空间向量及其线性运算【八大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型1空间向量的有关概念】.................................................................2

【题型2空间向量的加减运算】.................................................................3

【题型3空间向量的线性运算】.................................................................4

【题型4由空间向量的线性运算求参数】.........................................................5

【题型5向量共线的判定及应用】...............................................................7

【题型6由空间向量共线求参数或值1......................................................................................8

【题型7向量共面的判定及应用】...............................................................8

【题型8由空间向量共面求参数】...............................................................9

A举一反三

【知识点1空间向量的概念】

i.空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向显用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量。的起点是入，终点、是B,也可记作赢，其模记为⑷

或曲.

(4)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向最与向最。长度相等而方向相反的向最，称为。的相反向最，记为一。

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么

(平行向量)这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量”,都有0〃。

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；

(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可

在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.

【题型1空间向量的有关概念】

［例1］（23-24高二上•山东日照•阶段练习）下列命题中为真命题的是（）

A.向量方与瓦?的长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

【变式（23-24高二上•山东济南•期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A.方向相反的两个向量是相反向量

B.空间中任意两个单位向量必相等

C.若向量|新而|满足|屈|>|而则万〉而

D.相等向量其方向必相同

【变式1-2］（23-24高二上•湖南,期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A.零向量与任意向量平行

B.任意两个空间向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

【变式1-3］（23-24高二上.北菸阶段练习）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量五，3满足同=同，Ma=b：

③在正方体48C。-4B1GD1中，必有配=彳而；

④若空间向量2,b,c满足五b=cf则日=F；

⑤空间中任意两个单位向量必相等：其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【知识点2空间向量的线性运算】

1.空间向量的线性运算

空间向加法。+/>=殖+AB=OB

量的线

减法a-b=OA~OC=CA0aA

性运算

当》0时，）.a=XOA=PQx

数乘/*A『a（A>0）/rAa（A<0）

当久＜0时，）.a=XOA=MNx：

当7=0时，〃=0!JL

交换律：。+力=6+。；

运算律结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,距⑷=(2")。：

分配律：

【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角

形法则，而且满足交换律、结合程，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.

(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干

向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.

【题型2空间向量的加减运算】

【例2】(23-24高二上•海南•期中)在三棱柱为8c-4&G中，前一通+两*=()

A.西B.B^CC.A^CD.温

【变式2-1](23-24高二上•北京西城•期中)空间四边形04BC中，OA+AB-CB=()

A.OCB.OA

C.ABD.AC

【变式2-2](23-24高二上•湖北孝感・期末)如图，在长方体力BCO-481cl么中，下列运算结果化简正确

的是()

A.AAX—CB=AXDB.AB+AD=A1C1

C.AB+AD+AA-^=BD]D.AA^+C-1C=0

【变式2-3]（23-24高二上•河南南阳•阶段练习）求（&+23-31）+3X（赳一/+豹）一（&-2B+0为

A.2.0,+—b—2cB.2Q4-—b—2c

22

C.2a--b-2cD.2a--b-2c

22

【题型3空间向量的线性运算】

【例3】（23-24高二•全国•课后作业）在三棱锥A-BCD中，若△BCD为正三角形，且E为其中心，则而+

:前_|而一而等于（）

A.ABB.2BDC.0D.2DE

【变式3-1]（23-24高二上•全国,课后作业）下列各式计算正确的是（）

A.a+b—（a+b）=2d

B.2（a+b'）+c=2a+b+c

C.3（a—b）十3（a+b）=0

D.a+b—（b-3c）=a+3c

【变式3-2]（23-24高二上・河南,期中）如图所示，在三棱锥P-4BC中，M,N分别是棱的中点，则

场+2近+3并+福=（）

【变式3-3]（23-24高二上.贵州.阶段练习）如图，在四面体48CD中，E,F分别为8CME的中点，G为△4CD

的重心，则而二（）

D

A.--AB-V—AC+-AD

3124

B.--AB+—AC+-AD

4123

C.

D.1AB+^-AC-^AD

3124

【题型4由空间向量的线性运算求参数】

【例4】（23-24高二上•福建莆皿期末）如图，平行六面体4BCD-力出的。1中，点M在BBi上，点N在。/

上，且=DiN=；DR若而=%而+y而+z可，则x+y+z=（）

【变式4-11（23-24高二上•河北•阶段练习）在四面体（MBC中，加=a,OB=b,OC=c,OM=AMA（A>0）,

N为8c的中点，若丽=一；&+：3+：3则/1=（）

422

A.-B.3C.-D.2

32

【变式4-2］（2024高二•全国•课后作业）设q=2济一了+Qa；=m+3j-2k,a；=-2m+J-3k,a；=

3记+2了+5玄（其中沆、六方是两两垂直的单位向量），若成=入近+〃石+的；，则实数入〃、u的值分别

是（）

A.1»—2»—3

B.-2.1,—3

C.-2,1,3

D.-1,2,3

【变式4-3](23-24高二上.山东青岛.期末)已知四面体048C中，0A=a.OB=bfOC=c,0^.=>

0),N为8c中点，若丽=-3五+：3+23则4=()

A.3B,2C,1D,1

【知识点3共线向量与共面向量】

1.共线向量

(1)空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量。，力SWO),。〃力的充要条件是存在实数九使〃=动.

(2)直线的方向向量

在直线/上取非零向量。，我们把与向量。平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量。，都有0〃a

(3)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；

②证明三点共线.

【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向最，然后利用向显的线性运算证明向最共

线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直

接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.

2.共面向量

(1)共面向量

如图，如果表示向量。的有向线段才1所在的直线0A与直线/平行或重合，那么称向量”平行于直线

/.如果直线0人平行于平面a或在平面a内，那么称向量〃平行于平面a.平行于同一个平面的问量，叫做共

面向量.

（2）向量共面的充要条件

如果两个向量”，6不共线，那么向量p与向量。，力共面的充要条件是存在唯一的有序实数对），），

使p=m+）力.

（3）共面向量定理的用途：

①证明四点共面；

②证明线面平行.

【题型5向量共线的判定及应用】

【例5】（23-24高二上.福建三明.开学考试）若向量五与B不共线且沅=五+认为=五一认万=出则（）

A.m,n,力共线B.沆与旧共线

C.五与力共线D.m,ii,方共面

【变式5-1］（23-24高二.甘肃武成.课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、。三点共线的

是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=AC

C.AB=BCD.画=［BC\

【变式5-2］（23-24高二上•湖北省直辖县级单位•期中）若空间四点O43P满足而=：函+：而，则（）

A.PW直线48

B.PC直线4B

C.点尸可能在直线48上，也可能不在直线48上

D.直线48,且力P=P8

【变式5-3］（23-24高二上.贵州.开学考试）如图，在三棱柱/8。一必当&中，P为空间一点，且满足丽=

2丽+〃西，X.nG［0,11,则下列说法错误的是（）

A.当4=0时，点P在棱8%上

B.当入=〃时，点P在线段上

C.当〃=1时，点P在棱81cl上

D.当/l+〃=1时，点P在线段上

【题型6由空间向量共线求参数或值】

【例6】（2024•贵州六盘水•模拟预测）已知丽石,另不共面，若而=瓦•+西+久，前=簧+词+阐,

且三点共线，则入+〃=（）

A.0B.1C.2D.3

【变式6-1］（23-24高二上•河南周口•阶段练习）已知&=3沉一2区一4万工6,5=（x+l）m+8n+2yp,

且记，n,户不共面，若可/丸则工，y的值分别为（）

A.-13,8B.-13,5C.7,5D.7,8

【变式6-2］（23-24高二下•福建龙岩•期中）设向量可，电,可不共面，已知近=可十五十国反=百十

入前+瓦，而=4宙+8孩+4可，若A,C,。三点共线，则；1=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6-3］（23-24高二上•河北邯郸・期末）已知看勇。是不共面的空间向量,若/=36-2歹一转与］=（m+

1）^+Sy+nz（m,n是实数）是平行向量，则zn+zi的值为（）

A.16B.-13C.3D.-3

【题型7向量共面的判定及应用】

【例7】（2024高二.全国.专题练习）已知非零向量吊互不共线，如果而=部+而冠=2可+8孩，AD=

3瓦-3与，那么下列结论正确的是（）

A.A,B,C,。四点共线

B.A,B,C,。四点共面

C.A,B,C,。四点不共面

D.无法确定

【变式7-1］（2024高二上•全国•专题练习）对于空间一点0和不共线三点48,C,且有29二一万5+丽+

2OC,则（）

A.。,4,8,C四点共面B.P,力,5,C四点共面

C.0,P,8,C四点共面D.O,P,48,C五点共面

【变式7-2X23-24高二上•江西九江•期末）对于空间任一点0和不共线的三点4B,C,有命=xOA+yOB+

zOC,则％+y+z=l是P,力，B,C四点共面的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要