高中数学必修第一册《圆的一般方程》教案

2.4.2圆的一般方程教学设计

课题圆的一般方程单元第二单元学科数学年级高二

教材本节内容是在学习了圆的标准方程的基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方

分析程的特点，即为特殊的二元二次方程。理解圆的i股方程的特点，掌握与圆有关的轨迹问

题。在这一过程中，使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，

同时，圆也是特殊的圆锥曲线，圆的方程的学习，是进一步学习圆锥曲线的基础，对

后续知识的学习，具有重要的意义。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种

广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，

实现了形和数的统一。

1数学抽象：圆的一般方程及其特点

教学2逻辑推理：会用圆的一般方程求圆心、半径等

目标3数学运算：求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹问题

与4数学建模：圆的一般方程和标准方程的互化

核心5直观想象：圆的一股方程

6数据分析：从圆的标准方程一一原点一般方程一一例题一一课堂练习，让学生体会数

素养学知识的逻辑性和严密性.

重占求圆的一般方程，求与圆有关的轨迹方程.

难点运用一般方程解决相关问题.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

问题：

前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问复习导入通过对圆的标准

题？方程的讨论，引

提示：出圆的一般方

程，同时类比直

■定直线位■的几何费*!i八方向

线方程的多种形

式，帮助学生认

▼识圆的一般方程

1［或的点;斜式方段、1［续的传点式方程等

于二元二次方程

的关系。学会联

问题2系旧知识，制定

类比直线方程E内研究过程，我们如何研究圆解决问题的策

的方程？略。

感知从特殊到一

般的研究方法.

问题3

圆的方程是否也有一般式?

讲授新课思考

2

我们知道，方程(x—1)+(y+2)2=4表

示以(1,-2)为圆心，2为半径的圆.可以将此方通过学生对圆的

程变形为/+y2-2%4-4y+1=0.一般方程的探

一般地，圆的标准方程究，使学生体会

2圆的一股方程的

(x-a)+(y-8)2=N可以变形为

特点，及二元二

%2+y2++Ey+尸=0(2)

次方程表示圆所

的形式.反过来，形如⑵的方程一定能通过恒等变

满足的芸件.

形变为圆的标准方程吗？

例如，对于方程/Iy22x4yI6=0,

对其进行配方，得(％-1)2+(y-2)2=T,

因为任意一个点的坐标(X,y)都不满足这个方

程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如⑵

的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.

这表明，形如⑵的方程不一定是圆的方程.

y-y0二祐-%)(A。)？=/

Jx+5v+C=0x2+y+DA+Ey+F=0

J、B不同时为0)?

探究

方程%2+、2+。％+£、+尸=0中的D,E,

F满足什么条件时，这个方程表示圆？

通过对圆的一般

方程的讨论，帮

将方程⑵的左边配方，并把常数项移到右

助学生总结圆的

边，得一般方程的特

（"厂+（y+»=四衿①点。发展学生的

数学运算:，数学

（1）当+后2—4F>0时，

抽象、数学建模

比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程

的核心素养.

（2）表示以（―^，―T）为圆心，

+产-4F为半径的圆；

（2）当。2+E2-4F=0时，

方程（2）只有实数解无=一M'=一，它表示

一个点（一5,一^）；

（3）当。2+£2-4F<0时,

方程（2）没有实数解，它不表示任何图形.

因此，当。2+七2-4尸>0时，方程（2）表

示一个圆.我们把方程（2）叫做圆的一般方程.

思考

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特

点？

圆的一般方程的特点：

（1）①/,y2的系数相同，不等于0.

②没有外这样的二次项

③。2+f2-4F>0

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D,

E,F,因此只要求出这三个系数，圆的方程就确

定了.

（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊

的一元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程

则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显

例4求过三点0（0,0）,Mi（1,1）,M2

（4,2）的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和与例2的方法

半径.比较，你有什

么体会？

分析：将点O,.%,M2的坐标分别代入圆的一般

方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可

求出圆的方程.

解：设圆的方程是

%24-y2+Dr+Ey+F=0①

因为0,M1，%三点都在圆上，所以它们的

坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程

①，得到关于D,E,F的一个三元一次方程组

F=0

D+E+F+2=0

,40+2F+F+20=0

解这个方程组，得

（D=-8

F=6

（F=0

所以，所求圆的方程是

x2+y2-8x+6y=0

由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是

（4,-3）,^ir=-y/D2+E2-4F=5.

2

求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于“/•或D,E,F的方

程组；

（3）解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或

一般方程.

例5已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,

端点A在圆G+1）2+y2=4上运动，求线段

AB的中点M的轨迹方程.

分析：如图

点A运动弓I起点M运动，而点A在已知圆上

运动，点A的坐标满足方程(x+1)24-y2=4.

建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利月点

A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的

关系式，求出点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标是(.1,)，)，点A的坐标是

(r0,y0)由于点B的坐标是(4.3),且M是线段

AB的中点，所以

%+4y0+3

于是有

x0=2x-4,y0=2y-3.①

因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所

以点A的坐标满足圆的方程，即

(&+1)，y02=4.②

把①代入②，得

2一

(2X-4+1)4-(2y-3)2=4.

整理，得

3232

(x--)+(y--)=1.

这就是点M的轨迹方程，它表示以(称，称)为

圆心，半径为1的圆.

习题巩固

课堂练习：

1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心

和半径.

⑴x2+V+x+l=0；

(2)x2d-j2+2ar+a2=0(a:?£:0)；

(3)2^+2/2+2°工一2"=0(aK0)

解：(1);。=1,E=0,F=l,

:.D24-E2-4F=1-4=-3<0,

・••方程不表示任何图形.

2

(2)*：D=2atE=0,F=at

/.D2+E2-4F=4d2-4a2=0,

方程表示点(一a,0).

(3)两边同除以2,得•9+"+田：一”=0,

222

D=at£=一〃,F=0,：.D+E-4F=2a

>0,

・,・方程表示圆，它的圆心为(一名0,

半径r=l\/£>2+E2—4F=^|a|.

2如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离

水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度

为()

A.2V30B.20V2C.4同D.12A/5

解析：

以初始水面为x轴，拱顶所在直线为y轴，

建立直角坐标系，则圆心C在y轴上，设半径为

R,则(R-4)2+102=R2解得R=14.5,则圆心

(0,-10.5),圆C的方程为

X2+—+10.5)2=14.52

水面下降以后，，水面所在直线为y=・l,代入圆的

方程得入=±2厮，则该直线被圆截得的弦长为

4V30

故选C

3求过三点A(3,1),B(-7,1),C(2,4)的

圆交y轴于M,N两点，则|MN|=()

A.8B.10C.4\/6D.2历

分析：

设出圆的方程，由己知可得关于D、E、F的方程

组，求得D、E、F的值，得到圆的方程，取x=0

得到关于y的一元二次方程，再由弦长公式及根

与系数的关系求解.

解：

设过三点A(3,1),B(-7,1),C(2,4)

的圆的方程为好+y2+Dx+Ey+F=0

则有

94-l+3D+E+F=0

49+l-7D+F+F=0

4+16+2O+4E+F=0

D=4

解得E=-2

F=-20

所以，圆的方程为/十y2+-2y-20=0

令x=0,得y2—2y—20=0

.•・yr+y2=2yi-y2=-20

2

IMM=7(yi+y2)-4yi-y2=2⑶

故选D

4若方程x2+j24-2；7ix—2j4-m24-5m=0表示

圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径.

解：

(1)据题意知

D2+E2-4F=(2m)2+(—2户-4(〃产+5//i)>

0,

即4〃产+4—4〃产-20胆>0,解得m<l,

故〃2的取值范围为(一8,

(2)将方程x24-j2+2mx-2j4-/M2+5m=0写成

标准方程为行+加)2+。-1)2=1-5%

故圆心坐标为(一叫1),半径「=小一5m.

5如果x2+j2+Dx+Ej+F=0与x轴相切于原

点，贝IJ()

A.F=0,OHOEH0

B.E=F=0,。工0

C.F=D=0,EH0

D.D=E=(),FH0

解

因为炉+"+。=+班+户=0与*轴相切于原点

所以圆心的横坐标一2=0即D=0

再把原点坐标代入，可得F=0

圆的方程即x2+j2+^=0

所以EH0

故选C

课堂小结

1圆的一般方程，+/+6+⑹，+产=0

方程条件图形

。2+£2一

不表示任何图形

4F<0

炉+炉表示一个点(一今，一号

+6+=0

Ey-\-F表示以(一今，一§为圆

=0加十4一

心，以;尸

4FX)

为半径的圆

2圆的一般方程与圆的标准方程的特点对比

圆的标准方程圆一般方程

(x-a)2+3+"小+阶+户=0

方程(y-4=

(。2+产-4F>0)

r2(r>0)

(-U)

圆心(a,b)

22

半径

长

2

r

-4F

+E

特点

上的

形式

方程

突出

明显

特征

几何

优点

板书

程

究流

的研

、圆

方程

1直线

=0

斗，+尸

。.1+

丁+

程/+

般方

的一

2圆