湖南省长沙市2023-2024学年高一年级下册期末数学试题（解析版）

湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.若复数z=a+（a2-l）i是纯虚数，则实数a的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意，复数Z=Q+（M一l）i是纯虚数，

所以a=0且a?—100,解得a=0.

故选：A

【分析】根据纯虚数的概念（纯虚数是复数的一种特殊形式，其特点是只有虚部而没有实部）列方程求解.

2.已知一组数据4,8,9,3,3,5,7,9,则（）

A.这组数据的上四分位数为8B.这组数据没有众数

C.这组数据的极差为5D.这组数据的平均数为6

【答案】D

【解析】【解答】解：对于A,给定数据由小到大排列为3,3,4,5,7,8,9,9,又因为8x75%=6,

所以这组数据的上四分位数为竽=8.5,故A错误；

对于B,因为这组数据的众数是3和9,故B错误；

对于C,因为这组数据的极差为6,故C错误；

对于D,因为这组数据的平均数为3+3+4+5?+8+9+9=6,故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据已知条件结合上四分位数、众数、极差、平均数的定义，从而逐项判断找出正确的选项.

3.已知a,b为实数，则“而>伤”是“空•>%的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】【解答】解：由可得a>bN0,

所以霜Y==舄”充分性成立；

由雷吟得扁>。，

不妨取Q=-2,b=一3满足不等式，

所以推不出。>人之0,从而得不到防，必要性不成立.

故答案为：A.

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【分析】利用不等式的等价思想，再作差分析结合充分性与必要性的判断方法，从而找出正确的选项.

4.在二角形4GC中，AC=3fAB=4,^CAB=120°,贝I」(南十瓦)•亚=()

A.10B.22C.-10D.-22

【答案】B

T-\—"*2**—**2**—

(ABCAYAB=AB+CA-AB=AB-AC-AB

=16-3x4x=22.

故答案为：B.

【分析】由题意，根据向量数量积的运算律计算即可.

5.己知0<与<&V2TI,sinx^=sinx2=则cos(%i-x2)=()

A.\B.-ZC.gD.

【答案】B

【解析】【解答】解：因为0V%]<外V2TT,sinx1=sinx2=q>0,

所以_3，即％]+汇2=九，x2=n-x1,

2

所以cosCq—次)=cos(2%i—7r)=-cos2》i=—(1—2sinx1)=—(1—2x

故答案为：B.

【分析】利用正弦函数图象的对称性得出写”=方再根据诱导公式和二倍角的余弦公式，从而求出

COS(%1-%2)的值.

6.我国古代《九章算术》将上卜.两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中

上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4,侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为2通，则该盆中最多

C.224追D.448

【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意可知，这个刍童为棱台,

如图为垂直底面的截面，

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8

所以该几何体的体积为gx(64+16+V64x16)x4=攀，

则该盆中最多能装的水的体积为华.

故答案为：B.

【分析】根据题意可知这个刍童为棱台，利用勾股定理求出楼台的高，再根据棱台的体积公式得出该盆中最

多能装的水的体积.

7.己知函数/•(%)是定义在R上周期为4的奇函数，且/■(%)={_<°京。：二，则不等式疗"一1)<0在

(一2,2)上的解集为()

A.(-2,-1)B.(-2,-1)U(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)

【答案】B

【解析】【解答】解：因为函数f支)是定义在R上周期为4的奇函数，且/(%)=(_\

所以当之€(-1,0］时，/(%)=X;

当无6［―2,—1］时,—XG［1,2］,所以/(%)——/(—x)——(x+2)=-X-2；

当丁£［—3,—2］时，x+4G［1,2］,所以f(%)=/(%+4)=—(X+4)+2=—2,

函数y=/(x-l)的图象可由函数y=/(x)的图象向右平移1个单位长度得到，

作出函数丫=/。-1)在［-2,2］上的图象，如图所示：

由图可知不等式-1)<0在(一2,2)上的解集为(一2,-1)U(0,1).

故答案为：B.

【分析】由函数y=/(x)的图象向右平移1个单位长度，从而作出函数旷=/(工一1)在［-2,2］上的图象，再结

合图象得出不等式W(x-1)<0在(-2,2)上的解集.

8.在小BC中，|布|=2也。为△48C外心，且荷•尼=1，则/ABC的最大值为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

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【答案】A

【解析】【解答】解：因为。为A/IBC外心，所以而在女方向上的投影向量为义前,

乙

则耐•尼=/丞^=1,gp|^c|=V2,

因为|画=2&，设|园=a,

22

所以cos乙48C=(2、②+匕(、0=学

2x2\l2a4v^2a

3.a、）

=加+磁之2晶*之冬

当旦仅当Q=几时等号成立,

因为0。048。＜180。，所以0。VZJBC工30。，贝I44BC的最大值为30。.

故答案为：A.

【分析】根据三角形外心性质及向量数量积的几何意义，得而在前方向上的投影向量为劣而，求得|尼|=

乙

鱼，再根据余弦定理结合基本不等式求最值即可.

二、多选题

9.在校长为1的正方体力8。。-4/的。1中，M,N分别为棱CWLCIC的中点，则（）

A.直线BN与是异面直线

B.直线例N与"所成的角是与

C.直线MN1平面AON

D.平面BMN截正方体所得的截面面积为需

O

【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：对于A,因为BNu平面881clC,MBin平面881G。=当,81£8N,

所以直线BN与MB1是异面宜线，故A正确；

对于B,如图，连接CO】，

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因为M,N分别为极GiDi，CiC的中点，所以MNIICO],

所以直线MN与AC所成的角即为直线CD1与AC所成的角,

又因为△4CD1是等边三角形，

所以直线CD1与AC所成的角为今

•-Z

则直线MN与AC所成的角是今故B正确；

对于C,如图，假设直线MN_L平面4DN,

因为。Nu平面4ON,所以MN_L077,

又因为MN=*DN=卓,DM=季这二边不能构成直角二角形,

乙乙4

所以。2与MN不垂直，故假设错误，故C错误；

对于D,如图，连接

因为48||CDltCD1||MN,所以&B〃MN,

所以平面BMN截正方体所得的截面为梯形418NM,且“N=9A】B=五,A1M=BN

所以梯形的高为]（熨_哈2=平，

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所以截面面积为基(:+烟故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】根据异面直线的定义、异面直线所成角求解方法、线面垂直的判定定理，梯形的面积公式，从而逐

项判断找出正确的选项.

10.已知函数/(x)=Acos(a)x+0芯4>0,3>0,-今V0<刍的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

TC

BD.8=4

C.直线x=居为/(%)图象的一条对称轴

JL4

D.将/(x)图象上的所有点向左平移/个单位长度得到y=-2sin3x的图象

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由函数/(幻的羽象，可得打=今一(一金)二冬

可得7=冬，则3=竿=3,

因为A=2,所以/'(%)=2cos(3x+9),

又因为/(今)=2cos(3x与)+0)=2cos(当+@)=0,则cos(当+3)=0,

又因为一立@<会所以票+3=方可得@=一$

所以f仁)=2cos(3x-^),所以A正确、B不正确；

对于C中，由//)=2cos(3X今一%=2为函数/"(%)的最大值，

所以直线％=书为/'(%)图象的一条对称轴，所以C正确；

1.L

对于D中，将/(%)图象上的所有点向左平移上个单位长度，

可得y=2cos[3(%+左)一勺=2cos(3%+/=-2sin3x,所以D正确.

故答案为：ACD.

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【分析】根据函数/•(%)的图象得出/(%)=2cos(3x-》，则可判断出选项A和选项B；结合三角型函数的性

质和三角型函数的图象变换，则可判断选项C和选项D,从而找出说法正确的选项.

11.已知函数八口=生二了；,其中/'⑷=fW=f©=九且a<bVc,则()

(JXfX<v

A./[/(-2)]=-32B.函数g(x)=/(x)-f。)有2个零点

C.Q+b+cE(4+log32,4)D.abcG(-41og35,0)

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A./[/(-2)]=/(8)=-32,A正确；

B.作出函数/(幻的图象如图所示，

K-2O24\5x

观察r可知，0V\4<4,而/(A)G(0.4),

故y=f(x),y=fQ)有3个交点，

即函数g(均有3个零点，B错误；

C.由对称性,b+c=4,而aW(log?,,。)，

故a+b+cE(4+log3q,4),C正确；

D.b,c是方程—4%+a=o的根，故儿=九

令3°—i=九则。=—iog3(i+a),

th.abc=-Alog3(l+A),而y=2,y=log3(l+1)均为正数且在(0,4)上单调递增,

故abc6(-41og35,0),D正确，

故答案为：ACD

【分析】本题考查分段函数，函数零点，函数与方程的综合应用.根据函数解析式可求出H/(-2)]的值，据此

可判断A选项；根据函数解析式可作出作出函数/•(%)的图象，根据函数图象可求出，4的取值范围，进而可

求出/•(/1)的取值范围，得到函数g(x)的零点个数，判断B选项；根据函数图象对称性可得b+c=4,观察图

形可得a的取值范围，进而可得Q+6+C的取值范围，判断C选项；根据题意可得b,c是方程%2一奴+4=

0的根，利用一元二次方程根与系数的关系可得：bc=A,冉根据3一。-1=九将指数转化为对数可得：a=

-log3(l+A),利用一次函数和对数函数的性质可求出abc的取值范围，判断D选项.

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三、填空题

12.数据打，必，…，芍的方差为1，则数据2与+1,2X2+lf-f2xn+1的方差为

【答案】4

【解析】【解答】解：设勺,切，…，力的平均数为礼

则2与+l,2x2+l,-,2x„+1的平均数为：[(2勺+1)4-(2x2+l)+-+(2xn+1)]=2x+l,

所以2必+1,2X2+1,…,20+1的方差为：

1

22

万｛[(2打+1)-(2x+I)]+[(2x2+1)-(2x+1)F+..•+[(2今+1)-(2元+I)]]=

1

222

4x-[(41-%)+(%2-%)+•••+&-%)]=4x1=4.

故答案为：4.

【分析】利用已知条件和方差公式以及方差的性质，从而得出数据2/+1,2X2+1,…,2xn+1的方差.

13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥P-

48CD为阳马，侧棱24，底面A8CDPA=AD=2,AB=1,E为棱P4的中点，则直线CE与平面248所成角的

余弦值为_________

因为PA1平面ABCD,"u平面ABCD,故可得BCJ.P4

又BCLAB,PAQAB=A,P4,4Bu平面P4B,故BC1平面P/1B,

连接EB,故“E8即为所求直线CE与平面P48所成角.

由P4=4。=2,48=1,,故在直角三角形C8E中8c=2,BE=>JAE2+AB2=VTT1=V2.故CE=

7BE2+BC?=V2T4=瓜,

则cos/CEB=器=强=冬则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为争

故填:里

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【分析】首先根据线面垂直的判定定理(如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个

平面垂直)证明3C_L平面PA3,再根据线而角的定义(过不平行于平•而的直线上一点作平面的垂线，这条

垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的(这条垂线与原直线的夹角的余角)即为线

面角)，即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小.

14.设定义在R上的函数/•(%)的值域为A,若集合A为有限集，且对任意Xi/zWR，存在打€上使得

/(^)/(%2)=f(X3)，则满足条件的集合A的个数为•

【答案】5

【解析】【解答】解：若A中最大元素为大于1的元素为a,则/>Q,不满足题意，

故A中最大元素不超过1,同理可得A中最小元素不小于-1,

若集合A中只有一个元素a,则二%可得Q=0或。=1,所以4={0}或4={1},

若集合A中有两个元素a,b(-1<a<b<1),则a?=。或层=瓦

当。2=(2时，可得Q=1(舍去)或Q=0,此时M=b，可得力=1,所以A={-1,0}；

当凉=6时，ah0,所以人工o,可得ab=Q,截得力=1,所以Q2=1,

所以或Q=1(舍去)，所以乂={-1,1}；

若集合A中有三个元素a,b(-l<a<b<1),则a?=a或=台或小=小

2

当次=。时，a=0或a=1(舍)，此时川工Q,b2Hb，ca,

所以庐=c，c?=。或02=匕，解得c=l,b=—1Va,(舍去)，

当Q2=6时，a工0,1>b>0,可得星工b，f丰a，所以用二。，b=0,即4={-1,0,1},

因为集合A中有四个或四个以上元素a,b,…,c,d(—l<a<b<<c<d<l),

则由上推导可得Q=—1,d=1,b=•=c=0,矛盾，即此时A无解，

综上所述,所满足条件的集合A可以为{0},{1},{-1,1},{1,0},{-1,0,1},共5个.

故答案为：5.

【分析】根据题意得到A中最大元素不超过1,最小元素不小于-1,再利用集合4元素的个数分类讨论，结合

集合中元素的性质得出满足条件的集合A的个数.

四、解答题

15.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.

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(1)求直方图中

%的值；

(2)求理科综合分数的中位数；

【答案】(1)解：由频率分布直方图可得20x(0.002+0.0095+0.011+0.0125+%+0.005+0.0025)=

1,

解得：x=0.0075.

(2)解：因为(0.002+0.0095+0.011)x20<0.5,(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20>0,5,

因此理科综合分数的中位数在［220,240)内，

设中位数为Q,

由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125X(a-220)=0.5,

解得Q=224,

・•・月平均用电量的中位数为224.

【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,从而得到关于x的方程，进而解方程

得出x的值.

(2)先判断中位数在［220,240)内，再设出未知数，从而列出关于a的方程，进而解方程得出a的值，则得出

理科综合分数的中位数.

(1)由频率分布直方图可得20x(0.002+0.0095+0.011+0.0125+%+0.005+0.0025)=1,

解得：x=0.0075.

(2)由于(0.002+0.00954-0.011)x20<0.5,(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20>0.5,

因此理科综合分数的中位数在［220,240)内，

设中位数为Q,由(0.002+0.0095+0.011)x204-0.0125X(a-220)=0.5,

解得Q=224,

・•・月平均用电量的中位数为224.

16.已知i为虚数单位，Zi、Z2是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)设Z］、Zz满足方程4Zi+(1—i”2-9—求为、zLx

(2)设Zi=l+2i,复数Z］、方所对的向量分别是2与石，若向量4-B与五+2石的夹角为钝角，求实数t

的取值范围.

【答案】(1)解：不妨设=a+bi(a,b€R),则Z2=a—bi,

因为zi，Z2满足方程4zi+(l-i)22=9-5i,

所以4(a+hi)+(1—/)(«—hi}=9—Si,

可得(5a-b)+(3b-a)i=9-5i,

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n

-

7

^

0

-

7

r8/8

4-+-•(z-

l1717I1-171-7

所以

<或<

l8n8

a11--z171+-

\-7-7Iv2-7

(2)解：设zi=l+2i,则Z2=l-2i,

因为复数Z],Z2所对的向量分别是w与本

所以互=(1,2),b=(1,-2)，

可得比一3=41,2)-(1,-2)=Q-l,2t+2)，

a+2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2),

若向量次-消五+2石的夹角为钝角，

(ta-by{a+2b)(ta-b)^2b)

\td-b]a+2b\*K\ta-b]a+2b\*-1,

3t-3-4t-4,八3m

H—1

29

则届EG"■713j5f+6c+5

解得£>—7,t—i»

实数制取值范围是(—7,—；)U(-抖8).

【解析】【分析】(1)设出Zi，Z2的代数形式，再根据已知条件和复数相等得出复数Z1,Z2.

(2)先求出五与石的坐标，再根据数量积求向量夹角公式和向量夹角为钝角，从而列出t的不等式，进而可得

I的取值范围.

(1)不妨设Zi=a+bi(a,b€R),则Z2=Q—bi,

因为Z1、Z2满足方程4Z1+(1-i”2=9-53

所以4(。4-bi)4-(1-0(a-bi)=9-5i,

可得(5a-b)+(3d-Q)i=9-5i,

Q-

n5b-9

解得

所

以

a-一-

3b-b

4(l=-85

171-

=78

及+z-

1181171-7

所

或

以7--

=78

z171+-

-27

(2)设zi=l+2i,则Z2=l-2i,

因为复数Z1、Z2所对的向量分别是五与B，

所以五二(1,2),b=(1,-2)，

可得E-b=t(l,2)-(1,-2)=(t-l,2t+2)，

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a+2d=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2)：

若向量—石与五十2万的夹角为钝角，

(ta-b)^+2b)(ta-b)-(a+2b)

JJJ\ta-b\]d+2b\<U，且画—叶口+2可~加

3t—3-4t—4八3t—3-4f—41

即------，且----------，

同、5*+6t+5/nj5*+6t+5

解得£>—7»t

乙

文数t的取值范围是(7,；)U(\Ioo).

17.已知函数f(x)=4%-m•2X+1-8.

(1)若m=l,求不等式/'(x)<0的解集；

(2)若VxG[0,2],/(x)>一12恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)解：当m=l时，可得/(外=4”-2工+1-8,

则4"-2x+1-8V0,即(2*)2-2x2x-8<0,

整理得(2”-4)(2"+2)<0,

因为2*+2>0,

所以2"-4<0,解得％V2,

所以不等式/(%)<0的解集为(-8,2).

(2)解:因为％W[0,2],令t=23则

可得4"-m•2"1-8=£2-2m£-8，

由/0)之一12,可得产一2瓶亡一82-12,

因为VzG[0,2],f(x)>-12恒成立,

所以/一2mt4-4>0对任意tG[1,4]恒成立，

2

则租式空对任意tG[1,旬恒成立，

又因为学=2展=2,当且仅当「二，即”2时取等号，

ZtZL\Zt乙I

所以m<2.

【解析】【分析】(1)依题意可得(2,-4)(2、+2)V0,从而可得2、-4<0,再根据指数函数的性质得出不

等式/(幻<0的解集.

⑵令£=2七贝依题意可得产-2mt+4之0对任意16[1,4]恒成立，参变分离可得血工苧对任

4L

2

意£6[1,4]恒成立，再由基本不等式求最值的方法，从而求出印的最小值，进而得出实数m的取值范围.

4I

(1)当m=1时,可得/'0)=4%—2工+1-H,

即必一2"1-8V0，即(2,2-2乂2*-8V0,整理得(2、一4)(2"+2)<0,

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因为2”+2>0,

所以2"-4<0,解得x<2,

所以不等式/(%)<0的解集为(一%2)；

(2)因为x€[0,2],令t=2%,则可得4*-m・2*+i-8=产一2mt—8,

由/"(%)——12,可得£?—27nt—82—12♦

因为vze[0,2],/(为N-12恒成立,

即产一2mt4-4>0对任意tE[1,4]恒成立，

2

即m4空对任意tG[1,4]恒成立，

乙C*

又因为尝=暴岸2gl=2,当且仅当齐宗即"2时取等号，

所以m<2,

即实数机的取值范围为(-8,2].

18.如图，已知48是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于的动点，CD,BE是圆柱的两条母

线.

(1)求证：ACDJL平面BCOE；

(2)若/W=6,BC=3,圆柱的母线长为2V5,求平面4DE与平面4BC所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明：因为48是圆柱下底面的一条直径，C是下底面圆周上异于4B的动点，所以4clBC,

又因为CO是圆柱的一条母线，所以C01底面4C8,

因为力Cu底面AC8,所以CD_LAC,

因为COu平面8C0E,BCu平面8coE,且COnBC=C,所以，平面BCOE,

乂因为4cuACD,所以平面AC。_L平面8CDE；

(2)解：过4作圆柱的母线力M,连接。M,EM,如图所示：

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因为底面ABC〃上底面OME,所以即求平面4DE与平面OME所成锐二面角的大小，

因为M二在底面的射影为48,且48为下底面的直径，所以EM为上底面的直径，

因为4M是圆柱的母线，所以AM工平面OME,

又因为EM为上底面的直径，所以MDJ.DE,而平面力。ECOME=OE,

所以乙M/M为平面/IDE与平面DME所成的二面角的平面角，

又因为0在底面射影为C,所以OE=8C=3,ME=48=6,

所以。历=462—32=3百，又因为母线长为28，所以AM=2通，

22

又因为4MJ_平面DME,OMu平面DME,所以4MJ.MO,AD=J（2V3）+（3A/3）=V39»

则coszMDA=岩=鬻=乐值

即平面4DE与平面ABC所成的锐二而角的余弦值为我旧.

JLO

【解析】【分析】（1）由题意先证明CD1底面通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到

面面垂直即可；

（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角

求解即可.

（1）因为48是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于4B的动点，

所以AC1BC,

又因为C。是圆柱的一条母线，所以CD，底面4CB,

而力Cu底面4CB,所以CDJL4C,

因为CDu平面BCOE,BCu平面8C0E,且COCBC=C,

所以ACL平面8C0E,

又因为ACuACD,所以平面AC。J_平面8C0E；

（2）如图所示,

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过A作圆柱的母线4M,连接DM,EM

因为底面力〃上底面0ME,所以即求平面40E与平面。ME所成锐一面角的大小，

因为M,E在底面的射影为48,且为下底面的直径，所以EM为上底面的直径，

因为4M是圆柱的母线，所以4M1平面DME,

又因为EM为上底面的直径，所以MD_LOE,而平面力DECDME=DE,

所以4MZX4为平面4DE与平面DME所成的二面角的平面角，

又因为0在底面射影为C,所以0E=8C=3,ME=48=6,

所以。M=J62-32=38，乂因为母线长为2，5，所以AM=2百，

乂因为AM1平面DME,OMu平面DME,所以4M1MO,

所以AD=J(2⑹2+(3⑹2=后

所以cos/皿=第=嗡=条危

即平面40E与平面力BC所成的锐二面角的余弦值为鲁

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