幂函数【九大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题3.3幕函数【九大题型】

【人教A版（2019）］

＞题型梳理

【题型I对幕函数的概念的理解】................................................................1

【题型2求索函数的值、解析式】...............................................................2

【题型3根据函数是基函数求参数值】............................................................2

【题型4求鼎函数的定义域】....................................................................5

【题型5幕函数的值域问题】....................................................................5

【题型6基函数图象的判断及应用】.............................................................6

【题型7由察函数的图象与性质求参数】.........................................................8

【题型8比较辕值的大小】......................................................................8

【题型9利用品函数的性质解不等式】...........................................................9

A举一反三

【知识点1塞函数的概念】

i.褰函数的概念

（1）累函数的概念：一般地，函数m1叫做基函数，其中工是自变量，丝是常数.

（2）寻函数的特征：

①Y的系数为1；

②一的底数是自变量：

③^的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幕函数.

2.塞函数的解析式

靠函数的形式是y=x〃（a£R）,其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

【题型1对募函数的概念的理解】

【例1】（24-25高一上•上海•随堂练习）下列函数是轻函数的是（）

A.y=2xB.y=2x-1

C.y=（x+l）2D.y=Vx7

【变式1/】（23-24高一上•云南西双版纳•期中）下列结论正确的是（）

A.哥函数的图象一定过原点

B.a=1,3,：时,暴函数7=产是增函数

C.某函数的图象会出现在第四象限

D.y=2/既是二次函数，又是幕函数

【变式1-2](23-24高一上•新疆,阶段练习)下列函数中第函数的是()

A.y=3xB.y=x2+2C.y=(x+l)2D.y=Vx

【变式1-3](23-24高一上.陕西咸阳•期中)现有下列函数：①v=/;②y=4/；③、=必+1；④〉=

(x-1)2；⑤丫二%,其中哥函数的个数为()

A.4B.3C.2D.I

【题型2求累函数的值、解析式】

【例2】(23-24高二下•重庆・期末)已知事函数/lx)的图象过点(3,。，则/'(2)=()

A.-4B.-3C.-D.3

4

【变式2-1](23-24高一下.辽宁本溪.开学考试)已知幕函数/(外的图象过点(4,£)，则<)

A.fM=\xB.f(x)=x~2C./(x)=x-D./(x)=^x2

【变式2-2](23-24高一下.河南•开学考试)已知/(幻=32+2k+2)x2fe+1+m-3是寻函数，见/'(m)=()

A.3B.-C.6D.-

33

【变式2-3](23-24高一上•四川成都.期中)新函数y=f(x)的图象过点(4，)，则此函数的解析式为()

A./(x)=x~2(x>0)B./(x)=-x

8

C./(%)=X-D./(%)=系2

【题型3根据函数是幕函数求参数值】

【例3】(23-24高一下.河北张家口.开学考试)已知某函数f(x)=”，若函数/(%)的图象过点G,2),则7i=

()

A.0B.-2C.--2D.-2

【变式3・1](23-24高一上•湖北荆州•期末)已知事函数/"(%)=%%且/"(2)=8/(1),则a=()

A.-2B.2C.3D.4

【变式3-2](23-24高一上•安徽阜阳・期末)已知哥函数、二52一加一1)钎1(7九€咫的图象不经过第二象

限，则m=()

A.2B.-2或1C.-1或2D.-1

【变式3-3](23-24高二下•黑龙江牡丹江•期末)已知幕函数/(%)=k,xa(kGR,aGR)的图象经过点(4,：),

则A+a=()

A.B.13D.2

【知识点2幕函数的图象与性质】

1.常见导函数的图象与性质

累函数y=T?n=户1n=尸

y=x2

图象£\kJyX

02V

/I

定义域RRR[0,+oo)(-oo,0)U(0,+oo)

值域R；0,+oo)R[0,+oo)(-oo,0)U(0,+oo)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性在R上为增函XG[0,+oo),在R上为增函在[0,+oo)上①£(0,+8),增函数

数增函数数为增函数2；G(-OO,0),减函数

(-oo,0],

减函数

定点(1.1)

温馨提示：制函数在区间(0,+8)上，当a>0时，y=/是增函数；当a<0时，y=U是减函数.

2.一般易函数的图象与性质

(1)一般幕函数的图象：

①当«=1时，y=x的图象是一条直线.

②当a=0时，)=x°=l("0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

(2)一般累函数的性质：

通过分析幕函数的图象特征，可以得到某函数的以下性质：

①所有的嘉函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②a>0时，寡函数的图象过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.

③a<0时，基函数在区间(0,+8)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在)，轴右方

无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何事函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幕函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个寨函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1),(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个

鬲函数的公共点.

3.比较基值的大小

在比较塞值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的两数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个显函数的图象和性质是解题的美键.

4.对勾函数y=的图象与性质

参考幕函数的性质，探究函数/(x)=x+5的性质.

(1)图象如图：与直线,，=x,y轴无限接近.

(2)函数/(x)=x+F的定义域为“|xWO｝；

⑶函数/'(x)=x+g的值域为(-8,-2]U[2,+8).

(4)奇偶性：T/(-x)=-x——=-fx+=，函数/(x)=x+—为奇函数.

(5)单调性：由函数/(x)=x+，的图象可知，函数/1)=戈+，在(・00,.1),(1,+8)上单调递增，在

XX

(-1,0),(0,1)上单调递减.

【题型4求暮函数的定义域】

【例4】(23-24高一上,北京延庆•期末)下列函数中定义域为RH勺是()

1S

A.y=x2B.y=x*

2_1

C.y=%5D・y=x~

【变式4-1](23-24高一上•广东珠海•期中)给出5个呆函数：①y=%7：②、=蓝：③y=4：④y=:；

⑤其中定义域为R的是[)

A.①②B.②®C.②④D.③④

【变式4-2](23-24高一上•福建龙岩・期末)若基函数/(%)的图象过点(4,2),则y=%^的定义域是()

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【变式4-3](23-24高一上•广东广州•期中)哥函数/(%)图象过点(2,4)，则y=/(x)+f(2—优|)的定义域

为()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【题型5嘉函数的值域问题】

【例5】(23-24高一•全国•课后作业)已知事函数/(乃=一的图像过点(8,4),则/(乃二不。的值域是()

A.(-co,0)B.(-oo,0)U(0,4-co)

C.(0,+co)D.[0,+oo)

【变式5-1](23-24高一上.湖北襄阳.期末)下列函数中，值域为(0,+8)的是()

A./(x)=yjxB./(x)=x4-^(r>0)

C.fa)=高D./(x)=

【变式5-2](23-24高一上.陕西商洛.期中)己知辕函数/(%)二厂后一2山+3(_2〈血〈2,血€2)满足：

①/(%)在(0,+8)上为增函数，

②对VxGR,都有/'(一幻-f(x)=0,

求同时满足①②的晶函数;•(%)的解析式，并求出XW[1,4]时，f(%)的值域.

【变式5-3](23-24高一上.广东江门•期中)已知哥函数y=/(x)=%-2m2-m+3(_2<m<2,且m€Z)满

足：①在区间(0,+8)上是增函数：②对任意的都有/(一工)+/(%)=().

⑴求同时满足①②的暴函数外外的解析式，

(2)在⑴条件下，求％W[0,3]时/(%)的值域.

【题型6幕函数图象的判断及应用】

【例61(23-24高一上•陕西西安阶段练习)如图的曲线是幕函数y=”在第一象限内的图象.已知〃分别取

一四个值，与曲线Q、。2、Q、C4相应的几依次为()

【变式6-1](2024・四川南充・二模)已知函数/'(%)的图象如图所示，则/Xx)的解析式可能是()

【变式6-2］（2024.湖南岳阳.模拟预测）如图，已知基函数y=%。,>=”,y=%。在（o,+8）上的图象分别

C.c<a<bD.a<b<c

p

【变式6-3］（23-24高一・全国•课后作业）已知塞函数y=a（p,q£Z且p,q互质）的图象关于y轴对称,

如图所示，则（）

B.9为偶数，〃为奇数，且;V0

c.夕为奇数，〃为偶数，且:>0

D.q为奇数，〃为偶数，且

【题型7由募函数的图象与性质求参数】

【例7】(23-24高二下.浙江•期中)晶函数y=%皿2-2血-3(6七2)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上是减

函数，则m的值是()

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1](23-24高二下.山东德州.期末)“m=-1或机=4”是“累函数/(x)=(m2-3m-3)X向+小-3在

(0,+8)上是减函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-2](23-24高一下•湖南长沙•阶段练习)已知幕函数/Q)=(m2-2m-GR)是偶函数,

且/(x)在(0,+8)上是减函数，则m=()

A.-2B.-1C.0D.3

【变式7-31(23-24高一上•重庆永川•期中)己知函数/"(%)=(6？一加一I)/1是界函数，且/"(%)在xe(0,+co)

上单调递增，则实数m=()

A.-IB.-I或2C.2D.3

【题型8比较帮值的大小】

【例8】(23-24高一上•重庆•期中)已知。=2：8=4：。=3;,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.h<c<aD.c<a<b

【变式8-1](23-24高一上.云南昆明•期中)已知辕函数f(%)=£jao<avbvl,则下列选项中正确的

是()

A./(a2)</(b2)</(^)</(^)B./信)〈/信)</32)</储)

C./(a2)<f(产)Vf偿)Vf(1)D.。专)</(a2)</(^)<

221

【变式8-2](23-24高一_L•广东佛山•阶段练习)若。=@)*力=6)3c=《y,则a、b、c的大小关系

是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a