人教A版高一数学暑假预习：等式与不等式的性质（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

2.1等式与不等式的性质

【题型解读】

【知识储备】

1.两个实数大小的比较

如果a—b是正数，那么正如果。一》等于零，那么包：如果。一》是负数，那么金.反过来也对.这

个基本事实可以表示为：a>b^>g—b>(),a=b^g—h=(),a<b^>g—b<().

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与2的大小.

2.等式的基本性质

性质1如果”=〃,那么〃=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c

性质3如果a=〃,那么a±c=b±c；

性质4如果a=b,那么ac=bc\

cWO,那么"今

性质5如果a=b,

3.不等式的性质

⑴如果。>力，那么b<a；如果。<a,那么即a>bCb<a.

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c=>a>c.

(3)如果a>h,那么a+c>/?+c'.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

(6)如果,那么aObd.

(7)如果。>力>0,那么在戈(〃WN,〃22).

(8)如果4>比>0,那么缶>砺，(〃£N,〃22).

【题型精讲】

【题型一不等关系的建立】

必备技巧不等关系的建立

在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时.先通过审题,谩出未知量,找出其中的不等关系,再将不等

关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

例I（2022•凌源市模拟）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、

宽、高之和不超过130c772.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：cm）,这个规定用数学关

系式表示为（）.

A.a+A+cvl30B.a+〃+c>130

C.«+/?+（?<130D.6z+/?+c>130

例2（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水

会变得越来越甜.已知。克糖水中含有匕克糖（a>b>0）,再添加小克糖（m>0）（假设全部溶解），可将

糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.->------B.-V------C.->------D.-<------

aa+maa+mbb+mbb+m

【题型精练】

1.（2022•贵州南明贵阳一中高一期中）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五

百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576,买竹子78根，拟分大、小

两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多

少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）

A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱

2.（2022•哈尔滨市第一中学校课时练习）用不等式或不等式组表示卜.面的不等关系:

⑴某高速公路规定通过车辆的车货总高度M单位:m）从地面算起不能超过4m;

（2）o与b的和是非负实数;

⑶如图，在一个面积小于350〃/的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地，仓库的长（单

位m）大于宽W（单位:m）的4倍.

绿地

3.（2022•山东济南高一期中）某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生产量不少于8匕已知

生产甲种图画纸It要用芦苇九、黄麻丸、枫树5t；生产乙种图画纸It要用芦苇立、黄麻41、枫树8t.现

在仓库内有芦苇3001、黄麻150t.枫树2003试列出满足题意的不等式组.

【题型二比较大小】

必备技巧作差法比较大小

（1）作差法比较的步骤：作差一变形一定号一结论.

（2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.

例3（2022•浙江高一月考）已知「二一」一，Q=+则。、Q的大小关系为（）

a~+a+l

A.P>QB.P<QC.P<QD.无法确定

例4（2022•江苏南通市・海安高级中学高一期中）比较下列各组中两个代数式的大小：

⑴Y+5x+6与2f+5x+9：

⑵（工一3）2与（戈一2）。-4）；

（3）当X>1时，与犬一X+1；

（4）工2+）,2+1与2（工+丁一1）

【题型精练】

1.（2022•上海高一月考）已知4,6均为正实数，试利用作差法比较与c/b+a从的大小.

2.（2。22・江西高一期末）若心”>。，〃A。，〃>。，则今%翳'部按由小到大的顺序排列为（）

bb+ma+naba+nb+ma

A.<T<TVB.-<——<----<-

aa+mb+nbab+na+mb

bb+maa+nbaa+nb+m

c.-<-----<-<——D.-<-<——<----

aa+mbb+nabb+na+m

3.（2022•北京人大附中月考）设。>力>0,比较44与二的大小

a-+b~a+b

【题型三不等式性质的运用】

方法技巧不等式的性盾判断正误

①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.

②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件：二是取值要简单，便于验证计算；三是所

取的值要有代表性.

例5（2022•河南焦作市高一期中）对于任意实数a,b,c,则下列四个命题：

①若a>b,c00,则ac>：

②若〃>〃.则ac1>be2：

③若ac2>be2，则a>b；

④若a>b,则,<'.

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D,0

例6（2022.浙江高一月考）若〃<人<0,则下列不等式中，不能成立的是（）

A.—>—B.---->—C.\d\>|/?|D.a2>h2

aba-ba

【题型精练】

1.（2022•全国高一课时练习）下列结论正确的是（）

A.若a>b,c>b,则B.若•>〃，则a?〉/??

C.若a>b,c>b,则D.若a>b,c>d,则c/+c>〃+4

2.［多选题］（2022•葫芦岛期末）对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是（）

A.若4c2>人落则B.若a>b,c>d,则

C.若a>b,c>d,则D.若a>b,则一>一

ab

3.（2022・武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）

A.若a>/?,则,,'B.若/<〃，则。<匕

ba

C.若a>b,c>d则D.若a>b,则

【题型四利用不等式的性质证明不等式】

方法技巧利用不等式的性质证明不等式

①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等

式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不

能随意构造性质与法则.

例7（2022•四川宜宾市高一期中）（1）已知a>O,cvd,求证：a-c>b-ch

（2）已知a>/?,〃〃>（）,求证：-<-；

ab

（3）已知。>b>0,0vc<d,求证：.

cd

例8（2022•椒江区校级月考）若加一〃应0,bd>（）,求证：华拧'

C*（I

【题型精练】

1.（2022•万州区校级月考）已知4Q。，yV。，用不等式性质证明：目〈手

</+从

'a+b、

2.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）证明不等式a,bwR),

~2~

【题型五利用不等式的性质求取值范围】

方法技巧利用不等式的性质求取值范围

同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范

围，注意变形的等价性.

a匕2

例9（2。22・四川宜宾市高一期中）设2<Z3,-4VY-3,求他一，?心片的取值范围.

例10（2022•浙江高一期末）已知一lvx+yv4,2<X-J<3,则x的范围是,3x+2y的

范闱是_________

【题型精练】

1.（2022•万州区校级月考）（多选）已知实数x,）‘满足-lWx+y《3,4〈2x-y《9,贝I」（）

A.l<x<4B.-2<y<1

c.2<4x+}f<15D.-<x-y<6

2.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）已知2<a<3,—2<〃<一1,求2。十〃的取值范

围.

3.(2022•安徽合肥市高一期中)实数。为满足-3Wa+Z?K2,-\<a-b<4.

(1)求实数a,〃的取值范围；

(2)求3。一2b的取值范围.

2.1等式与不等式的性质

【题型解读】

【知识储备】

1.两个实数大小的比较

如果“一。是正数，那么如果a-Z?等于零，那么a=b；如果4一人是负数，那么a〈b.

反过来也对.这个基本事实可以表示为：a>b^q—b>0,a=b^g—b=O,a<b^q—b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与9的大小.

2.等式的基本性质

性质1如果a=Z?,那么〃=a；

性质2如果。=方，b=c，那么a=c；

性质3如果a=b,那么a±c=b±a

性质4如果〃=从那么4c=Z?c；

性垢5如果。=瓦cNO.那么

Vv

3.不等式的性质

(I)如果a>bf那么b<a-,如果b<a,那么a>/九即a>b^b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c^a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>〃+c.

(4)如果a>b,0(),那么ac>bci如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a+c>〃+d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺如果那么力"SWN,〃22).

(8)如果。>〃>(),那么加>显，(〃£N,〃22).

【题型精讲】

【题型一不等关系的建立】

必备技巧不等关系的建立

在用不等式(抽)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出木知量，找出其中的不等

关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

例1（2022•凌源市模拟）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的

外部尺寸长、宽、高之和不超过130c77?.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单

位：cm）,这个规定用数学关系式表示为（）.

A.6?-t-Z?4-c<130B.a+Z?+c>130

C.«+/?+<?<130D.tz+/?+c>130

【答案】C

【解析】•・•«：、宽、高之和不超过130。加，.•.a+Z?+cW130.故选：C.

例2（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不

断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知。克糖水中含有〃克糖（a>b>0）,再添加加克糖

（/«>0）（假设全部溶解），可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.—>----B.—<----C.—>----D.-V----

aa+maa+mbb+mbb+m

【答案】B

【解答】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此2〈丝土正确.故选：B.

aa+m

【题型精练】

1.（2022•贵州南明贵阳一中高一期中）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道

题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱

576,买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问

买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能

为（）

A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱

【答案】C

【解析】依题意可设买大竹子X,每根单价为加，购买小竹子78-x,每根单价为

m—\»

所以576=mv+(78-力7-1),即78/〃+x=654,UPx=6(109-13/??),

109

109-13w>0m~~n

因为0X78,所以*00973叱78n至勺〃n2强109

13IT

J3-W

根据选项利=8,x=30,所以买大竹子30根，每根8元.故选：C

2.（2022•哈尔滨市第一中学校课时练习）用不等式或不等式组表示下面的不等关系:

⑴某高速公路规定通过车辆的车货总高度M单位:m）从地面算起不能超过4m;

（2）a与b的和是非负熨数；

⑶如图，在一个面积小于350,/的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿

地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位:m）的4倍.

L>4W>0,

【答案】（1）0<〃44乂2）。+。.0;（3）

(L+l0)(W+10)<350.

【解析】(1)0</1<4；

(2)a+b>0-.

L>4W>0

（3）由题，则矩形地基的长为（L+10）根,宽为（卬+10）〃2,则

（L+10）（W+10）<350

3.（2022•山东济南高•期中）某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生量

不少于8t,己知生产甲种图画纸It要用芦苇九、黄麻3人枫树5t；生产乙种图画纸“要

用芦苇及、黄麻如、枫树8t.现在仓库内有芦苇300L黄麻150t.枫树200匕试列出满足题

意的不等式组.

7x+3y<300

3x+4y<150

【答案】

5x+8y<200

x>8,y8

【解析】设甲、乙两种图画纸的生产量分别为xt,义，根据题意，应有如下的不等关

系：

①生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇总量不超过3001,用不等式表小为7x+3yW300；

②生产甲、乙两种图画纸所用的黄麻总量不超过150t,用不等式表示为3x+4yW150：

③生产甲、乙两种图画纸所用的枫树总量不超过200t,用不等式表示为5x+8yW200；

④甲、乙两种图画纸的生产品都不少于8t,用不等式表示为），之8.

7x+3”3()(),

3x+4y<150,

所以满足.题意的不等式组为《

5x+8y<200,

x>8,y>8.

7x+3y<300,

3x+4y<150,

故填：<5x+8y<200,,

x>8,y>8.

【题型二比较大小】

必备技巧作差法比较大小

(1)作差法比较的步骤：作差—变形一♦定号一结论.

(2)变形的方法：①因式分解：②配方：③通分：④分母或分子有理化；⑤分类讨论.

例3(2022•浙江高一月考)已知尸=3-,Q=a2-a+\,则P、Q的大小关

a~+a+\

系为()

A.P>QB.P<QC.P<QD.无法确定

【答案】C

【解析】P-Q=-----；一。~一。+1=—---------H-------

6r+。+1/+Q+1

-a4-a2-«2(«2+1)

=-----------=----:----------9

/+。+1a2+a+\

(［、2Q-atz2+1)

(T20；一”+1)4(),乂Yc厂+a+1=+—+—>0»«0,

/+a+l

P<Q.

故选c.

例4(2022•江苏南通市・海安高级中学高一期中)比较下列各组中两个代数式的大

小：

(1)f+5x+6与2/+5X+9;

(2)(x-3尸与(为-2)*-4)：

(3)当x>l时，X)与9-x+l;

(4)f+),2+］与2(x+y_］)

【答案】(1)X2+5X+6<2X2+5X+9.(2)(x-3)2>(x-2)(x-4).(3)

x2>x2-x+1.(4)x2+/+l>2(x+y-l).

【解析】(1)因为(汇2+5工+6)—(2%2+5工+9)=-/一3<0,所以

x2+5x+6<2x2+5x+9.

(2)因为(x-3『一(•¥—2)(x—4)=(r-6x+9)—(x?—6x+8)=1>。，所以

(X-3)2>(X-2)(X-4).

(3)因为/一(/一工+])=工一1>。，所以当工>1时,X2>X2_X+1

(4)因为

x~+)a+1—2(元+y-1)=+y~+1-2,x—2,y4-2=(x-1)^+(y—1)~+1>0)所以

x2+y2+1>2(x+j-1).

【题型精练】

】.(2022•上海高一月考)已知小〃均为正实数，试利用作差法比较^+尸与"b+a从

的大小.

【答案】a3+b^^b+ab2

【解析】：«3+〃'一(“%+加)=(/一〃％)+(//-air)

=a2(a-b)b2(b-a)=(a-b)^a2-b2^=(a-b)2(a+b).

又“，小均为正实数，

当。=〃时，a—b=0,a3+/?3=a2b+ab2：

当球〃时，(。一〃尸>0,。+/?>0,

则4+/?3>a2b+ab2-

综上所述，/+"之九+加.

2.(2022•江西高一期末)若心Q0,机>(),〃>(),则［匕匕二等按由小到大的顺

baa+mb+n

序排列为()

bb+ma+naba+nb+ma

A.—<----<----<-B.-<---<-----<-

aa+mb+nbab+na+mb

bb-vmaa+nbaa+nb+m

C.—<----<-<D.-<-<〈

aa+mbb+nbb+na+m

【答案】A

bb+mab+bm-ab-am(b-a)m

【解答】解:

aa+ma(a+m)a(a+7n)’

(b-a)mbb+m

*：a>b>0,小>0,〃>0,―<0,:l<------,

Q(Q+M)aa+m

b+ma+n(Z?+a)(b-a)+(b-a)(7n+n)

a+mb+n(a+m)(h+n)

(d+a)(d-a)+(b-a)(7n+n)

Vd>/?>0,m>0,n>(),t<0,

(a+?n)(d+n)

b+ma+nb+ma+na+naab+bn-ab-an(b-a)n

-<D»V------,-—==----------

a+m---b+n----------a+m----b+nb+n---bb(b+n)---------b(b+n)

a+naa+na…，一心bb+ma+na

•・7>力>0,〃>(),・•・——--<0,A——综上可知，-V------<——<-,故选:lt

b+nbb+nbaa+mb+nb

A.

3.（2022•北京人大附中月考）设比较土£与伫乡的大小

八〃a+h

cr-b~a-b

【答案】———y>-------

a-+b-a+b

【解析］a>b>0,:.a-b>0,a2>b2~>0,--->0,

fa~+b~a+b

两数作商R.i二色业二lx"2=自@=]+必也>],

a2+b2a+b/+/a-b/+//+〃2

22

--a-------b--->--a----b--.

a2+b2a+b

【题型三不等式性质的运用】

方法技巧不等式的性质判断正误

①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明：对于说法错误的只需举出一个

反例即可.

②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于脸

证计算；三是所取的值要有代表性.

例5（2022•河南焦作市高一期中）对于任意实数a,b,c,则下列四个命题：

①若a>byc工0,则ac>be；

②若a>b,则ac2>be2：

③若ac2>be2，则a>〃：

④若a>匕，则,<’.

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】时，若evO,则①错误;

若c=0,则ac2=be2，②错误；

若ac2>be1，则/>0，:.a>b,③正确；

a>b,若a>U>b,仍然有④错误.

ab

正确的只有1个.故选：C.

例6（2022•浙江高一月考）若则下列不等式中，不能成立的是（）

A.—>—B.---->—C.同>帆D.ci~>b~

aba-ba

【答案】B

【解析】若贝!！一?=">（）,即』>5,A成立；

ahahah

11a-（a-b）b11

==<0,即<—B不成立;

a-ba--a（a-b）----a（a-b）---------a-b--a

同〉网,c成立；a2>b2^D成立;故选:B

【题型精练】

1.（2022•全国高一课时练习）下列结论正确的是（)

A.若c>b,则〃>cB.若a>b,则a?〉/??

C.若a>b,c>b,则位,>〃〃D.若a>b,c>d,则a+c>〃+d

【答案】D

【解析】A.若a=2,Z?=1,c=3,满足a>hc>b,而。<c,故错误；

B.若a=l力=-2,满足而/〈从，故错误；

C.若。=-1/=-2,。=2,"=1,满足c>d,而ac=bd,故错误;

D.若a>b,o（l,由不等式的基本性质得。+c>人+d,故正确.

故选：D

2.［多选题］（2022•葫芦岛期末）对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是（）

A.若achbc2,则B.若a>b,c>d,则o+c>b+d

11

C.若a>b,c>d,则ac>0dD.若a>b,则一〉y

ab

【答案】AB

【解答】解：若a?>b（E则a>b,A对，

由不等式同向可加性，若a>b,c>d,则a+c>Hd,8对，

当令a=2,b=1,c=-d=-2,则ac=〃d,。错，

11

令a=-l,b=-2,则一V一,。错.故选：AB.

ab

3.（2022・武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）

A.若a>b,则B.若a?<〃，则

ba

C.若a>b,D.若a>b，则

【答案】C

【解析】对于A,取。时，则A错误；

ba

对于B,取=-1时，a>b,则B错误；

对于C,因为〃>/?,一〃>一。，所以由不等式的性质可知。一4>〃一。，则C正确；

对于D,取c=0时，收2=从2,则D错误；故选：C

【题型四利用不等式的性质证明不等式】

方法技巧利用不等式的性质证明不等式

①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基思上，

记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或

跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

例7（2022•四川宜宾市高一期中）（1）已知。>A,c<d,求证：a-c>b-ch

（2）已知。>〃,加?>0,求证：—<-；

ab

（3）已知a>Z?>0,0<cvd,求证：一>一.

cd

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】证明：（1）因为a>〃,cvd,所以。>A一c>—d.则a—c>〃一

（2）因为次?>0,所以—>0.又因为〃>方，所以］—>h---，即一>—»因此

abababba

11

ab

（3）因为0vc<4,根据（2）的结论，得!>=>0.

ca

乂因为a>Z?〉0,则«-->/?•—,即3>二.

cdcd

例8（2022•椒江区校级月考）若be-a后0,bd>3求证：”与号.

【答案】见解析

【解析】,**he—a（l>0,bc>ach:.be+b&ad+bd,即b（c+t/）*/（a+/?）.

又bd>o,两边同除以/加得，然与亍.

【题型精练】

yfayfb

1.（2022•万州区校级月考）已知。>方>0,d<c<0,用不等式性质证明：一.

cd

【解析】解：因为〃>〃>（）,所以G>VS>o.

11

因为dVcVO,所以-d>-c>0,所以—>—>0,

-c-d

■\[a\fb-J'a\[b\[a\fb

所以即1-VJVO,所以JV二成立.

-c-dcdcd

2.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）证明不等式（审）

R）.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：因为〃+从之2^，

所以2（/+6）N/+〃+2他，

所以

两边同除以4,即得（苫2）工右；J当且仅当。=〃时，取等号.

【题型五利用不等式的性质求取值范围】

方法技巧利用不等式的性质求取值范围

同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行

适当变形来求范围，注意变形的等价性.

例9（2022•四川宜宾市高一期中）设2V〃V3,-4</?<-3,求〃+力，a-b,三ab,

b

b?

一的取值范围.

a

【解析】解：・・・2Va<3,-4<b<-3,A3<-b<4,<|<-p

ou*

1111a

/.-2<a+b<（）,5<a-h<lV-<———<1,

f4b32b

a1111

即nn-lv£v-KV6<-ab<\2,：.-\2<ab<-6,79<Z>29<16,

b23a2

,21,2

综上：-