数列求和的常用方法-2026年高考数学二轮复习

微专题20数列求和的常用方法

高考定位近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组

转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档.

【真题体验】

(2024•全国甲卷)设S〃为数列｛m｝的前〃项和，己知4szi=3%+4.

(1)求｛m｝的通项公式；

(2)设儿=(一1)"「〃斯，求数列｛儿｝的前n项和T„.

解⑴因为4s〃=3劣+4①，

所以当〃22时，4sl=3%」+4②.

则当〃22时，①一②得4。〃=3斯一3m_[,

即an=-3an-\.

当〃=1时，由4*=3知+4得4s=3m+4,

所以m=4W0,

所以数列｛斯｝是以4为首项，一3为公比的等比数列，

所以a〃=4X(—3)G.

(2)因为为=(—1)〃-5X4X(—3)"一】=4〃3门，

所以7；=4X3°+8X3,-I-12X32H-----F4w3w-1,

所以34=4X31+8X32+12X33+…+4力3”,

3(1—3,,_,)

两式相减得一2几=4+4(31+3?+…+3"i)—4〃*3"=4+4X1—4〃・3"

=-2+(2—4〃>3",

所以。=1+(2〃-1>3”.

【热点突破】

热点一分组求和与并项求和

I核心归纳

U大

1.若数列｛6｝的通项公式为&=a〃±瓦,或c〃=即'n*且｛〃“｝,｛瓦｝为等差

bn,〃为偶数，

或等比数列，可采用分组求和法求数列｛。〃｝的前〃项和.

2.若数列的通项公式中有(一1)〃等特征，根据正负号分组求和.

例1已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，m=2,G=4,且S〃+2—2S“+I+S〃=2.

(1)证明：数列｛跖,｝是等差数列，并求｛飙｝的通项公式；

(2)若等比数列｛儿｝满足从=1,岳+①=0,求数歹U｛斯•儿｝的前2〃项和乃〃.

⑴证明由工+2—2s〃+i+S〃=2

得S〃+2—S〃+i—(S〃+i—£)=2,

a〃+2-斯+i=2,

又6-41=4-2=2,

・,・数列｛。〃｝是以2为首项，2为公差的等差数列，

••Cln2〃.

(2)解设等比数列｛d｝的公比为q,q于0,

则岳+/)3=q+q2=o,.・.q=一],

••出=(一1)〃7・・・〃〃也=2力(-1)「|,

；・4=2—4+6—8+…+2(2〃-1)(—Ip"2+2(2/?),(—1)2/,1

=(2—4)+(6—8)+…+[2(2〃-1)(—1)"2+2(2«),(—l)2n,]

=-2+(-2)+*,a+(-2)=—2n.

规律方法分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为

若干个可求和的数列的和或差，然后再求和.

训练1己知数列｛斯｝的前〃项和为S”，狐＞0,且满足(Q“+2)2=4S〃+4〃+1,〃£N

+・

(1)求41及通项公式

(2)若儿=(一1)”,求数列｛儿｝的前〃项和Tn.

解(1)对于(斯+2)2=4&+4〃+1,①

n=1时，(ai+2)2=4ai+5,a?=1,

而所＞0,则。i=l.

又5〃+I+2)2=4S〃+I+4(〃+1)+1,②

由②一①可得

(a〃+i+2)2—(a“+2)2=4«〃+i+4,

加+1=(。”+2)—而an＞0,

=

=q〃+2,即an+\~an2.

・・・｛。〃｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

即1+2(〃-1)=2〃-1(〃WN+).

(2)・"”=(-1)%(2〃-1),

・•・。=-1+3—5+7+~+(—1)〃(2〃-1),

2+2—-+2

当〃为偶数时，T〃=〃=〃；

一2个1

22+-+2

当〃为奇数时，Tn=〃一1人一(2〃-1)=­

~2~1

综上所述，。=(一1)”•〃⑺EN+).

热点二裂项相消法求和

I核心归纳

裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数

1

11L~2Li]1『-

=12/7—12/?+1J；=1〃n~rk

(2〃-1)(2〃+1)2n(〃+4)k

(2)分母两项的差与分子存在一定关系

2〃1_1

(2"—1)(2rt+1-l)2〃一12〃+i—1

1

〃+1

(〃+2)2

n2(〃+2)

(3)分母含无理式〃+l—n.

〃+n-r1

例2(2024•东北三省三校模拟)已知等差数列｛斯｝的首项m=l,公差为d,记"｝

的前〃项和为S,54-2^3+14=0.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若数列｛为｝的公差力1,令c〃=如+2,求数列｛c〃｝的前〃项和北.

解(1)由题意可得,

SA—2〃2。3+14=4m+6，/—2(ai+”)(m+2幻+14

=4+63—2(1+d)(l+2d)+14=0,

整理得砂=4,则"=±2,

可得。〃=1+2(〃-1)=2〃-1或。〃=1—2(〃-1)=—2〃+3,

故。”=2〃-1或。〃=—2"+3.

(2)因为内1,由(1)可得d=2,an=2n-\,

则c〃=2〃+3=11,

(2/7—1)(2〃+1)，2"(2«—1),2nl(2〃+1)，2"

故〃=Cl+c2+c3H---\-Cn

11111

=1[i-3X21J1+l[3X2,-5X2?J1+…r(2〃-1)21-(2〃+l)2?_

⑵+1)2'

1

所以T=\-

n(2/:+l)-2n'

易错提醒裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相

互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.

训练2(2024・西安二模)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且③=7,S6=27.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)设8=1,求数列｛'｝的前〃项和列

。〃5+1

解(1)设等差数列s〃｝的公差为乩

m+5d=7,

则由题意得6m+6X5.=27,

2

由m+5d=7,3=2,

即解得

[2m+5d=9,d=\.

,数列｛。〃｝的通项公式为。〃=2+(〃-1)X1=〃+1.

(2)4〃=〃+1,则1=〃+2,

111

♦♦bn=

(〃+1)(〃+2)"+1〃+2'

7^=61+62+63+…+6〃=+..」:如

n

2〃+22(〃+2)

热点三错位相减法求和

I核心归纳

如果数列｛〃〃｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，那么求数列｛引力〃｝的前〃项和S〃时，

可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)

在写和七SJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S〃

一q，J的表达式.

例3(2024・武汉模拟)设数列｛斯｝(〃£N*)满足：©+?+…+。〃=〃2.等比数列协力

2n

的首项力1=1,公比为2.

(1)求数列｛斯｝，｛瓦｝的通项公式;

(2)求数列1〃j的前〃项和Tn.

(1)解,.,。］+“2+-21.

2n

.,.41+"2+・・・+""I=(〃—1)2,〃22,

2n~\

/.an=n2—(n—l)2=2w—1.

n

即4“=〃(2〃-1),〃22,

当〃=1时，tzi=l,满足上式.

a〃=〃(2〃-1)=2/—〃，

根据等比数列｛瓦｝的首项从=1,公比为2,可知等=2〃一］.

⑵解由⑴知“面=(2〃-1)2门.

n

：.T„=10+32I+…+(2〃—1)2门，

2。=12+・・+(2〃-3)2+(2〃-1>2〃.

o(i一2〃-1)

・・・-7；=1+22+・・+22门一(2〃-1)2=1+2/一？一(2〃-1)・2〃

=1+4(2"一|—1)—(2〃-l)2n=22n—(2n—1)，2"—3=(3—2〃)2"—3.

・•・7；=(2〃-3)2〃+3.

易错提醒用错位相减法求和时，应注意：

⑴等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；⑶最后一项的

符号.

训练3(2024・临汾模拟)已知数列｛为｝的首项m=1,且满足a〃+i=2z+〃-1,等

比数列｛瓦｝的首项"=；,且满足也,=扇.

⑴求证：数歹心4〃+〃｝是等比数列，并求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)求数列｛〃/〃｝的前〃项和S”.

⑴证明因为4〃+1十〃+1=2。〃十〃一1十〃+1=2m+2〃=2(。〃十〃)，

又因为m+l=2W0,所以｛〃“+〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以。〃+〃=2〃，所以〃〃=2"一

(2)解因为岳”=岳，所以Z>2=b彳=：=biq=；q,

故夕=1，所以儿=1X2)=0,

22

令Cn=Unbnf

则…一人+0,

设4为数列",L)｝的前n项和,

所以%=ixU+2x(2)+3x(2)+…+"xL，，

#=ix(3+2xC)+3x£|4+…+(〃—1)义0+〃X

胪；以J

所以％=[3+M+...+CLx

=1—

所以2T+啖

【精准强化练】

w+,

1.(2024・昆明诊断)已知数列｛3X2〃斯｝的前n项和5M=4-4.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

⑵设力〃=3卜-1],求数列｛儿｝的前n项和T”.

解⑴令c〃=3X2”.

当n=\时，ci=5i=12；

当时，c〃=S〃-SN=4〃+I-4〃=3X4〃.

因为5=12=3X4、所以c力=3X4",

所以3X2〃a〃=3X4〃，解得。〃=2〃,

(2"—邛「"-2+1

(2)由(1)知如=3〔2")=31坐

1Vr

4j

—Z/tT4

1-4.1

1.

所以Tn=3-4一

2.(2024•南京、盐城调研)已知正项数列｛跖｝满足0=1,底+]—曷=8”.

(1)求]〃〃｝的通项公式；

⑵记儿=a〃・sin12J,求数列｛6〃｝的刖2024项的和.

解(1)因为足+i一底=8〃，

所以当〃22时，欣=(加一忌_i)+…+(〃3—c*)+a彳=8(〃-1)+…+8X1+1=8[1

+2+3H-----F(〃-1)]+1=8X〃(〃—1)+i=(2〃—1)2

因为。”>0,所以a〃=2〃-1,“22.

当〃=1时，0=1符合上式，所以4〃=2〃-1.

(2也=期以2“)=(一1户・(2〃-1),所以当AWN*时，

历、।+b2k=(伏一3)一(44—1)=一2,

故b\+岳+63+…+/024=3|+岳)+@3+64)+…+(历023+岳024)

=-2X1012=—2024.

3.在数列｛。〃｝中，1+]+^+…+呢=〃2+〃.

234〃+1

(1)求｛斯｝的通项公式;

⑵求1+12+…+"、.

3ai4ci2(H+2)an

解(1)・・・?+?+1+…+?=层+〃，①

234〃+1

则当〃=1时，5=2,即内=4,

2

当心2时，；+牡＞…+〃；』-〃，②

①一②得"〃，=2〃,，。〃=2〃(〃+1),

〃十1

0=4也满足上式，

故斯=2〃(〃+1).

(2)n=〃

(〃+2)an2n(〃+1)(〃+2)

1[〃+1〃+2

1

2(〃+1)(〃+2)2

1十2十…十n

3。|4〃2(〃+2)an

…+〃；厂〃;2

2

1_1

1_1

〃=