2026年宁夏银川市高考数学二模试卷（附答案解析）

2026年宁夏银川市高考数学二模试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.（5分）已知全集U=M集合力={xWN|x>2},则Cu4=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1}D.{1,2}

2.（5分）已知命题〃：a=-1,命题夕：复数z=l・l）MaeR）为纯虚数，则命题〃是〈/的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（5分）等比数列{斯}中，44=4,4607=8,则49=（）

A.2B.4C.8D.1

（点）（）展开式中3的系数为（）

4.（5分）1+1+%7X

A.42B.48C.84D.96

5.（5分）已知----=sina+3cosa,a€（0,—则cos2a=（）

sina2

6.（5分）函数/（乃）=/。26（1一岛_）的部分图象大致为（）

7.（5分）设双曲线E：5-方=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,b2,若上的右支上任意一点P,

|尸臼|〈3］巴囹恒成立，则双曲线E的离心率的取值范围是（）

第1页（共18页）

3

A.（分+00）B.（1,2]C.（1,3]D.（2,+«>）

8.（5分）已知四面体48C。的各顶点均在球。的球面上，平面48C_L平面8CO,BC=2,若AABC与A

8CO的外接圆面积之和为8m则球。的半径为（）

A.V5B.V6C.V7D.3

二、多选题

（多选）9.（6分）己知直线/:人工-厂2&+1=0与圆加：-2.v-4y+l=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（2,1）

B.若圆〃上的点关于直线/的对称点仍在圆M上，则上=-1

C.存在实数左，使得直线/与圆M相切

D.直线/被圆M截得的弦长的最小值为企

（多选）10.（6分）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10

月地力一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当

年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的环比增长率.根据图表，下列说法止确

的是（）

2025年2月一10月某地区地方一般公共预算收入累计图

2

5()

收

环

入O5I

K)比

累1O

增

计

(长

亿n

((

BK)O

元5％

)

66.57--------------•—3)

43.88

()-5

2025年2月2025年3月2025年4月2025年5月2025〃论月2025年7月2025年8月2025年9月2025年10月

口累计一C1同比增长

A.该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增

B.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元

C.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高

D.2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿

（多选）11.（6分）已知关于x的方程：|（x+1）-（x>-1）有两个根xi，X2（xiVx2），则

下列说法正确的有（）

第2页（共18页）

A.-1<xi<0<X2B.xi+x2<0

C.+1<"]D.lnm<.X2<^em

三、填空题

12.(5分)在标有数字1,2,3,4,5的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数

的概率是.

n

13.(5分)设数列｛“〃｝的前n项和为5几，%=2,a2=3,an+2-un=3+(-l),则560—.

14.(5分)设向量Z=Qi，月)，b=(不，丫2)，记之力力=—月为，若点小、42、43为圆C：，+)2+4》

-2y=0上任意三点，且满足Ni/hL4M3，贝“。用4。丸+。九*0131的取值范围是.

四、解答题

15.(13分)在△川5c中，角力，B,。所对的边分别为〃，b,c,已知c=2/),4=120°.

(1)求cos〃的值；

(2)若a=4书,求8C边上的高.

16.(15分)乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长.该工

坊为了科学规划生产，统计了2021・2025年油纸伞的销量数据如下表：

年份〃年20212022202320242025

年份代码X(X12345

=1-2020)

俏量w万把78101114

(1)统计表明销量p与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该工

坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：

(2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售

出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列.

""""Yn(x.-x)(y.-y)

附：、=加+。为回归直线方程，b=乙口(-=^—a=y—bx.

瞠=i(x-xy

17.(15分)在平面直角坐标系xQy中，已知点彳(-2,0),动点P关于。的对称点为。，且直线力/\

力。的斜率之积是-率记尸的轨迹为曲线£

(1)求E的方程；

(2)直线力『与)，轴交于点点S与点"关于y轴对称.直线4S与尸轴交干点M在x轴卜是否存

第3页(共18页)

在点8,使得NO8M=NON8?若存在，求点8的坐标；若不存在，说明理由.

18.（17分）已知函数f（x）=｝一alnx-（a-1）%*

（1）当a=・1时，求曲线y=/'（x）在点（1,/（I））处的切线方程；

（2）讨论/G）的单调性；

（3）若/（公有极小值，且/（x）2（）,求。的取值范围.

19.（17分）如图，四棱锥尸-49CO的底面"C。是平行四边形，侧面处1。是等边三角形，力6=24。=

4,ADVBD,二面角P-4）-8的平面角大小为仇0G[1,第，Q为力8的中点.

（1）设平面QQCC平面以。=/,求直线/与直线力。的夹角大小；

（2）求直线尸C与平面山。所成角的正弦值的最大值；

（3）设N为侧棱尸C上一点，四边形力比V厂是过4N两点的截面，分别交P。，PB于E,尸两点,其

中石为PO的中点，BD〃平面4ENF,求四棱锥P-4EN尸的体积的取值范围.

第4页（共18页）

2026年宁夏银川市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.（5分）已知全集U=M集合4={xWN|x>2},则Cu4=（）

A.{（）,1,2}B.{0,1}C.{1}D.{1,2}

【解答】解：由题意可知，已知全集U=N（自然数集），集合』=“N|x>2},

所以C'={xWN|xW2}={0,1,2）.

故选：A.

2.（5分）已知命题p：a=-1>命题q：复数z—1~a2+（.a-1）/（aGR）为纯虚数，则命题p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：因为复数N=1-冉（a・］）/•（QWR）为纯虚数=已一M7，

所以命题〃是g的充要条件.

故选：C.

3.（5分）等比数列{“〃}中，四=4,=8,则“9=（）

A.2B.4C.8D.1

【解答】解：等比数列{斯}中,“4=4,476477=8,

由等比数列的性质可得。37=。4。9=4“9=8,

故49=2.

故选：A.

4.（5分）（1+点）（1+%）7展开式中x3的系数为（）

A.42B.48C.84D.96

【解答】解：・.・（l+±）（l+x）7=（l+」）7+或（1+%）7,（1+x）-的第㈤项为71=C*,gO,

1,-7）,

・・・C%3+与CM=35d+7x3=42x3,

第5页（共18页）

・・..，的系数为42.

故选：A.

1n

5.(5分)已知----=sina+Scosa,ae(0,—则cos2a=()

sina2

3431

--C-a-

A.5B.544

【解答】解：由二一=sina+3cosa,去分母得3sinacosa+sin%=1.

sina

所以3sinacosa=1-sin2a=cos2a.

根据a£(0,1),可知cosa>0,

所以3sina=cosa>结合sin2a-cos2a=1,解得sin2a=需,cos2a=喘，

./-17914

可得cos2a=cos2a-siira=而一而=+

故选：B.

6.(5分)函数/•(%)=/。26(1一岛J的部分图象大致为()

【解答】解：函数/'(%)=/°23(1一岛)，定义域为R,排除G

因为/(・丫)_^2026(1-^)=/026(磊_1)=_/«).

=(_X)2026(1)=r

所以函数/(X)为奇函数，图象关于原点对称，排除&

97

当x>0时，e*>1,则0</+]VI，所以1—ex+l>°,

而f026>0,所以/(x)>0,排除O.

故选：A.

7.(5分)设双曲线E：U=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Q,F?,若E的右支上任意一点P,

第6页(共18页)

尸尸l|V3|P&|恒成立，则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A.（1,+00）B.（1,2]C.（1,3]D.（2,+~）

【解答】解：依题意，由双曲线定义得|尸尸]|=2°+|尸尸小而|尸产1|〈3|尸产2]，则|尸产2]>m

令双曲线E的半焦距为c,则『尸2|加产Cj，于是c-4>〃，解得£>2,

a

即e>2.

故选：D.

8.（5分）已知四面体/4CQ的各顶点均在球。的球面上，平面/4C_L平面BCD,BC=2,若△/14。与4

4CQ的外接圆面积之和为8n,则球。的半径为（）

A.y/5B.V6C.V7D.3

【解答】解：设△48C与△4CO的外接圆半径分别为门，2外接圆的圆心分别为0，。，

由题意可得+”）=8几，

即4+日=8,

设球。的半径为&，8C的中点为A/,

连接。0|,0Q,OM,0\B,OiB,

•・・0i是△45C外接圆圆心，：,O\B=O\C=r\,又M是8。的中点，

同理O2〃_L8C,

又TOIMU平面/IBC,QMu平面4C。，平面力ACPI平面4co=4C,

工ZO\MOi为二面角A-BC-D的平面角，

乂平面/4。_1_平面8。口则NOiM3=90°，

由球的性质可知：。。1_1_平面力8C,。。2_1_平面8C。，

又•••Oi8u平面力8C,38u平面8C。，

•・・。。_1_018,OO2,LO2B,

••・四边形OO1M3为矩形，

2

又00：=0B_0]F=R2—002=0B2_O1B2=R2_r2

：.0M2=OOj+00\=R2-rj+R2-栈，

又OC=OB,：・OM1BC,

：・OW+BM2=R2,

又BM=3BC=1,

：.R2-r；十A2一"十i=R2.

第7页（共18页）

即R2=7,

则球0的半径为近.

（多选）9.（6分）已知直线/：米-厂2好1=0与圆mA2+/-2x-4y+l=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（2,1）

B.若圆M上的点关于直线/的对称点仍在圆河上，则A=-l

C.存在实数A,使得直线/与圆例相切

D.直线/被圆M截得的弦长的最小值为企

【解答】解：选项4将直线/：kx-y-2k+\=0,整理得y-l=〃（x-2）,

所以直线/恒过定点（2,1）,故选项力正确；

选项氏圆必：2入.-4户4=0可化为（x-l）2+（厂2）2=4,其中圆心〃（1,2）,半径「=2,

若圆上的点关于/的对称点仍在圆上，则直线I过圆心M,

将用（1,2）代入直线/的方程，有4・1-2-22+1=0,解得％=-1,故选项6正确；

选项C,若直线/与圆M相切，则点也到直线/的距离4=比二票竽1=2,

必2+1

化简得弘2-2A叶3=0,

因为判别式△=4-36=-32V0,

所以该方程无解，即不存在k使直线与圆相切，故选项C错误；

选项。，由选项力知，直线/过定点P（2,1）,

当弦长最短时，此时|MP|二J（2-1已+（1-2尸二夜,

所以最短弦长=2a2一|MP|2=2斥下=2五*旧故选项。错误.

故选:AB.

（多选）10.（6分）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至1（）

月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当

第8页（共18页）

年1月到当月的数据总和），打线图是与上年同月累计值相比的环比增长率.根据图表，下列说法正确

的是（）

2025年2月一10月某地区地方一般公共预算收入累计图

2

50

)

收2(

环

入

比

累

50增

计

(长

亿(

元1(H)％

)50)

43.88

口累计一C1同比增长

A.该地区2023年每月的地力一般公共预算收入一直递增

B.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元

C.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高

D.2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿

【解答】解：对于4由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为66.57-43.88=22.69（亿元），

4月的地方一般公共预算收入为83.96・66.57=17.39（亿元），故4错误：

对于8,9月该地区的地方一般公共预算收入为191.67・161.05=30.62（亿元），故8正确；

对于C,2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长4.2%,

所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为191.67+（1+4.2%）=183.94（亿元），

2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长-0.3%,

所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为161.05+（1-0.3%）=161.53（亿元），

所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为183.94-161.53=22.41（亿元），故C正确；

对于D,2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长4.8%,

所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为213.39彳（1+4.8%）=203.62（亿元），

所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为203.62+10=20.362,故。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）己知关于x的方程：|（x+1）ex-\\=mx+m（x>-1）有两个根xi，xi（xi<X2）,则

下列说法正确的有（）

第9页（共18页）

A.-1<xi<0<X2B.x\+x2<0

C.x.+1<—D.

1m

【解答】解：因为方程|（x+l）-l|=/nx+/n（x>~I）有两个根xi，X2（xi<X2）,

所以7n=回舞11,

TV、iI(x+l)e'_11Ix1

乂x>_],m=|计11=恺一秆1

所以函数y=一17|与函数图象在（-1,+8）上有两个交点,

AIA

—6X-l—，—1<XVO1

而好广击j+1,由此可作出y=忸'一圭|,x>-1的大致图象;

/一布,x>0

如图所示，所以-1VxiVOV工2，选项力正确：

根据图象可知当小逐渐增大时，XL-1，而》2将会大于1，此时xi+x2>0,

可得了」+'2<0不成立，选项8不正确；

x,

因为-l<xi〈O,则1-Qi+l)e=mxx+m,

x

l-(x1+l)ei

所以m=x7+i，

=X]+1

则3l-(%i+l)exi'

1

因为1>X1+1>0,0<1-（勺+1）*<1,所以无1+1v《，选项C正确:

因为X2>。，则(%2+1)乎2-1=mx2+m,

(x+l)ex2-l_

所以m=2ex2-------,

工2+1x2+l

1、

则/=m+

M+l

两边取对数得

第10页（共18页）

因为m=e*2-——y,

%2十1

令y=em—x=exex--x=ex+1-—（%+1）+1»

令f=x+l（z>l）,

y=er—j—t+l»y7=el+^—1,

因为t>l,y>0,y=〃号T+l单调递增，

即得-e-1+1=0,即e/〃>x,

所以工2Vem»即/〃〃7VX2<em,选项。正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.（5分）在标有数字1,2,3,4.5的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数

的概率是一二.

4

【解答】解：设样本空间为事件。，第一张是偶数为事件4第二张是奇数为事件8，

可得,-=｛12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54｝,

共有2（）个样本点，

力=｛21,23,24,25,41,42,43,45｝共有8个样本点，

48=｛21,23,25,41,43,4｝共有6个样本点，

63

--

所以P（如）=笔符8=4

故答案沏

n

13.(5分)设数列｛。〃｝的前〃项和为Sn，QI=2,。2=3,a,l+2-«n=3+(-l),则S60=2760

【解答】解：数列｛的｝中,即+2-4=3+（-1）3

当〃为偶数时，斯+2-。〃=%数列伍2〃｝是首项为3,公差为4的等差数列，

当〃为奇数时，如+2・。“=2,数列｛42〃/｝是首项为2,公差为2的等差数列，

20x2920x29

所以560=（。1+。3+…+。59）+（。2+。4+…+。60）=30X2H---—X2+30X3H----—X4=

2760.

故答案为：2760.

14.（5分）设向量Q=（勺，为），/?=（%2，丫2），记a力力=—月、2，若点出、力2、43为圆c：X2+/+4x

第11页（共18页）

-2y=0上任意三点，且满足出小_1_力乂3，则104★。任+。庆〉。京1的取值范围是[0,16].

【解答】解：将圆C：/+/+4..2y=（）化为标准方程（x+2）2+（厂1）2=5,圆心C（-2,1）,半径

r=y/S,

因为由42_L4》3，所以小43为圆的直径，

设4。1，力），A2（x2,丫2），从3（%3,丫3），。41=01，月），。力2=（%2,%），。力3=（%3,乃），

由。力1^0A2+OA2^OA3=XIX2-yiy2+x”3-）到3=42（xi+xa）-yi（yi+y3），

因为出力3为直径，所以XI+X3=-4,yi+y3=2,

贝位1^0A2+OA2^OA3=-4X2-2yi，

令N=-4X-2J,即y=-2x-1,且（x+2）z+（歹-1）2=5,

当直线y=-2%-会与圆相切时，z取得最值,

可得吆悬七解得-6或z-4,

根据圆心到直线的距离等于半径,

所以团40,16],则I。*/0%+0为才0九1的取值范围是[（），16].

故答案为：[（）,16].

四、解答题

15.（13分）在△彳8c中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=26,J=120°.

（1）求cosB的值：

（2）若Q=4V7,求8C边上的高.

【解答】解：（1）在△49C中，c=2b,4=120°,

由余弦定理得小=b2+c2-2bccosA=炉+4b2-26x26x（=7b2,

所以a=y/7b,

222222

Da+c-b7b+4b—b5/7

COSF==

2ac=2^7bx2b

（2）由（1）可知Q=bb,因为Q=4V7,所以b=4,c=8,

设8C边上的高为力,

则:Q/I=：bcsinA,

milA16乃4721

则仁而二

第12页（共18页）

4旧

故〃。边上的高为

7

16.（15分）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长.该工

坊为了科学规划生产，统计Z2021-2025年油纸伞的销量数据如下表:

年份〃年20212022202320242025

年份代码Ka12345

=/-2020)

销量w万把78101114

（1）统计表明销量少与年份代码x有较强的线性相关关系，求），关于x的线性回归方程，并预测该工

坊油纸伞的箱量最早在哪一年能超过20万把：

（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售

出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列.

".，"(x,-x)(y.-y),,

附：y=加+。为回归直线方程，b=―*~彳-----—，a=y-bx.

£之1(勺一%)2J

7+8+―。,

【解答】解：（1）根据题意可知，5=1+2+萨4+5=3,歹二

E着(々％)=1x7+2x8+3x10+4x11+5x14=167,

2s靖=/+22+32+42+52=55,

J1=11

.=(勺一土)(丫「刃=年I(即(_5W=167-5x3x10

南1(Xj-x)2一霜x?-5x(x)2-55-5x32

AA

a=y—bx=10—1.7x3=4.9,

Ay关于x的线性回归方程为y=1.7x+4.9：

iqi

当y=1.7%+4.9>20=x>^T*89

预测该工坊油纸伞的销量最早在2029年能超过20万把；

（2）该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率,

A2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为2=p

JLUJ

由题意可知：X〜8（3,5），

••・。3=0）=或4）。（1-|）3=提，

第13页（共18页）

P（X=D=或弓Xi—V=需，

。3=2）=废（|）2（1一|）二益,

27

・•・其中线上售出数量X的分布列为:

X0123

P8365427

125125125125

17.(15分)在平面直角坐标系iQy中，已知点4(-2,0),动点P关于。的对称点为。，且直线力产，

力。的斜率之积是-1记Q的轨迹为曲线£

(1)求石的方程；

(2)直线4P与y轴交于点M,点S与点尸关于y轴对称，直线4S与歹轴交于点N.在x轴上是否存

在点8,使得NO8M=NON8?若存在，求点8的坐标；若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)设尸(x,y)(xW±2),则。(・x,-y).

直线力P的斜率的P=枭，直线4。的斜率心Q=W3=力.

.3阳yy3y23

由右。.5=一不得嬴-^=-?即R=-；-

/v2

整理得4，=・3(f・4),即3/+4)，2=12,故%"+5~=l(xW±2,即yWO).

/y2

所以E的方程为1+彳=1⑶=0).

22

(2)设P(〃[,n)(〃W0)在E上，则E-+j=1.

43

点S与P关于y轴对称，故S(-m,〃).

直线力P的方程为y=&(x+2),令工=0,得丫=黑，所以M(0,3

fill'乙fiti"乙iTL'i乙

直线AS'的方程为'=芸茄(％+2),令x=O,得y=^Q所以N(O,芸

设8(p,0),如图所示：tan^OBM=tan^ONB=\p(2~^\.

LJI〃11乙)乙〃

由NOBM=NONB,得I需%1=1除科I，即4〃2=〃2(4-秋2).

由苧+4=1,得几2=2^.

222

代入得4•"472)=/代一7n2),即3(4-ni)=p(4-m).

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因为〃?W±2,所以p2=3,即p=±依.

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/(」))处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性；

(3)若/(x)有极小值，且/(X)20,求a的取值范围.

y21

【解答】解：(1)当。=-1时，/(x)=+)x+2x+2，

所以/(%)=>+9+2,所以/[)=1+4+2=4,

人JL

121

又/•⑴=-L-+/nl+2x1+^=3,

所以曲线y=/G)在点(1,f(1))处的切线方程为歹-3=4(x-I),即4x-y-1=0.

(2)由f(%)=-y—a/nx—(a—l)x—3，

得/⑺="_(a_1)=吐(彳1)七。=(%一岁+1),

函数/(X)的定义域为(0,+8),

若aWO,可得"(0,+8)时，/(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增；

若。>0时，当.隹(0,a)时，/(x)<0,所以/«)在(0,a)上单调递减；

当届+8)时，/(x)>0,所以/(X)在(历+8)上单调递增.

综上所述：当“W0时，/(外在(0,+8)上单调递增：

当a>0时，/(x)在(0,〃)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

(3)由(2)可知当a>0时,人工)有极小值,极小值为/(a)=-alna—(a—l)a—S=一容—alna4-多

2

此时极小值也是最小值，由/(x)2(),可得]■一abia+]工0,](1-Q-2仇a)N0,

又a>0,所以1・a・2/〃a20.

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令g(a)=l-〃-21na,求导得g(Q)=—1——<0»

所以g(a)在(0,+°°)上单调递减，又g(1)=1-1-2!nl=0,

当尤(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当尤(1,+8)时，g(。)<g(1)=0,

所以花(0,1]时，g(a)20,此时满足/(x)20,

所以〃的取值范围(0,1].

19.(17分)如图，四棱锥产-4SC。的底面48C。是平行四边形，侧面刃。是等边三角形，AB=2AD=

4,ADVBD,二面角P-4)-8的平面角大小为仇0G[1,第，Q为力8的中点.

(1)设平面QQCC平面以。=/,求直线/与直线力。的夹角大小；