=sinC»即2sinCcosC=sinC,V0<C<n»AsinC0,

]Ti

则cosC=—,C=—

23

【小问2详解】

：VA4C的面积为石，则5〃bsinC=6,・•・〃/?=4,

2。+）=6a=2a=1

根据题意得《加4W或,

b=2b=4.

a=2

若%=2,则VA8C为等边三角形'VA8C的周长为6；

a=1

若<，则c2=a2+o2—2"cosC=13，即<:=布，VA3c•的周长为5+，

[b=4

・•・V48C的周长为6或5+

17.(I)叙述正弦定理;

(2)用向量法证明正弦定理(以锐角三角形为例);

(3)类比上述方法，解决以下问即：如图，直线/与VA8C的边A氏AC分别相交于点。,石，设

AB=c,BC=a,AC=b,NADE=6,试用向量方法证明：acos（8-6）+Z?cos（4+e）=ccose.

ab

【见】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析

sinAsinBsinC

【解析】

【详解】(1)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,

即，一=，-=」一.

sinAsinBsinC

(2)如图，在锐角VA8C中，过点A作与4。垂直的单位向量

则J与的夹角为^一4，)与C8的夹角为g-C，

乙

因为Ad+C8=A8,所以/(AC+CB)=>A8,

由分配律得J-AC+jCB=jAB,

即“.,(7|8$>川.画8$仁_0二川.卜@8$^-A,

也即tzsinC=csinA,

所以‘一二二一.

sinAsinC

/?r

同理，过点。作与CB垂直的单位向量〃2,可得「；=「；

sinBsinC

e”。

因此----=---b--=---c--.

sinAsinBsinC

(3)如图，在VABC中,A笈十笈。十C4=0・

DE

设单.位向量〃=H

贝|J〃(A8+8C+C4)=。，即〃•A6+〃・SC+〃心=0.

过点。作8C的平行线，

则〃•AC=卜4cos(B-O)=acos(B-J),

//-AB=|/\/?|COS(K-^)=-ccos^,

n-CA=|CA|COS(744-0)=/?cos(A+0),

所以一CCOS〃+4COS（B-e）+/2COS（A+g）=0,

则acos（B-3）+bcos（A+夕）=ccos6,

当0为零角、直角、钝角时，4cos（3-夕）+/?cos（A+夕）=ccos，仍然成立.

18.在VA8C1中，ZA,ZB,ZC对应的边分别为。,Z?,c,2siiL4sinBsinC=J5®n23+sin2C-sin2A）

（1）求A；

（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy,1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学

领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中

柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：（芭々+x%）2<（才+犬）（石+£）

②已知三维分式型柯西不等式：W，K，），3WR+,.+K+HN（.+.+"J,当且仅当±=上=匕

y必月,+内+为乂％%

时等号成立.若。=2,p是VA3C内一点，过P作A5,BC,AC垂线，垂足分别为。,旦厂，求

.\AB\4|BC|\AC\

、局+鬲+鬲的最小值.

【答案】（1）1

3

（2）①证明见解析，②超3

3

【解析】

,222

【分析】（1）根据条件，边转角得到sim=GL一右，再利用余弦定理，即可求出结果;

2hc

（2）①利用数量积的定义，得到区再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根

利用4也+目尸目+。归耳=25八尤，得到TN?」?十4）一

据条件及三角形面积公式结合余弦定

\J3bc

273

T>

理，令，=〃+c、+4,得到'-再求出，的范围，即可求出结果.

【小问1详解】

由正弦定理得2bcsinA=同b2ic2a2)即sinA-6电+c2-a2

2bc

由余弦定理有sinA=J5cosA，7；cosA=0*等式不成立,则cosA。0,所以tanA=，

因为A«0,7i),所以A=方.

【小问2详解】

①设a=(xi，y),Z?=(々,，2)，由d/=|ci||b|cos〈4,〃)，得m・b|W|d||b|,

从而W/+yy2K&+y；-幅+£,即(xz+y)J<(工;+)f)(E+£)

|A%4|M』AC|_C।4个〃-c?।4/।H

°\PD\\PE\\PF\|PD|\PE\\PF\c\PD\a\PE\b\PF\'

又S%8=(dPD|,SPBC=^a\PE\ySPAC=^b\PF\»S.PAR+S.PRC+SPAC=S.AHC^

.••4阳+/同+期尸|=2SM-

_c24x22b~〉(〃+C+4)22(〃+C+4)2

由三维分式型柯西不等式有,=晒+格+晒

乙2V知8c回c

121

当且仅当网二网=网叫阳=2|叨=2归目时等号成立.

S+c)2-4

由余弦定理"=/?2+c?-2/?ccosA得4=〃+c2-be，所以S+c>-4=3/?c即bc=

3

2百

则上野+c+4)26S+C+4)T>

，令，=〃+c+4,则(r-4)2-4128

(h+c)2-4

S+d(

be=-------------<

因为3I2)得2</?+c«4,当且仅当〃二c时等号成立,

b+c>a=2

所以6vz«8,则

8r6

人128一，在一£上递减,

令)'=»——则y=12

3J33o0)

i3"万

当-二一即〃=。=2时，y有最大值一，此时丁有最小值一.

i8163

B

aE

c

19.如图，设ae(O,7t),且当4。)'=。时，定义平面坐标系为。的斜坐标系.在。的斜坐标

系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设“，4分别为。工,。丁正方向同向的单位向量，若向量

■—•/、7T

OP=xe{+ye2»记向量OP=(x,y).在a=§的斜坐标系中.

(1)若向量OP=(3,2),求0P

(2)已知向量。=(%,)[),6=(&，)’2)，证明:ab=玉々+X%+玉)‘2+々力)•

⑶若向鼠Z，b的斜坐标分别为卜in2x,Jicos2x)和(1