2026年江苏省苏州市高一数学下期末模拟冲刺卷（解析版）

苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末模拟冲刺卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

1.已知sina=g则cos2a=（）

75

A.1B.-C.-D.

99

【答案】B

【解析】

Ii7

【详解】因为sina=—,则cos2a=l-2sin2a=l-2x—=—.

399

故选：B.

2.复数2二丁=在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

4+3i（4+3i）（高l+2i）"丁-2+1li，则z对应点为（卜2学11^在第二象^限•

【详解】

故选：B

3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）

,_，］3'

A.et=（0,0）,e2=（1,-2）B.e,=（2,-3）,e2=

124

C.et=（3,5）,e2=（6,10）D.ex=（-1,2）,e2=（5,7）

【答案】D

【解析】

【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成，

A：鼻二（0,0）为零向量，不符；

B：由。=4?2，即向量共线，不符；

C：由［=即向量共线，不符；

D：1=（7,2）,［=（5,7）是一对不共线的非零向量，符合.

故选：D

4.圆台的上、下底面半径分别是1和5,且圆台的母线长为5,则该圆台的体积是（）

A.30KB.31nC.32兀D.33兀

【答案】B

【解析】

【详解】因为圆台的上、卜底面半径分别是1和5,且圆台的母线长为5,

所以该圆台的高为,52-（5-1）2=3，

则该圆台的体积为（X兀（产+1x5+5?b3=31兀.

故选：B.

sinl0°-2cos20°、

5.------------------=（）

cosl0°

B.-与C.6D.-V3

A.—

3

【答案】D

【解析】

sinl00—2cos20。sinlO。—2cos（30。-10。）

【详解】

coslO°cos10°

_sinl00-2cos30°cos10°-2sin30°sin10°

cos10°

sinl00-2x—cos10c-2x,sin100

=22，

cos10°

_-V3cos10°也

cos10°

故选：D.

6.在A43C中，点。满足的=砺，过点。的直线分别交直线4NC于不同的两点E,

F,设方=1正，祝=），）？，则x+F=（）

A.1B.2C.3D.4

2

【答案】B

【解析】

【详解】在△力8。中，因为由=方，即O为8C的中点，所以=■方+!就,

22

又因为刀=X荏，就二y/，所以ZOnJxXE+'y/T7,

因为瓦O,尸三点共线,可得%+权=1,所以x+y=2.

故选：B.

7.已知sin夕+^）=2cos，，贝ijtan26=（）

A.与B.百C.一百D.2®

【答案】C

【解析】

【详解】由sin6+5]=2（：05。可得41$布。+,（：05，=2（：05夕，

I6J22

即tan0=»

nn、icc2tan6^26r-

所以tan2。=------=—^=-V3.

l-tan26>1-3

故选：C

8.已知正四面体.尸—N8C的所有棱长均为百，D,£,b分别为棱PB,PC的中点,

则该正四面体的外接球被平面。E尸所截的截面面积为（）

712n八

A.-B.—C.兀D.2K

33

【答案】C

【解析】

【详解】将正四面体如图放于正方体PJCK-MBLA中，因P-ZBC的所有梭长均为百,

V3

则正方体棱长为8该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心。为正方体中心,

.因Q,E,尸分别为棱R1,P4,PC的中点，则P-EFO

3

棱长均为立，则四面体尸-£尸。相似于四面体P-力BC,相似比为;.

22

注息到vp_ABC-yPJCK.MBL/i—^B-JPC~闺­图邛,

则乙一EFD=L匕，设△EFD中心为9,则为正四面体尸一EFO的高•

832

则，5=飞口.PO产［x乎X［乎］•4.

又尸，«,。三点共线，则。到平面以力距离为QQ=PO—PQ=逑一也=也.

1'424

注意到该正四面体的外接球被平面尸所载的截面为圆，则圆半径为

r=^R2-OOy==f故截面面积为兀/二兀・

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分

9.下列说法正确的是（）

A.与向量）=（-1,2）方向相同的单位向量的坐标为―5■,2^

、55,

人-、

B.。•为非零向量，则向量）在向量2上的投影向量为纯

1什

c.a标为非零向量，且相互不共线，则（万-伍0）3=6

D.若。=（2,3）与坂=（》,一6）共线，则工二-4

【答案】AD

【解析】

4

【详解】对于A,与向量。=（-1,2）方向相同的单位向量为

L在2

5岩（一⑶一一丁，甘,故A正确;

对于B,向量"在向量B上的投影向量为，故B错误;

对于C,由小B与为数字，且不共线，则（，同乙一修团300,故C错误;

2=Ax

对于D,由之=（2,3）与月=（北一6）共线，则《二久，解得工=一4,故D正确.

故选：AD.

10.已知复数亍为z的共柜复数，下列命题正确的是（）

A.Z-Z=|ZpB.|z|=|z|

C.若z=5,则N为实数D.N和z在复平面内对应的点关于虚轴对称

【答案】ABC

【解析】

【详解】•・・zN=|z|2,；从正确；

共桅第数的模相等，正确；

。+/=。一/=力=002£7?,，（3正确.

亍和z在复平面内对应的点关于实轴对称，・・・D错误；

故选：ABC

11.在△力8c中，AB=AC=4,BC=4后,。，七分别是力民力。的中点，将△/7）£1沿

着。E翻折，使点力运动到点P处，得到四棱锥尸-8CED,则（）

A.对任意的点P,始终有BC上力P

B.存在某个点。的位置，满足平面尸。E平面PBC

C.对任意的点P,始终有平面尸OE与平面P8C的交线〃/8C

D.当二面角。一。七一8为60。时，四棱锥P-8CE。的体积为"

2

【答案】AC

【解析】

5

对于A：取6c的中点尸，连接力尸交。石与O,连接尸尸，可知点O为。石的中点，

又因为为力的中点，所以力OJ.QE,即尸。_LOE,同理得到OF1OE,

又POcOF=O,POQFu平面POF,所以。£1平面4/，

因为DE//BC,所以8C_L平面P4R,

又因为4Pu平面尸力少，所以8CJ,彳尸，故A正确；

对于B：设平面口)£「平面25。一/，因为DE〃BC,DEu平面FDE，

故.BC〃平面PDE，又BCO平面PDE，则BC/〃,由选项A知8。J,平面尸力/，

所以/J.平面PAF,则/。夕厂为平面PDE与平面PBC所成的二面角，

因为PO=OQ,所以不可能为直二面角，故B错误；

对于C：设平面POECI平面尸8C=/,因为DE〃BC,DEu平■面PDE，

故.BC〃平面PDE，又BC0平面PDE,则BC/〃,故C正确；

对于D：

如图，取8C的中点M，连接4M交。E与N,连接PW,可知点N为。石的中点,

又因为。,后为48,4。的中点，所以即PN_LZ)£,同理得到"NJLOE,

又PNCMN=N,PN,MNu平面PMN,所以。E_1_平面尸A/N,

所以二面角尸—。七一8的平面角为4PNM,

故.NPNM=60°,再过点P作平面8CEO的垂线交于点H,

6

在直角三角形尸N"中，PH=PNxsin60J=

2

S底面=（2退+叼所以&s=!x3岛4故D错误；

JD乙乙

故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在正四面体44co中，点E,£G分别为棱8C,C7）,/1C的中点，则异面直线为E,R7

所成角的余弦值为.

【解析】

【详解】连接。石，因为F,G分别为。＞,力。的中点，所以尸G〃4。，

因异面直线所成角的范围为（0。,90。］,则异面直线AE,FG所成角为/EAD,

设正四面体48CZ）的楼长为。，则力。=〃，4E=ED=』2—《y="a,

AE2+AD2-ED2g"）2+/-g〃）22G

根据余弦定理，COSZEAD=•；；；=一-----------Z—=--=上,

2xAExAD.V3\/3a23

2x——axa

2

则异面直线/瓦FG所成用的余弦值为由.

3

故答案为：冬

7

A

13.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为6()cm和4()cm,深度为75cm,则该油槽

的容积为L.

【答案】190

【解析】

【详解】该油槽的容积为

-x75x(602+402+60x40)=190000cm3=190L.

3l)1000cm7L

故答案为：190.

14.直角△力〃。中，乙4c8=5,E是线段48上一点，CB=CE,AC=&E，设

Z.ABC=a,Z.ACE=p，则sinp=.

【答案】-

3

【解析】

【详解】如图，因为CB=CE,所以NCEB=/CBE=a.

因为N4C£=P，所以=

ITjr

所以NC4B+NCA4=2a-£=-,即6=2a——.

2

4EAC

在△力CE中，根据正弦定理得二~o=^~i；，化简得sina=Csin//.

sin/>sin[Tt-a)'

因为夕=2a-Z,所以sin〃=sinla--=-cos2a=-1+2sin2a.

所以一l+2sin2a二二sina，化简得2Csin2a—sina—«二0.

V6

解得sina二l±J；48=耳

4V64V6

8

八兀~•1+72„,._sin«1

又0＜。＜于所以加。=次=7r此时9尸=万

故答案为：一.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分

15.已知加wR,函数/(x)=cos%+2JGsinxco&x-sin4;+〃7的最小值为().

(1)求常数〃，的值；

(2)求函数/(x)的图象的对称中心.

【答案】⑴m=2(2)《咱，2，〃wZ

【解析】

【小问1详解】

/(x)=cos2x4-2x/3sinvcosLY-sin2A-4-/??=cos2.r+\/3sm2x+m=2sin2x+，

/兀、

因为sin2x4--E[—1,1],所以/(x)而励=-2+〃7=0,所以m=2.

【小问2详解】

(兀、

由(1)可得：/(x)=2sin2x+—+2,

k6J

令)x+上=kR,kG7.,!Hi|x=—,k(=■7.,

6212

(IrjVTT、

所以函数/(x)的图象的对称中心为1万一F，2＞%£Z.

16.如图，在四棱锥产一/BC。中，底面44co是正方形，。4_L平面44CO,瓦厂分别

是棱CO,4尸的中点.

9

(1)证明：PC工BD；

(2)证明：EF〃平面PBC.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

如图，连接交于点O,由四边形力3co是正方形，可得

因尸/_L平面/8CZ),BDu平面｛BCD,则/勿_LB。，

又4nze=4，P44Cu平面P4C,

所以8。4平面尸/C,又PCu平面P4C,

所以4Q_LPC.

【小问2详解】

如图，取尸8的中点G,连接/G,CG,

由分别是棱C'O,4尸的中点.可得FG/〃B,FG=LAB,

2

又CE//4B,CE=LAB,则FG//CE,”G=CE,即得口CEFG,所以EF//CG

2

因石尸仁平面P8C,CGu平面PBC,

所以打〃平面P8C.

10

17.已知向量不=（及sina』），b

（1）若角。的终边过点（3,4）,求限6的值;

（2）若向量书区，求角a的大小，其中aw

【答案】⑴净n

(2)a=——.

4

【解析】

【小问1详解】

43

因为角a的终边过点（3,4）,所以sina=一cosa=-

5

.兀

所以sin[a-；=sinacos—

44525210

所以限B二逑xl+lx也二地.

51010

【小问2详解】

因为向量Z〃E，所以gsincrsina-1=0,即

I4J

V2sina(sinacos--costzsin—)=1

44

sina(sina-cosa)=sin%-sinacosa=1,

所以一sinacosa=cos2a，

7in

m因x为Ia£，所以cosaw0,

I22

li

所以一sina=cosa,即tana=-l,

所以。=一：.

4

18.如图,在棱长为2的正方体48CQ—4刈GR中，”为棱的中点,。为8。的中

点.

（1）证明：4。〃平面M3。；

（2）求点。到平面M3。的距离；

（3）证明：平面M8QJ.平面。G2.

【答案】（1）见解析（2）逅（3）见解析

【解析】

【小问1详解】

连接MO,月C,因为四边形力8co为正方形，。为月。的中点,

所以力。过点0,且。为4c的中点，

在△//C中，O,“分别为/C,44的中点，

所以A/O//&C,平面"8。，MOu平面

所以4c〃平面A/8O.

【小问2详解】

因为BD=飞BA?+AD”=VFTF=2&，

因为1底面ABCD,

AB,AD<zJgffiABCD,所以44JLJL48,

所以MB=MD=《MA?+/力2=收+*=垂，

12

设点。到平面MBD的距离为d，因为匕7T皿=VM-CRD»

所以工S4M8D,d=工S^CBL,,所以、/々=2-1,所以H

333

所以点C到平面MBD的距离为好.

3

【小问3详解】

取力。,8。的中点为瓦尸，连接反，CF，连接。活与历。交于点

由正方体的性质可得，所以&EG，。]，。五点共面，

所以平面。GO即为平面EbGA,

又由正方体的性质可得CQ|_L平面力。。4，"。匚平面％。。/3

所以在三角形中，tanAD.ED==2,tan£AMD=—=2,

EDMA

所以ND[ED=N4MD,又因为NMDA+/AMD=90。,所以NMD4+NjEO=90。,

所以在三角形。中，^EQD=90°,所以

u平面OCQ]，ED\CC[D]=Dx,所以MO_L平面。。|。1，

又因为"Ou平面MB。，所以平面"8。J.平面0GA.

19.如图，在四面体力BCD中，△NBC是边长为2的等边三角形，△QBC为直角三角形,

其中。为直角顶点，ZDCB=60°.尺£G,〃分别是线段AC.CD、上的

动点，且四边形bG”为平行四边形，设二面角力一8C-。的平面角的大小为

13

a(05<a<90°).

A

（1）当a=90时，求四面体力3C。的外接球的表面积；

（2）当线段力。=百时，求直线与平面8CO所成角的正切值；

（3）当点E满足AE=2E8,且“C。是以CO为底的等腰三角形时，求多面体ADEFGH

的体积.

【答案】（1）啊（2）272（3）E

327

【解析】

【小问1详解】

当a=90°时，平面44C_L平面4C。,

由题意△48的外心为BC中点连接力a，

则四面体外接球的球心在直线上，

乂AABC为等边三角形，则△ABC的中心即为球心，

工“ncG22y/3EEC4d2.f2A/3V16K

于是火=----二二一，所以S=4TIR=4兀-----=——；

233[3]3

【小问2详解】

依题意力。=JJ,因为/。二百，

所以点A在平面BCD内的投影仪到点（八和点D的距离相等，

即点。2在的垂直平分线（也是NOC8的角平分线）上，

而点A在平面BCD内的投影O?又应该在过点Q且与BC垂直的直线上，

从而得出点。2即为BD的三等分点且靠近D，

于是平面ABD1平面BCD，则NADB即为直线AD与平面BCD所成角,

14

2

在中，DO2—,AD=B所以4{D-DO；=