高考数学题型分类突破：创新考点03 新定义运算

创新考点三新定义运算

【题型分析】

考情分析：

新定义题型的特点：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个

新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础.匕依据题目提供的

信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定

义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求

“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.

考向1J新定义集合运算

◎典例精析

例1设A,8是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x,按照某

种确定的对应关系/，在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的

x对应不同的户同时8中的每一个元素y,都有一个A中的元素x与它对应，

则称力A-B为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与3等势，记作】二反

若集合A与5之间不存在一一对应关系，则称A与8不等势，记作

例如:集合A=N",8={2〃|〃£N*}之间存在一一对应关系户yWB),因

⑴已知集合C={(x,y)|f+y2=]},D=|(x,y)咛试判断力是否成立,

并说明理由.

(2)证明：②0；1)=(-8,18)；

②QN*).

方法总结：

解决新定义集合问题，应注意的“三定”:⑴定元素，确定已知集合中所含的元素，

利用列举法写出所有元素.(2)定运算，根据要求及新定义运算，将复杂的集合运

算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算

问题.(3)定结果，根据定义的运第进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合

中的所有元素.

囱跟踪训I练

小明阅读课外书籍时，发现笛卡尔积的研究是代数和图论中一个很重要的课题.

对于非空数集4,B,定义A［必{Q,y)|x£A且六引，将A”称为“A与8的

笛卡尔积”.

(1)若A={/,0,1},1},BHA.

⑵试证明：“4门小=4口4”是"4的充要条件.

⑶若集合”是有限集，将集合H的元素个数记为|”|.己知川口4|二m3(〃z£N*),

且存在实数。满足叵耳碎画女对任意机GN*恒成立.求实数a的取值范围,

并指明当a取到最值时，141和小|满足的关系式及m应满足的条件.

考向2J新定义概率运算

@典例精析

例2设(X,X)的所有可能取值为(用力),称p片P(X=H,Y=yi)(i=1,2,m

j=l，2,…，〃z)为二维离散型随机变量(X,X)的联合分布列，用表格表示为

YXV)'2・・・・・・ym

XIPll02・・・p\k・・・P\mPk

X2P21P22・・・P2k・.・PimP2・

・..・..・.・••••••••・••••・•

XkPk\Pk2•••Pkk••.PkinPk.

Pn\Pn2・・・p“k.・・

PJPlP-2・・・P-k・・・P-m1

仿照条件概率的定义，有如下离散型随机变量的条件分布列：定义

P(Y=)j，)=p产公pg,对于固定的若〃户0,则称p,尸产(X=r|Yf)而2,...,

出为给定＞'=%•条件下的x条件分布列.

离散型随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下：

n

E(X\y=y)=工M尸底=刈Y=y).

(1)设二维离散型随机变量(X,X)的联合分布列为

YX123Pi

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

PJ0.150.50.351

求给定x=i条件下的y条件分布列.

m

⑵设(X,y)为二维离散型随机变量，且凤㈤存在，证明：E(X)=^E(X|

(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分

钟可走出迷宫；第二个门通向一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三

个门通向一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处.假定此人总是等可能地在三

个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.

方法总结：

新定义概率题通过约定一种新的分布列来创设新问题的情境，要求在阅读理解的

基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的辽移，达到

灵活解题的目的.

岗跟踪训练

泊松分布是一种重要的离散概率分布，用于描述稀有事件的发生情况.若随机变

量X的所有可能取值为0,1,2,且尸(x4)=ke刃％=0,1,2,其中

AX),则称X服从泊松分布，记作X~P(2).

⑴设X〜P(/l),且尸(X=l)=尸(X=3),求P(X=2).

(2)已知当论20,0<於0.05时，可以用泊松分布尸(叩)近似二项分布B(〃，p),即

对于X~B(〃，p),Y~P(叩),当女不太大时,有PggP(Y=k).

①已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水

电工，试估计某天需要至少2名水电工的概率；(结果保留自然常数e)

孰公勺基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的

概率需要1名水电工，试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.(结

果保留自然常数e)

考向3J新定义最值运算

典例精析

例3以max{M}表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<\f己知b>2a或a+b<i,

则max{/?-〃，c-/?,1-c}的最小值为.

方法总结：

解答本题的关键是利用换元法，在b>2a和〃+丛1的前提下进行合理分类讨论,

根据题意可得到对应的不等式组，注意题目条件中的关键词“或

阂跟踪训练

以max{M}(min{M})表示数集M中最大(小)的数.设〃>0,^>0,c>0,三知

a2c+b2c=1,则min(max-))=.

创新思维

1.已知正整数集合S={m,。2,…，an](n>2f〃&N),Q<a\<ai<...<an9对任意

ajGS,定义d(c〃，aj)=.若存在正整数％，使得对任意勾£S(a成/都有

d(au勾)泊，则称集合S具有“性质及”.记d⑸是集合{或所勾)勾0S}中的最

大值.

⑴判断集合A二{1,2,3}和集合3={4,6}是否具有“性质B”，直接写出结论.

⑵若集合S具有“性质可，求证：d⑸之三

16

(3)若集合S具有“性质片”，求〃的最大值.

2.在概率较难计算但数据量相当大、误差允许的情况下，可以使用布尔不等式进

行概率估计.己知布尔不等式：记随机事件Ai,A2,…，A〃，则

n

P(4UA2U...U4)WW1P(4).在其误差允许的情况下，可将不等式左右两边视为

近似相等.

(1)有n个不同的球，其中b个有数字标号.每次等概率地随机抽取〃个球中的1

个球，抽完后放回.记抽取，次球后％个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概

率为P”),现在给定常数P，则满足P⑺沙的，的最小值为多少?请用布尔不等式

估计其近似的最小值.(〃相当大且远大于k,且(i_)〃w)

(2)在实际情况中，用布尔不等式估计概率的精度往往不够，因此需要用容斥原理

求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件4,…，4一则

n

P(4UA2U…尸£(」产工(滇…/V1aA2…阳).在⑴的情况下,用

容斥原理求出的精确的t的最小值是多少？(〃相当大且远大于k,且(1一)〃三)

3.已知无穷数列｛〃“｝满足an=max｛an+\t”〃+2｝-min｛a〃+i,z+2｝(〃=1,2,3,...),

其中max｛x,y｝表示x,y中最大的数，min｛x,y｝表示x,y中最小的数.

⑴当0=1,z=2时，写出的所有可能取值.

(2)若数列｛〃〃｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛m｝中的项.

⑶若小2,3,...),是否存在正实数使得对任意的正整数〃，都有

跖WM?如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，请说明理由.

参考答案

创新考点三新定义运算

分类突破S题型分析

考向1新定义集合运算

例1

【解析】⑴设P(沏，yo)ec,Q(x,)，)£。，令仁二总则C与。之间存在一一

对应关系，所以。二)’

⑵0K函数产tan(兀广，)，其中工£(0,1),)，£(-孙+oo),两个集合之间存在一

一对应关系，

故(0；1)=(_818)-

备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为(0,1),值域为R即可.

②设A=N*,B={y|yCN*),假设只二瓦即存在对应关系力A—B为一一对应的关

系，

对于集合B中的元素{1},{2},{1,2),至少存在一个工仁4对1,且#2)与这三

个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在正«r).

记。二“eAb立凡。},则O£A,故。巳6,所以存在。巳A,使得1a)=D

若aWD,则御加。,矛盾；若战，则〃£检)=。，矛盾.

因此，不存在A到8的---对应关系，所以

跟踪训练

【解析】(1)由题意可得，AQB=((-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,

1)}，

mA={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1)).

(2)若4=2,设4=A2=A,由定义可知,AiUA2={(at与146A且〃6A}二4口心，

所以“A］匚42勿2口4”是的必要条件；

若4—=人2口4,则对任意(小b)WAiDA2,均有(mb)^A2UAif

即对任意〃WAi，人仁42,均有。仁42,由任意性可知4UA2,4U4,则

A|=A2，

所以“4口4=4口4”是“4=4”的充分条件.

综上所述，%□所=42口4|”是“4=42”的充要条件.

⑶设|Ai|二c,|A2|=J,c,d£N*,

则|ApA2|=|A2DAi|=cd=，%3,|A|DXi|=c2,|42口。2|二理,

当且仅当:上，即c=d时，等号成立，所以实数〃的取值范围为(・8,V2].

ac

若Q取到最大值，则c=d,即|41|二阳，可得〃二加，即。二标^=(标)3£N*,所

以小二公，攵WN*.

考向2新定义概率运算

例2

【解析】(1)因为尸(X=l)=pi.=0.6,所以用第一行各元素分别除以0.6,可得给定

x=i条件下的丫条件分布列为

rix=i123

111

p

623

(2)二维离散型随机变量(X,F)的概率为尸(X=MY=y»=pij(i=l,2,n,j=\

2,…，w),又由〃尸〃出川，E(X)=^Xi-pi.=

mmn

得E(X)=为(丸灯〃明〃办二以(丸无〃加＞〃*

nm

S^Xipi\i=E(X\Y=yj),得E(X)二为E(X|Y=y»p.j.

m

(3)由(2)知，对于二维离散型随机变量(X,K),E(X)=^E(X\Y=yj\P(Y=yj).

设他需要X小时离开迷宫，记事件丫表示第一次所选的门，事件｛丫=，｝表示选第

i个门，

由题设有p(y=i)=p(y=2)=p(y=3)=i

因为选第一个门后3()分钟可离开迷宫，所以E(X|y=1)=3().

因为选第二个门后50分钟回到原处，所以E(X|y=2)=50+E(X).

因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以E(X|Y=3)=70+E(X).

所以E(X)=ix(30+50+E(X)+70+E(X))=50+|E(X),

解得E(X)=I5(),即他平均要15()分钟才能离开迷宫.

跟踪训练

【解析】⑴由尸(X=1)=P(X=3),得2/二^^，且2>0,解得2=遥.

6

故P(X=2尸哼e包亮

(2)①设X为甲地区某天需要的水电工数目，则小=0,1,2,且XM(100

000,().()()()10).因为〃尸100000N20,0</?!=0.00010<0.()5,/?以户10()00()x0.00()

10=10,

所以P(X=攵户"必1Mm=也e4°.

ki・・kt

那么某天至少需要2名水电工的概率约为P(XG2)=1-P(M=0)-P(Xi=l六l-e-QlOe

10=1-1".

②设X2为乙地区某天需要的水电工数目，则X2=0,1,2,且X2~B(200000,

().00()04).

因为,22=200000>20,0cp2=0.00004<0.05,/?2P2=2OO()(X)x().()()()()4=8,

n8

所以P(X2=k)-(^2)n2P2=^e-.

ki•3•

kkkiniQ)ci

所以P(Xi+X2=k)=vp(Xi=i,X2=k-i)=vP(Xi=i)P(X?=k-2v^e-i°4—e-

&M(k.iy

kIkK

8二誓y—^—l0'x8%=誓vCM0'X8"=把(1°+8»=电〃8，

&£)1!(心)！&也)&k]

那么某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为P(XI+X2>3)=1-

18,8,818

P(X|+X2=O)-P(X1+X2=1)-P(X1+x2=2)-l-e-l8e-l62e=1-181e.

考向3新定义最值运算

例31

【解析】令b-a=in、c-b-n>\-c=p,其中m，n,p>0,所以一：

(Q=1—m_n_p

若尼2a,贝ij1-〃-〃之2(1-"?-〃-〃)，故2"?+〃+pNl.

M=n\ax{b-cbc-b,l-c}=max{〃7,〃，〃},

2M>2m

则MN几’故4M>2ra+n+p>\,贝lj

,M>pf

若a+b<\,则\-n-p+1-m-n-p<\,BPm+2n+2p>\,

(M>m

令M=max{〃-。，c-b,l-c)=max{/??,〃，p],则12MN%故5M、〃+2〃+2pNl,则

(2/4>2p：

也噂,当且仅当〃?+2〃+2p=l旦max{/〃，〃，p}二：时，等号成立，取帆二〃二p二凯寸

可使等号成立.

综上可知，max{/?-mc-〃，1-c}的最小值为点

跟踪训练V2

【解析】由〃2c+/?2c=1,0（）,得（户+从二千.

设maxI-,i,=M,

【abc>

22

则M4,A^i,M>^-=a+b>2abf当且仅当。=/?时取等号.

abc

又3M=2历历论2熹+2ab=卷+焉+2哙3y卷焉加=3冠，

当且仅当。二匕二C二表时取等号，

创新思维

1.解析(1)A={1,2,3}，则“（0，〃2）=或〃2，0）二

X乙

11

"(。3,a*=d3,03)==;

3~2H

L«121

i一---

I33->

"(0,〃3)=或〃3，ci\)=L9

故集合ATI,2,3}具有“性质尸3”.

11

因为3={4,6},所以d（bi,因）=或历,bi）=^9-故集合B={4,6}不具

有“性质

（2）设S={0,。2，…，〃£N）,且0<0<々2

1111111

故石迄>•••>瓦>6故"（如勾）石有，即或

因为集合S具有“性质向”，所以43,勾巨白，

1O

所以d⑸=上工=---+---+…+--->-^+±+...+±=^-.

aa

斯。22«3n-1[«n16161616

111

（3）因为S={〃i,。2,…，〃”}（论2,且2V…VM所以一>—>…>一.

ala2即

因为正整数集合S具有“性质6”，所以正如勾）咕,ZEN*,因2,且〃61,哈i,

zeN\

“、1111111111\ni

所以d(0,Chi)——--=_--=_------+-----------+…+------

aianaianaiai+lai+lai+2即.1an'k

故

Qik"

又碓i,所以"I，即”,即g(〃-j)，又N*,又正归等)2号所以标耳

2

所以当〃为偶数时，当且仅当即〃=2,时，i(〃-i)W■成立，故〃<2后当〃

4

为奇数时，[i(〃・i)]max=41，故反与1，即/<43+1,故n<2k-1.

44

综上所述,n<2k-1,故〃的最大值为2&-1,k£N”，后2.

2.解析⑴设事件4•为“抽取/次未取到9女）号球”，则尸（4）=（与1）/.

由题意可知尸⑺=1-尸（4UA2…口4户1-工尸（4）=1-&（?）抄，

又（6（廿）春功匕2

所以1/（?）'=1-府2*n^^eA=ln

解得它"In'j"与即满足尸⑺沙的I的最小值为“In1

⑵结合（1）及概率容斥原理可知，

n

P⑺=1-P（A“2...U4）=1通（“匕吁袤一曲尸出人…阳）

=1+（-1）&（智）'+（-1）必（停）+..+（-1）蹴.（*力（I）

令尸（1-»,则由⑴可知，x=e^f易知（¥）「=（1-）,

对于（1沙=CWG）o+C"-（/+鬃产（,+...+c建（沙,

因为〃相当大且远大于火，所以c3尸+…+鹿1。（；产0,

故(吟气沙(])。+般皆仁尸二吟则(¥六(廿)*-

所以役依+c#+...+(/)4*=(1-x/=(i-e4)人》

即建各2n(l-p拒go仑㈤n(l-p1),

即用容斥原理求出的精确的/的最小值为-〃ln(l-p1).

3.解析(l)由a”=max{a〃+l,a〃+2}-min{a〃+i,。〃+2}10,得a〃K).

«i=max{2,t73)-min{2,)=I.

(L^«3>2,则的-2=1,即。3二3,此时〃2二max{3.〃4}-min{3,}=2.

当。4>3时，出-3=2,即44=5；当。4<3时，3-出=2,即44=1.

②若S<2,则2-的=1,即。3=1，此时“2=max{l,ai}-min{1,6/4}=2.

当。4>1时，44-1=2,即。4=3；当〃4<1时，1-44=2,即〃4=-1(舍去).

综上所述，田的所有可能取值为1,3,5.

⑵由⑴知,。仑0,则min{a“+i,々”+2}对.

数列{m}中的项存在最大值,故存在如EN*,使得。后为。5=1,2,3,...).

因为Q7io=max{Qno+i，ario+2)-min{a7Io+1,ano+2}<max{ano+1,ano+2}<ano,

所以min(即0+1，ano+2}=0,故存在江心{如+1,加+2},使得以=0,所以。为数

列{〃〃}中的项.

⑶不存在正实数M,使得对任意的正整数〃，都有a,WM.理由如下：

因为所>0(〃£N)所以。“切〃+1(〃=2,3,…).设集合S={川4“>a〃+i,ri>\}.

(2MS-\n\an>an+\,/1>1}=0,则aW@+i(i=2,3,...).

-f[/f-1

对任意M>0,取〃尸-+2(其中因表示不超过.i的最大整数)，则

Lai」

当n>n\时，4〃二(4〃-。小])+(。小1-4小2)+...+(43-。2)+42=。小2+。〃-3+...+。1+。2(〃-

\)a\>(n\-\)a\>M.

②若S={n\an>a,^\fn>\}^0,且S为有限集，

设"『max{川小zz>l},则。加+，<。加+i+i(i=l,2,...).

对任意M>0,取〃2二[3幻+，〃+1(其中㈤表示不超过x的最大整数)，则M<(〃2-

机)。〃+1，

则当n>m时,必产(。〃-。小1)+(。小1-。小2)+3+(。〃]+2-4”+1)+4加+1=。小2+。小

3+…+。〃，+。〃]+1〉(小"7)呢+|>(〃2-"7)。，”+1〉M.

S={