2026年中考数学：特殊平行四边形-正方形（知识解读+例题讲义）原卷版

第25讲特殊平行四边形-正方形

3"知识导航.一

知识点1：正方形的性质

知识点2：正方形的判定

知识梳理一.

知识点1:正方形的性质

1.定义：正方形是平行四边形、矩形、菱形的特殊结合体，兼具三者的所有性质

2.性质：

（1）对边平行，四条边长度完全相等。

（2）四个内角都是直角，度数均为90。，邻角互补，对角相等。

（3）对角线互相垂直、互相平分且长度相等；

（4）对角线平分一组对角，将正方形的每个内角分成两个45。的角：

（5）对■角线对角线把正方形分割成4个全等的等腰直角三角形。

（6）是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；是轴对称图形，共有4条对称轴，分

别为两组对边中点的连线、两条对角线所在的直线。

3.面积公式：

①基础公式：面积二边长的平方;

②对角线公式：面积二1对角线的乘积

2

知识点2：正方形的判定

（1）从平行四边形出发判定

①平行四边形+一组邻边相等且有一个内角是直角2正方形:

②平行四边形+对角线互相垂直且相等O正方形。

（2）从矩形出发判定

①矩形+一组邻边相等2正方形:

②矩形+对角线互相垂直蒙正方形。

（3）从菱形出发判定

①菱形+一个直角o止方形:

②菱形+对角线长度相等力正方形

F7题型精讲

【题型1根据正方形的性质求角度】

【典例1】如图，4c是正方形48CD的一条对角线，延长8。至点E,使得CE=/1C,连接

AE,则NE的度数为（）

A.22.5°B.30°C.32.5°D.35°

【变式1】如图，正方形力凤出的对角线8。是菱形8EF0的-边，菱形8EFD的对角线交正方

形ABCD的一边CD于点P,则NPBC的度数是（）

A.22.5°B.45°C.25°D.67.5°

【变式2】在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点尸是正方形力BCD内一点,

PA=1,PB=2,PC=3,则匕力PB的度数是（）

【变式3】如图，在正方形力BCD中，E为边4D上一点，连接BE,在BE右侧作△BER满

足Z8FE=9O。，BF=EF,连接。口若乙ABE=a,则匕DFE的度数为（）

A.3aB.45。+aC.60°-aD.90。-2a

【题型2根据正方形的性质求线段长】

【典例2】如图，在正方形力8c。中，48=4,CE=DF=1,。£力产交于点G,点”为4E的

中点，连接GH,则GH的长为.

【变式1】如图，在正方形A8G）中，点E,尸分别在边。A,AB上,且。E=力凡作AG1EF

于点儿交BC于点G,若A8=6,Ef:AG=2:3,则8G的长为.

【变式2】如图，在正方形4BC。中，点E在BC边上，连接DE,取OE的中点心连接CF,若

CF=5,CD=8,贝IJ8E的长为.

D

C

【变式3】如图，在正方形ABC。中，E是CD边上一点,将△4DE沿力E翻折至延

长E。'交于点立若48=15,DE=10,则8r的长是（）

A.3D.5

【题型3根据正方形的性质求面积】

【典例3】边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如

图），则图中阴影部分的面积为.

【变式1】如图，四边形4BCD是边长为4的正方形，ABPC是等边三角形，则阴影部分的

面积为.

【变式2】如图，在边长为2的正方形力BCD中，点E在4）上，连接EB,EC.则图中阴影部

分的面积是

AED

BC

【变式3】如图，在正方形力BCD中，£为8c边上一点，BE=3,连接力E,过£作

EF1AE,EF交CD于点F,FC=2,则正方形力BCD的面积为.

【题型4与正方形有关的折叠问题】

【典例4】如图，正方形纸片48。。的边长为4,£是边力。的中点，连接BE,折叠该纸片,

点/落在,处，连接A'C,则，C的长为

【变式1】如图，在正方形/BCD中，点E,尸分别在边718,CD上，将正方形ABCD沿EF折叠,

使点8落在4。边上的三等分点M处，点C的对应点为点M若力B=学，则线段4E的

长为.

【变式2】如图，正方形/BCD的边长为3,点£\尸分别在边BC、CD上,将48、AD分别沿

AE.4F折叠，点4、。恰好都落在点G处，已知BE=1,则EF的长为（）

35

A.2B.2C.4D.3

【变式3】如图，在正方形力BCD中，点E是边4。上一点，将正方形沿8E翻折，使点力落在

点F处,连接4F并延长交8E于点G,交CD于点H,若AB=12,DH=5,则£G的长为____.

【题型5添加一个条件使四边形是正方形】

【典例5】如图，四边形A8CD是平行四边形，从①AC=BD,（2）AC1BD,@AB=BC,

这三个条件中任意选取两个，能使0/8C0是正方形的概率为（）

【变式1】在菱形48。。中，对角线力C,8。相交于点O,若添加一个条件使该菱形为正方形,

该条件可以是.

【变式2】如图，在四边形48co中，ABWCD,AD\\BC,AC=BD,在不添加任何辅助线的

前提下，若使四边形48co是正方形，只需添加的一个条件是.

【变式3】如图，在四边形A8CD中,AB\\CD,AD\\BC,对角线4CL80于点。,若添加一个

条件后，可使得四边形48。。是正方形，则添加的条件可以是（不再增加其他线

条和字母）

【题型6证明四边形是正方形】

【典例6】如图，在RtZk.45C中，LBAC=90°,AB=AC,D,E是边BC上的两点，且

BD=CE,过点0,E分别作0MJ.4B,ENLAC,垂足分别为M,N,MO与NE的延长

线交于点F,连接AE.

⑴求证：AD=AE.

(2)求证：四边形AMFN是正方形.

【变式1】如图，在口ABCD中，力EJ.BC于点E,CF14)于点凡AE=CE,求证：四边形

AEC尸是正方形.

BEC

【变式2】如图，四边形4ECF是菱形，对角线AC、E/交于点。，点。、8是对角线EF所在

直线上两点，且。E=B凡连接A。、AB.CD、CB.Z-ADO=45°.

⑴证明：4ABF三4CDE;

⑵四边形488是怎样的特殊四边形？请说明理由.

【变式3】如图，在平行四边形/8C。中，对角线4C与8D相交于点E,NB4C=90。，点G

为力。的中点，连接CG,CG的延长线交84的延长线于点E连接。凡

⑴求证：AB=AF；

⑵请增加一个条件，使得四边形AC。/为正方形.〔不需要说明理由）

【题型7正方形的性质与判定综合】

【典例7】如图，正方形中，4。=4,点E是对角线AC上一点，连接。E、BE.

⑴求证：ACDE三ACBE；

⑵过点E作E尸_LE。，交AB于点F,连接。儿交4。于点G,若点尸是AB的中点，求线段EF

的长.

【变式1】如图，在直角三角形/8C中，ZC=90°,△/18C的外角N8/1E和NA80的平分线

A。，8。交于点O,过点。作。E_L力C,0D1BC,垂足分别是石和。.

⑴求证：CD=CE；

⑵若8。=3,AE=2,求CE的长.

【变式2】如图，在矩形4BC0中，点E在对角线AC上，AE<EC,BE=DE.

⑴求证：四边形4BCD是正方形;

(2)点F在对角线AC上，且NADF=NBEC,求证：BEDF=EFAB.

二”随堂检测

1.如图，E为正方形力BCD中CD边上一点，4c为对角线，连接BE,交AC于点凡若

△CBE=40。，则44FE的度数为（）

A.90°B.95°D.105°

2.如图，正方形46C。的对角线AC是菱形HE”的一边，则乙E48等于（）

A.135°B.45°C.30°D.22.5°

3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是)

A.对角互补B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

4.下列说法不正确的是'：）

A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形

C.四边都相等的四边形是正方形D.邻边相等的矩形是正方形

5.如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，。1，。2是其中两个正方形的对角线交点,

则阴影部分面枳是（）

A.2B.4D.8

6.如图，两个全等的等腰Rt△力8c和等腰RtZXCIM有公共斜边4C,且四边形力BCD的面积

为36,△ABE为等边三角形，点E在四边形ABCD内，在4c上有一点P,使PD+PE的

和最小，则这个最小值为（）

AD

BC

A.5B.6C.7D.8

7.如图，在矩形4BCD中，/ID=9,4B=12,点石是CD上一动点，在平面内将矩形沿4E

折叠，使点。落在》位置.若△CO'E为直角三角形，则DE的长为（）

9D.3或?

A.2B.9或6

8.如图，△48C中，4C=90°,AC=6,BC=8,Z-BAC./力8c的角平分线交于点D,DE1.BC

于点&DF1AC于点足则CE的长为（）

A

A.1.6B.2D.3

9.如图，四边形4BCD是正方形，G是边BC上一点，DELAG于点E,8F||DE,且交AG于点

F.已知IDE=10,BF=4,则EF的长度为___________.

10.如图,大正方形力BCD是由4个全等的百角二角