第四章 第19课时 专项强化：约束条件下的抛体运动-2027届高考物理一轮复习

第19课时专题强化：约束条件下的抛体运动

【目标要求】1.会处理斜面约束下的抛体运动。2.会处理圆弧面约束下的抛体运动。

考点一斜面约束的抛体运动

已知条件情景示例解题策略

k已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan。=也二0

Vygt

从斜面外平抛，垂直落在斜面

已知速上，如图所示

度方向

已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tanT=

vy

vcosa

从斜面外斜抛，垂直落在斜面0

-vosina+gt

上，如图所示

上

已知位移的方向沿斜面向下，分解位移lan生△邺二普

xvt2v

从斜面上平抛又落到斜面上，如o0

图所不

如

/

已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tana区

已知位X

2

-vosinat+^gt

移方向从斜面上斜抛又落到斜面.匕如

v0cosat

图所示

已知位移的方向垂直斜面，分解位移tan公二苦;华

y\gt2gt

在斜面外平抛，落在斜面上位移

最小，如图所示

【例1】（来自教材改编）跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台

飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以大小为20m/s的速度飞

出，落在斜坡上的8处，斜坡与水平方向的夹角。为37。，不计空气阻力(sin37。=06cos37。=0.8,g

取10m/s2),求：

(1)运动员在空中匕行的时间；

(2)运动员落在3处时的速度大小；

(3)运动员在空中离坡面的最大距离。

答案(1)3s(2)10^13m/s(3)9m

解析(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为f,则有下)=会产，

由题图可知lanZ?=-

X

联立解得片如tan族3s

9

(2)运动员落在B处时有VA=Vo,Vy=^r

2

所以vu=Juj+vy=10V13m/s

(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的

初速度为Vy-Vosinf/=l2m/s

加速度为。尸-geos^=-8m/s2

当垂直于斜坡方向上的速度为。时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有心匕必=9m。

2ay

拓展

I.AZ?的距离/为多少？

答案由x=vol得x=60m,/=」高二75m。

cosff

2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少

倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？

答案由(1)问知仁也tan。，可知y%,故在空中飞行时间变为原来的;。由/二三二/二也当可知/oc

g2cost)cos。gcosti

孙2,故在斜面上飞行距离变为原又的%

3.初速度大小改变后，仍落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？

答案落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不

变。

【例2】(2026.江苏泰州市调研)某同学以初速度即=15m/s水平抛出一个石子(可视为质点)，石子在空中

运动的轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37。的斜坡上的A点.。不计空气

阻力，g取lOm/s?,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:

如

A

37°

(1)石子打在4点的速度大小；

(2)石子在空中运动的时间；

(3)抛出点与A点在竖直方向的距离。

答案(1)25m/s(2)2s(3)20m

解析(1)石子垂直打在斜坡上的乂点，有i『vsin37。，解得石子打在A点的速度大小为v=25m/s。

(2)石子打在A点时，有vv=vcos37。，

又修划，

解得石子在空中运动的时间为/=2s。

(3)抛出点与A点在竖直方向的距离为〃二那，

解得卜二20m0

【例3】冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛某段过程简化成如图所示，运动员从倾角为。=30。的斜面顶端

O点以W=10m/s的速度飞出，且与斜面夹角为9=60。。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，且A为

轨迹上离斜面最远的点，8为在斜面•上的落点，已知运动员的质量为〃-6()kg(含装备)。重力加速度g

®1()m/s2,不计空气阻力。求：

(1)从。运动到4点所用时间;

⑵0、4之间的距离。

答案(1)1s(2)20m

解析(1)由题意可知，将运动员的运动情况分解，如图所示

从O点到A点过程中，运动员在垂直斜面方向上有Vv-v()cosa,vv=^/cosa

联立代入数据可得f=1s

(2)方法一由对称性可知，从。到8点的时间为21,

则从。到8过程有x=2vo/sina+1^(2/)2sina

代入数据解得户20m

方法二把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动

因a=30°,

由图可知

解得丁一也-2s,

由几何关系知，两分运动的合位移即0、8之间的距离L=w「=20m。

I总结提升与斜面结合的抛体运动的分解方法

（1）正交分解法（两种情况）

①水平方向：匀速直线运动，V^VdCOS0,X=vxto

竖直方向：匀变速直线运动上产伏点inO-gt,y=vosin。•档g-。为次）与水平方向的夹角）。

②沿斜面方向：加速度为a.r=gsin。的匀变速直线运动仅为斜面与水平方向的夹角----斜面倾角）。

垂直斜面方向：加速度为a产geos«的匀变速直线运动（类竖直上抛运动）。

（2）斜交分解法

沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动，如图所示。

考点二圆弧面约束的平抛运动

已知条件情景示例解题策略

从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图

所示

已知速度方向圈分解速度lanG也二竺

VOV0

已知速度方向沿该点圆弧的切线方向

从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示

已知位移大小等于半径R

(X=vot

b=1尸

L>

G2+y2=R2

利用位移关系从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，

如图所示

fx=R+Reus。=UQL

♦OR

小jy=RsinO=|^t2

1(%-R)2+y2=R2

已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于

半径的平方

【例4】（2025•江苏淮安市检测）如图所示，半球面的半径为R,球面上4点与球心O点等高，小球（视为

质点）先后两次从A点以不同的速度口、也沿AO方向抛出，下落相同高度/?,分别撞击到球面上4、C

点。设上述两过程中小球运动时间分别为乙3、〃C，速度的变化量分别为△匕8、AVACO贝"）

A.tA«</,4C

B.AV^AVAC

C.W+I，2=2R弱,式中g为重力加速度

D.撞击C点时的速度方向与球面垂直

答案C

解析小球做平抛运动，根据力二去产可知，运动时间相同，A错误；根据Axgf可知由于运动时间相同，

所以速度变化量也相同，B错误：设小球的水平位移分别为汨和X2,由几何关系可知x尸RVR2-F,

X2=RZR2-M

根据平抛运动规律，可知方』出尤二以，依夫产，联立可得力+V2=2式册，C正确；若撞击C点时的速度方

向与球面垂直，则C点速度方向的反向延长线过圆心。点，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线一定

过水平位移的中点，而。点不是水平位移的中点，与假设相矛盾，所以撞击C点时的速度方向与球面不垂

直，D错误。

【例5】如图，在4点以初速度山水平向右抛出一质量为〃『1kg的小球（可视为质点）。经过一段时间后

恰能无碰撞地从3点以速率v=5m/s沿圆弧切线进入半径为H=lm的竖直、粗糙、圆心角为在37。的圆

弧轨道，由于摩擦力的作用，小球在圆弧轨道内速率不变，小球从。点水平飞出后击中一个竖直截面

为产d的抛物线形状的容器壁，已知C点的坐标为(0,Im),重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,

cos37o=0.8,不计空气阻力，求：(结果均可用根号表示)

o'

v/m

x/m

(1)小球初速度大小V0及从A点到B点的时间；

(2)小球击中容器壁处的坐标。

答案(1)4m/s0.3s(2)(^m,1m)

66

解析⑴小球在8点有vo=vcos0

vy=vsin0

小球从A点到8点的运动过程中Vy=gt\

解得1尸0.3s,v0=4m/s

(2)根据抛物线方程yr2,yc=\m,

22

假设小球击中容器壁。点处。小球从C点到。点的运动过程中xb=vt2,yD=yc-^gt2,yD=xD

联立解得即尸遗^m,yD=-m

6•6

所以小球击中容器壁处。点的坐标为(厚m,fm)

66o

课时精练

［分值:44分］

J基础落实练

口〜5题,每题4分］

1.如图所示，一小猴在树上将摘取的果实沿水平方向抛出，果实落在水平地面上且落地点相距小猴水平方

向的距离为12m,从落地点到小猴位置的连线与水平方向的夹角为53。。已知重力加速度g双lOmH,sin

53°=0.8,cos53°=0.6,不计空气阻力。则果实抛出时的速度大小约为()

A.5.5m/sB.6.0m/s

C.6.7m/sD.8.9m/s

答案C

解析果实抛出后做平抛运动，有x="Man53°二1产，解得出m/s=6.7m/s,故选C。

2.如图所示，若质点以初速度w水平抛出后，落在倾角为630。的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的

位移最小，重力加速度为g,小计空气阻力，则质点的总行时间为（）

A依MB盗孙C巡”。D

,3g'2ggg

答案D

解析要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有tan”，根据

平抛运动规律有产女也尸也产，联立可得七亚也，故选D。

3.如图所示为四分之一圆柱体048的竖直截面，半径为R在B点正上方的C点处水平抛出一个小球（可

视为质点），小球轨迹恰好在。点与圆柱体相切，OO与OB的夹角为6（）。，不计空气阻力，则C点到B点

的距离为（）

AA-RD.R

4

答案A

解析小球通过。点时速度与圆柱体相切，则有v?.=votan60°，小球从C到。，水平方向有Rsin6O°=voZ,

竖直方向上有）考人解得产，，故C点到8点的距离为广y-R（l-cos60。）喙故选A。

4.如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底端A点斜向

上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为3（）。的斜

面，忽略空气阻力，工人以大小为物、方向与斜面成3（）。的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已

知重力加速度为X，则材料在空中运动的时间为（

A回B26Vo

3g,3g

C.回D26U（）

a.9

答案B

解析将材料的运动沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度大小为L="）sm3（）o=3，垂

直斜面方向的加速度大小为。产geos30°=鼻,材料运动的时间为/=2乜=,故选B。

za,23,g"°

5.如图所示，从水平面上A点以倾角a斜向右上方抛出一小球（可视为质点），抛出时速度大小为玲。小球

落到倾角为。的斜面上C点时，速度方向止好与斜面垂直，8为小球运动的最高点，已知重力加速度为

g，不计空气阻力，则（）

，必二立

A.小球在B点的速度大小为vosino.

B.小球从A点运动到B点的时间为吧吧

9

C.小球落到。点前瞬间竖直方向的速度大小为等等

land

D.小球从B点运动到C点的时间为钙

gtanO

答案C

解析小球在8点的速度大小为片uocosa,故A错误；小球在A点处竖直方向上的速度大小为U,iosin

a,则小球从A点运动到8点的时间为片为二理丝，故B错误；小球落到C点前瞬间竖直方向的速度大小

99

为八三刍二空哼，故C正确；小球从B点运动到C点的时间为六£二”等，故D错误。

6.（8分）（2026•江苏淮安市检测）如图所示，坡面倾角，为37。，一个小球从坡面上。点垂直坡面斜向上抛

出，落到坡面上的4点,已知抛出时初速度大小W=8m/s,重力加速度g取lOm/s2,01137。=0.6,cos

37°=0.8,不计空气阻力。求：

（1）（4分）小球从抛出到落在斜面卜的时间/：

（2）（4分）小球落点A到O点的距离,

答案（l）2s（2）12m

解析（1）将小球的运动沿斜面方向与垂直于斜面方向分解，则垂直于斜面方向的加速度。产geos0,

根据对称性可知，小球从抛出到落在斜面上的时间

/=2X^=2X-^-=2so

4gcosG

（2）小球沿斜面方向的加速度672=gsin0

则小球落点4到。点的距离后如尸

联立解得x=\2nio

J能力综合练

|7〜10题，每题4分］

7.（2025•江苏徐州市检测汝□图所示，A8为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O,半径08竖直，

M、N点将OB分成3等份。工件日、乙分别从M、N点水平向右抛出，小计空气限力，则能垂直击中48

轨道的是（）

A.仅甲能B.仅乙能

C甲、乙都能D.甲、乙都不能

答案A

解析设在。5上某点。水平抛出正好垂直落于圆弧上。点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如

图所示

可见0C=ED,故OB中点下方水平抛出的小球都不可能垂直落于A8圆弧轨道上。

若甲从M点水平抛出能垂直击中圆弧轨道，竖直位移大小为,』产，水平位移大小为亨R

可得水平速度大小为岁，即甲能垂直击中AB轨道，乙不能。故选A。

8.北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛

项目之一。如图甲所示，两名运动员a、b（可视为质点）从雪道末端先后沿水平方向向左飞出，初速度之比

Va：Vb=I：4,示意图如图乙。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程

中，下列说法正确的是（）

A.他们飞行时间之比为1:2

B.他们飞行的水平位移大小之比为1:8

C.他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16

D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同

答案C

解析设运动员的初速度为w时，飞行时间为水平方向的位移大小为1、竖直方向的位移大小为y,如

图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，有户阿，在竖直方向上做自由落体运动，有产与尸，运动

员落在坡面上时，有tan"?,联立解得/=2詈，则可知运动员飞行的时间/与i，o成正比，则他们飞行时

间之比为虫=曳2,故A错误：水平位移下叩片出也N运动员飞行的水平位移大小工与初速度的平方成正

tbvb4g

比，则他们飞行的水平位移大小之比为1：16,故B错误；将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的

两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做勺加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，当

垂直坡面的速度为零时，运动员离坡面最远，则运动员在空中离雪坡面的最大高度为九必二色列第8^2,

所以他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16,故C正确；落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖

直方向夹角为明则有tan&=也二也;/一^三人，则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定析同，故D错

vygt2votanf?2tan0

误。

9.（2025•江苏省苏州大学附属中学检测）在一个足够长的斜面上，将一个弹性小球沿垂直斜面的方向抛出,

落回斜面又弹起。如图所示，设相邻落点的间距分别为