第七章 综合测试卷B卷（原卷版）

第七章复数综合测试卷B卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1.若zi=l+3i,则［=()

A.3+iB.3-iC.3+2iD.3-2i

2.已知复数z满足（l+ifz=4+2i,则复数区()

A.l-2iB.l+2iC.2+iD.2-i

3.3二(

)

2-i

A.9+9iB.15+15i

C.3+9iD.5+15i

4.已知复数z+2l=3-i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知（l+2i）z=|3-4i|,则2=（）

A.l+2iB.i-2iC.-i+2iD.-l-2i

6.已知.6+y=i（l+i）（x,yeR,i为虚数单位），复数z=x+yi,则zS=（）

A.2B.&C.2+3iD.-2+3i

7.设A〃为锐角三角形的两个内角，则复数z=（cotB-tanA）+（tanB-cotA）i对应的点位

于复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知z=a+/，i（。、〃eR，i是虚数单位），z,tz2GC,定义：D（z）=||z||=|a|+|b|,

£＞（4，Z2）=忆-z』|.给出下列命题：

（1）对任意zeC,都有D（z）＞0：

(2)若5是复数z的共轨复数，则/)Q)="z)恒成立；

(3)若。(zJ=O(Z2)(4、z2GC),贝1J4=Z2；

(4)对任意为、z：、Q£C，结论。(4,4厅。(4Q)+。(4，4)恒成立，则其中真命题是

［答］.

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)(4)

C.(2)(4)D.(2)(3)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得。分。

9.已知复数z满足z(l-2i)=5(其中i为虚数单位)，则下列选项正确的是()

A.|z|=5

B.复数z的共枕复数为弓=l+2i

C.复数z在复平面表示的点位于第一象限

D.复数z的虚部为2

10.已知i为虚数单位，复数Z=l+i,z?=2-i,则下列结论正确的是()

A.Z1的模为&B.zZ的虚部为—1

C.4对应的点位于复平面第一象限D.z,的共规复数为-1T

11.已知复数z=6+i(i为虚数单位)，z0=Z,则下列结论中正确的是()

Z

A.z。的虚部为3B.z0在复平面内对应的点位于第四象限

2

C.W=1D.若卜-马上：，则㈤的最大值为T

12.欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在友分析领

域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即eJcosO+isinO(OeR).

根据欧拉公式，下列说法正确的是()

A.对任意的＜9wR,因=1

B.e"在复平面内对应的点在第二象限

C.㊀苧的实部为正

e2

D.建与小"互为共胡复数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.复数z满足zi=2-i（其中i为虚数单位），则|z|=.

14.已知复数z为纯虚数，若（2-i）z=a+i（其中i为虚数单位），则实数。的值为

15.在豆平面内，若向量OP对应的豆数是1,将向量OP绕。点逆时针旋转1•得到向量

OQ,则向量。。对应的复数是l・i=i.由类比推理得：若向量（M对应的复数是I+2i,

将向量OA绕。点逆时针旋转I得到向量则向量。8对应的复数是.

16.已知复数z=l+sin，cosO+（cosO-sinO）i,则目的最大值为,最小值为

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.已知复数4满足z/i=l+i（i为虚数单位），复数4=〃2+2i（〃?wR）.

（1）求4；

（2）若马々2是纯虚数，求〃?的值.

18.已知z为复数，z+i和台均为实数,其中,为虚数单位,

（1）求复数z和忖;

（2）若复数Z1二Z-（〃2-i）在复平面内对应的点位于第三象限，求实数〃2的取值范围.

19.在①z+2=4,②2为纯虚数，③4=三且4对应的点在笫一象限内，这三个条

1—1

件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知复数Z=（1-3〃]+2）+（〃Ll）i（i为虚数单位），I为z的共辄复数，若,求

实数〃?的值或取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）

2。.已知，是复数，z-3i为实数，吉为纯虚数3为虚数单位）.

（1）求复数z；

（2）在复平面中，若复数占对应向量〃，且向量b_La，W=2,求向量b的坐标.

21.已知复数z的实部大于零，且满足z=&（cose+isin。）（夕wR）,z?的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）设z、z-z?在夏平面上的对应点分别为A8,C,求ARAC的值.

22.一般地，任何一个复数z=a+历（。，R）都可以表示成「（cosO+isin。）形式，

其中，，•是复数Z的模，。是以X轴的非负半轴为始边，向量被所在射线（射线OZ）

为终边的角，叫做复数z=a+加的辐角，r（cosO+isin0叫做复数z=a+万的三角表示式,

简称三角形式.为了与"三角形式"区分开来，a+bi（%〃eR）叫做复数的代数表示式,

简称“代数形式

y

2

1

41O1!3

-1

一2

⑴画出复数z=l-i对应的向量，并把z=l-i表示成三角形式;

cos(乃+a+a)=],其中

(2)已知4=cosq+isinq:z2=cos+isin^2,

•试求平2（结果表示代数形式.

第七章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.［云南保山期末］在复平面内，复数zi-3=-2i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.［河北承德双滦期中］已知复数2二芸,则5的虚部为（）

AiB?ClD.|i

3.［浙江杭州上城月考］若豆数z满足z+|eR,则|z+i|的最小值为（)

A9B.

它C.V2-1D.l

32

4.复数i+i2+i3+...+i2。2y)

A.i-1B.i

C.-lD.O

5.已知（14尸2=3+2，贝1」z=（)

c.-|+iD.-ii

6.设复数z满足02i|=3,z在复平面内对应的点为区），）,则（）

A.Cv-2）2+y=9

B.（X+2）2+/=9

C.f+G，-2）2=9

D.f+（y+2）2=9

7.已知z是复数，且〃:z=g+争；q：z+3eR则p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）

A.3+4iB.4+31

C.—+31D.3+—1

JO

二、选择题:在每小题给出的选项中侑多项符合题目要求.

9.已知复数z=（1+2i）（2-i）2为z的共枕复数，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为3i

B.|z|=5

C.z-4为纯虚数

D.，在复平面上对应的点在第四象限

10.下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（）

A.V2[cos（—）-isin'-g）-

44

B.&（cos；+isinJ

44

C.V2^sin-+icos^

44

n•9K)

D.V2'cos——+isin-'

44

11.已知复数Z产二(i为虚数单位)，下列说法正确的是()

-1+i

Az在复平面匕对应的点在第三象限

B.zi的虚部为-1

C.zf=4

D.满足|z|=①|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

12.设式6)=cos夕+isin仇i为虚数单位)，则/(8)=cos29+isin207(6)=cos38+isin3。,...,若

.严(。)为实数，则0的值可能等于()

A2LB到

A'1OD-zo

C-D-

三、填空题

13』上海虹口校级期末］已知复数z产-百+i,若复数z满足2iz二zi,则复数z的辐角主值

为.

14.已知2i-3是关于x的方程2r+px+26=0的一个根,则实数p=.

15.在复平面内以数z对应的点的坐标是(-2,1),则i.z=.

16.已知复数z满足|z+2-G|=2,则|z-l|的取值范围是.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.当实数m为何值或何取值范围时，复数z=0W+("-2Mi为

m

(1)实数？

(2)虚数?

(3)纯虚数?

18.［陕西咸阳武功月考］设复数z产2+〃i(其中a£R),Z2=4-3i,i为虚数单位.

(1)若zi+zz是实数，求a的值,并计算zrz2的值；

(2)若X是纯虚数，求〃的值.

19.设i为虚数单位,a£R度数z产2+(a」)i,z2=l-2i,且.请从下面三个条件中任

选一个，补充在题目的横线上，并作答.

①Z1+Z2£R；②zm=6⑵;③在复平面内复数Z1对应的点的横坐标等于纵坐标.

(1)求实数。的值；

⑵若是纯虚数,求实数h的值.

Z2

20.设△A8C的两个内角A,8所对的边分别为a/，复数Zi=o+〃i,Z2=cosA+icos及若复数

ziz2为纯虚数,试判断△ABC的形状，并说明理由.

21.已知复数zi=〃?+〃i,Z2=2-2i和z=x+)，i,设z=，ii-Z2,wy£R.若复数zi所对应的点

“(〃?/)在曲线厂如+2尸+|上运动，求复数z所对应的点0(3)的轨迹C的方程.

22.已知复数zi满足(1+i”i=-l+5i,Z2=a-3+i,q£R.

(1)求I的共枕复数再;

⑵若|zi-z21Vlz1|,求a的取值范围.

参考答案

第七章综合训练

1.C由题意,2=2=当誓=23i,根据复数的几何意义,故复数对应的点(2-3)在第三

11(-1)

象限.

3-i(3-i)(3-i)8-6i43.-4,3.以一小出切43

2CZ字;=由前=而=19故Z=5+/故Z的虚部为M

3.C设z=a+bi(。力为实数且不同时为0),z+2=a+6i+=7=a+历+竽整=(々+1^)+(

万系Pi,由题意可知人悬7=0,得/尸°或。2+/=2.当〃=0时,z的轨迹是X轴(除原点外),

此时|z+i|的几何意义是复数z对应的点和点(0,-1)的距离，此时|z+i|>l.当a1+b2=2

2

时,|z+i|=|a+(〃+l)i|=JQ2+@+l)=V3+2b,因为〃+〃=2,所以片=2-尻即26+Q,所

以厄&.则j3-2&W|z+i|&/3+2&,解得J^iqz+i区迎+1.综上,|z+i|的最小值是

4.BVi4=lJ202,=(i4)^-i=i,Ai+i2+i3+...+i202,=^^=罕=i.故选B.

1-11-1

5.B由题意得z=^=嘿="+a

6.D因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以2二『)，，故2-2i=x+(-y-2)i.因为|2-2i|=3,所以

Jx2+(y+2产=3,化简可得«+。，+2)2=9.故选D.

7A显然，当z=：+学时，Z+；升李+备=+翠=1£R，但当z+*R时，若

令zfim.R),则"圻+嵩式"品)+(b-：、)i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定

有z=14-—i.故p是q的充分不必要条件，选A.

y/x2+产+

8.B设z=x+yi(x,y£R),则有yjx2+y2+2x+2yi=13+6i.于是2%=13,

2y=6,

_40

尸，或

解得“=彳，因为13-2心0,故它?

(y=37=3,2

所以x二日不符合要求，故z=4+3i.

9.BCD因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,故A错误;由团=团=4+/=5,故B

正确;z-4=3i为纯虚数，故C正确;2=4-3i在复平面上对应的点(4,-3)在第四象限，故D正确.

故选BCD.

企［cos(T)-isin(2.

10.BD对于A,」=l+i,但是不满足复数的三角形式，故A不正确;

对于B,或Q喏+isin?=l+i,故B正确;对于C,迎Qin沁吟)=l+i,不满足复数的三角

形式，故C不正确;对于D,夜(cos苧+isin与L+i,故D正确.

11.AB复数z尸七二7^会;=-芳?=-1-i.zi在复平面上对应的点(-11)在第三象限，故

-1+1(1-1)(1+1)1+1

A正确;zi的虚部为】故B正确;(zi)4=(・l・i)4=(2i)2=4故C不正确;包|二/，满足|z|二Z|的

复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心，半径为直的圆上，故D不正确.故选AB.

12.AC-)(〃)=cos10〃+isin10〃要使严(仍为实数，则sin10〃=0,10〃=E(*Z),故(攵七

Z),当k=\时。=左当k=2时,04

JLUO

13.^Vzi=-V3+i,2iz=Zi,

*-V3+i(-V3+i)(-i)1,6.n,..n

..2==-zr-TT—=^-I=cos-+isin-,

2i2i(-i)2233

故复数z的辐痢主值为今

14.12V2i-3是关于x的方程的一个根,・・.-2i-3是关于x的方程

2r+pA+26=0的另一个根，则(2i-3)+(-2i-3)=刍得,=12.

15.-1-21因为复数z对应的点的坐标是(21),

所以z=-2+i,所以i-z=(-2+i)-i=-l-2i.

16.［3,7］设z=(xj)a,y£R),

•・•复数z满足|z+2-4i|=2,

+2)2+(y-4)2=2JP(x+2)2+(y-4)2=4.

；・z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.

|z-l|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.

圆心与点(1,0)之间的距离d=J(-2-l)2+42=5,

则|z-11的取值范围是［/r,"+”，即［3,7］.

17.解(1)若z为实数，可得俨2・27=0,解得〃『z

{,mH0,

・•・当m=2时,z为实数.

(2)z为虚数，则虚部且〃始0,解得"印2,且〃?#).，当m的取值范围为(・8,0)U(0,2)

U(2,+8)时口为虚数.

m2+m_6_n

(3)z为纯虚数，则m-，解得〃尸-3.

m2-2m工0,

・•・当m=-3时,z为纯虚数.

18.解(1)Vzi=2+ai(其中a£R),z2=4-3i,

：・zi+z2=6+(a-3)i.

由zi+zz是实数，所以a-3=0,解得。=3.

.e.zi=2+3i,Z2=4-3i,

则Zi-Z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.

可心2+ai(2+ai)(4+3i)8-3a6+4a.卫“忐却Pi(8-3Q=0,8,,8

⑵因为石=■=(4-30(4+31)=X+ET］走纯虚数，所以'+4